四川省眉山市仁寿第一中学南校区2023-2024学年高二下学期3月月考数学Word版含解析.docx

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高2022级仁寿一中南校区2024年春入学考试数学试题一、选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分）1.直线的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为，进而根据斜率与倾斜角关系求解即可.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：，所以直线的斜率为，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为.故选：C2.若甲、乙、丙三人排队，则甲不排在第一位的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先列举出所有基本事件，再找出甲不排在第一位的基本事件，由古典概型求解即可.【详解】甲、乙、丙三人排队的可能顺序有甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲共6种情况，其中甲不排在第一位的有4种情况，则甲不排在第一位的概率为.故选：D.3.在等差数列中，，则的值是（）A.36B.48C.72D.24【答案】A【解析】【分析】利用等差中项的性质求得，再由即可得结果.【详解】由题设，，则， 所以.故选：A4.已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（　）A.相离B.相交C.内切D.外切【答案】D【解析】【分析】利用圆心距跟半径的和差关系，判断圆与圆的位置关系.【详解】圆心距，所以两圆外切.故选：D5.若点是抛物线上一点，且点到焦点的距离是它到轴距离的3倍，则的中点到轴距离等于（）A.1B.C.2D.3【答案】B【解析】【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离建立等量关系，求出点横坐标，再求出的中点横坐标，则的中点到轴距离可求.【详解】解：抛物线的准线方程为，，由抛物线的定义，得点到焦点的距离等于点到准线的距离，则，解得.所以的中点的横坐标为，所以的中点到轴距离等于.故选：B.6.已知直线：与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】画出图像,当直线过点时,求出值;当直线与曲线相切时.求出,即可得出的取值范围.【详解】画出如下图像：当直线过点时,,此时直线与曲线有两个公共点;直线与曲线相切时,,因此当时，直线与曲线有两个公共点.故选B【点睛】本题考查了直线与圆相切时满足的关系,以及点到直线的距离公式,考查了数形结合的数学思想,准确判断出曲线方程所表示曲线形状,且根据题意画出图形是解决问题的关键,属于中档题.7.设等差数列的前n项和为，满足，，则（）A.B.的最大值为C.D.满足的最大自然数n的值为23【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的前项和公式可得，结合即可得出结果.【详解】设等差数列的公差为由， 可得，整理可得，由所，即，故A错误；根据，则数列递减数列，，即，则前项或前项的和最大，故B错误；C正确；所以，即，解得，满足的最大自然数n的值为22，故D错误；故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式、数列的单调性，属于基础题.8.已知双曲线（a、b均为正数）的两条渐近线与直线围成的三角形的面积为，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.2【答案】D【解析】【分析】首先得到双曲线的渐近线方程，再令，即可得到、坐标，再根据面积公式求出，最后由离心率公式计算可得；【详解】解：双曲线的渐近线为，令，可得，不妨令，，所以，所以，，即，所以，所以；故选：D 二、多选题（本题共4道小题，每小题4分，共20分）9.对于直线.以下说法正确的有（）A.的充要条件是B.当时，C.直线一定经过点D.点到直线的距离的最大值为5【答案】BD【解析】【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.【详解】当时，解得或，当时，两直线为，符合题意；当时，两直线为，符合题意，故A错误；当时，两直线为，，所以，故B正确；直线即直线，故直线过定点，C错误；因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为，故D正确，故选：BD.10.下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】AD【解析】 【分析】对于AB，根据对数函数和余弦函数的求导公式判断即可，对于C，根据指数函数的求导公式即可，D选项根据幂函数的求导公式即可.【详解】对A，若，则，正确对B，若，则，错误；对C，，则，错误；对D，若，则，正确.故选：AD.11.设，为两个随机事件，以下命题正确的为（）A.若，是互斥事件，，，则B.若，是对立事件，则C.若，是独立事件，，，则D.若，，且，则，是独立事件【答案】BCD【解析】【分析】利用互斥事件与相互独立事件的性质逐一判断即可【详解】对于A：若，是互斥事件，，，则，故A错误；对于B：若，是对立事件，则，故B正确；对于C：若，是独立事件，，，则，也是独立事件，则，故C正确；对于D：若，，则且，则，是独立事件，故，也是独立事件，故D正确；故选：BCD12.在棱长为的正方体中，则（） A平面B.直线平面所成角为45°C.三棱锥的体积是正方体体积的D.点到平面的距离为【答案】AC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量解决角度距离问题.【详解】正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，.，，，，，得，，由平面，，∴平面，A选项正确；，，设平面的一个法向量，则有，令，得，，则，，所以直线平面所成角不是45°，B选项错误； 为边长为的等边三角形，，点到平面的距离，三棱锥的体积，而棱长为的正方体的体积为，所以三棱锥的体积是正方体体积的，C选项正确；，，设平面的一个法向量，则有，令，得，，则，，点到平面的距离为，故D选项错误.故选：AC三、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知等比数列中，，，则________【答案】16【解析】【分析】将等比数列的通项公式代入，中，可得，再求的值。【详解】，，，，故答案为：.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量运算，考查运算求解能力，求解时注意广义通项公式的应用.14已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______【答案】【解析】【分析】由向量在向量上的投影向量为,，计算即可求出答案． 【详解】向量，，则，，，所以向量在向量上的投影向量为,,0,,0,，故答案为：．15.直线与圆相交于两点，且，则实数的值等于______．【答案】【解析】【分析】先根据圆心到直线距离与弦长一半的平方和等于半径的平方，求出圆心到直线距离，再根据点到直线的距离公式即可得出结果。【详解】解：由题知，圆的圆心为，半径为1，因为，所以圆心到直线的距离，因为直线，所以，解得，故答案为：16.已知是椭圆的左，右焦点，上两点满足，则的离心率为_________．【答案】【解析】【分析】根据所给线段的长度关系及椭圆的定义，求出的边长，利用余弦定理求，在中再由余弦定理即可求出离心率.【详解】如图， 因为，所以可设，又，所以，由椭圆定义，，即，又，即B点为短轴端点，所以在中，，又在中，，解得或（舍去）.故答案为：四、解答题（本题共6道小题，第1题10分，第2题12分，第3题12分，第4题12分，第5题12分，第6题12分，共70分）17.已知某区甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数分别为240，160，80．为助力疫情防控，现采用按比例分配分层抽样的方法，从这三所学校的教师志愿者中抽取6名教师，参与“抗击疫情·你我同行”下卡口执勤值守专项行动．（1）求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数；（2）设抽出的6名教师志愿者分别记为，，，，，，现从中随机抽取2名教师志愿者承担测试体温工作．①写出本次实验的样本空间；②设为事件“抽取的2名教师志愿者来自同一所学校”，求事件发生的概率． 【答案】（1）分别抽取3人，2人，1人；（2）①见解析；②.【解析】【分析】（1）由已知，甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为，进而计算可得相应的人数；（2）①列举随机抽取2名教师志愿者的所有结果共15种；②随机抽取的2名教师来自同一学校的所有可能结果为，，，，，，，，共4种，由概率公式可得．【详解】解：（1）由已知，甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为由于采用分层抽样的方法从中抽取6名教师，因此应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取3人，2人，1人；（2）①从抽出的6名教师中随机抽取2名教师的所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共15种．②由①，不妨设抽出的6名教师中，来自甲学校的是，，，来自乙学校的是，，来自丙学校的是，则从抽出的6名教师中随机抽取的2名教师来自同一学校的所有可能结果为，，，，，，，，共4种．所以，事件发生的概率．18.已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为．（1）求圆的方程；（2）从圆外一点向圆引切线，求切线方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出圆的半径，由此可得出圆的方程；（2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在第一种情况下，写出切线方程，直接验证即可；在第二种情况下，设出切线方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，由此可得出所求切线的方程. 【小问1详解】解：圆心到直线的距离为，所以，圆的半径为，因此，圆的方程为.【小问2详解】解：当切线的斜率不存在时，则切线的方程为，且直线与圆相切，合乎题意；当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，由题意可得，解得，此时，切线的方程为.综上所述，所求切线的方程为或.19.在数列{an}中，．（1）求出，猜想的通项公式；并用数学归纳法证明你的猜想．（2）令，为数列的前n项和，求．【答案】（1），，，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）代入计算即可得到，按照数学归纳法的步骤证明即可；（2），再利用错位相减法即可.【小问1详解】∵，∴ 因此可猜想:；当时，，等式成立，假设时，等式成立，即，则当时，，即当时，等式也成立，综上所述，对任意自然数，.【小问2详解】，①②由①-②得：20.已知椭圆C：离心率为，左顶点坐标为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设点，问：直线BM，BN的斜率之和是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由．【答案】（1）（2）为定值，定值为-2【解析】 【分析】（1）由题意，先求得a值，根据离心率，可得c值，根据a，b，c的关系，可得的值，即可得答案.（2）当直线l斜率存在时，设直线l：，与椭圆联立，根据韦达定理，可得的表达式，根据斜率公式，求得的表达式，化简整理，即可得答案；当直线l的斜率不存在时，直线l：，所以，化简计算，可得为定值，即可得答案.【小问1详解】由题意得又，所以所以，所以椭圆C：．【小问2详解】当直线l斜率存在时，设直线l：，（其中），，，联立，消y可得，则，解得或，，所以（定值）当直线l的斜率不存在时，直线l：，则M，N关于x轴对称，所以，所以， 综上可得（定值）21.如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，其中，点在棱上，点为中点.（1）记平面平面，判断直线和直线的位置关系，并证明；（2）若二面角的大小为是靠近的三等分点，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1），证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）先利用线面平行的判定定理证得平行，然后利用线面平行的性质定理证得结论；（2）利用面面垂直的性质定理证得平面，从而求得二面角的平面角，利用等体积法求得点到平面的距离，过作于点，求得的长，然后利用线面角概念求得结果.【小问1详解】，证明如下：因为平面平面，所以平面.因为平面平面，平面平面.所以.【小问2详解】在梯形中，由条件可得，平面平面，平面平面平面，所以平面，所以二面角的平面角为，所以，因为平面，所以，由， 得点到平面的距离，过作于点，则，所以，于是且，所以四边形是平行四边形.于是又，所以，所以与平面所成角正弦值为.22.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且．（1）求抛物线的方程；（2）过点作抛物线的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，求的最小值．【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）设出，由焦半径得到方程，求出，进而求出抛物线方程；（2）设出直线方程，表达出P，Q两点坐标，用两点间距离公式表达出，利用基本不等式求出最小值.【小问1详解】依题意，设．由抛物线的定义得，解得：， 因为在抛物线上，所以，所以，解得：．故抛物线的方程为．【小问2详解】由题意可知，直线的斜率存在，且不为0．设直线的方程为，，．联立，整理得：，则，从而．因为是弦的中点，所以，同理可得．则，当且仅当且，即时等号成立，故的最小值为8．