四川省泸州市泸县泸县第四中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题 Word版含解析.docx

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泸县四中2023年春期高一期末考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由诱导公式结合两角差的余弦公式即可得出答案.【详解】.故选：C.2.若复数z满足，则（）A.1B.5C.7D.25【答案】B【解析】【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．【详解】由题意有，故．故选：B．3.已知，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（）．A.和B.和C.和D.和【答案】A 【解析】【分析】根据定义由待定系数法判断每组向量是否共线，判断.【详解】对于A选项，因为，则和共线，A选项不满足条件；对于B选项，设，则，无解，故和不共线，B选项能作为基底；同理可知和不共线，和也不共线，CD选项均能作为基底．故选：A．4.函数，的图象与直线的交点个数为（　　）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据曲线与方程之间的关系，直接解方程即可得到结论．【详解】由得，∴当时，或，即方程有个解，即两条曲线的图象的交点个数为个，故选C．【点睛】本题主要考查函数交点个数的判断，利用函数和方程之间的关系，直接进行求解即可，属于基础题.5.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取10位临湘市居民，他们的幸福感指数为7，3，5，6，7，4，8，9，5，10．则这组数据的80%分位数是（）A.8.5B.8C.9D.7.5【答案】A【解析】【分析】将题目的数据从小到大排列，然后利用百分位数的定义计算.【详解】幸福感指数的数据从小到大排列成：，由，是整数，根据百分位数的定义，分位数是排列好的数字的第和第位的平均数，即.故选：A 6.非零向量满足，则与的夹角是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由，得到，再利用向量的夹角公式求解.【详解】解：因为，所以，则，又，，所以，因为，所以，故选：B7.将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为.故选：C. 8.在空间四边形中，，，，分别是，的中点，，则异面直线与所成角的大小为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】平移两条异面直线到相交，根据余弦定理求解.【详解】如图所示：设的中点为，连接，所以，则是所成的角或其补角，又根据余弦定理得：，所以，异面直线与所成角的为，故选D.【点睛】本题考查异面直线所成的角和余弦定理.注意异面直线所成的角的取值范围是.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.病毒研究所检测甲乙两组实验小白鼠的某医学指标值，得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（） A.甲组数据中位数大于乙组数据中位数B.甲组数据平均数小于乙组数据平均数C.甲组数据平均数大于甲组数据中位数D.乙组数据平均数小于乙组数据中位数【答案】BCD【解析】【分析】根据直方图的形态可得甲组的平均数大于中位数，且都小于7，乙组的平均数小于中位数，且都大于7，进而可得.【详解】根据甲组的样本数据的频率分布直方图可知为单峰的，直方图在右边“拖尾”，所以甲组的平均数大于中位数，且都小于7，同理可得乙组的平均数小于中位数，且都大于7，故甲组数据中位数小于乙组数据中位数，故A错误；甲组数据平均数小于乙组数据平均数，故B正确；甲组数据平均数大于甲组数据中位数，故C正确；乙组数据平均数小于乙组数据中位数，故D正确.故选：BCD.10.盒子里有形状大小都相同的4个球，其中2个红球、2个白球，从中先后不放回地任取2个球，每次取1个．设“两个球颜色相同”为事件A，“两个球颜色不同”为事件B，“第1次取出的是红球”为事件C，“第2次取出的是红球”为事件D．则（）A.A与B互为对立事件B.A与C相互独立C.C与D互斥D.B与C相互独立【答案】ABD【解析】【分析】根据对立事件，互斥事件的定义可判断AC；根据古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率，再根据相互独立事件的定义判断BD.【详解】对于A，由题意知，取出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即A与B互为对立事件，故A 正确；对于C，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，C与D可能同时发生，故C错误；对于BD，，，，，所以，所以A与C相互独立，B与C相互独立，故BD正确；故选：ABD11.在锐角三角形ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c分别为A，B，C所对的三边，则下列结论成立的是（）A.若，则B.若，则B的取值范围是C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由正弦定理判断A；由角形为锐角三角形，，所以，即有，根据可得的范围，从而判断B；由，可得，进而得，从而判断C；由，可得，从而判断D.【详解】解：对于选项A，因为A>B，所以有,所以，故正确；对于选项B，因为，则，所以，由可得的取值范围是，故错误；对于选项C，锐角三角形ABC中，，，∴，同理，，所以故正确；对于选项D，锐角三角形ABC中，因为，即，，又∵ ，∴，故正确．故选：ACD．12.如图所示是正方体的平面展开图，那么在正方体中（）A.B.EF和BC所成的角是60°C.直线AC和平面ABE所成的角是30°D.如果平面平面，那么直线直线.【答案】BCD【解析】【分析】根据正方体的平面展开图还原正方体，利用正方体的性质，结合异面直线的位置关系，线面位置关系及面面平行的性质依次判断各项正误.【详解】如图，把正方体的平面展开图还原成正方体.在正方体中，可知，故异面直线与所成的角即为与所成的角为，故A项错误；同理，与所成的角即为与所成的角为，故B项正确；在正方体中，，，，，故平面，则点到平面的距离为， 设直线与平面所成的角为，则，故，故C项正确；在正方体中，，则平面平面，平面平面于直线，平面平面，故直线直线，故D项正确.故选：BCD.第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，，且在上的投影数量等于，则___________.【答案】【解析】【分析】由数量投影的公式直接计算即可.【详解】在上的投影数量为，解得（舍）或.故答案为：.14.设为所在平面内的一点，若，，则________．【答案】【解析】【分析】由，可得答案.【详解】如图：由图可知，即有，所以，，所以， 故答案为:．15.锐角内切圆的圆心为，内角，，所对的边分别为，，.若，且的外接圆半径为1，则周长的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】由余弦定理变形可求得角，再由正弦定理求得，在中利用正弦定理表示出，并由三角恒等变换转化为三角函数值域问题，从而可得结论．【详解】因为由余弦定理，得，即，因为，所以.由正弦定理，得.因为，由内切圆的性质可得，所以，设，则，又因为三角形为锐角三角形，所以，所以.在中，由正弦定理，，所以，所以的周长为，因为，所以，所以，所以周长的取值范围 故答案为：.16.如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于________.【答案】4【解析】【分析】根据二面角定义，结合空间向量加法运算性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】由二面角的平面角的定义知，∴，由，，得，，又，∴，所以，即.故答案为：4.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数.（1）求函数在区间上的最大值和最小值；（2）若，，求的值.【答案】（1）最大值为2，最小值为. （2）【解析】【分析】（1）由二倍角公式、两角和的正弦展开式得，再利用正弦函数的单调性与范围可得答案；（2）由得，利用平方关系得到，再利用展开可得答案.小问1详解】由得，因为，则，故当时，取最大值2；当时，取最小值；所以函数在区间上的最大值为2，最小值为.【小问2详解】由（1）可知，又因为，所以，由，得，从而，所以.18.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），……，[80，90），[90，100]． （1）求频率分布直方图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分的50%分位数（保留一位小数）；（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．【答案】（1）（2）76.4（3）【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图的各个小矩形的面积之和为1求出a；(2)根据频率分布直方图估计中位数；(3)根据频率分布直方图求出从评分在和的人中抽取的人数，再根据古典概型计算概率.【小问1详解】由频率分布直方图得：，解得．【小问2详解】评分在的概率为，评分在的概率为，该企业的职工对该部门评分的50%分位数位于，所以50%分位数为；【小问3详解】受访职工中评分在的有：人，记为，，，受访职工中评分在的有：人，记为，，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有的可能结果有10种，分别为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，此2人评分都在包含的基本事件有，，，，，，共3个，从评分在的受访职工中，随机抽取2人，此2人评分都在的概率．19.如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1)如图取中点，由中位线的性质可得，根据题意可得且，则四边形为平行四边形，有，结合线面平行的判定定理即可证明；(2)根据线面垂直的判定定理与性质可得，由勾股定理的逆定理可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明.【小问1详解】取中点，连接，．在中，，分别为，的中点，所以，且．由已知，，所以，且． 所以四边形为平行四边形．所以．又因为平面，且平面，所以平面．【小问2详解】在正方形中，，又，，平面，∴平面，平面，，在中，AB=AD=1，所以BD=，，在中，，BD=，CD=2，所以BC=，所以，又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.20.记的内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，且（1）证明：；（2）若，求.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）在中由锐角三角函数，得，代入条件，由正弦定理角化边得，即证；（2）由三角形等面积法，得，代入可得；将条件和同时代入余弦定理，化简后利用辅助角公式得到，即可求解.【小问1详解】 在中，因为，所以，又因为，所以，即在中，根据正弦定理，得，故.【小问2详解】在中，，又由（1）知，，所以，在中，根据余弦定理，得，又由已知，，得，所以，则，即，因为，则，所以或，所以或，又点在边上，且，，所以必有一个大于等于，所以21.如图，在长方体中，，P为的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由向量法结合判定证明即可； （2）由向量法得出面角正弦值．【小问1详解】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如下图所示设，则又，平面【小问2详解】由（1）可知，平面的法向量为设平面的法向量为，，令，可得故二面角的正弦值为22.已知函数，．（1）试判断在其定义域上是否具有奇偶性，若有，请加以证明；（2）若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）函数为上的偶函数；证明见解析（2）或【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义进行判断和证明；（2）把函数零点问题转化为方程根的问题，结合换元法和判别式进行求解.【小问1详解】偶函数，证明如下：证明：函数，定义域为，关于原点对称，所以函数为上的偶函数．【小问2详解】解：因为函数在上只有一个零点，所以关于x的方程有唯一的实数解，即方程有唯一的实数解，即有唯一的实数解，化简得，令，下面研究关于t的方程何时仅有一个正根.①当时，，符合题意；②当时，则， 当时，，当时，（舍）当，即时，，方程有异号的两个实根，符合题意；