四川省成都市石室中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学（文）Word版含解析.docx

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2023-2024学年四川省成都市石室中学高一（下）开学考试数学试卷（文科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集梦଴，能表示集合梦ࢮㄪㄪㄪ梦ൌ与梦ࢮሼ关系的系的的图是()A.B.C.D.2.已知向量梦ሼ，梦，则在方向上投影为()A.B.C.D.3.技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近个月手机的实际销量，如表所示：时间ㄪሼ销售量千ൌ쳌ൌ쳌䁖ሼ쳌ൌሼ쳌ሼ쳌只若与ㄪ线性相关，且线性回归方程为梦ൌ쳌ㄪ，则下列说法不正确的是()A.由题中数据可知，变量与ㄪ正相关，且相关系数侀ሼB.线性回归方程梦ൌ쳌ㄪ中梦ൌ쳌C.残差系梦ሼ的最大值与最小值之和为ൌD.可以预测ㄪ梦时该商场手机销量约为ሼ쳌千只ㄪ4.方程梦ሼ表示双曲线的必要不充分条件可以是()ሼA.ሼB.ሼሼሼC.D.ሼ的的的5.执行如图所示的程序框图，若依次输入梦，的梦，梦，则输出的结果为()的A. 的B.的C.D.以上都不对6.在䁨中，角、、䁨的对边分别为、、，且䁨的面积䁨梦，䁨梦，则䁨梦()A.B.C.D.7.设等差数列的前的项和为的，已知梦，的梦ሼ，的梦，则的的值为()A.ሼB.ሼC.ሼD.ሼ䁖8.如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为()A.ሼB.C.D.9.抛物线ㄪ梦的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，为线段的中点，设在上的射影为，则的最大值是()A.B.C.D.10.如图，正方体䁨ሼሼ䁨ሼሼ的棱长为ሼ，线段䁨ሼ上有两个动点，，ሼ且梦，点，分别为ሼሼ，ሼ的中点，在侧面䁨ሼ䁨ሼ上运动，且满足ሼ香香平面䁨ሼ，以下命题错误的是()A.ሼB.多面体ሼ的体积为定值C.侧面䁨ሼ䁨ሼ上存在点，使得ሼ䁨ሼD.直线ሼ与直线䁨所成的角可能为 11.已知直线ሼ：ㄪ梦ൌ与圆心为ൌሼ且半径为的圆相交于，两点，直线：ㄪ梦ൌ与圆交于䁨，两点，则四边形䁨的面积的最大值是()A.B.C.D.ሼ12.已知函数ㄪ梦sinㄪൌ在区间ൌ上有且仅有个极值点，给出下列四个结论：ㄪ在区间ൌ上有且仅有个不同的零点；ㄪ的最小正周期可能是；ሼሼ的取值范围是；ㄪ在区间上单调递增．ሼ其中正确结论的个数为()A.ሼB.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若梦，则的共轭复数为______．14.向面积为的䁨内部投掷一点，则䁨的面积小于ሼ的概率为______．ሼ15.已知䁨为等腰三角形，其中梦䁨，点为边䁨上一点，݋梦쳌以点、为焦点的椭圆经过点与䁨，则椭圆的离心率的值为______．16.若函数ㄪ梦ㄪൌሼ与ㄪ梦ㄪ的图像在实数集଴上有且只有个交点，则实数的取值范围为______．三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题ሼ分ሼ已知数列ࢮ的的首项为ሼ梦ሼ，且满足的的ሼ梦的ሼ的，数列ࢮ的满足的梦的ሼ．Ⅰ求ࢮ的的通项公式；的Ⅱ设数列ࢮ的前的项和为的，求的．的18.本小题ሼ分如图，已知梯形䁨与所在的平面垂直，，䁨，香香䁨香香，梦梦䁖，梦，梦，䁨梦ሼ，连接䁨，．ሼⅠ若为边上一点，梦，求证：香香平面䁨；Ⅱ求多面体䁨的体积． 19.本小题ሼ分ㄪ已知椭圆：梦ሼൌ的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线ㄪ梦相交于点．ሼ若ሼ，求证：梦；ሼሼሼሼ过点作直线的垂线与相交于䁨、两点，与直线ㄪ梦相交于点쳌求䁨的最大值．20.本小题ሼ分已知函数ㄪ梦ㄪㄪሼ，ㄪ梦的ㄪ଴．ሼ若梦ሼ，ㄪㄪ在区间ൌǡ上恒成立，求实数ǡ的取值范围；若函数ㄪ和ㄪ有公切线，求实数的取值范围．21.本小题ሼൌ分ሼǡㄪ梦ሼǡ在直角坐标系ㄪ㐠中，曲线䁨的参数方程为ǡ为参数以坐标原点㐠为极点，ㄪ轴的正半轴ǡ梦ሼǡ为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程݋的梦ൌ．Ⅰ求䁨和的直角坐标方程；Ⅱൌ，直线与䁨交于，两点，其中点在第一象限，求点的极坐标及点的极径．22.本小题ሼ分已知函数ㄪ梦ㄪㄪ，ㄪ梦的ㄪ．ሼ求函数ㄪㄪ的最小值；设，ሼሼ，求证：ሼሼ侀． 答案和解析1.【答案】䁨【解析】解：梦ࢮㄪㄪㄪ梦ൌ梦ࢮൌ，因为梦ࢮሼ，所以梦，C正确．故选：䁨．解集合中的等式，判断集合，的关系．本题主要考查集合的运算，属于基础题．2.【答案】【解析】解：梦ሼ，梦，则梦，梦ൌ，䁖故在方向上的投影向量为：梦梦梦．故选：．根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．3.【答案】【解析】解：从数据看随ㄪ的增加而增加，故变量与ㄪ正相关，由于各增量并不相等，故相关系数侀ሼ，故A正确；由已知数据易得ㄪ梦梦ሼ，代入梦ൌ쳌ㄪ中得到梦ሼൌ쳌梦ሼൌ쳌梦ൌ쳌䁖，故B错误；梦ൌ쳌ㄪൌ쳌䁖，ሼ梦ൌ쳌ൌ쳌䁖梦ൌ쳌，梦ൌ쳌ൌ쳌䁖梦ൌ쳌，梦ൌ쳌ൌ쳌䁖梦ሼ쳌ൌൌ，梦ൌ쳌ൌ쳌䁖梦ሼ쳌，梦ൌ쳌ൌ쳌䁖梦ሼ쳌䁖，系ሼ梦ൌ쳌ൌ쳌梦ൌ쳌ൌ，系梦ൌ쳌䁖ൌ쳌梦ൌ쳌ൌ，系梦ሼሼ梦ൌ，系梦ሼ쳌ሼ쳌梦ൌ쳌ൌ，系梦ሼ쳌ሼ쳌䁖梦ൌ쳌ൌ，残差系梦ሼ的最大值系梦ൌ쳌ൌ与最小值系梦ൌ쳌ൌ之和为ൌ，故C正确；ㄪ梦时该商场手机销量约为梦ൌ쳌ൌ쳌䁖梦ሼ쳌，故D正确．故选：．根据已知数据，分析总体单调性，并注意到增量不相等，不是严格在一条直线上，从而判定；求得样本中心点坐标，代入已给出的回归方程，求解，从而判定；根据残差定义求得各个残差，进而得到残差的 最大值与最小值，从而判定䁨；利用回归方程预测计算即可判定．本题主要考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于中档题．4.【答案】䁨ㄪ【解析】解：如果方程梦ሼ表示双曲线，ሼ则ሼ侀ൌ，解得：侀侀ሼ，ㄪ则：方程梦ሼ表示双曲线的必要不充分条件所对应的集合必须真包含ࢮ侀侀ሼ．ሼ只有选项C满足题意．故选：䁨．利用双曲线方程，求解的范围，然后判断充要条件，推出选项．本题考查双曲线的简单性质的应用，充要条件的判断，属于基础题．5.【答案】䁨【解析】解：根据题意，该流程图的作用是求出、的、中的最小数，的的的的的的，的的的的的的，侀侀的，的即输出的结果为．故选：䁨．根据题意，该流程图的作用是求出、的、中的最小数，再结合对数的运算性质比较出，的，的大小关系即可．本题主要考查了程序框图的应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．6.【答案】ሼ【解析】解：䁨的面积䁨梦梦的，的梦，䁨梦，ሼ则梦的，的ǡ的梦梦，݋ൌ，梦，的梦， 梦䁨梦݋梦．故选：．根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．7.【答案】【解析】解：因为等差数列中，梦ሼ梦，的梦ሼ，的梦，则的的梦的的ሼ的的的的梦ሼ䁖ൌ，两式相加得，ሼ的梦ሼ，即ሼ的梦，的ሼ的因为的梦梦ሼ䁖的梦，所以的梦ሼ䁖．故选：．由已知可求出ሼ，的的ሼ的的的的，然后结合等差数列的性质可求ሼ的，再由等差数列的求和公式可求．本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．8.【答案】【解析】解：由题意几何体是四棱锥䁨，过作于，在正方体中有䁨平面，所以䁨，又因为䁨梦，所以平面䁨，所以四棱锥的高为，由三视图可知，梦，解得梦．所以该四棱锥的高为：．故选：．画出几何体的直观图，利用三视图的数据转化求解即可．本题考查三视图求解几何体的高，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．9.【答案】䁨【解析】解：设梦，梦，，在上的射影分别为，，则梦，梦， 故梦梦．又，所以梦梦，因为梦梦，所以，当且仅当梦时等号成立，故梦梦．故选：䁨．设梦，梦，，在上的射影分别为，，则梦，梦，求出，求出，然后得到比例关系，利用基本不等式转化求解最值即可．本题给出抛物线的弦对焦点所张的角为直角，求中点到准线的距离与比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．10.【答案】【解析】解：对于，正方体䁨ሼሼ䁨ሼሼ中，ሼሼ，ሼ香香䁨ሼ，、是线段䁨ሼ上有两个动点，ሼ，故A正确；ሼ对于，梦，ሼ到的距离为定值，ሼ是定值，点到平面ሼ的距离为定值，多面体ሼ的体积为定值，故B正确；对于䁨，ሼ䁨梦ሼሼ，当为䁨ሼ中点时，ሼ䁨ሼ，故C正确；对于，取䁨ሼሼ中点，䁨䁨ሼ中点，当与或重合时，直线ሼ与直线䁨所成的角ሼ䁨ሼ最大，ሼtanሼ䁨ሼ梦侀梦tan，故D错误．故选：．利用线线垂直的定义判断䁨；利用多面体的体积判断；利用异面直线所成角判断．本题以命题的真假判断为载体，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，属中档题． 11.【答案】【解析】解：根据题意，圆的圆心为ൌሼ且半径为，所以圆的方程为ㄪሼ梦，即ㄪ䁖梦ൌ，直线ሼ：ㄪ梦ൌ与圆相交于，两点，ㄪ䁖梦ൌㄪ梦ㄪ梦ൌ则有，解得或，所以、的坐标为ሼ，ൌ，ㄪ梦ൌ梦ሼ梦则梦梦，且的中点为，直线：ㄪ梦ൌ，变形可得ㄪ梦ൌ，直线恒过定点，当䁨与垂直时，四边形䁨的面积最大，此时䁨的方程为梦ㄪ，变形可得梦ㄪሼ，经过点ൌሼ，所以䁨梦梦，ሼ故四边形䁨的最大值梦䁨梦梦，故，四边形䁨所以四边形䁨的面积的最大值为．故选：．由已知可得圆的方程，求得交点，坐标，进而可得与中点坐标，求得直线恒过定点，当䁨与垂直时，四边形䁨的面积最大，可求得四边形䁨的面积的最大值．本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想，考查运算求解能力，属中档题．12.【答案】【解析】解：根据题意，函数ㄪ梦sinㄪൌ，令ㄪ梦，，解可得ㄪ梦，，因为ㄪ在区间ൌ上有且仅有个极值点，即不等式ൌ有且仅有个整数解符合题意，ሼ解得ൌሼ，即ൌሼ，可得梦ൌ，ሼ，，，ሼሼ即ሼ侀ሼ，解得，即错误；对于，当ㄪൌ时，ㄪ，即可得显然当时，ㄪ在区间ൌ上有且仅有个不同的零点；当时，ㄪ在区间ൌ上有且仅有个不同的零点；即错误； 䁖䁖䁖䁖对于，ㄪ的最小正周期为梦，易知ሼሼሼሼ所以ㄪ的最小正周期可能是，即正确；对于，当ㄪ时，ㄪ；ሼሼሼሼ由可知，ሼሼ由三角函数图象性质可知ㄪ在区间上单调递增，即正确；ሼ即可得正确．故选：．根据题意，令ㄪ梦，，则ㄪ梦，，结合条件可得ൌ有个整数符合题意，可求出的取值范围，再利用三角函数图象性质逐项分析即可得出结论．本题考查三角函数的图象、性质以及应用，注意求解三角函数中的取值范围时，经常利用整体代换法由图象性质限定出取值范围即可求得结果，属于基础题．13.【答案】【解析】解：依题意，梦梦梦쳌所以的共轭复数为쳌故答案为：쳌化简复数，可得的共轭复数．本题考查复数的运算，属于基础题．14.【答案】【解析】解：取，䁨的中点，，如图所示：则为䁨的中位线，当点落在四边形䁨内时䁨的面积小于ሼ，ሼሼሼ梦䁨梦梦，ሼ所以四边形䁨梦䁨梦梦， 四边形䁨所以所求事件的概率为梦．䁨故答案为：．利用几何概型的概率公式求解．本题主要考查了几何概型的概率公式，属于基础题．15.【答案】【解析】解：如图，设梦ㄪ，则梦ㄪ梦䁨，䁨梦ㄪ，䁨梦ㄪ，ሼ䁨ㄪሼ，ㄪ梦，cos䁨梦梦梦ㄪ梦ㄪ梦，梦ㄪ梦，䁨梦ㄪ梦，䁨梦ㄪ梦，䁨为椭圆的短轴上的顶点，ሼcos䁨梦䁨梦，ሼ梦，梦，梦，椭圆的离心率的值为梦．故答案为：．画出图形，根据椭圆的几何性质，余弦定理，即可求解．本题考查椭圆的几何性质，余弦定理的应用，属中档题．16.【答案】系系ሼሼ系系【解析】解：依题意，ㄪ梦ㄪ仅有个解，ㄪ的ㄪㄪ梦ൌ显然不是该方程的解，则的梦的ㄪ，即的梦仅有个解，ㄪ 的ㄪ的ㄪ设ㄪ梦ㄪൌ，定义域关于原点对称，且满足ㄪ梦梦ㄪ．ㄪㄪ即ㄪ为奇函数，的ㄪሼ的ㄪ考虑ㄪൌ时的情况，ㄪ梦，ㄪ梦，ㄪㄪ当ㄪ系时，ㄪ侀ൌ，即ㄪ在系上单调递减，当ൌ侀ㄪ侀系时，ㄪൌ，即ㄪ在ൌ系上单调递增，则函数极大值为系梦，且当ㄪሼ时，ㄪൌ；当ൌ侀ㄪ侀ሼ时，ㄪ侀ൌ；系作出函数ㄪ的大致图像如图所示：的ㄪ由于的梦仅有个解，ㄪ的ㄪ故梦的与函数ㄪ梦的图像仅有个交点，ㄪ结合图像可得侀的侀ൌ或ൌ侀的侀，系系解得系系侀侀ሼ或ሼ侀侀系系．故答案为：系系ሼሼ系系．ㄪ的ㄪ的ㄪ问题等价于梦ㄪ仅有个解，进一步可等价于的梦仅有个解，设ㄪ梦ㄪൌ，利用导数ㄪㄪ研究函数ㄪ的性质，作出其图像，利用图像即可得解．本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：Ⅰ的的ሼ梦的ሼ的，的ሼ的的ሼሼ梦梦梦쳌쳌쳌梦梦梦ሼ，的ሼ的的ሼሼ的梦的的；的Ⅱ由Ⅰ得梦的的ሼ，的梦ሼ䁖的的ሼ的ሼ的，的梦䁖的的的ሼ的ሼ，的ሼ的ሼ得，梦的的ሼ的ሼ梦的的ሼ ሼ的ሼ梦䁖的的ሼ，梦䁖的的ሼ．的的【解析】Ⅰ由数列的递推式推得ࢮ为常数列，可得所求通项公式；的Ⅱ由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．18【.答案】Ⅰ证明：梯形䁨与所在的平面垂直，平面䁨，则䁨，又䁨，以为坐标原点，分别以、䁨、所在直线为ㄪ，，轴建立空间直角坐标系，香香䁨香香，梦梦䁖，梦，梦，䁨梦ሼ，ሼ且梦，ൌൌ，ൌൌ，䁨ൌሼൌ，ൌ，ൌ，䁨梦ൌ，梦．设平面䁨的一个法向量为的梦ㄪ，的䁨梦梦ൌ则由，取梦，得的梦ሼ．的梦ㄪ梦ൌ梦ൌ，的梦ൌ．平面䁨，香香平面䁨；Ⅱ解：连接，，ሼሼሼሼ则䁨梦䁨梦ሼ梦．【解析】Ⅰ由已知可得、、䁨两两互相垂直，以为坐标原点，分别以、䁨、所在直线为ㄪ，，轴建立空间直角坐标系，求出平面䁨的一个法向量，由平面法向量与平行证明香香平面䁨；Ⅱ把多面体䁨的体积分解为两个棱锥的体积求解．本题考查直线与平面平行的判定，训练了利用空间向量证明线面平行，训练了多面体体积的求法，是中档题． 19.【答案】解：ሼ证明：设ሼൌ、ൌ，因为椭圆的焦距为，所以梦，解得梦ሼ．又因为椭圆的离心率系梦梦，所以梦，所以梦梦ሼ梦ሼ，ㄪ所以椭圆的方程为梦ሼ．ሼൌ因为直线经过ሼ、ሼൌ，梦梦ሼ，ሼ所以，直线的方程为梦ㄪሼ，梦ㄪሼ设点ㄪሼሼ、ㄪ，联立可得ㄪㄪ梦ൌ，ㄪ梦由ㄪㄪ梦ൌ，得ㄪሼ梦，ㄪ梦ൌ．所以梦ㄪሼㄪሼ梦ሼ梦，梦ㄪㄪሼሼ梦ሼ梦，因此，梦．若直线、中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线ㄪ梦平行，不合乎题意，所以，直线的斜率存在且不为零，设直线方程为梦ㄪሼ，ሼ则直线方程为梦ㄪሼ，其中ൌ．梦ㄪሼ联立，可得ሼㄪㄪ梦ൌ，ㄪ梦设ㄪ、ㄪ，则梦ሼ䁖ሼሼ梦䁖ሼൌ，ሼሼሼ由韦达定理可得ㄪሼㄪ梦ሼ，ㄪሼㄪ梦ሼ，易知ㄪሼ且ㄪ，将ㄪ梦代入直线的方程可得梦，即点，ሼሼሼሼሼሼሼሼㄪሼㄪ所以梦梦梦ሼㄪሼሼㄪሼㄪሼㄪሼㄪሼㄪㄪሼㄪሼሼሼ梦梦梦，ሼ䁖ሼሼሼሼሼሼ同理可得梦梦，䁨ሼሼሼሼሼሼሼሼሼ所以䁨梦梦ሼ梦ሼሼሼሼ梦，ሼ当且仅当梦ሼ时，等号成立，ሼሼሼሼ因此，的最大值为．䁨【解析】ሼ根据已知条件求出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点、的横坐标，再利用弦长公式可证得梦成立； ሼ分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线方程为梦ㄪሼ，则直线方程为梦ㄪሼ，ሼሼ其中ൌ，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出的表达ሼሼሼሼሼሼ式，同理可得出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值．䁨䁨本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：ሼ由题意，当梦ሼ时，设ㄪ梦ㄪㄪ，ሼㄪㄪሼㄪሼㄪሼ则ㄪ梦ㄪㄪሼ的ㄪሼ梦ㄪㄪሼ的ㄪㄪൌ，ㄪ梦ㄪሼ梦梦，ㄪㄪㄪ令ㄪ梦ൌ，得ㄪ梦ሼ舍负ㄪ在ൌሼ上单调递减，在ሼ上单调递增，ㄪ的梦ሼ梦ൌ．根据题意ǡ的取值范围为ൌሼ．设函数ㄪ在点ㄪሼㄪሼ处与函数ㄪ在点ㄪㄪ处有相同的切线，ㄪሼㄪㄪ则ㄪ梦ㄪ梦ሼㄪ，ㄪ梦梦ሼሼሼ的ㄪ，ሼㄪሼㄪሼㄪㄪሼㄪሼㄪሼㄪㄪሼ梦ㄪ，代入ㄪ梦ㄪሼㄪሼሼ的ㄪ，ሼሼ得ㄪㄪ的ㄪ梦ൌ쳌问题转化为：关于ㄪ的方程ㄪㄪ的ㄪ梦ൌ有解，ሼ设ㄪ梦的ㄪㄪൌ，则函数ㄪ有零点，ㄪㄪሼሼ的ㄪ，当ㄪ梦系ㄪ梦时，的ㄪ梦ൌ，系ൌ，ㄪሼሼㄪㄪሼ问题转化为：ㄪ的最小值小于或等于ൌ．ㄪ梦ㄪㄪㄪ梦ㄪ，设ㄪㄪሼ梦ൌㄪൌ，ൌൌൌ则当ൌ侀ㄪ侀ㄪൌ时，ㄪ侀ൌ，当ㄪㄪൌ时，ㄪൌ，ㄪ在ൌㄪൌ上单调递减，在ㄪൌ上单调递增，ሼㄪ的最小值为ㄪൌ梦ㄪㄪ的ㄪൌ，ൌൌሼ由ㄪൌㄪൌሼ梦ൌ知梦ㄪൌㄪ，ൌሼ故ㄪൌ梦ㄪൌㄪൌㄪ的ㄪൌ，ൌሼ设ㄪ梦ㄪㄪ的ㄪㄪൌ，ㄪሼሼ则ㄪ梦ㄪൌ，ㄪㄪ故ㄪ在ൌ上单调递增，ሼ梦ൌ，当ㄪൌሼ时，ㄪൌ，ㄪ的最小值ㄪൌൌ等价于ൌㄪൌሼ．ሼሼ又函数梦ㄪ在ൌሼ上单调递增，梦ㄪൌሼ．ㄪㄪൌ 【解析】ሼ设ㄪ梦ㄪㄪ，用导数法解ㄪ的ൌ即可；设函数ㄪ在点ㄪሼㄪሼ处与函数ㄪ在点ㄪㄪ处有相同的切线，由ㄪሼ梦ㄪ梦ㄪሼㄪㄪሼㄪ，可得ㄪ梦梦ሼሼሼ的ㄪ，化简得到ሼ的ㄪ梦ൌ，然后将问ㄪሼㄪሼㄪㄪሼㄪㄪㄪሼ题转化为关于ㄪ的方程的ㄪ梦ൌ有解求解．ㄪㄪ本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数求曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于难题．ሼǡㄪ梦21.ሼǡ【答案】解：Ⅰ曲线䁨的参数方程为ǡ为参数，ǡ梦ሼǡ则ㄪ梦ሼǡ，即ㄪ梦ሼǡ，故ǡ梦，ㄪㄪ联立，解得梦ሼㄪ；直线的极坐标方程݋的梦ൌ．ㄪ梦݋，梦的，则ㄪ梦ൌ，故直线的直角坐标方程为ㄪ梦ൌ；Ⅱ设ㄪሼሼ，ㄪ，ㄪㄪ梦䁖梦ሼㄪሼ梦ൌ联立，解得或，ሼ梦梦ㄪ梦ൌ点在第一象限，䁖则点的坐标为ൌ，点的坐标为，故点的极坐标为，䁖ሼ点的极径为梦．【解析】Ⅰ根据已知条件，消去参数ǡ，即可求出曲线䁨的直角坐标方程，再结合极坐标公式，即可求解；Ⅱ联立两个直角坐标方程，再结合极坐标公式，即可求解．本题主要考查参数方程的应用，以及极坐标公式，属于中档题． ㄪሼㄪ22.【答案】解：ሼ由题设ㄪ梦，侀ㄪሼㄪሼㄪሼ而ㄪ梦ㄪ在，ሼ，ሼ上均能取到最小值ሼ，ㄪ在上递减，在ሼ上为常数，在ሼ上递增，所以ㄪㄪ的最小值在ሼ上取得，即ㄪ梦时，最小值为；由ሼሼሼሼ梦，仅当ሼሼൌ取等号，要证ሼሼ侀，即证侀ሼ，即侀ሼ，需证ሼ梦ሼሼൌ，而，ሼሼ，即，ൌሼ，所以ሼሼൌ恒成立，故ሼሼ侀得证．