湖南省长郡中学2023-2024学年高二下学期寒假检测（开学考试）数学 Word版含解析.docx

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长郡中学2024年高二寒假作业检测数学试卷时量：120分钟满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，，则（）A．B．C．D．2．若，则的最小值是（）A．2B．C．D．33．已知3、4、5、7、五个数据，均值，若再增加2、8两个数后，这七个数据的均值和方差应该是（）A．5，2B．5，3C．5，4D．6，24．已知，则（）A．B．C．D．★5．设，且，若能被13整除，则的可能取值为（）A．0B．1C．11D．12★6．甲、乙两人要在一排7个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（）A．6种B．12种C．15种D．30种7．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上．若，，则到的距离等于（）A．1B．2学科网（北京）股份有限公司 C．3D．48．已知函数及其导函数定义域均为，满足，且为奇函数，记，其导函数为，则（）A．0B．1C．D．2二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．且，则实数的值为（）A．B．C．D．★10．关于曲线，下列叙述正确的是（）A．当时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆B．当时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的双曲线，且焦距为4C．当时，曲线表示的图形是一个椭圆D．当或时，曲线表示的图形是双曲线11．下列命题中正确的是（）A．若，，则B．若复数满足，则C．若复数为纯虚数，则D．若复数满足，则的最大值为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）★12．已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为______．13．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数学科网（北京）股份有限公司 的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为______．14．已知函数若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，则的取值范围是______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分13分）在中，内角所对的边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的周长．16．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的正弦值．17．（本题满分15分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：．18．（本题满分17分）设分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线与的右支交于，两点，过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为．学科网（北京）股份有限公司 （1）求双曲线的方程．（2）当时，求实数的值；（3）设点关于坐标原点的对称点为，当时，求面积的值．19．（本题满分17分）某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束；否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是，若上一次失败则下一次成功的概率是．记消费者甲第一次获胜的概率为，数列的前项和，且的实际意义为前次游戏中平均获胜的次数．（1）求消费者甲第2次获胜的概率；（2）证明：为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖．长郡中学2024年高二寒假作业检测数学参考答案题号1234567891011答案BDCDDBBDACDADAD一、二、选择题1．B【解析】，，，故选B．2．D【解析】由题意，得，当且仅当时，取等号，故的最小值为3．故选D．3．C【解析】因为3、4、5、7、五个数据，均值，所以，故，则七个数据的均值为，七个数据的方差为．故选C．4．D【解析】设，则，，从而．故选D．学科网（北京）股份有限公司 5．D【解析】当能被13整除时，，能被13整除，且能被13整除，也能被13整除，因此能被整除时可取值12，故选D．6．B【解析】一排共有7个座位，现有两人就坐，故有5个空座．要求每人左右均有空座，在5个空座的中间4个空中插入2个座位让两人就坐，即有种坐法．故选B．7．B【解析】取的中点，连结．过作于点，则，又因为，所以，所以．依题意，所以为等边三角形．由抛物线的定义，得，所以．所以，所以．即到的距离为2．故选B．8．D【解析】因为，两边同时求导可得：，即，关于对称，同时，则关于对称．为奇函数，则，即，关于对称，同时，则关于对称，由关于对称得，，由关于对称得故，故周期为6；同理的周期也为6，．故选D．学科网（北京）股份有限公司 9．ACD【解析】当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得或舍去．综上可知，实数的值为或或．故选：ACD．10.AD【解析】对A，当时，曲线方程为，所以曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆，故A正确；对B，当时，曲线方程为，所以曲线表示的图形是一个焦点在轴上的双曲线，且焦距为，故B错误；对C，当时，曲线表示的图形是一个方程为的圆，故C错误；对D，当或时，，所以曲线表示的图形为双曲线，故D正确．11．AD【解析】由复数相等知：，有，A正确；若，，有，B错误；若时，，C错误；令，则为圆，而表示圆上的点到的最大距离，所以，正确．故答案选：AD．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．4113．2【解析】设，由题意可知，，，整理得，点的轨迹方程为，其图形是以为圆心，以2为半径的圆，而圆的圆心坐标为，半径为1，可得两圆的圆心距为2，大于，小于，则动点的轨迹与圆的位置关系是相交．故公切线的条数为2．学科网（北京）股份有限公司 14．【解析】由题意知当时，，时，，令，则；当时，．当时，，令，则或4；令，则或2；由此可作出函数的图象如图：由于方程恰有四个不同的实数解，分别记为，故的图象与直线有4个不同的交点，由图象可知，不妨设，则，且关于对称，所，又即，则，，故，由于在上单调递增，故，所以，故的取值范围是．故答案为：．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解析】（1），学科网（北京）股份有限公司 由正弦定理得，，，，；（2），①，又，②，由①，②可得，而，所以的周长为．16．【解析】（1）由题意，因为四边形为菱形，所以．连接．因为，所以为等边三角形，从而．在中，是的中点，所以．因为平面，平面，所以．，平面，平面，平面，平面．又平面，平面平面（2）法一：几何法：由题意及（1）得，在平面中，过点作，垂足为，连接．因为平面，平面，所以．又，平面，平面，所以平面．又平面，所以，从而是二面角的平面角．在中，，，所以．在中，，，所以．在中，，，所以二面角的平面角的正弦值为．法二：向量法建系．学科网（北京）股份有限公司 17．【解析】（1），所以，所以，又因为，即切点的坐标为，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）证明：解法1：隐零点解法．要证明，只需证明，设，则，设，则，所以函数在上单调递增，因为，，所以函数在上有唯一零点，且，因为，所以，即，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以当时，取得最小值，故，．综上可知，．解法2：切线不等式放缩．18．【解析】（1）由过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为，学科网（北京）股份有限公司 所以即则所求的双曲线的方程为．（2）因为直线过点，所以，由，，得：等腰三角形底边上的高的大小为，又到直线的距离等于等腰三角形底边上的高，则，即，则．（3）设，，由得：，恒成立，则，，又，即，则，，即，则，又关于坐标原点的对称点为，则．则所求的面积为．19．【解析】（1）记“消费者甲第次获胜”为事件，则，；（2）由题意得，则，则，学科网（北京）股份有限公司 ，又，数列是以为首项，为公比的等比数列；可知，故，从而，因为表示前次游戏中平均获胜的次数，若要获得礼券，则有，当为偶数时，有，①当为奇数时，有，②又由①②得，或10，故平均至少要玩9轮游戏才有可能获奖．学科网（北京）股份有限公司