湖北省沙市中学2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学Word版.docx

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2023—2024学年度上学期2022级期末考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列直线经过第一象限且斜率为-1的是（）A.B.C.D.2.已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则（）A.B.C.D.13.已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（）A.B.或C.或D.4.已知数列满足，若则=（）A.8B.9C.10D.115.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.6.若为圆上任意两点，为直线上一个动点，则的最大值是（）A.B.C.D.7.如图，已知，是双曲线C：的左、右焦点，以为圆心的圆与双曲线左右两支交于P、Q两点，且则双曲线C的离心率为（）A.B.C.D.8.在等差数列中，是的前项和，满足，则有限项数列中，最大项和最小项分别为（）A.B.C.D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设直线与圆，则下列结论正确的为（）A.与可能相离B.不可能将的周长平分C.当时，被截得的弦长为D.被截得的最短弦长为10．已知数列的首项为4，且满足，则（    ）A．为等差数列B．为递增数列C．的前n项和D．的前n项和11.已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（）A.若为线段中点，则B.若，则C.存在直线，使得D.面积的最小值为212.如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体的侧面上的一个动点（含边界），P是棱的中点，则下列结论正确的是（）A.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为B.若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为C.三棱锥的体积最大值为D.若点M在上运动，则到直线PM的距离的最小值为三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．13.直线l经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则l的方程为________．14.已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为，则到平面的距离为______________15.二面角的棱上有两个点、，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱，若，，，，则平面与平面的夹角为_________.16.数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形，并把每一条边三等分，以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线 ．重复上述两步，画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线．设雪花曲线边长构成数列，面积构成数列．若的边长为3，则________；=________．四､解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）已知等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．18.（本题满分12分）某校举行数学竞赛，竞赛要完成三道题：代数，几何，组合各一道，竞赛记分方法如下：在规定时间内，答对代数题、几何题，每题均可获得30分，答对组合题，可获得40分，每答错一题，则扣除总分中的10分（假设答题只有对与错两种结果）.根据以往统计结果，小明答对代数、几何、组合的概率分别为，假设解答这三题结果彼此独立.已知小明初始分为0分，设比赛结束后，小明的总分为，求：（1）已知小明在规定时间内，将三题都答对的概率为，求该学生恰能答对三题中的一题的概率；（2）已知，求总分不低于50分的概率．EF19.（本题满分12分）如图，在五面体中，面为矩形，且与面垂直，，，．D（1）证明：//；AC（2）求平面与平面夹角的正弦值．B20.（本题满分12分）已知抛物线，（1）经过点作直线，若与抛物线有且仅有一个公共点，求的方程；（2）设抛物线的准线与轴的交点为，直线过点，且与抛物线交于两点，的中点为，若，求的面积． 21.（本题满分12分）已知数列的前n项和为（1）求证：数列是等差数列；（2）设的前n项和为；①求；②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围．22.（本题满分12分）点在双曲线上，离心率.（1）求双曲线的方程；2023-2024学年度上学期高二期末考试数学试卷参考答案1-8CABCBBDB9.BD10.BCD11.AD12.ABC13.14.115.16.17.【详解】（1）设数列的首项为，公差为，由题意得, 解得：，,所以……………5分（2）因为……………6分所以．……………10分18.【详解】解：（1）小明三道题都答对概率为，故，……………2分恰能解决三道题中的一道题的概率：；……………6分（2）若三道题均答对，则，；若组合题答对，代数、几何恰有一道题答对，则，；若代数几何均答对，但组合未答对，则，；.……………12分19.【详解】（1）证明：∵面为矩形，，且平面，平面，…………………1分∴平面，…………………2分又平面，平面平面，…………………3分∴．…………………4分（2）法一：（向量法）∵面为矩形面，，又面面，且面面，∴面，由（1）知，.，又，∴，∴，，两两垂直，…………6分以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立图示空间直角坐标系，则，，，，，．，，，，………7分设平面与平面的法向量分别为，，则∴令，解得，令，解得，……………9分于是，…………………10分 设平面与平面夹角为，，则所以平面与平面夹角的正弦值为．……………12分20.【详解】（1）由题意知点在抛物线外部，直线不会垂直于轴（此时与无公共点）；当直线平行于抛物线的对称轴x轴时，与抛物线有且仅有一个公共点，此时直线的方程为；……………1分当直线与抛物线相切时，斜率存在且不等于0，可设的方程为，由，得，由，解得或1，则的方程为与，即与，综上：的方程是或或.……………6分（2）设，直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，，得，,，,……………7分所以，所以，又抛物线的准线为,所以，则，整理得，解得或（舍），则．……………12分21.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，所以，所以是公差为的等差数列；……………4分 （2）①因为，所以，所以，，，，两式相减得，，所以，；……………8分②对任意的恒成立，，则对任意的恒成立，……………9分令=，为递减数列，则当时，，.……………12分22.【详解】（1）由题意点在双曲线上，离心率可得；，解出，，所以，双曲线的方程是……………4分（2)①当直线的斜率不存在时，则可设，代入，得，则， 即，解得或，当时，，其中一个与点重合，不合题意；当时，直线的方程为，它与双曲线不相交，故直线的斜率存在；…6分②当直线的斜率存在时，设直线的方程代入，整理得，，设，则，由，所以所以，，即,……………9分整理得，即，所以或，……………10分若，则，直线化为，过定点；若，则，直线化为，它过点，舍去综上，直线恒过定点……………12分另解：设直线的方程为①，双曲线的方程可化为，即②，由①②可得， 整理可得，两边同时除以，整理得③，，则是方程③的两个不同的根，所以，即④，由①④可得，解得，故直线恒过定点.