高三数学开学摸底考02（2024新高考新题型）-2023-2024学年高三数学下学期开学摸底考A3.docx

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2024届高三下学期开学摸底考数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．过点且与直线垂直的直线方程是（    ）A．B．C．D．2．一组数据按从小到大排列为，若该组数据的第60百分位数是众数的倍，则这组数据的平均数是（    ）A．4B．5C．6D．73．设是等差数列的前项和，若，则（    ）A．B．C．D．4．如图，圆锥形容器的高为3厘米，圆锥内水面的高为1厘米，若将圆锥容器倒置，水面高为，下列选项描述正确的是（    ）A．的值等于1B．C．的值等于2D．5．在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（    ）A．B．C．D．6．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有A．240种B．188种C．156种D．120种7．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．8．设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（    ）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设z，，是复数，则下列命题中正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10．已知，则（    ）A．，使得B．若，则C．若，则 D．若，，则的最大值为11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．函数值域为B．函数是增函数C．不等式的解集为D．第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合，，则.13．已知向量的夹角为，，则，．14．若存在正实数满足，则的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）设函数，曲线在点处的切线方程为.(1)求；(2)证明：.16.（15分）如图，平面平面，四边形为矩形，为正三角形，，为的中点.  (1)证明：平面平面；(2)已知四棱锥的体积为，求点到平面的距离.17．（15分）已知甲、乙两支登山队均有n名队员，现有新增的4名登山爱好者将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．(1)求三人均被分至同一队的概率；(2)记甲，乙两队的最终人数分别为，，设随机变量，求．18．（17分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的浙近线方程为分别是双曲线的左､右顶点.(1)求的标准方程；(2)设是直线上的动点，直线分别与双曲线交于不同于的点，过点作直线的垂线，垂足为，求当最大时点的纵坐标.19．（17分）已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数.(1)当，时，写出的所有可能值；(2)若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；2024届高三下学期开学摸底考参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．12345678CBBDDDCC 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．BC10．BD11．ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．13．214．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）【详解】（1）函数的定义域为.将代入，解得，即，由切线方程，则切线斜率.故，解得..........................6分（2）证明：由（1）知，从而等价于.设函数，则.所以当时，，当时，.故在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为.设函数，从而在上的最大值为.故，即..........................13分16．（15分）【详解】（1）一方面：因为为正三角形且为的中点，所以（三线合一），又因为平面平面且平面平面，并注意到平面，所以由面面垂直的性质可知平面，又因为平面，所以由线面垂直的性质可知；另一方面：由题意不妨设，则，因为为正三角形且为的中点，所以，，所以，且，注意到与均为锐角，所以，不妨设，    因为，所以，即.综合以上两方面有且，注意到，平面，平面，所有由线面垂直的判定有平面，又因为平面，所以平面平面...........................7分（2）由（1）可知平面，则点到平面的距离即为的长度，一方面梯形的面积为，，所以有四棱锥的体积为，另一方面由题可知四棱锥的体积为，结合以上两方面有，解得，因为，所以，由（1）可知，所以，所以，所以...........................15分17．（15分）【详解】（1）三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，记事件“被分至甲队”，事件“被分至甲队”，事件“被分至甲队”，当即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则被分至甲队即摸出红球的概率为；当被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则被分至甲队即摸出红球的概率为；当均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则被分至甲队即摸出红球的概率为；所以，则， 同理知：新增登山爱好者均被分至乙队的概率也为，所以三人均被分至同一队的概率为............................7分（2）由题设，可能取值为，为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则，为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，设新增的第名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则，，，，所以，为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则，所以............................15分18．（17分）【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，即，依题意，，所以的标准方程为............................5分（2）由（1）知，，设，显然直线不垂直于轴，否则由双曲线的对称性，点在轴上，不符合题意；设直线，由消去得，有，则，于是，...........................8分由三点共线得直线的斜率满足，同理，由三点共线得，消去，得，即，整理得，即，则，因此或，若，又，得，结合，从而，即，不成立，即，因此，满足，............................14分则直线恒过点，点在以为直径的圆上，当与重合时，最大，此时轴，，所以当最大时，点的纵坐标为.............................17分19．（17分）【详解】（1）由，，若，则，即，此时，当，则，即；当，则，即；若，则，即，此时，当，则，即；当，则，即（舍）；综上，的所有可能值为..............................6分（2）由（1）知：，则，数列中的项存在最大值，故存在使，， 由，所以，故存在使，所以0为数列中的项；............................10分（3）不存在，理由如下：由，则，设，若，则，，对任意，取（表示不超过的最大整数），当时，；若，则为有限集，设，，对任意，取（表示不超过的最大整数），当时，；综上，不存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有..............................17分