重庆市第十八中学2023-2024学年高二上学期期末数学模拟试题 Word版含解析.docx

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高二年级上学期期末模拟试卷数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用等差数列片段和的性质可求得的值.【详解】因为，，由等差数列的性质可知、、成等差数列，所以，,所以，.故选：B.2.点关于平面对称的点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果.【详解】由空间直角坐标系的性质可知，点关于平面对称的点的坐标是.故选：A3.抛物线的准线方程是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】把抛物线方程化成标准方程，再求其准线. 【详解】抛物线方程化成标准方程为：，所以，且抛物线开口向上.所以抛物线准线为：.故选：B4.已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用点差法即可．【详解】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．设双曲线C的方程为，则．设，，则，，．由，得，即，∴，易得，，，∴双曲线C的离心率．故选：B．5.在等比数列中，，则=　　A.或B.C.或D.或【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质得，又由，联立方程组，解得的值，分类讨论求解，即可得到答案. 【详解】由题意，根据等比数列的性质，可得，又由，联立方程组，解得或，当时，则，此时；当时，则，此时，故选A.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的应用，其中解答中根据等比数列的性质，联立方程组，求得的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6.如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（）A.B.C.4D.2【答案】C【解析】【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由二面角的平面角的定义知，∴，由，得，又，∴，所以，即. 故选：C.7.已知等差数列中，，，记数列的前项和为，若，对任意的恒成立，则整数的最小值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设公差为，由，可得的方程组，解出，从而得到，，对任意的成立，等价于，令，通过作差可判断的单调性，根据单调性即可得到的最大值，从而可得结果.【详解】设公差为，由，得，解得，，故，令，则，是递减数列，最大为，根据题意，的最小值为，故选：B.【点睛】方法点睛：等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.8.已知椭圆的两焦点为，，x轴上方两点A，B在椭圆上，与平行，交于P.过P且倾斜角为的直线从上到下依次交椭圆于S，T.若，则“为定值”是“为定值”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不必要也不充分条件【答案】D【解析】【分析】先求出的轨迹，其轨迹方程为，取，结合特殊情形可得“当取定值，是定值”是错误的；再由是定值可得，从而可判断当取定值，是定值”是错误的，从而可得正确的选项.【详解】设为椭圆上的动点，为椭圆的半焦距，故，故，设直线，则到该直线的距离为，故，如图，设直线的倾斜角为，过作的垂线，垂足为，则，故，设，故，同理设的倾斜角为，则，， 因为，故，所以，所以，同理，故，故的轨迹为以为焦点的椭圆，其长半轴长为，短半轴长为，故的轨迹方程为：，其中.取，,而，故不是定值即不是定值.故“当取定值，是定值”是错误的.又直线的参数方程为：，设，由整理得到：， 故，而，故，所以，若为定值，则为定值，而，故当变化时，始终为定值，又 故且，但，故，所以，但此时随的变化而变化，不是定值，故“当取定值，是定值”是错误的. 故选：D【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中的动态问题，注意利用圆锥曲线的几何性质去研究动点的轨迹，对于是否为定值的问题，注意构建不同变量之间的关系，结合特例来处理是否为定值的问题.二、多项选择题（全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，共20分）9.若直线与圆相切，则b的取值可以是（）A.B.C.2D.【答案】AC【解析】【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径求解.【详解】因为直线与圆相切，所以，解得：.故选：AC10.关于，的方程(其中)表示的曲线可能是（）A.焦点在轴上的双曲线B.圆心为坐标原点的圆C.焦点在轴上的双曲线D.长轴长为的椭圆【答案】BC【解析】【分析】根据各曲线的定义逐项验证参数的取值即可得出答案.【详解】解：对于A：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，无解，选项A错误；对于B：若曲线表示圆心为坐标原点的圆，则，解得，选项B正确；对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，所以或，选项C正确；对于D：若曲线表示长轴长为的椭圆，则，， 则或，无解，选项D错误.故选：BC.11.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an-2，若存在两项am，an，使得aman＝64，则下列结论正确的是（）A.数列{an}为等比数列B.数列{an}为等差数列C.m+n为定值D.设数列{bn}的前n项和为Tn，bn＝log2an，则数列为等差数列【答案】ACD【解析】【分析】根据与的关系式，可求出数列的通项公式，从而可判断选项A，B；根据数列的通项公式可求出选项C中的值；根据数列的通项公式可求出数列的通项公式，从而求出，然后即可判断数列为等差数列，从而判断选项D.【详解】因为数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an-2，所以当n＝1时，，所以a1＝2；当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，所以an＝Sn-Sn﹣1＝2an﹣2an﹣1，整理得an＝2an﹣1，即，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故选项A正确，选项B错误；所以.由于，故存在两项am，an，使得aman＝64，此时2m+n＝26，即m+n＝6，故选项C正确.bn＝，所以，所以，所以，故数列为等差数列，故选项D 正确.故选：ACD.12.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为底面内的一动点（含边界），则下列说法正确的是（）A.过点，，的平面截正方体所得的截面周长为B.存在点，使得平面C.若平面，则动点的轨迹长度为D.当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为【答案】ACD【解析】【分析】取的中点，然后证明截面为，求出周长即可判断A；假设存在点F，根据，分别判断点F位置即可得到矛盾，B错误；根据平面平面即可确定动点的轨迹，可判断C；由AC判断点F位置，然后建立空间直角坐标系，利用空间两点距离公式确定球心位置，然后可判断D.【详解】A选项，如图，取的中点，连接，因为为的中点，所以，，所以过点，，的平面截正方体所得的截面为梯形，其周长为，故A选项正确； B选项，假设存点，使得平面，则，得只能在线段上，再由，得只能在线段上，即与重合，不符合题意，故B选项错误；C选项，如图，取的中点M，的中点，连接，，，可得，，又平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，所以动点的轨迹为线段，其长度为，故C选项正确；D选项，由A，C选项可得，平面平面， 所以当在点时，到平面的距离最大，此时为等边三角形，因为平面，所以三棱锥的外接球球心一定在直线上，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，由得，，解得，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D选项正确．故选：ACD．三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知直线与圆相切，则______.【答案】【解析】【分析】根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】由点到直线的距离公式可得，故答案为： 14.已知直线与直线垂直，则实数a的值为________．【答案】或【解析】【分析】利用两直线垂直可得出，解该方程即可.【详解】因为直线与直线垂直，则，解得或.故答案为：或.15.已知数列满足，，则数列的首项__________【答案】【解析】【分析】根据递推关系，分别令和，代入运算求解即可.【详解】因为，令，则，解得；令，则，解得.故答案为：216.已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】本题先求出直线必过的定点，再求出的轨迹方程，再数形结合求最值即可.【详解】 由得，所以直线过点．连接AM，则，由题意知点Q在以AM为直径的圆上，设，所以点Q的轨迹方程为（不包含点），记圆的圆心为，过点Q，P，N分别作准线的垂线，垂足分别为B，D，S，连接DQ，则，当且仅当B，P，Q，N四点共线且点Q在PN中间时等号同时成立，所以的最小值为．故答案为;四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设Sn为等差数列{an}的前n项和，S7=49，a2+a8=18.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若S3、a17、Sm成等比数列，求S3m.【答案】（1）an=2n﹣1；（2）1089.【解析】【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由条件有，可求出，进而得出答案.（2）由（1）知：S,由S3、a17、Sm成等比数列，可以求出，则可得出的值.【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，∵Sn为等差数列{an}的前n项和，S7=49，a2+a8=18，∴⇒，解得：d=2.∴（2）由（1）知：.∵成等比数列，∴，即9m2，解得m11.故 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和求前项的和，以及等比数列的性质，属于中档题.18.已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线的方程为．（1）求的顶点、的坐标．（2）若圆经过不同的三点、、，且斜率为的直线与圆相切于点，求圆的方程．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由题意可知直线的方程为：，与直线CD联立可得C点的坐标，设，则的中点，代入方程，解得，所以．（2）由题意可得圆的弦的中垂线方程为，圆心坐标为，圆心在直线上，则，且，即，据此可得圆心，半径，所求圆方程为．【详解】（1）边上的高所在直线的方程为，所以直线的方程为：，又直线的方程为：，联立得解得，所以设，则的中点，代入方程，解得，所以．（2）由，可得，圆的弦的中垂线方程为，注意到也是圆的弦，所以圆心在直线上， 设圆心坐标为，因为圆心在直线上，所以①，又因为斜率为的直线与圆相切于点，所以，即，整理得②，由①②解得，，所以圆心，半径，故所求圆方程为，即．19.如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．【详解】（1）因为，为的中点，所以，且．连结． 因为，所以为等腰直角三角形，且，由知．由知，平面．（2）［方法一］：【通性通法】向量法如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．由已知得取平面的法向量．设，则．设平面的法向量为．由得，可取所以．由已知得．所以．解得(舍去)，．所以．又，所以． 所以与平面所成角的正弦值为．［方法二］：三垂线＋等积法由（1）知平面，可得平面平面．如图5，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即．设，则，在中，．在中，由，得，则．设点C到平面的距离为h，由，得，解得，则与平面所成角的正弦值为．［方法三］：三垂线＋线面角定义法由（1）知平面，可得平面平面．如图6，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即．同解法1可得．在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结．在 中，．因为，所以．由平面，可得平面平面，交线为．在平面内，由，可得平面，则为直线与平面所成的角．设，则，又，所以直线与平面所成角的正弦值为．［方法四］：【最优解】定义法如图7，取的中点H，联结，则．过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）．联结，则即为二面角的平面角，即，得．联结，则为直线与平面所成的角．在中，，所以．【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法；方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段；方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦；方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解．20.如图，在四棱锥中，平面，，且，，， ，，为的中点．（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）存在；【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解平面与平面的锐二面角的余弦值.（2）令，，然后根据直线与平面所成角的正弦值，从而得到关于的方程式而求解.【小问1详解】过作，垂足为，可得：，由题意知，可以点为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，设平面的一个法向量为，，，则：，令，解得：， 设平面的一个法向量为，，，则：，令，解得：，所以：，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【小问2详解】存在，，理由如下设上存在一点，设，，连接，如（1）中图所示，，又因为直线与平面所成角的正弦值为，由（1）知平面的一个法向量为，所以：，化简得：，即：，又因为，所以：，故存在，且.21.在数列中，任意相邻两项为坐标的点均在直线上，数列满足条件：，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】 （1）由题意得出，利用等比数列的定义可证明出数列是以为首项，以为公比的等比数列，由此可求出数列的通项公式；（2）求出数列通项公式，然后利用错位相减法能求出.【详解】（1）数列中，任意相邻两项为坐标的点均在直线上，，.，，，数列是以为首项，以为公比的等比数列.数列的通项公式为；（2）由于，，①，②①②得.【点睛】本题考查利用等比数列的定义求数列的通项，同时也考查了利用错位相减法求数列的和，考查计算能力，属于中等题.22.已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点在x轴上，离心率为，点P在C上，且的周长为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点动直线l与C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴的交点为E，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）根据题意得到，再解方程组即可.（2）首先设出直线的方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、点关于轴对称、三点共线得到，从而得到，再利用换元法求解最值即可.【小问1详解】由题知：，所以椭圆【小问2详解】如图所示：设直线，..，解得.，.因为点关于轴对称，所以.设，因为三点共线，所以. 即，即.解得.所以点为定点，..令，则，当且仅当，即时取等号.所以的面积的最大值为.