重难点6-3 立体几何外接球与内切球问题（12题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

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重难点6-3立体几何外接球与内切球问题有关多面体外接球和内切球的问题，是立体几何的一个重点和难点，也是高考的热门考点，要求学生具有较强的空间想象能力和准确的计算能力。新高考考查一般出现在选择题与填空题，难度中上。【题型1正方体与长方体的外接球】满分技巧1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2、正方体的外接球：正方体的棱长为a，外接球半径为R，则长方体的外接球正方体的外接球【例1】（2022·吉林长春·高三长春十一高校考阶段练习）若一个正方体的顶点都在球面上，则该正方体表面积与球表面积的比值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设正方体的边长为，则正方体的体对角线，则正方体的表面积为，球的表面积为，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以该正方体表面积与球表面积的比值是，故选:B.【变式1-1】（2024·四川·高三校联考期末）在长方体中，，侧面的面积为6，与底面所成角的正切值为，则该长方体外接球的表面积为．【答案】【解析】在长方体中，因为侧面的面积为6，所以，因为与底面所成角的正切值为，所以，结合，可得，所以该长方体外接球的半径为，表面积．【变式1-2】（2024·四川成都·高三石室中学校考期末）已知长方体在球的内部，球心在平面上，若球的半径为，，则该长方体体积的最大值是（）A．4B．8C．12D．18【答案】A【解析】设长方体的高为h，设a，则，所以，若要长方体体积最大，则平面内接与长方体，所以得，即得，所以长方体的体积为，设，其中，则，令，得，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以函数在处取得极大值，亦即最大值，则.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 因此该长方体的体积的最大值为.故选：A【变式1-3】（2023·甘肃·统考一模）在长方体中，底面为正方形，，其外接球的体积为，则此长方体的表面积为（）A．34B．64C．D．【答案】B【解析】设外接球的半径为，因为外接球的体积为，所以，所以.设底面正方形边长为，因为长方体外接球的球心在体对角线中点，球直径为长方体体对角线，所以，所以，所以长方体的表面积为，故选：B【题型2正棱锥的外接球】满分技巧正棱锥的外接球：正棱锥顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高线上。（1）正三棱锥：设正三棱锥的棱长a，外接球的半径.（2）正四棱锥：设正四棱锥的棱长为a，外接球半径【例2】（2023·河南新乡·统考一模）已知正三棱锥的侧棱，，两两垂直，且，以为球心的球与底面相切，则该球的半径为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设球的半径为，由题可知，，所以，解得．故选：.【变式2-1】（2024·浙江绍兴·高三统考期末）小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】C学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】设正四面体的棱长为a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，设正四面体如图，F为为底面的中心，E为的中点，F在上，O为正四面体外接球的球心，则为四面体的高，O在上，则，则，即得，所以，又设正四面体外接球的半径R，则，即，即得，故外接球体积为，故选：C．【变式2-2】（2022·全国·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱与底面所成的角为，顶点S，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的表面积为.【答案】【解析】如图，在正四棱锥中，连接，交于点，连接，则平面，为侧棱与底面所成的角，所以.所以，所以顶点S，A，B，C，D在以为球心，3为半径的球面上，即点O与重合，所以球O的表面积为.【变式2-3】（2023·重庆·高三西南大学附中校考期中）正四棱锥的高为3，体积为32，则其外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令正四棱锥的底面棱长为，根据题意可得，解得.设是正四棱锥的高，是正四棱锥的外接球的球心，则在上（或的延长线上），则有，设球的半径为，因此，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 显然（或者），在正方形中，，由勾股定理可知：，因此该四棱锥的外接球的表面积为.故选：C【题型3能补形为长方体的外接球】满分技巧1、墙角模型找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑2、对棱相等：对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。【例3】（2023·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）在三棱锥中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且，若三棱锥的所有顶点都在同一个球的表面上，则该球的体积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，补全三棱锥，则三棱锥的外接球的半径，所以该球的体积是，故选：A【变式3-1】（2022·河南·高三校联考专题练习）已知三棱锥中，平面，若，，，，则三棱锥的外接球表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，在中，由余弦定理，得，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 即，则，故，又而平面，将三棱锥置于一个长方体中，可知三棱锥的外接球半径，则外接球表面积，故选:D．【变式3-2】（2024·云南德宏·高三统考期末）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，将三棱锥转化为长方体，可知三棱锥的外接球即为长方体的外接球，则，可得，则外接球的半径，所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：C.【变式3-3】（2024·浙江宁波·高三统考期末）在平行四边形中，已知，将沿翻折得四面体．作一平面分别与交于点．若四边形是边长为的正方形，则四面体外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为为正方形，则且，又面，面，所以面，又因为面面，所以，同理可知，所以，且均为各边的中点，所以，因为四边形是边长为的正方形，所以，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 首先求对棱四面体的外接球的半径，将其放在长方体内，如图所示：，所以四面体外接球的半径为，所以四面体外接球的表面积为.故选：A.【题型4直棱柱汉堡模型的外接球】满分技巧直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的连线的中点1、补形：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同2、作图：构造直角三角形，利用勾股定理例如：直三棱柱内接与一球（棱柱的上下底面为直角三角形）此类题为上面题的特殊情况，解法更简单，AH的长即为底面三角形斜边的一般，勾股定理：，则注意：对于侧棱垂直于的棱锥可考虑补形为直棱柱后再求外接球。【例4】（2023·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在中，由余弦定理可得，设外接圆半径为r，再由正弦定理，因为三棱柱是直三棱柱，设外接球半径为R，所以，所以外接球表面积为，故选：C学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式4-1】（2024·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学开学考试）已知各顶点都在一个球面上的正三棱柱的高为2，这个球的体积为，则这个正三棱柱的体积为（）A．B．C．6D．4【答案】B【解析】设球的半径为，则，又正三棱柱的高为，设底面正三角形的外接圆半径为，，故，解得，由正弦定理得底面等边三角形的边长为，则这个正三棱柱的体积为.故选：B.【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）如图，在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，且，则该正四棱柱的外接球表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD，∴∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，∴tan∠D1BD＝，∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为，∴BD＝，∴正四棱柱的高h＝×＝∴正四棱柱的外接球半径为R＝∴正四棱柱的外接球表面积为S＝4πR2＝．故选：D．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式4-3】（2023·江西·高三校联考阶段练习）某灯笼厂的员工用一条长度为的木条设计了一个正六棱柱型的灯笼框架（木条无剩余），则当正六棱柱的外接球的表面积取最小值时，该正六棱柱的侧面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，所有的棱长之和为，即，则，设正六棱柱的外接球半径为，底面外接圆的半径为，则，所以，所以当时，此时，取得最小值，即正六棱柱的外接球的表面积取最小值，所以正六棱柱的侧面积为.故选：C.【题型5棱锥垂面模型的外接球】满分技巧如图，平面，求外接球半径．第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；②．【例5】（2024·浙江温州·温州中学校考一模）三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】如图，点为外接圆的圆心，过点作平面的垂线，点为的中点，过点作线段的垂线，所作两条垂线交于点，则点为三棱锥外接球的球心，因为平面，且为等边三角形，，所以四边形为矩形，，，所以，即三棱锥外接球的半径，则该三棱锥外接球的表面积为.故选：B【变式5-1】（2024·河南南阳·高三统考期末）在三棱锥中，，，，则当该三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设点到底面的距离为，则，要使该三棱锥的体积最大时,则需达到最大值，即,即,面，所以的斜边的中点为外接圆圆心，因为，，所以,如图所示，易得四边形为矩形，所以，令棱锥外接球半径为R，设，则即，解得，所以,解得，所以该三棱锥的外接球表面积为.故选：C.【变式5-2】（2023·内蒙古鄂尔多斯·高三期末）已知都在球的球面上，且平面．则该球的体积为．【答案】学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】如图设外接圆的圆心为，连接取中点为，连接，则平面，因为，所以，所以四边形为矩形，所以，在中，，由正弦定理得，所以球O的半径，所以.【变式5-3】（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知三棱锥中，，．若的中点分别为，且满足．当三棱锥的体积最大时，其外接球体积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】取线段中点，连接，因为，，则，又面，所以面，又面，所以，又因为的中点分别为，所以，又因为，所以，又面，所以面，又，当，即时三棱锥的体积最大，故此时三条线两两垂直，其外接球半径为，外接球体积为.故选：B.【题型6棱锥切瓜模型的外接球】学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 满分技巧对于平面⊥平面，（为小圆直径）、第一步：由图知球心必为的外心，即在大圆面上，先求小圆面直径的长；第二步：在中，可根据正弦定理，解出【例6】（2024·广东·惠州一中校联考模拟预测）已知三棱锥，是以为斜边的直角三角形，为边长是2的等边三角形，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，过该点作一条垂直于平面的直线．因为平面平面，所以所作直线在平面内，且经过等边三角形的中心，所以等边三角形的中心就是三棱锥外接球的球心，所以外接圆的半径也是三棱锥外接球的半径．由正弦定理知，(是的外接圆的半径)，即，所以，于是三棱锥外接球的半径为，故三棱锥外接球的表面积为．故选：A．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式6-1】（2022·全国·模拟预测）已知四棱锥中，底面为边长为3的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，在四棱锥中，取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过作两个平面的垂线交于点，则由外接球的性质知，点即为该球的球心，连接并延长，交教AB于E,则E线段的中点，连接，则四边形为矩形.在等边中，可得，则，即，在正方形中，因为，可得，在中，，即，所以四棱锥外接球的表面积为.故选：B.【变式6-2】（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥中，与都是边长为4的正三角形，且平面平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为．【答案】【解析】取AB，CD的中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，如图所示由题意知，，，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，所以，设外接球的半径为R，连接OA，OC，则有，所以，，所以，又，则，，所以该三棱锥外接球的表面积为．【变式6-3】（2024·云南楚雄·彝族自治州民族中学模拟预测）在三棱锥中，平面平面学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，底面是边长为3的正三角形，，若该三棱锥的各个顶点均在球上，且该三棱锥的体积为，则球的半径为.【答案】【解析】连接点与中点，由，故，由平面平面，平面平面，平面，故平面，故是三棱锥的高，则，即，取底面外接圆圆心，连接，则有平面，连接、、、，令球的半径为，，，则有，即，即，故，即.【题型7共斜边拼接模型的外接球】满分技巧如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．【例7】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）如图，在四面体中，，，则四面体外接球的表面积为（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】B【解析】由题设，若是中点，又，故，所以是四面体外接球的球心，且半径为，所以外接球的表面积为.故选：B【变式7-1】（2022·全国·高三专题练习）三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为【答案】1【解析】因为，，故是公共的斜边，的中点是球心，球半径为．【变式7-2】（2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知．∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，∴外接球的半径，则．故选：C.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式7-3】（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把折起，则三棱锥D-ABC的外接球表面积等于（）A．B．C．D．不确定的实数【答案】B【解析】设矩形的边长分别为、，则，所以矩形周长，，，当且仅当时取等号，矩形周长最小时，，，，因为外接球的半径，外接球表面积．故选：B．【题型8二面角模型的外接球】满分技巧两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠第一步：先画出如图所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接；第三步：解，算出，在中，勾股定理：注：易知四点共面且四点共圆，证略.【例8】（2024·广东湛江·高三统考期末）已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】在三棱锥中，平面，由二面角为，，得是正三角形，令其外接圆圆心为，则，令三棱锥外接球的球心为，球半径为，则平面，即有，显然球心在线段的中垂面上，令线段的中垂面交于，则，显然，于是，四边形是平行四边形，且是矩形，而，因此，所以三棱锥外接球的表面积.故选：C【变式8-1】（2024·山东德州·高三统考期末）在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，取的中点，连接，，由题意，，所以，所以为二面角的平面角，所以，因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，所以，为外接圆的圆心，又是边长为2的等边三角形，所以，过点作与平面垂直的直线，则球心在该直线上，设球的半径为，连接，可得，在中，，利用余弦定理可得，所以，解得，所以外接球的表面积为.故选：A.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式8-2】（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，因为，，所以，因为，所以为等边三角形，所以.取的中点D，连接和，则为二面角的平面角，即.因为为直角三角形，所以D为的外心.设的外心为，过点D作平面的垂线，过点作平面的垂线，则交点为球心，连接，.设三棱锥外接球的半径为R.在中，，由已知得，在中，由余弦定理得，即，解得，故三棱锥外接球的表面积为.故选：C.【变式8-3】（2022·河南·高三校联考期末）在边长为1的菱形中，将沿折起，使二面角的平面角等于，连接，得到三棱锥，则此三棱锥外接球的表面积为.  【答案】【解析】取的中点，连接，因为为菱形，所以即为二面角的平面角，因为，所以和均为正三角形，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 取靠近的三等分点，取靠近的三等分点，过点作平面，过点作平面，交于点，则为三棱锥外接球的球心，连接，由对称性知，则，，因为，所以，所以外接球的半径，所以外接球的表面积为.【题型9棱锥的内切球问题】满分技巧三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法）方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为，建立等式：第三步：解出【例9】（2022·福建·高三校联考阶段练习）已知正三棱锥中，侧面与底面所成角的正切值为，，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为三棱锥为正三棱锥，底面边长为6，且侧面与底面所成角的正切值为，所以可得正三棱锥的高，侧面的高；设正三棱锥底面中心为，其外接球的半径为，内切球半径为，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 则有，也即，解得：，正三棱锥的体积，也即，解得：，所以，故选：B.【变式9-1】（2023·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知正四棱锥内切球的半径为，且，则正四棱锥的体积是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在正四棱锥中，连接，，，连，则平面，设，则，由等体积法可得，故，解得，故故选：D．【变式9-2】（2023·贵州铜仁·高三统考期末）已知正四棱锥的体积为，则该正四棱锥内切球表面积的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，在正四棱锥中，M、N分别是线段的中点，该正四棱锥内切球的大圆是的内切圆．圆心为E．设，则圆E的半径．．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 于是，正四棱锥的体积为，即有，所以，此时，该正四棱锥内切球的表面积．，即．当，即时取等号，故．故选：A．【变式9-3】（2024·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）在三棱锥中，两两互相垂直，，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球半径为.【答案】【解析】设，则，由题意知两两互相垂直，可得三棱锥的体积为，令，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故当时，取到最大值，此时三棱锥的体积取得最大值，设此时三棱锥的内切球的半径为r，则，则，则即，解得.【题型10圆柱与圆锥的切接问题】满分技巧1、圆锥的内切球：学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆为内切球的大圆，内切圆的半径即为内切球的半径，设圆锥底面半径为r，高为ℎ，则S∆PAB=12×2r×ℎ=rℎ，C∆PAB=2r+2ℎ2+r2，所以R=2S∆PABC∆PAB=rℎr+ℎ2+r22、圆柱的内切球：不是所有的圆柱独有内切球，只有当圆柱的高ℎ与圆柱的底面半径r满足ℎ=2r，即圆柱的轴截面为正方形时，才有内切球，此时内切球的半径为圆柱的底面半径r.3、求圆柱与圆锥的外接球的方法主要通过轴截面来解决。【例10】（2022·北京昌平·高三昌平一中校考阶段练习）古希腊阿基米德被称为“数学之神”.在他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球，这个球的直径恰好等于圆柱的高，则球的表面积与圆柱的表面积的比值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设球半径为，则圆柱底面半径为，圆柱的高为，则，所以，故选：B.【变式10-1】（2024·山西运城·统考一模）已知圆锥的高为，其顶点和底面圆周都在直径为的球面上，则圆锥的体积为.【答案】【解析】取圆锥的轴截面如图所示：设圆锥的外接球为球，易知，且，，则，故圆锥的底面半径为，因此，该圆锥的体积为.【变式10-2】（2024·陕西安康·陕西省安康中学校联考模拟预测）已知底面半径为2的圆锥的侧面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，设圆锥的母线长为，由圆锥的侧面积公式，得，解得，所以圆锥的高为．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 设圆锥的外接球半径为，则在中，由勾股定理，，解得，所以该圆锥的外接球的表面积为．故选：D．【变式10-3】（2024·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥内切球的体积为．【答案】【解析】如图所示，圆锥与内切球的轴截面图，设点O为球心，内切球的半径为，为切点，则，因为圆锥的底面半径为2，高为，可得，且，在中，可得，即，解得，所以该圆锥内切球的体积．【题型11圆台与棱台的切接问题】满分技巧球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主【例11】（2024·广东深圳·统考一模）已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）A．B．C．D．【答案】C学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】如图，设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心O一定在的中点处，设球O与母线切于M点，所以，所以，所以与全等，所以，同理，所以，过A作，垂足为G，则，，所以，所以，所以，所以，所以该圆台的体积为.故选：C【变式11-1】（2024·河北·高三校联考期末）（多选）已知圆台上､下底面半径分别为1，2，且上下底面圆周均在半径为的球的球面上，则该圆台的体积可能为（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】设圆台外接球球心为，球心到上，下底面的距离为，则，解得，同理可得，若位于上下底面之间，则圆台的高为，此时圆台体积为，若位于下底面下方，则圆台的高为，此时圆台体积为.故选：AC．【变式11-2】（2023·江苏·高三海安高级中学校联考阶段练习）若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为，，侧面积为S，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设小球半径为R，因为一个小球与一个四棱台的每个面都相切，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以四棱台的体积等于以球心为顶点，以四棱台的上、下底面和四个侧面为底面的六个四棱锥的体积之和，其高都是球的半径R，且棱台的高是2R，则四棱台的体积为，得，即，故选：C【变式11-3】（2024·山东济南·高三济南一中校联考开学考试）在正三棱台中，、，直线与底面所成的角为，则该三棱台的体积为，该三棱台的外接球的表面积为.【答案】；【解析】记分别是的中心，过作交于点，如图，则由正三棱台的结构特征可知底面，所以底面，所以为侧棱与底面所成角的平面角，故，在中，由正弦定理得，即，，在中，，即，，所以在中，，则该三棱台的高为，所以该三棱台的体积为.连接，则，所以为正三棱台的外接球的球心，且外接球的半径，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以该三棱台的外接球的表面积.【题型12球与球的相切问题】【例12】（2022·全国·高三专题练习）已知有大、小两个球外切．若大球与某正四面体的所有棱都相切，小球与该正四面体的三条侧棱都相切，记大球与小球的半径分别为，则．【答案】【解析】如图，设正四面体的棱长为，因为大球与所有的棱都相切，取中点，取底面的中心，记大球的球心为，则在上，，作，易知，所以，因为小球与该正四面体的三条侧棱都相切，记小球球心为，作，则，因为，，所以，，，所以，所以.【变式12-1】（2023·全国·模拟预测）空间中有四个球（记作球，球，球，球），它们的半径分别是，，，（且），每个球都与其余三个球外切，另有一个半径为的小球（记作球与这四个球都外切，若四面体的体积为，则四面体的外接球的表面积为．【答案】【解析】连接四个球的球心，，，，得到一个四面体，如图所示．由题意可知，，，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 设球的半径为，则．如图1，取，的中点分别为，，则球的球心必在上．因为，，，由，得①．因为四面体的体积为，所以，所以②．联立①②可得，两边平方，得，整理，得，两边平方，得，整理，得，把代入得，可得或（舍），所以，．于是，，，．如图2，过点作，垂足为，取的外心为，过点作，则四面体的外接球的球心为，连接，设的外接圆的半径为，则，解得．设四面体的外接球的半径为，则，整理，得，即，解得，所以其外接球的表面积．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式12-2】（2023·山东济南·高三省实验中学校考阶段练习）棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题，当球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球的球心为，半径为R，空隙处最大球的球心为，半径为，为的中心，得平面，为中点，球和球分别和平面相切于，，在底面正三角形中，易求，，，又，由，即得，又，，，，又，可得即，即球的最大半径为.故选：C.【变式12-3】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，取的中点，连接，，则，，过点作⊥底面，垂足在上，且，所以，故，点为最大球的球心，连接并延长，交于点，则⊥，设最大球的半径为，则，因为∽，所以，即，解得，即，则，故设最小球的球心为，中间球的球心为，则两球均与直线相切，设切点分别为，连接，则分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为，则，则，又，所以，解得，又，故，解得，所以，模型中九个球的表面积和为.故选：B（建议用时：60分钟）1．（2024·重庆长寿·高三统考期末）将棱长为2的正方体木块做成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将棱长为2的正方体木块做成一个体积最大的球,学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 则该球为正方体的内切球，故球的半径为，则球的表面积为.故选：C.2．（2023·全国·模拟预测）在直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球的表面积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设的外接圆半径为，直三棱柱外接球的半径为．由正弦定理，得，所以，又因为侧面的面积为，所以，所以，而，所以，当且仅当，即时，取得最小值，所以直三棱柱外接圆的表面积的最小值．故选：B．3．（2024·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将三棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，如图，的中点即为外接球的球心，为直径，由勾股定理得，故半径为，球的表面积为.故选：B4．（2022·全国·模拟预测）已知正四面体的内切球半径为1，则外接球半径为（）A．B．C．2D．3【答案】D【解析】如图，为中点，，设在底面的投影为，为的中心，，设正四面体棱长为，则，，，正四面体的体积为，正四面体的表面积为，体积为，设正四面体的内切球半径为，设为内切球的球心，所以，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 即，则有，即，解可得，因为正四面体的内切球半径为1，所以，解得：，若四面体的外接球的球心为，则外接球半径，解得.故选：D.5．（2023·全国·高三校联考阶段练习）若正四棱锥体积为，内接于球O，且底面过球心O，则该四棱锥内切球的半径为（）A．B．4C．D．【答案】A【解析】因为正四棱锥内接于球O，且底面过球心O，设球的半径为，所以，所以，于是正四棱锥的体积，解得，所以正四棱锥的表面积，设正四棱锥内切球的半径为，则，解得.故选：A.6．（2024·重庆·高三统考期末）将一副三角板排接成平而四边形ABCD（如图），，将其沿BD折起，使得而ABD⊥面BCD．若三棱锥A-BCD的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】由题意得，，因为面面BCD，面面BCD，且，面，则面，因为面，所以，又因为，面，且，所以平面，因为平面，所以，取中点为，则，则球心即为中点，而，则球的半径为，则球O的表面积为，故选：C.7．（2024·福建福州·高三长乐第一中学校考阶段练习）在三棱锥中，侧棱，则其外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设的外接圆半径为，由正弦定理：，解得：，过点作平面，垂足为，分别连接，因，故，即点是的外心，则依题，三棱锥的外接球球心必在直线上，连接，不妨设外接球半径为，则,在中，由勾股定理，，解得：故外接球的表面积为故选：B.8．（2023·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）某厨房用品“升”可看作是一棱台其上底面、下底面均为正方形，且，外接球的表面积为，则该“升”的体积为（）A．448B．或448C．或224D．或448【答案】D【解析】连接，交于点，连接，交于点，连接，则由球的几何性质可知，“升”的外接球的球心必在直线上，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 由题意可得，，设球的半径为，由，得．连接，，在中，，即，得．在中，，即，得．当球心在线段上时，，则该“升”的体积；当球心在线段的延长线上时，，则该“升”的体积为．故选：D．9．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校考阶段练习）一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计）的上底面半径为2，下底面半径为12，母线与底面所成的角为.在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方体，则此正方体棱长的最大值是（）A．B．8C．D．10【答案】B【解析】如图所示，由题意知，母线与底面所成的角，可得，设圆台内能放置的最大球的球心为，且与底面和母线分别切于两点，可知球的半径，此时球的直径为，即此时球与圆台上底面不相切，因此圆台内能放置的最大球的直径为；若放置一个可以任意转动的正方体，要求正方体棱长最大，需要正方体的中心与球心重合，且该球是正方体的外接球，设正方体的最大棱长为，满足，解得.故选：B.10．（2023·陕西西安·统考一模）将平面内等边与等腰直角（其中为斜边），沿公共边折叠成直二面角，若，且点在同一球的球面上，则球的表面积为.【答案】【解析】如图所示取中点，连接，根据题意易知，又为等腰直角三角形，为等边三角形，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以可知，易知点在直线上，设，球半径为R，所以，故外接球的表面积为.11．（2024·全国·模拟预测）在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为．【答案】【解析】如图，取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，，设，内切球半径为r，因为，棱台的高为2r，所以，，同理．因为内切球与平面相切，切点在上，所以①，在等腰梯形中，②，由①②得．在梯形中，③，由②③得，代入得，则棱台的高，所以棱台的体积为．12．（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面，若该三棱锥的外接球表面积为，则.【答案】2【解析】依题意，作出三棱锥的直观图，如图，不妨记，因为该三棱锥的外接球表面积为，设该外接球的半径为，则，解得，因为，所以是外接圆的直径，即，因为是等边三角形，记外接圆的直径为，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 则，因为平面平面，两者交线为，即，所以由，得，解得，记的中点为，连接，因为是等边三角形，所以，又平面平面，两者交线为，平面，所以平面，又平面，所以，在等边中，，则，在中，，所以在，.13．（2024·广东深圳·高三统考期末）已知菱形的边长为2，且，将沿直线翻折为，记的中点为，当的面积最大时，三棱锥的外接球表面积为.【答案】【解析】根据题意可知，如下图所示：当的面积最大时，即取得最大值，可得，由对称性可知，可得；又因为为的中点，所以，又，由勾股定理可知棱两两垂直，所以三棱锥的外接球半径为，可得该外接球的表面积.14．（2024·广东广州·华南师大附中校考二模）在三棱锥中，侧面底面是等腰直角三角形，且斜边，，则三棱锥的外接球的表面积为．【答案】【解析】方法一：设球心为，如图①，取线段的中点，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 过点作直线平面，则易知球心在直线上．连接，设外接球的半径是，则．因为侧面底面，过点作于，连接，则由面面垂直的性质定理知，平面，所以．过点作（或的延长线）于，则四边形是矩形．又由题意易知，是的中点，，而，则，所以，在Rt中，由，所以，化简得，解得，所以．方法二：如图②，调换视图角度，将平面作为底面，由题意知，平面．设的外心为点，过点作直线平面，则．取的中点，在平面内过点作的垂直平分线，交直线于点，则点为所求外接球的球心，在中，利用正弦定理，得．在等腰三角形中，，得，所以，所以，所以所求外接球的半径，所以．15．（2023·江苏·高三白蒲高级中学校联考阶段练习）如图，若圆台的上、下底面半径分别为且，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为.【答案】学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心O一定在的中点处,设球O与母线切于M点,所以，所以(R为球O的半径),所以与全等,所以,同理，所以，，所以，所以圆台的内切球半径，内切球的表面积为.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司