湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期第五次月考数学Word版含解析.docx

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衡阳市八中2024届高三第五次月考数学试卷总分：150分考试时间：120分钟；一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则|z1＋z2|＝(　　)A.2B.3C.2D.3【答案】A【解析】【详解】由题图可知，z1＝－2－i，z2＝i，则z1＋z2＝－2，∴|z1＋z2|＝2，故选A.2.函数部分图像大致为（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】先求解函数的定义域，且，故函数为偶函数，排除BC；再求出，排除D，选出正确答案.【详解】定义域为R，且，故为偶函数，所以排除选项B和选项C；又，排除D.故选：A．3.已知圆为的外接圆，，，则（）A.2B.C.4D.【答案】B【解析】【分析】先利用正弦定理求外接圆的半径，再根据数量积的定义分析运算.【详解】如图，圆的直径为，故，，故.故选：B. 4.直线、是异面直线，、是平面，若，，，则下列说法正确的是（　　）A.至少与、中的一条相交B.至多与、中的一条相交C.与、都相交D.与、都不相交【答案】A【解析】【分析】依题意可知，共面于，共面于.利用空间两条直线的位置关系，对选项举出反例进行排除，由此得出正确选项.【详解】解：由直线、是异面直线，、是平面，若，，，知：对于选项，可以与、都相交，交点为不同点即可，故选项不正确；对于选项，，，满足题意，故选项不正确；对于选项，与、都不相交，则与、都平行，所以，平行，与异面矛盾，故选项不正确；对于选项，由，、是错误的，可知正确.由于共面，共面，若与都平行，根据平行公理可知平行，这与已知异面矛盾，故选项正确.故本小题选.【点睛】本小题主要考查空间直线的位置关系，包括平行、相交、异面和平行公理的考查，属于基础题.5.已知函数的图象经过坐标原点，则曲线在点处的切线方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由曲线过原点求，根据导数的几何意义求切线方程.【详解】因为函数的图象经过坐标原点，所以，所以， 所以所以．因为，所以．所以所求切线方程为，即．故选：A.6.已知函数的导函数为，，且在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）①“”是“”的充要条件；②“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件．A.①真命题；②假命题B.①假命题；②真命题C.①真命题；②真命题D.①假命题；②假命题【答案】C【解析】【分析】对于①，构造函数，结合题设，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，可判断其真假；对于②，结合函数单调性，判断必要性；采用反证思想，结合题设推出矛盾，说明充分性成立，判断②的真假.【详解】对于①：设，，则，因为在R上为严格增函数，故，即，则在R上单调递增，由于，故，即。即；当成立时，即，由于在R上单调递增，故， 故“”是“”的充要条件，①为真命题；对于②，当在R上为严格增函数时，由对任意，则都有成立；当对任意都有时，假设在R上不为严格增函数，即不恒大于等于0，即，使得，由于在R上为严格增函数，故时，，此时在上单调递减，且其图象为一个严格递减的凹型曲线，故当趋近于负无穷时，的值将趋近于正无穷大，这与对任意都有矛盾，则假设不成立，即“在R上为严格增函数”成立，即“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件，②为真命题，故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断②中命题的充分性成立，解答时采用反证思想，推得矛盾，说明充分性成立.7.已知是定义在上的单调函数，满足，且.若，则与的关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由可求的值，结合在上的单调且即可知为单调增函数，结合即可得的唯一值，进而得到与的关系【详解】由，若令，则，即或∵是定义在上的单调函数，而，知：(为常数)∴，即在上为单调增函数∵ ∴，故，即有故选：A【点睛】本题考查了函数的单调性，利用函数单调性判断参数的大小关系，进而确定参数所构成对数的值，从而得到参数间的等量关系8.已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是（）A.B.C.数列是递增数列D.【答案】D【解析】【分析】的极值点为的变号零点，即为函数与函数图像在交点的横坐标.将两函数图像画在同一坐标系下.A选项，利用零点存在性定理及图像可判断选项；BC选项，由图像可判断选项；D选项，注意到，由图像可得单调性，后可判断选项.【详解】解：的极值点为在上的变号零点.即为函数与函数图像在交点的横坐标.又注意到时，，时，，，时，.据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.A选项，注意到时，，，. 结合图像可知当，.当，.故A错误；B选项，由图像可知，则，故B错误；C选项，表示两点与间距离，由图像可知，随着n的增大，两点间距离越来越近，即为递减数列，故C错误；D选项，由A选项分析可知，，又结合图像可知，当时，，即此时，得在上单调递增，则，故D正确.故选：D【点睛】关键点点睛：本题涉及函数的极值点，因函数本身通过求导难以求得单调性，故将两相关函数画在同一坐标系下，利用图像解决问题.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.单位向量与的夹角为锐角，则的取值可能为（）A.B.C.D. 【答案】BC【解析】【分析】令与的夹角为，则，利用向量的模的运算，即可得出相应的范围.【详解】由题知，令与的夹角为，则，，所以，，故选：BC10.中，内角A，B的对边分别为a，b，则下列能成为“”的充要条件的有（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据正弦定理判断A，利用余弦函数性质判断B，结合余弦二倍角公式判断C，举反例判断D．【详解】由正弦定理，A是充要条件，由余弦函数的性质，三角形内角都在上，B也是充要条件，中，，，即，C是充要条件，，满足，但，，，D不是充要条件．故选：ABC．11.若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.在区间上单调递减C.是函数图象的一个对称轴D.的图象关于点对称【答案】ACD【解析】 【分析】由题可得，再利用余弦函数的性质即可判断.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.对于A，的周期为，故A正确；对于B，由，得，从而即时，单调递减，故B不正确；对于C，，所以是函数图象的一个对称轴，故C正确；对于D，，所以的图象关于点对称，故D正确．故选：ACD.12.商场某区域的行走路线图可以抽象为一个的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），甲、乙两人分别从，两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，为止，下列说法正确的是（）A.甲从必须经过到达的方法数共有9种B.甲从到的方法数共有180种C.甲、乙两人在处相遇的概率为 D.甲、乙两人相遇的概率为【答案】ACD【解析】【分析】利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可判断A选项；分析可知从点到点，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，结合分步乘法计数原理可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；找出两人相遇的位置，求出两人相遇的概率，可判断D选项．【详解】对于A，从点到点，需要向上走2步，向前走1步，从点到点，需要向右走2步，向前走1步，所以，甲从必须经过到达的方法数为种，A正确；对于B,从点到点，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，所以，甲从到的方法数为种，B错误；对于C，甲从点运动到点，需要向上、前、右各走一步，再从点运动到点，也需要向上、前、右各走一步，所以，甲从点运动到点，且经过点，不同的走法种数为种，乙从点运动到点，且经过点，不同的走法种数也为36种，所以，甲、乙两人在处相遇的概率为，C正确；对于D，若甲、乙两人相遇，则甲、乙两人只能在点、、、、、、，甲从点运动到点，需要向上走2步，向前走1步，再从点运动到点，需要向前走1步，向右走2步，所以甲从点运动到点且经过点的走法种数为，所以甲、乙两人在点处相遇的走法种数为， 同理可知，甲、乙两人在点、、、、处相遇的走法种数都为，因此，甲、乙两人相遇的概率为，D正确．故选：ACD．【点睛】解答本题的关键在于利用组合数去计算对应的方法数，将从到的路线转变为六步，其中每一条路线向上步数确定后，则对应向右的步数也能确定，因此可以考虑从六步中选取向上或向右的步数，由此得到的组合数可表示对应路线的方法数．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.二项式的展开式的中间项系数为_____．【答案】20【解析】【分析】先确定展开式的项数，进而找到中间项求系数即可.【详解】二项式的展开式共有7项，第四项为中间项，系数为.故答案为20.【点睛】本题主要考查了二项式的展开，属于基础题.14.记函数在处的导数为，则________．【答案】【解析】分析】求导后可得，结合对数运算法则可求得结果.【详解】，，即，.故答案为：.15.设是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为上一个动点，且的取值范围为，则椭C的长轴长为______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的运算律，结合椭圆的范围求得 ，再列式计算即得.【详解】椭圆的半焦距为c，为的中点，，显然，于是，因此，即，解得，，即，所以椭圆C的长轴长为.故答案为：16.已知是单位向量，向量满足，且，其中，且．则下列结论中，正确结论的序号是___________．①；②；③存在x，y，使得；④当取最小值时，．【答案】①③④【解析】【分析】由结合数量积运算得；又由，求得，进而得；结合基本不等式求得；进而得到，同时平方即得.【详解】由可得，即，①正确；又且，则，即，所以， 又，则，同理，则，即，②错误；由知至少一正，若一正一负，则，显然不满足，故均为正，则，当且仅当时等号成立，则，当且仅当时等号成立，则存在x，y，使得，③正确；当取最小值2时，，由可得，则，即，则，④正确.故答案为：①③④.【点睛】本题关键点在于由结合得到，进而得，再结合基本不等式求得，最后由平方即可求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.17.在中，角，，所对的边分别是，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的值.【答案】17.；18.【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及两角差的余弦公式进行化简求解；（2）由余弦定理得，由正弦定理得，即得的值.【小问1详解】 因为，根据正弦定理可得在中，，所以有，则有，即，又，所以.【小问2详解】根据余弦定理，，所以根据正弦定理，，则有，所以.18.已知数列的前项和为，，等比数列的公比为，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前10项和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）当时求出，可得通项与，由求数列的通项公式；（2）利用分组求和法求数列的前10项和.【小问1详解】当时，，，，等比数列的公比为，则有，由，可得．当时，．经检验，当时，满足上式， 所以．【小问2详解】，设的前10项和为，．19.某校在一次庆祝活动中，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向，两个目标投掷，先向目标掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标的概率为，套中目标的概率为，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为．（1）求小明恰好套中2次的概率；（2）求的分布列及数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）分类讨论及利用概率乘法公式计算即可；（2）利用随机变量的分布列与期望公式计算即可.【小问1详解】记“小明恰好套中2次”为事件A，分3种情况第一次，第二次套中；第一次，第三次套中；第二次第三次套中；则：，小明恰好套中2次的概率为；【小问2详解】由题意可得：的可能取值为0，1，2，3，4，5， ，，，，，，所以的分布列为012345所以.20.如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面且．（1）证明：平面.（2）求平面与平面的夹角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接，利用面面垂直、线面垂直，以及线段长度求证线面垂直即可.（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，进而求出其夹角大小即可.【小问1详解】 取中点，连接都是边长为2的正三角形，，，又，面，面，面，又平面平面，面且又面且，，，是正方形，又，平面，平面，平面【小问2详解】由（1）知两两垂直，如图建立空间直角坐标系由于轴垂直面∴平面的法向量为又，，，设平面的法向量，则，令，则，，所以 ∴平面与平面的夹角为21.已知抛物线的焦点为，点在上，且的最小值为1.（1）求的方程；（2）过点的直线与相交于，两点，过点的直线与相交于，两点，且，不重合，判断直线是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.【答案】21.22.过定点，定点为【解析】【分析】（1）根据抛物线上点的坐标特点，确定的最小值即可得，从而得抛物线方程；（2）根据直线的斜率公式结合点共线得到A、C纵坐标的关系，点斜式得到直线，从而确定定点.【小问1详解】由题意可设，则所以则的最小值为，则，得.所以的方程为.【小问2详解】因为A，C不重合，所以直线，，的斜率必然存在.设，，. 直线的斜率，得.直线的斜率.得.由，可得.直线的斜率.所以直线的方程.故直线过定点.【点睛】关键点点睛：本题第二问解题关键是利用三点共线得到A、C纵坐标的关系，再结合点斜式方程写出直线AC的方程可得解.22.设.（1）讨论的单调性；（2）设，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）先求定义域，再求导，对导函数因式分解，分，，三种情况，求出单调性； （2）不等式转化为，构造，求导得到其单调性，得到当且仅当时等号成立，并且存在，满足，故当时，满足要求，当时，不合要求，得到答案.【小问1详解】函数的定义域为，求导得，①，令，得；令，得，则在上单调递增，在上单调递减②，令得，，当时，，当或时，；当时，，则在，单调递增，在单调递减；当时，恒成立，故在单调递增；当时，，当或时，，当时，，则在，单调递增，在单调递减.综上，当时，，单调递增，在单调递减；当时，在单调递增；当时，在，单调递增，在单调递减；当在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】将代入中，， 化简得，不等式两边同减去得，，可化为，令，则，易知当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，从而，当且仅当时等号成立，则，当且仅当时等号成立，令，，故当或时，，单调递增，当时，，单调递减，，，，故存在，满足，当时，，，可得原不等式成立；当时，由于存在，满足，从而使得，而，于是不恒成立.综上，实数a的取值范围是.【点睛】难点点睛：导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是两边同减去得，从而构造进行求解.