北京市顺义区第一中学2023-2024学年高二上学期期中考数学Word版含解析.docx

《北京市顺义区第一中学2023-2024学年高二上学期期中考数学Word版含解析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

顺义一中2023-2024学年度高二年级第一学期期中考试数学试卷本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.经过两点的直线的斜率是（）A.1B.C.D.2.已知向量，，且，则实数的值为（）．A4B.C.2D.3.已知圆与圆外切，则（）A.B.C.D.4.已知方程表示圆，则实数的取值范围是A.B.C.D.5.设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为（）A.B.C.D.7.椭圆的焦点坐标为（）A，B.，C.，D.，8.在正方体中，，分别是棱，的中点，则直线和所成角的余弦值是（） A.B.C.D.9.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面的距离是（）A.B.C.D.10.已知直线与交点在第四象限，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.二､填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知向量，，则______．12.已知直线x-y-1=0和圆（x-1）2+y2=1交于A，B两点，则|AB|=________．13.点关于直线的对称点的坐标为______.14.点到直线的最大距离为_____________．15.关于曲线，给出下列四个结论：①曲线关于原点对称，也关于轴､轴对称：②曲线围成的面积是；③曲线上任意一点到原点的距离者不大于；④曲线上的点到原点的距离的最小值为1.其中，所有正确结论的序号是__________.三､解答题（本大题共6小题，共85.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知的顶点为，，，求：（1）边AC上的中线所在直线的方程； （2）边AC上的高所在直线的方程；（3）边AC的垂直平分线的方程.17.已知直线.（1）当a=1时，求两直线的距离；（2）若.求a的值；（3）写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值.18.已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.（1）求圆标准方程；（2）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的一般式方程；（3）求过点与圆相切的直线方程.19.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点（1）求证：（2）求直线与平面所成角的正弦值（3）求平面与平面的夹角的余弦值20.已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．（1）求圆C的标准方程；（2）直线与圆C交于A，B两点．①求k的取值范围；②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．21.已知、是圆上两个不同的动点，是线段的中点，点满足.（1）当的坐标为时，求的坐标； （2）求点的轨迹方程；（3）求的最小值与最大值. 顺义一中2023-2024学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.经过两点的直线的斜率是（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据两点斜率公式即可求出.【详解】经过两点的直线的斜率是.故选：B.2.已知向量，，且，则实数的值为（）．A.4B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】解：因为，，且，所以，解得.故选：A3.已知圆与圆外切，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据两圆外切关系，圆心距离等于半径的和列方程求参数.【详解】由题设，两圆圆心分别为、，半径分别为1、r， ∴由外切关系知：，可得.故选：D.4.已知方程表示圆，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题首先根据圆的一般式方程可知，再根据题意即可列出不等式，最后通过计算得出结果．【详解】由圆的一般式方程可得即，解得，故选C．【点睛】本题考查的是圆的相关性质，对圆的一般式方程的性质的了解是解决本题的关键，方程想要表示圆，则需要满足，是简单题．5.设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】∵当a=1时，直线：x+2y﹣1=0与直线：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系． 6.直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用截距式的几何意义得到，，从而求得该圆的圆心与半径，进而得解.【详解】因为直线在x，y轴上的截距分别为4，2，则，，所以AB的中点坐标为，且，故以线段AB为直径的圆的方程为，即故选：B.7.椭圆的焦点坐标为（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【分析】由题方程化为椭圆的标准方程求出c，则椭圆的焦点坐标可求．【详解】由题得方程可化为，所以所以焦点为故选：A.8.在正方体中，，分别是棱，的中点，则直线和所成角的余弦值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式即可求解.【详解】以为坐标原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为4，所以,，所以所以所以,故选：D.9.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面的距离是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用点到平面的距离公式计算即可.【详解】建立空间直角坐标系如图所示： 则，，，，，，设平面的法向量为，则，即，则平面的一个法向量为，则点A到平面的距离.故选：C10.已知直线与的交点在第四象限，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出两直线的交点，再解不等式组即得解.【详解】联立解得， 由直线与的交点在第四象限可得，解得，即实数的取值范围为．故选：C．二､填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知向量，，则______．【答案】【解析】【分析】将向量相加求模即可.【详解】由题，所以.故答案为：.12.已知直线x-y-1=0和圆（x-1）2+y2=1交于A，B两点，则|AB|=________．【答案】2【解析】【分析】首先确定圆心到直线的距离，然后求解弦长即可．【详解】圆（x-1）2+y2=1的半径r=1，圆心（1,0）圆心到直线距离，则直线经过圆的圆心，所以弦长|AB|=2r=2．故答案为：2．13.点关于直线的对称点的坐标为______.【答案】【解析】【分析】设点，根据线段的中点在直线上以及斜率得出方程组，解方程组即可得出点 的坐标.【详解】设点是点关于直线的对称点.由已知直线的斜率为1，所以，解得，所以点.故答案：.14.点到直线的最大距离为_____________．【答案】【解析】【分析】根据题意可知：直线过定点，由条件可知：点到直线的最大距离就是点到定点的距离，利用两点间距离公式即可求解.【详解】因为直线方程可化为，不论取何值，直线都过，即点，由题意可知：点到直线的最大距离就是点到定点的距离，由两点间距离公式可得：，故答案为：.15.关于曲线，给出下列四个结论：①曲线关于原点对称，也关于轴､轴对称：②曲线围成的面积是；③曲线上任意一点到原点的距离者不大于；④曲线上的点到原点的距离的最小值为1.其中，所有正确结论的序号是__________.【答案】①③④【解析】【分析】画出曲线的图象，根据对称性、面积、图象等知识确定正确答案.【详解】曲线， 则时，，时，，时，，当时，，由此画出曲线的图象如下图所示，由图可知：曲线关于原点对称，也关于轴、轴对称，①正确.曲线围成的面积是，②错误.曲线上任意一点到原点的距离者不大于，③正确曲线上的点到原点的距离的最小值为1，即，所以④正确.故答案为：①③④.三､解答题（本大题共6小题，共85.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知的顶点为，，，求：（1）边AC上的中线所在直线的方程；（2）边AC上的高所在直线的方程；（3）边AC的垂直平分线的方程.【答案】（1）（2） （3）【解析】【分析】（1）根据中点坐标公式得到，然后根据点斜式求直线方程即可；（2）根据两直线垂直时斜率相乘为-1得到边上高的斜率为-2，然后写直线方程即可；（3）由（1）（2）得的垂直平分线的斜率为-2，过点，然后写直线方程即可.【小问1详解】设中点为，所以，即，所以，直线：，即，所以边上的中线所在的直线方程为.【小问2详解】由题意得，所以边上高的斜率为-2，所以边上高所在直线的方程为：，即.【小问3详解】由（2）得的垂直平分线的斜率为-2，由（1）得的垂直平分线过点，所以的垂直平分线的方程为：，即.17.已知直线.（1）当a=1时，求两直线的距离；（2）若.求a的值；（3）写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值.【答案】（1）（2）（3）；【解析】 【分析】（1）利用两平行线间的距离公式求解即可；（2）利用两直线垂直时斜率的关系求解即可；（3）先利用点到直线的距离公式，再分析最小值即可求解【小问1详解】当a=1时，，所以两直线的距离为；【小问2详解】若，则，解得；【小问3详解】原点到直线的距离为，当时，18.已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.（1）求圆标准方程；（2）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的一般式方程；（3）求过点与圆相切的直线方程.【答案】18.；19.和；20.和.【解析】【分析】（1）设圆心，则圆心到与距离相同且等于半径，由此求出，进而求出圆C的方程.（2）分别研究斜率存在与斜率不存在时两种情况：当斜率不存在时，直线为 ，符合要求；当斜率存在时，设直线l为，则圆心到直线的距离，再结合弦长公式即可求出k的值，由此能出直线l的方程.（3）根据题意，分直线斜率存在与不存在讨论，由直线与圆相切可得，列出方程，即可得到结果.【小问1详解】设圆心，则圆心到与距离相同且等于半径，所以，解得，所以圆心为，半径，所以圆C的方程为．【小问2详解】当斜率存在时，设直线l为，整理得，则圆心到直线的距离，①又因为，解得，②由①②解得：，所以直线方程为，整理得；当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离，所以其弦长为，符合题意.综上，所求直线方程为和.【小问3详解】当斜率存在时，设直线l为，整理得，则圆心到直线的距离，解得：，所以直线方程，整理得；当斜率不存在时，直线为；综上，所求直线方程为和. 19.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点（1）求证：（2）求直线与平面所成角的正弦值（3）求平面与平面的夹角的余弦值【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标公式计算得向量垂直，从而证明线线垂直；（2）利用空间向量线面角公式进行求解即可；（3）利用面面角的向量求法进行求解即可；【小问1详解】因为底面，且四边形是矩形，所以，，两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则、、、、、，所以，， 所以，所以，得证；【小问2详解】设平面的法向量为，，，由，取，可得，又，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】易知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.20.已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．（1）求圆C的标准方程；（2）直线与圆C交于A，B两点．①求k的取值范围；②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.【解析】【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；（2）（ⅰ）联立直线方程和圆方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a， 又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆C的标准方程为：.（2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点，所以，即k的取值范围是.（ⅱ）设，由根与系数的关系：，所以.即直线OA,OB斜率之和为定值.21.已知、是圆上两个不同的动点，是线段的中点，点满足.（1）当的坐标为时，求的坐标；（2）求点的轨迹方程；（3）求的最小值与最大值.【答案】（1）或（2）（3）的最小值为，最大值为【解析】【分析】（1）分析可知点的横坐标为，将代入圆的方程，可求得点的坐标；（2）分析可知，利用两点间的距离公式、勾股定理化简可得出点的轨迹方程；（3）利用圆的几何性质求出的最小值和最大值，结合可求得结果.【小问1详解】解：由题意可知，，而直线为轴，所以点的横坐标为， 将代入圆的方程可得，此时点的坐标为或.【小问2详解】解：设点，因为，为的中点，则，连接，则，且，所以，，整理可得，因此，点的轨迹方程为.【小问3详解】解：因为，则点在圆内，记圆的圆心为，半径为，则，则，即，所以，当点为圆与轴的负半轴的交点时，取最大值，当点为圆与轴正半轴的交点时，取最小值，所以，.因此，的最小值为，最大值为.