广东省衡水金卷2024届高三下学期2月大联考试题 数学 Word版含解析.docx

《广东省衡水金卷2024届高三下学期2月大联考试题 数学 Word版含解析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

2024届高三年级2月份大联考数学试题本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟。注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则中元素的个数为（）A．4B．5C．6D．72．已知在中，，则（）A．1B．C．D．3．若，则（）A．B．C．D．4．若，则（）A．B．C．D．5．若定义在上的函数满足，则下列结论一定正确的为（）A．的图象关于原点对称B．的图象关于y轴对称C．的图象关于点对称D．的图象关于直线对称6．已知点P是曲线在第一象限内的一点，A为的左顶点，R为PA的中点，F为的右焦点．若直线OR（O为原点）的斜率为，则的面积为（） A．B．C．D．7．在某电路上有C、D两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.2，需要更换D元件的概率为0．1，则在某次通电后C、D有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（）A．B．C．D．8．在各棱长都为2的正四棱锥中，侧棱VA在平面VBC上的射影长度为（）A．B．C．D．2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．若z满足，则（）A．z的实部为3B．z的虚部为1C．D．z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为310．已知，则（）A．若，则存在唯一的实数p，q，使得B．若，则C．若，则D．若，则在上的投影向量为11．若过点可作曲线的n条切线，则（）A．若，则B．若，且，则C．若，则D．过，仅可作的一条切线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．如图是一个正四棱台，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2和6，体积为，则侧面积为_________． 13．在数列中，，且，则的通项公式为_________．14．若圆C与抛物线在公共点B处有相同的切线，且C与y轴切于的焦点A，则_________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。15．（本小题满分13分）某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且．（1）请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；（2）奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为，摸到二等奖的概率为，每个人摸奖相互独立，设恰好有n（）个人摸到一等奖的概率为，求当取得最大值时n的值．附：若，则．16．（本小题满分15分）如图，在圆锥SO中，若轴截面SAB是正三角形，C为底面圆周上一点，F为线段OA上一点，D（不与S重合）为母线上一点，过D作DE垂直底面于E，连接OE，EF，DF，CF，CD，且．（1）求证：平面平面DEF；（2）若为正三角形，且F为AO的中点，求平面CDF与平面DEF夹角的余弦值．17．（本小题满分15分）设函数，其中a为实数． （1）当时，求的单调区间；（2）当在定义域内有两个不同的极值点时，证明：．18．（本小题满分17分）在直角坐标系中，已知．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴，l与C交于A、B两点，点为弦AB的中点．过点M作l的垂线交C于D、E，N为弦DE的中点．①证明：l与ON相交；②已知l与直线ON交于T，若，求的最大值．19．（本小题满分17分）在无穷数列中，令，若，则称对前n项之积是封闭的．（1）试判断：任意一个无穷等差数列对前n项之积是否是封闭的？（2）设是无穷等比数列，其首项，公比为q．若对前n项之积是封闭的，求出q的两个值（若多求，则按前2个计分）；（3）证明：对任意的无穷等比数列，总存在两个无穷数列和，使得，其中和对前n项之积都是封闭的． 数学参考答案及解析一、选择题1．D【解析】因为，，所以中元素的个数为7．故选D．2．D【解析】由余弦定理得，所以．故选D．3．B【解析】，所以B正确．故选B．4．A【解析】因为，所以或，因为，所以．故选A．5．A【解析】若，当时，令，因为，所以，即；当时，令，因为，所以，即；当时，令，因为，所以，综上，，，所以是奇函数，所以A正确；若，则成立，但B、C、D都不成立．故选A．6．A【解析】设，所以，因为直线OR的斜率为，所以，化简得，，与联立解得，或3，其中舍去，所以P点的坐标为，又，所以的面积为．故选A．7．C【解析】记事件E：在某次通电后C、D有且只有一个需要更换，事件F：C需要更换，则，，由条件概率公式可得．故选C．8．B【解析】把正四棱锥放入正四棱柱中，则V是上底面的中心，取 的中点E，的中点F，连接EF，BE，CF，由图可知，过A作，垂足为G，在正四棱柱中，平面，平面，所以，，，平面EFCB，所以平面EFCB，所以侧棱VA在平面VBC上的射影为VG，由已知得，，，所以，所以，所以．故选B．二、选择题9．AB【解析】设，因为，所以，所以．，解得，所以，所以A，B正确；，所以C错误；因为z对应的向量坐标为，所以z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为，所以D错误．故选AB．10．ACD【解析】A：当时，不共线，所以可以作为一组基向量，由平面向量基本定理得，存在唯一的实数p，q使得，所以A正确；B：若，则，所以不成立，所以B错误；C：若，则，所以，所以C正确；D：若，则，所以在上的投影向量为，所以D正确．故选ACD．11．ABD【解析】设切点，则，切线为，代入整理得，令 ，，令得．当时，在上单调递增，在上单调递减，，至多有2个零点，放A正确；当时，在上单调递减，在上单调递增，，，当时，，且时，，所以，B正确；若，则，即，同理当时，，即，C错误；②时，，单调递减；又时，时，，则当时，有1个零点，即，D正确．故选ABD．三、填空题12．【解析】设该正四棱台的高、斜高分别为h，，由已知得，，所以，，所以正四棱台侧面积为．故答案为．13．【解析】因为，，因为，所以，所以，所以．故答案为． 14．【解析】抛物线的焦点为，准线l为，依题意不妨令C在第一象限，，则圆C的半径，设，则圆C的方程为，由，则，所以抛物线在点B处的切线m的斜率，因为圆C与抛物线在公共点B处有相同的切线，所以直线CB与m垂直，所以，则①，又点B在圆C上，所以，则②，所以，整理可得，解得，或（舍去），所以，所以，所以．故答案为．四、解答题15．解：（1）因为，所以，（1分）则，（4分）所以现场年龄不低于60岁的人数大约为（人）．（6分）（2）依题意可得，，（7分）设，所以，（9分） 所以（11分）所以，（12分）n为整数，所以，所以当取得最大值时n的值为8．（13分）16．解：（1）因为，所以，（1分）因为平面SCO，平面SCO，所以平面SCO，（2分）因为DE垂直底面于E，SO垂直底面于O，所以，同理平面SCO，（3分）因为，且平面SCO，平面SCO，所以平面平面DEF．（5分）（2）设圆锥的底面半径为2，因为轴截面SAB是正三角形，所以，（6分）如图，设平面SDEO与底面圆周交于G，因为为正三角形，且F为AO的中点，所以，所以E为OG的中点，所以DE为的中位线，所以,（7分）如图，在底面圆周上取一点H，使得，以直线OH，OB，OS为x，y，z轴建立空间坐标系，（8分）由已知得，，（9分）设EF的中点为M，则平面DEF的法向量为，（11分） 所以，设平面CDF的一个法向量为，所以，，令，则，则，（13分）所以平面CDF与平面DEF夹角的余弦值为．（15分）17．解：（1）的定义域为，，（2分）令，得或，（3分）；，所以的单调递增区间为，单调递减区间为．（5分）（2），由在上有两个不同的极值点得，有两个不同的正根，则，解得，（7分） 因为，（9分）设，则，故在上单调递增，（12分）又，故．（15分）18．解：（1）因为，所以，（1分）所以，化简得，所以P的轨迹C的标准方程为．（3分）（2）①因为直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴，所以．设点，所以,由题意得，，相减得，（4分）所以， 所以，所以，所以，（5分）同理得，，又，相乘得，，（6分）因为，所以，（7分）因为，所以，所以，（8分）所以l与ON相交．（9分）②l的方程为，直线DE的方程为,直线ON的方程为，联立得，，（11分）故，（12分）又 ，（14分）当且仅当即时取等号，又，即当且仅当时取等号，所以，故的最大值为．（17分）19．解：（1）不是的．（1分）如等差数列，，（2分）所以不是任意一个无穷等差数列对前n项之积是封闭的．（3分）（2）是等比数列，其首项，公比q，所以，所以，（4分）由已知得，对任意正整数n，总存在正整数m，使得成立，即对任意正整数n，总存在正整数m，使得成立，（5分）①当时，得，所以；（7分）②当时，得，且，综上，或．[答案正确即可]（9分）（3）对任意的无穷等比数列，，令，则，（11分）下面证明：是对前n项之积是封闭的．因为，所以，（12分） 取正整数得，，（13分）所以对前n项之积是封闭的，（14分）同理证明：也对前n项之积是封闭的，（16分）