备战2024年高考数学模拟黄金卷（解析版）.docx

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备战2024年高考模拟卷（新题型地区专用）数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为（   ）A．8.4B．8.5C．8.6D．8.7【答案】B【解析】依题意，一组数据的第50百分位数即为该组数据的中位数，所以数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第50百分位数为.故选：B2．若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为抛物线的准线为，由题意可得：，解得.故选：A.3．若数列为等比数列，则“”是“”的（    ）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件【答案】C【解析】若数列的公比为，由，故，则，所以，当且仅当，即时取等号，故充分性成立；由，故，若，则，故必要性不成立；故选：C4．已知α、β是空间中两个不重合的平面，m、n是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】D【解析】A：若，，则或，错；B：若，，则与相交或，不一定有，错；试卷第13页，共13页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 C：若，，，则平行或相交，错；D：若，，则直线的方向向量分别为的法向量，又，即平面法向量垂直，所以，对.故选：D5．将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（    ）A．78B．92C．100D．122【答案】C【解析】若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有种，当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有种.综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是.同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50.故不同的分配方法数是.故选：C6．正边长为，点是所在平面内一点，且满足，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】正边长为2，点是所在平面内一点，且满足，建立平面直角坐标系，如图所示：则，，，由于点在以为圆心，为半径的圆上，所以点的坐标为，所以，，，试卷第13页，共13页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 由于，故：，则：，，当时，，即．故选：A．7．已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】.故选：D8．已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，直线与轴交于点，设，则.因为，所以.因为，当且仅当时，等号成立，所以，整理得，则，解得.故选：B试卷第13页，共13页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在复平面内，下列说法正确的是（    ）A．若复数z满足，则B．若复数、满足，则C．若复数、满足，则D．若，则的最大值为【答案】AD【解析】对于A，设，则，于是，，A正确；对于B，令复数、，显然，满足，而，B错误；对于C，复数、，满足，而，显然，C错误；对于D，因为，则在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，表示点到复数对应点的距离，因此，即的最大值为，D正确.故选：AD10．已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）A．B．要想得到的图象，只需将的图象向左平移个单位C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上的取值范围是试卷第13页，共13页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】AC【解析】由图得，所以，，所以，因为点在图象上，所以，，因为，所以，可得，故A正确；对于B，将的图象向左平移个单位，得到的图象，故B错误；对于C，由得，所以函数在区间上单调递增，故C正确；对于D，时，，所以，函数在区间上的取值范围是，故D错误.故选：AC.11．已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（    ）A．为奇函数B．在处的切线斜率为7C．D．对【答案】ACD【解析】由题意定义域为的函数满足令，则，令，则，即，故为奇函数，A正确；由于，故，即，则为偶函数，由可得，由，令得，故，令，则，B错误；又，则，试卷第13页，共13页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 令，则，由柯西方程知，，故，则，由于，故，即，则，C正确；对,故，D正确，故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设集合，，则，则实数a的取值范围为.【答案】【解析】由题意，或，若满足，则，又因为，所以，解得.13．已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，则这个四棱台的表面积为．【答案】【解析】如图所示：设分别为底面的中心，分别为的中点，且有，设正四棱台的上底面面积、下底面面积、侧面积分别为、、，由，即得，，所以，，又及，试卷第13页，共13页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以有，解得.由勾股定理可得斜高，所以，从而.14．若，则的最大值为．【答案】【解析】由题意得：，，，则，当且仅当时等号成立，即，即，则有，则，,有在单调递增，在上单调递减，故在上单调递增，则当时，即、时，有最大值，即的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（1），求函数的最小值；（2）若在上单调递减，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以，令，则有，当时，单调递减，当时，单调递增，因此当时，则有，试卷第13页，共13页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 因此当时，则有，当时，显然，于是有当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以；（2）由，因为在上单调递减，所以在上恒成立，由，设，则有，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，要想在上恒成立，只需，因此的取值范围为.16．（15分）某地政府为推动旅游业高质量发展、加快旅游产业化建设，提出要优化传统业态，创新产品和服务方式，培育新业态新产品、新模式，促进康养旅游快速发展.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从m个跟团游团队和6个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查.若一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率为.（1）若一次抽取3个团队，在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，求这3个团队全是跟团游团队的概率；（2）若一次抽取4个团队，设这4个团队中私家游团队的个数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，【解析】（1）由题意知共有个团队，试卷第13页，共13页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 一次抽取2个团队的情况有种，其中全是私家游团队的情况有种，故一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率是，整理得，解得或（舍去），若一次抽取的3个团队全是私家游团队，则共有种情况，若一次抽取的3个团队全是跟团游团队，则共有种情况，所以在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，这3个团队全是跟团游团队的概率为；（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，故的分布列为01234P数学期望.17．（15分）如图，在四棱锥中，，，，．（1）证明：平面；（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）试卷第13页，共13页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】（1）为，，所以，所以.又，且，平面，平面，所以平面.（2）因为，，则，且，可知，在平面内过点A作轴垂直于，又由（1）知平面，分别以，所在直线为，轴建立如图所示空间直角坐标系.则，，，.因为，则，可得，，，设平面的一个法向量为，则，取得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18．（17分）已知点N在曲线C：上，O为坐标原点，若点M满足，记动点M的轨迹为.试卷第13页，共13页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （1）求的方程；（2）设C，D是上的两个动点，且以为直径的圆经过点O，证明：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）（1）设，因为点N在曲线上，所以，因为，所以，代入可得，即，即的方程为；（2）因为以为直径的圆经过点O，所以，当C、D为椭圆顶点时，当C、D不是椭圆顶点时，可得直线OC的斜率存在且不等于零，可设直线OC的方程为，则直线OD的方程为，由，得，所以同理可得，，，所以综上，为定值.试卷第13页，共13页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 19．（17分）如果无穷数列是等差数列，且满足：①、，，使得；②，、，使得，则称数列是“数列”.（1）下列无穷等差数列中，是“数列”的为___________；（直接写出结论）、、、、、、、、、、、、（2）证明：若数列是“数列”，则且公差；（3）若数列是“数列”且其公差为常数，求的所有通项公式.【答案】（1）、；（2）证明见解析；（3）或【解析】（1）由“数列”的定义可知，数列、为“数列”.（2）证明：若，则由①可知，所以或，且公差，以下设.由①，、，，，两式作差得，因为，所以.由①，、，，，两式作差得，因为，所以，因此，.若，则等差数列是递减数列，由①为中的项，因此，，解得，由且公差，所以或，，，由①，为中的项，且，这与等差数列递减矛盾，因此，不成立.综上，且公差.（3）因为公差，所以，即是递增数列.若，因为，所以，则，且，由①为中的项，这与等差数列是递增数列矛盾.因此，，又由（2），故.试卷第13页，共13页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 由，知，且中存在一项为正整数，取最小的正整数项.则由②，，使得且，.因此，解得，又，故.因为是递增数列，（i）若，则，此时.因为，，令，有，且，所以满足条件①.因为，令，有，所以满足条件②.（ii）若，则，.因为，.令，则，且，所以满足条件①.因为，令，，有，所以满足条件②.综上，或.试卷第13页，共13页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司