高三数学开学摸底考02(2024新高考新题型)-2023-2024学年高三数学下学期开学摸底考A3.docx

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2024届高三下学期开学摸底考数学试卷(考试时间:120分钟试卷满分:150分)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.过点且与直线垂直的直线方程是(    )A.B.C.D.2.一组数据按从小到大排列为,若该组数据的第60百分位数是众数的倍,则这组数据的平均数是(    )A.4B.5C.6D.73.设是等差数列的前项和,若,则(    )A.B.C.D.4.如图,圆锥形容器的高为3厘米,圆锥内水面的高为1厘米,若将圆锥容器倒置,水面高为,下列选项描述正确的是(    )A.的值等于1B.C.的值等于2D.5.在平面直角坐标系中,已知圆,若圆上存在点,使得,则正数的取值范围为(    )A.B.C.D.6.《红海行动》是一部现代海军题材影片,该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中,海军舰长要求队员们依次完成六项任务,并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务必须排在前三位,且任务、必须排在一起,则这六项任务的不同安排方案共有A.240种B.188种C.156种D.120种7.已知函数在上存在最值,且在上单调,则的取值范围是(    )A.B.C.D.8.设椭圆的左、右焦点分别为、,是椭圆上一点,,,则椭圆离心率的取值范围为(    )A.B.C.D.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.设z,,是复数,则下列命题中正确的是(    )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则10.已知,则(    )A.,使得B.若,则C.若,则 D.若,,则的最大值为11.已知函数,则下列说法正确的是(    )A.函数值域为B.函数是增函数C.不等式的解集为D.第Ⅱ卷三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知集合,,则.13.已知向量的夹角为,,则,.14.若存在正实数满足,则的最大值为.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)设函数,曲线在点处的切线方程为.(1)求;(2)证明:.16.(15分)如图,平面平面,四边形为矩形,为正三角形,,为的中点.  (1)证明:平面平面;(2)已知四棱锥的体积为,求点到平面的距离.17.(15分)已知甲、乙两支登山队均有n名队员,现有新增的4名登山爱好者将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队,规则如下:在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个,小球除颜色不同之外,其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球,再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中;接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后,再放入完全相同的红球和黑球各1个,如此重复,直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕.新增登山爱好者若摸出红球,则被分至甲队,否则被分至乙队.(1)求三人均被分至同一队的概率;(2)记甲,乙两队的最终人数分别为,,设随机变量,求.18.(17分)在平面直角坐标系中,已知双曲线的浙近线方程为分别是双曲线的左、右顶点.(1)求的标准方程;(2)设是直线上的动点,直线分别与双曲线交于不同于的点,过点作直线的垂线,垂足为,求当最大时点的纵坐标.19.(17分)已知无穷数列满足,其中表示x,y中最大的数,表示x,y中最小的数.(1)当,时,写出的所有可能值;(2)若数列中的项存在最大值,证明:0为数列中的项;2024届高三下学期开学摸底考参考答案一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.12345678CBBDDDCC 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分9.BC10.BD11.ACD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.13.214.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)【详解】(1)函数的定义域为.将代入,解得,即,由切线方程,则切线斜率.故,解得..........................6分(2)证明:由(1)知,从而等价于.设函数,则.所以当时,,当时,.故在上单调递减,在上单调递增,从而在上的最小值为.设函数,从而在上的最大值为.故,即..........................13分16.(15分)【详解】(1)一方面:因为为正三角形且为的中点,所以(三线合一),又因为平面平面且平面平面,并注意到平面,所以由面面垂直的性质可知平面,又因为平面,所以由线面垂直的性质可知;另一方面:由题意不妨设,则,因为为正三角形且为的中点,所以,,所以,且,注意到与均为锐角,所以,不妨设,    因为,所以,即.综合以上两方面有且,注意到,平面,平面,所有由线面垂直的判定有平面,又因为平面,所以平面平面...........................7分(2)由(1)可知平面,则点到平面的距离即为的长度,一方面梯形的面积为,,所以有四棱锥的体积为,另一方面由题可知四棱锥的体积为,结合以上两方面有,解得,因为,所以,由(1)可知,所以,所以,所以...........................15分17.(15分)【详解】(1)三人均被分至同一队,即三人同分至甲队或乙队,记事件“被分至甲队”,事件“被分至甲队”,事件“被分至甲队”,当即将摸球时,箱中有2个红球和2个黑球,则被分至甲队即摸出红球的概率为;当被分至甲队时,箱中有2个红球和3个黑球,则被分至甲队即摸出红球的概率为;当均被分至甲队时,箱中有2个红球和4个黑球,则被分至甲队即摸出红球的概率为;所以,则, 同理知:新增登山爱好者均被分至乙队的概率也为,所以三人均被分至同一队的概率为............................7分(2)由题设,可能取值为,为新增的4名登山爱好者被分至同一队,则,为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队,其余1名被分至另一队,设新增的第名登山爱好者被单独分至甲队或乙队,则,,,,所以,为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队,则,所以............................15分18.(17分)【详解】(1)双曲线的渐近线方程为,即,依题意,,所以的标准方程为............................5分(2)由(1)知,,设,显然直线不垂直于轴,否则由双曲线的对称性,点在轴上,不符合题意;设直线,由消去得,有,则,于是,...........................8分由三点共线得直线的斜率满足,同理,由三点共线得,消去,得,即,整理得,即,则,因此或,若,又,得,结合,从而,即,不成立,即,因此,满足,............................14分则直线恒过点,点在以为直径的圆上,当与重合时,最大,此时轴,,所以当最大时,点的纵坐标为.............................17分19.(17分)【详解】(1)由,,若,则,即,此时,当,则,即;当,则,即;若,则,即,此时,当,则,即;当,则,即(舍);综上,的所有可能值为..............................6分(2)由(1)知:,则,数列中的项存在最大值,故存在使,, 由,所以,故存在使,所以0为数列中的项;............................10分(3)不存在,理由如下:由,则,设,若,则,,对任意,取(表示不超过的最大整数),当时,;若,则为有限集,设,,对任意,取(表示不超过的最大整数),当时,;综上,不存在正实数M,使得对任意的正整数n,都有..............................17分

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