四川省眉山市仁寿县两校2023-2024学年高二下学期开学联考数学试题（解析版）.docx

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高2022级仁寿县第四学期开学联考试卷数学试题第I卷（选择题）一、单选题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）1.双曲线的左焦点到右顶点的距离为（）A.1B.2C.4D.5【答案】D【解析】【分析】从标准方程中求出基本量后可得题设中的距离.【详解】左焦点到右顶点的距离为.故选：D.2.已知直线：，下列说法正确的是（）A.倾斜角为B.倾斜角为C.方向向量可以是D.方向向量可以是【答案】A【解析】【分析】根据直线方程求出其斜率，进而求出倾斜角，再利用直线的方向向量的概念判断.【详解】因为直线的方程为，所以直线的斜率，又，所以直线的倾斜角为，故A正确，B错误；对于C，若直线的方向向量为，则斜率为，与题意矛盾，故C错误；对于D，若直线方向向量为，则斜率为，与题意矛盾，故D错误.故选：A.3.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为(　　)A.0.4B.0.6C.0.8D.1【答案】B第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【详解】件产品中有件次品，记为，，有件合格品，记为，，，从这件产品中任取件，有种，分别是，，，，，，，，，，恰有一件次品，有种，分别是，，，，，，设事件“恰有一件次品”，则，故选B．考点：古典概型．4.在等差数列中，，则前17项的和（）A.17B.27C.34D.51【答案】D【解析】【分析】根据等差数列前n项和公式，即可求解.【详解】解：，故选：D.5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲最后获胜的频率.【详解】因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局且第七局胜，甲才能最后获胜，所以甲最后获胜的概率为.故选：C6.已知，下列命题正确的是（）A.若到距离之和为，则点的轨迹为椭圆第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 B.若到距离之差为，则点的轨迹为双曲线C.椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积是D.渐近线为且过点的双曲线的焦点是【答案】C【解析】【分析】直接利用椭圆定义和双曲线定义，直线的斜率，渐近线的应用逐个判断选项即可.【详解】对于A，若到距离之和为，即，则点的轨迹为线段，A错误；对于B，若到距离之差为，即，又，则点的轨迹为双曲线的一支，故B错误；对于C，椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积：，C正确；对于D，渐近线为且过点的双曲线方程为，双曲线过点，则，故双曲线方程为，故焦点坐标为和，故D错误.故选：C7.已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是A内切B.相交C.外切D.相离第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【答案】B【解析】【详解】化简圆到直线的距离，又两圆相交.选B8.法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】找过右顶点的切线和过上顶点的切线，从而可知这两条切线的交点在蒙日圆上，进而建立的方程，即可求解.【详解】如图所示，分别与椭圆相切，显然所以点C一定在其蒙日圆上，所以，所以，故椭圆的离心率为.故选：C.二、多选题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 9.下列说法中，正确的有（）A.过点且在，轴截距相等的直线方程为B.直线的纵截距是．C.直线的倾斜角为60°D.过点并且倾斜角为90°直线方程为【答案】BD【解析】【分析】根据直线的截距的定义，倾斜角和斜率的关系，结合直线的方程，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】A：因为直线也过点且在，轴截距相等，故错误；：对直线方程，令，可得，则其纵截距为，故B正确；C：直线的斜率，设其倾斜角为，则，又，故该直线的倾斜角为，故C错误；D：过点并且倾斜角为90°的直线为，故正确.故选：.10.对于直线和直线，以下说法正确的有（）A.直线一定过定点B.若，则C.的充要条件是D.点到直线的距离的最大值为5【答案】ABD【解析】【分析】求出直线所过定点判断A；利用垂直关系计算判断B；由两直线不相交求出判断C；求出直线所过定点，并求出它与点的距离判断D.【详解】对于A，变形为，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 令，解得，因此直线一定过定点，A正确；对于B，若，则，解得，B正确；对于C，当与不相交时，，解得或，当时，直线与平行，当时，直线与平行，因此当时，或，C错误；对于D，直线恒过点，点到直线的距离的最大值为间距离，而，D正确.故选：ABD11.椭圆的离心率为，短轴长为，则（）A.椭圆的方程为B.椭圆与双曲线的焦点相同C.椭圆过点D.直线与椭圆恒有两个交点【答案】ACD【解析】【分析】根据椭圆离心率公式、短轴长定义，结合双曲线焦点公式、代入法、直线点斜式方程性质逐一判断即可.【详解】因为椭圆的短轴长为，所以有，而椭圆的离心率为，所以，所以可得：..第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 A：因为，所以该椭圆的标准方程为：，因此本选项正确；B：由，该双曲线的焦点在纵轴上，而椭圆的焦点在横轴，所以本选项说法不正确；C：因为，所以点在该椭圆上，因此本选项说法正确；D：直线恒过点，而，所以点在椭圆内部，因此直线与椭圆恒有两个交点，所以本选项说法正确，故选：ACD12.在直角坐标系中，已知点，直线，过外一点作的垂线，垂足为，且，记动点的轨迹为，过点作的切线，该切线与轴分别交于两个不同的点，则下列结论正确的是（）A.动点的轨迹方程为B.当时，三点共线C.对任意点（除原点外），都有D.设，则的最小值为4【答案】ABC【解析】【分析】根据抛物线的定义易得点的轨迹方程，得A项；利用求得点和点第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 坐标，再求出过点的切线方程，得到点，即可判断B项；设出过点得切线方程，利用判别式推得，将点坐标用表示，斜率判断即得C项；利用抛物线定义转化，利用三点共线时距离之和最小即得D项.【详解】易知动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以的方程为，故选项A正确；当时，记点，由，所以.不妨设，则.设过点的切线方程为，联立方程组消去得：.由解得：，所以过点的切线方程为且，因，所以三点共线，故选项B正确；设过点的切线方程为，联立方程组消去得：，由可得：.因为，所以，化简得：.则，故，又，故，所以，故选项C正确；因为，点为抛物线上任一点，故当且仅当三点共线时，最小，即的最小值为点到直线的距离，所以，故选项D错误.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 故选：ABC.三、填空题（本题共4道小题，共20分）13.已知数列满足，则数列的通项公式为__________.【答案】【解析】【分析】根据等差数列定义写出的通项公式，进而可得的通项公式.【详解】由题设是首项、公差均为1的等差数列，则，故.故答案为：14.已知直线（）与直线互相平行，且它们之间的距离是，则______.【答案】0【解析】【分析】根据两直线平行求出n，由两直线间的距离是求出m，即可得到.【详解】因为直线（）与直线互相平行，所以且.又两直线间的距离是，所以，因为，解得：.所以.故答案为：015.过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____．【答案】【解析】第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【详解】试题分析：设A，B，则①，②，∵M是线段AB的中点，∴，∵直线AB的方程是，∴，∵过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即．考点：椭圆的简单性质16.已知抛物线C：的焦点为F，过点F作斜率大于0的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，，则的面积为____________．【答案】##【解析】【分析】易得点的坐标，设直线的方程，与抛物线方程联立求出韦达定理，结合求出参数的值，代入三角形面积公式即可求解.【详解】因为抛物线的方程为：，所以焦点为，设直线的方程为：，，由，消整理得：，所以，所以，因为，所以，所以，代入，解得：，所以.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：四、解答题（本题共6道小题，共70分）17.甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果，算甲赢，否则算乙赢．（1）求的概率；（2）这种游戏规则公平吗？请说明理由．【答案】（1）（2）这种游戏规则不公平，理由详见解析【解析】【分析】(1)列出摸球结果（a，b）全部可能的结果，再找出满足的结果，最后根据古典概型的概率计算公式可得；(2)设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件，再分别计算和，就可判断.【小问1详解】摸球结果（a，b）全部可能的结果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种，其中的结果为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种，故由古典概型的概率计算公式可得；【小问2详解】这种游戏规则不公平，理由如下：设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件，由题意事件A包含的基本事件（1，5），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共15个，由古典概型的概率计算公式可得，∴，∵，故这种游戏规则不公平．18.圆的圆心在直线上，且与直线相切于点.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 （1）试求圆的方程；（2）从点发出的光线经直线反射后可以照在圆上，试求入射光线所在直线的斜率的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出过且与直线垂直的直线方程，结合圆心在直线，联立求出圆心坐标和半径，得到所求圆的方程；（2）求出圆关于直线对称的圆的方程，设出入射光线的方程，利用点到直线距离小于等于半径列出不等式，求出答案.【小问1详解】设过且与直线垂直的直线方程为，故，解得，故，∵圆心在直线上，∴由，即圆心且半径为，∴所求圆的方程为：.【小问2详解】圆关于直线对称的圆为，设入射光线为，化简得，由，解得，所以入射光线所在直线的斜率取值范围为.19.设数列{an}的前n项和为Sn，点(n，)(n∈N＋)均在函数y＝3x－2的图象上．第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 （1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N＋都成立的最小正整数m.【答案】（1）an＝6n－5(n∈N＋)；（2）m=10.【解析】【分析】（1）根据题意得到Sn＝3n2－2n.，然后利用求解.（2）由（1）得到bn＝＝(－)，然后利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）依题意得：＝3n－2，即Sn＝3n2－2n.，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5＝1，满足上式．所以an＝6n－5(n∈N＋)．（2）由（1）得bn＝＝＝(－)，故Tn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)．因为Tn<对所有n∈N＋都成立，即(1－)<(n∈N＋)成立，所以≤，解得m≥10，故满足要求的最小正整数m=10.【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，②等比数列的前n项和公式；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．20.设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设的前项和为，，，①，②①②得，，.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.21.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．在如图所示的第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 “阳马”中，侧棱底面ABCD，．记的重心为G．（1）求点G到平面PBC的距离．（2）求平面GBD与平面PBC夹角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据长方形的性质，结合线面垂直的性质建立空间直角坐标系，利用空间点到面距离公式进行求解即可；（2）利用空间夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为底面为长方形，所以，又因为底面ABCD，底面ABCD，所以，以点A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系则所以重心设平面PBC的法向量为第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 所以点G到平面PBC的距离为：【小问2详解】，设平面GBD法向量为设平面GBD与平面PBC的夹角为，则．22.已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，.（Ⅰ）求直线的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【详解】（Ⅰ）由已知有，又由，可得，，设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有，解得.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 （Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为（Ⅲ）设点的坐标为，直线的斜率为，得，即,与椭圆方程联立，消去，整理得，又由已知，得，解得或，设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.①当时，有，因此，于是，得②当时，有，因此，于是，得综上，直线的斜率的取值范围是考点：1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司