福建省福州市部分学校教学联盟2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学 Word版含解析.docx

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2023~2024学年高一年级第一学期福州市部分学校教学联盟期末质量检测数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）温馨提示：请将所有答案填写到答题卡的相应位置上！请不要越界、错位答题！一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.的值是（）A.B.C.D.2.已知集合，，则（）A.B.C.D.3.设，，，则的大小关系为（）A.B.C.D.4.若=，则sin=（）A.B.C.D.5.函数的零点所在区间为（）A.B.C.D.6.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为(其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于（）参考数据：. 参考时间轴：A.战国B.汉C.唐D.宋7.函数的大致图象为（）A.B.C.D.8.已知函数的定义域为，则“”是“是周期为2的周期函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分又不必要条件D.充要条件二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.9.已知实数，其中，则下列关系中恒成立是（）A.B.C.D.10.已知函数，则下列说法错误的是（）A.函数最小正周期为B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称D.函数上单调递减11.水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具. 据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（）A.水斗作周期运动的初相为B.在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加C.在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是D.当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为612.一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”，特别地，当时，则称为的“完美区间”．则下列说法正确的是（）A.若为函数的“完美区间”，则B.函数，存在“倍美好区间”C.函数，不存在“完美区间”D.函数，有无数个“2倍美好区间”三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数在上单调递增，则______.14.若扇形的周长为，面积为，圆心角为，则__________. 15.已知为方程的两个实数根，且，，则的最大值为__________.16.已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：.18.（1）已知，求的最小值；（2）若均为正实数，且满足，求的最小值.19.已知函数的图象关于点对称.（1）求单调递增区间;（2）求不等式的解集.20.对于函数．（1）判断函数的单调性，并给出证明；（2）是否存在实数a使函数为奇函数？21.网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形，，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．（2） 由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为米．记此冰箱水平截面为矩形，．设，当冰箱被卡住时(即点、分别在射线、上，点在线段上），尝试用表示冰箱高度的长，并求出的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到）22.若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集，②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为函数的一个上界．（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明）（1）试判断函数，是否是上的有界函数；（直接写结论）（2）已知函数是区间上的有界函数，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）对实数进行讨论，探究函数在区间上是否存在上界？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 2023~2024学年第一学期福州市部分学校教学联盟高一年级期末质量检测数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）温馨提示：请将所有答案填写到答题卡的相应位置上！请不要越界、错位答题！一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.的值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式及特殊角三角函数值求解【详解】.故选：C2.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据交集概念，求解即可得出答案.【详解】根据交集的概念可得，.故选：B.3.设，，，则的大小关系为（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的单调性得到，再利用对数函数的单调性得出，即可求出结果.【详解】因为，，易知函数在R上是增函数，又，所以，又易知在上是减函数，所以，综上，.故选：B.4.若=，则sin=（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先判断出，然后结合诱导公式求解出结果.【详解】因为，所以，故选：D.5.函数的零点所在区间为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由函数的单调性，结合零点存在性定理判断选项即可. 【详解】因为在上为增函数，且，，因为，所以，所以的零点所在区间为.故选：C.6.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为(其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于（）参考数据：.参考时间轴：A.战国B.汉C.唐D.宋【答案】B【解析】【分析】根据“半衰期”得，进而解方程得，进而可推算其所处朝代.【详解】由题可知，当时，，故，解得，所以，所以当时，解方程，两边取以为底的对数得，解得，所以，所以可推断该文物属于汉朝.故选：B 【点睛】本题考查指数运算与对数运算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据半衰期计算得，进而解方程.7.函数的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及特殊范围即可排除求解.【详解】由于的定义域为,又，所以为奇函数，故可排除AB,由于当时，，故排除C，故选：D8.已知函数的定义域为，则“”是“是周期为2的周期函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分又不必要条件D.充要条件【答案】A【解析】【分析】通过可以得出，反过来不可以，反例见详解.【详解】由得，，所以，，即. 所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分条件.如下图是一个周期为得函数，得不出，所以“”是“是周期为2的周期函数”的不必要条件.所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分不必要条件.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.9.已知实数，其中，则下列关系中恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据不等式性质可判断A，C；举反例判断B；利用作差法判断D.【详解】对于A，由于，故两边同乘以b，即，A正确；对于B，当时，不成立，B错误；对于C，由于，故，C正确；对于D，因为，则，故，故，D正确. 故选：ACD10.已知函数，则下列说法错误的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称D.函数在上单调递减【答案】BC【解析】【分析】利用三角函数的性质逐个分析选项即可.【详解】因为，所以函数的最小正周期，故A正确；，所以函数的图象关于直线对称，故B错误；，所以的图象关于点对称，故C错误；若，则，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确．故选：BC．11.水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（） A.水斗作周期运动的初相为B.在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加C.在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是D.当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6【答案】AD【解析】【分析】求出圆的半径，利用周期求出，通过三角函数的解析式求出初相，再利用正弦函数的性质依次判断各选项即可．【详解】对于A，由，知，，所以；当时，点P在点A位置，有，解得，又，所以，故A正确；对于B，可知，当，，所以函数先增后减，故B错误；对于C，当，，，所以点到轴的距离的最大值为6，故C错误；对于D，当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，故D正确．故选：AD． 【点睛】方法点睛：求函数解析式的步骤：(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，.(2)求，确定函数的周期，则(3)求，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．12.一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”，特别地，当时，则称为的“完美区间”．则下列说法正确的是（）A.若为函数的“完美区间”，则B.函数，存在“倍美好区间”C.函数，不存在“完美区间”D.函数，有无数个“2倍美好区间”【答案】ABD【解析】【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误.【详解】因为函数的对称轴为，故函数在单调递增。所以值域，又为函数的“完美区间”，所以，得或，因为，所以，故A对；假设函数，存在“倍美好区间”设定义域为，值域为，当时，在区间上单调递增，所以，解得，故B对；因为在上单调递增，在上单调递减， 假设函数存在“完美区间”，当时，在单调递减，要使值域为，则，解得，即假设成立，故C错；假设函数定义域内任意子区间，因为在上单调递增，所以值域为，故内任意一个子区间都是“2倍美好区间”，故D对故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数在上单调递增，则______.【答案】【解析】【分析】由幂函数定义得或，结合幂函数单调递增即可得解.【详解】由，得或.又在上单调递增，所以.故答案为：.14.若扇形的周长为，面积为，圆心角为，则__________.【答案】【解析】【分析】由扇形的周长和面积公式进行求解即可.【详解】设扇形的半径为，因为扇形的周长为，扇形的面积为，由得，或，又因为，所以.故答案为：. 15.已知为方程的两个实数根，且，，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】由根与系数的关系及已知可求得，由,化简为关于的一元二次方程，根据方程有解，利用判别式计算即可得出结果.【详解】因为为方程的两个实数根，，所以，解得，或，若，则即，因为，故，若，则，不成立，若，则，故，故也不成立，故，所以，则，则，化简可得 ，由方程有解，可知：，即.解得：，则的最大值为.故答案为：.16.已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，讨论当时，，当且时，，确定函数零点只可能在且的情况，再分析含绝对值符号的二次函数即可得解.【详解】函数的定义域为R，当时，，当时，，当时，，此时函数无零点；当时，，当时，若，则，于是，若，函数的图象对称轴，此函数在上单调递增，，，即当且时，，函数无零点；于是只有当且时，函数才有零点，当，即时， ，当时，函数，当时，，当时，函数取得最小值，而当时，，显然当，即时，函数有两个零点，要函数恰有4个零点，必有，当时，函数的图象对称轴，则函数在上单调递减，在上单调递增，显然，而，因此函数在、上各有一个零点，所以实数的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：.【答案】7【解析】 【分析】结合指数幂与对数运算性质计算即可得.【详解】18.（1）已知，求的最小值；（2）若均为正实数，且满足，求的最小值.【答案】（1）8；（2）【解析】【分析】（1）先将函数解析式变形，再利用基本不等式求出最值；（2）结合1的妙用，利用基本不等式求出最值.【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.（2）因为均为正实数，，所以，，，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 19.已知函数的图象关于点对称.（1）求的单调递增区间;（2）求不等式的解集.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意首先根据对称中心求得函数表达式，然后令，解不等式组即可得解.（2）由，得,解不等式组即可得解.【小问1详解】由题意知，的图象关于点对称，，即．，故．令，得，即．函数的单调递增区间为．【小问2详解】 由（1）知，．由，得，即．不等式的解集为.20.对于函数．（1）判断函数的单调性，并给出证明；（2）是否存在实数a使函数为奇函数？【答案】（1）在区间上单调递增，证明见解析（2）存【解析】【分析】（1）利用单调性的定义证明函数的单调性；（2）假设存在实数a，使函数为奇函数，由奇函数定义得到等式恒成立，则可求出.【小问1详解】在区间上的单调递增．证明如下：对任意，且，，因为在单调递增，且，所以，即，又，则，即，所以，所以在区间上单调递增．小问2详解】假设存在实数a，使函数为奇函数， 则对任意，都有，解得，故存在实数，使函数是奇函数．21.网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形，，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为米．记此冰箱水平截面为矩形，．设，当冰箱被卡住时(即点、分别在射线、上，点在线段上），尝试用表示冰箱高度的长，并求出的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到）【答案】（1）冰箱能够按要求运送入客户家中，理由见解析；（2）最小值为米，此情况下能推运冰箱高度的最大值为米.【解析】【分析】（1）过A，D作水平线，作，由可得； （2）延长与直角走廊的边相交于、，由表示出，设进行换元，利用单调性即可求解.【小问1详解】过A，D作水平线，作如图，当倾斜角时，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离），故冰箱能够按要求运送入客户家中．【小问2详解】延长与直角走廊的边相交于、，则，，，又，则，．设，因为，所以，所以，则，再令，则， 易知，上单调递增，所以单调递减，故当，即，时，取得最小值.由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为米．22.若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集，②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为函数的一个上界．（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明）（1）试判断函数，是否是上的有界函数；（直接写结论）（2）已知函数是区间上的有界函数，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）对实数进行讨论，探究函数在区间上是否存在上界？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】22.不是上的有界函数，是上的有界函数23.24.当时，存在上界M，;当或时，存在上界M，； 当时，存在上界M，;当时，不存在上界M．【解析】【分析】（1）根据有界函数的定义判断即可；（2）先求解函数的值域，进而求解的取值范围，再根据有界函数的定义确定上界M的取值范围；（3）先求解函数及，再根据有界函数的定义，讨论m取不同数值时，函数是否存在上界，并求解出对应的上界范围.【详解】解：（1）的值域为不是上的有界函数，时，，此时时，，此时是上的有界函数（2），易知在区间上单调递增，∴.∴，所以上界构成的集合为．（3），当时，，，此时的取值范围是，当时，在上是单调递减函数， 其值域为，故，此时的取值范围是，当时，，若在上是有界函数，则区间为定义域的子集，所以不包含0，所以或，解得：或，时，在上是单调递增函数，此时的值域为，①，即或时，，此时的取值范围是，②，即时，，此时的取值范围是，综上：当时，存在上界，；当或时，存在上界，；当时，存在上界，，当时，此时不存在上界．