浙江省杭州学军中学西溪校区2022-2023学年高一上学期期中数学 Word版含解析.docx

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杭州学军中学2022学年高一第一学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A.B.C.MD.N【答案】C【解析】【分析】由指数函数性质解不等式，由并集的概念求解，【详解】由得，则，故，故选：C2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，或D.，或【答案】D【解析】【分析】利用全称量词否定存在命题，即可得到结论.【详解】用全称量词否定存在命题，所以命题“，”的否定是“，或”.故选：D3.已知，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立. 【详解】当，时，，则当时，有，解得，充分性成立；当，时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.已知函数的值域为，则函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由对数函数的性质与复合函数的定义域求解，【详解】由值域为，得，故，即的定义域为，令得，故的定义域为，故选：D5.已知，函数，若方程恰有2个实数解，则可能的值为是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分别求出两段函数的零点，把分段讨论，由两段函数在不同区间内的零点个数得答案.【详解】解：令，由，解得，由，解得或，当时，方程仅有一个实数解，当时，方程恰有两个实数解，， 当时，方程有三个实数解，，，当时，方程恰有两个实数解，，方程恰有2个实数解，则的范围是.故选：D.6.若函数在上单调递增，则a的范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】写出，得到函数在分段处，函数值相等，故只需满足，从而求出a的范围.【详解】，又，即函数在分段处，函数值相等，要想在上单调递增，则，解得：故选：B7.已知均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】分析可知，、、同号，分、、和、、两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出、、的大小关系.【详解】且、、均为不等于的正实数，则与同号，与同号，从而、、同号.①若、、，则、、均为负数，，可得，，可得，此时；②若、、，则、、均为正数，，可得，，可得，此时.综上所述，.故选：D.8.已知函数（m，n都为整数）在区间上有两个不相等的实根，则的最大值为（）A9B.10C.11D.12【答案】A【解析】【分析】根据题意可得，再分和两种情况讨论，结合二次函数的性质即可得出答案.【详解】解：因为函数在区间上有两个不相等的实根，所以，则，当，即时，， 当时，函数在上取得最大值为，又且m，n都为整数，所以当时，的最大值为，当，即时，，当时，函数在上取得最大值为，又且m，n都为整数，所以当时，的最大值为，综上所述，的最大值为.故选：A.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列命题为真命题的是（）A若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BD【解析】【分析】根据不等式的性质即可判断AB，根据对数函数的单调性即可判断C，利用作差法即可判断D.【详解】解：对于A，当时，，故A错误；对于B，若，则，则，故B正确；对于C，若，则，当时，，故C错误；对于D，， 因为，所以，所以，所以，故D正确.故选：BD.10.函数与在同一坐标系中的图像可能为（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】可令，和三种情况讨论，先分析函数的图象性质，再分析函数的图象性质，观察选项是否符合．【详解】当时，为奇函数，定义域为，且在上递减，而开口向下，对称轴为，，故A符合；当时，为偶函数，且在上递增，开口向上，且对称轴为，，其图象和轴没有交点，故D符合；当时，函数的定义域为，且在上递增，开口向上，且对称轴为，，图象和轴有两个交点，故C符合．故选：ACD． 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数图象，考查二次函数图象性质、幂函数图象性质的运用，解答时，针对的不同取值，观察所给两个函数图象是否符合即可．11.已知函数，则下列选项正确的是（）A.为偶函数B.的值域为C.方程只有一个实根D.对，，有【答案】BD【解析】【分析】A选项，根据函数奇偶性定义判断得到为奇函数；B选项，分与两种情况，分离常数后求出值域；C选项，方程变形得到，求出是方程的一个根，令，分与两种情况，求出方程的解；D选项，考虑时，利用定义法求出函数的单调性，结合A选项中函数为奇函数得到在R上单调递减，从而D正确.【详解】的定义域为R，且，所以为奇函数，A错误；当时，，又，故，当时，，又，故，综上：的值域为，B正确； 即，显然是方程的一个根，令，当时，，解得：，由于，所以，当时，，化简得，由于，无解，综上：方程有2个实根，C错误；当时，，任取且，则，因为且，所以，故，即，故在上单调递减，由A选项知为奇函数，故在R上单调递减，从而，，有，D正确.故选：BD12.若函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则下列选项错误的是（）A.为奇函数B. C.D.当时，【答案】ABD【解析】【分析】根据奇偶性的定义可得，，由此化简可得函数的奇偶性，再结合已知区间的函数解析式逐个选项判断即可.【详解】解：对A，因为函数为偶函数，故，即为，即，由为奇函数，可得，则有，所以，则有，所以，所以为偶函数，故A错误；对B，由A，因为，，故B错误；对C，由A，，故C正确；对D，当时，，故，故D错误；故选：ABD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知幂函数的图象关于原点对称，则实数m的值是______【答案】【解析】【分析】根据幂函数的知识求得的可能取值，根据图象关于原点对称求得的值.【详解】由于是幂函数，所以，解得或.当时，，图象关于轴对称，不符合题意.当时，，图象关于原点对称，符合题意.所以的值为.故答案为：14.有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2021年为3000万吨，2022年增长率约为50％. 有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从______年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.（参考数据：，）【答案】【解析】【分析】年后产生的垃圾为，得到不等式，解得答案.【详解】年后产生的垃圾为，故，即，即，即，故，故年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.故答案为：15.已知实数，，且满足，则的最小值为___________.【答案】25【解析】【分析】由题干条件得到且，对变形得到，利用基本不等式求解最小值.【详解】由得：，因为，，所以，其中，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为25.故答案为：2516.已知实数且.定义区间、、、的长度均为，则满足不等式的构成的区间的长度之和为______【答案】2【解析】【分析】根据分式不等式的解法，等价转化为整式不等式，根据穿根法得到解集即可解决.【详解】， 令，所以，通分可得，则等价于由方程时，，令所以，所以不等式的解集为，所以构成的区间的长度之和为，故答案为：2四、解答题（本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1）（2）【答案】（1）；（2）0.【解析】【分析】（1）根据指数的运算性质计算即可；（2）根据指数与对数的运算性质计算即可.【详解】解：原式； 【点睛】解：原式.18.已知函数的定义域是集合，函数且的定义域是集合.（1）若，求集合；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；当时，；当时，（2）实数取值范围为，实数的取值范围为【解析】【分析】（1）解分式不等式可求得集合；根据对数真数大于零可构造一元二次不等式，分别在和的情况下得到不等式的解集，即为集合；（2）根据交集结果可知，分别在、和的情况下，讨论得到不等式的解集，由包含关系可构造不等式求得结果.【小问1详解】由得：，解得：或，则；当时，，由得：；当，即时，由得：，即；当，即时，由得：，即；综上所述：当时，；当时，.【小问2详解】 ，；由得：；①当时，，解得：，即，此时不成立，不合题意；②当时，令，解得：或，若，则，此时不成立，不合题意；若，则，此时不成立，不合题意；若，则，此时不成立，不合题意；③当时，由得：或，即；由得：且，，或，综上所述：实数的取值范围为，实数的取值范围为.19.已知，函数定义域为.（1）求的值（用含a的式子表示）；（2）函数在单调递增，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若对内的任意实数x，不等式恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）直接代入求解；（2）利用单调性的定义，再利用分离参数法即可求解； （3）利用函数单调性解不等式即可求解.【小问1详解】由函数可得：；【小问2详解】任取，则因为函数在单调递增，所以.因为，所以，，所以，即在上恒成立.因为，所以，所以，所以.即实数a的取值范围为.【小问3详解】由（1）可知，，所以不等式可化为：不等式.因为在单调递增，所以恒成立，即上恒成立.记.令，则，所以在上单调递增，所以.所以，即实数a的取值范围为.20.提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．一般情况下，隧道内的车流速度 （单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式：研究表明，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．（1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足．求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时）及隧道内车流量达到最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．（参考数据：）【答案】（1）（1）车流速度不小于40千米小时，车流密度的取值范围为，；（2）（2）隧道内车流量的最大值为3250辆小时，车流量最大时的车流密度87辆千米．【解析】【分析】（1）由（辆千米）时，（千米小时）求得，可得关于的关系式，再由求解的范围得结论；（2）结合（1）写出隧道内的车流量关于的函数，再由函数的单调性及基本不等式求出分段函数的最值，则答案可求．【小问1详解】解：由题意，当（辆千米）时，（千米小时），代入，得，解得．，当时，，符合题意；当时，令，解得，．综上，．故车流速度不小于40千米小时，车流密度的取值范围为，；【小问2详解】由题意得，， 当时，为增函数，，等号当且仅当时成立；当时，．当且仅当，即，时成立，综上，的最大值约为3250，此时约为87．故隧道内车流量的最大值为3250辆小时，车流量最大时的车流密度87辆千米．21.已知二次函数．（Ⅰ）若，且在上的最大值为，求函数的解析式；（Ⅱ）若对任意的实数b，都存在实数，使得不等式成立，求实数c的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】【分析】（Ⅰ）由，则，由在上的最大值为，可得，可得的值，可得函数的解析式；（Ⅱ）只需当时，.设，，则只需对任意的实数都成立，分的取值范围进行讨论可得答案.【详解】（Ⅰ）若，则，当时故解得，故.（Ⅱ）由题意得：只需当时，.设，，则只需对任意的实数都成立. （1）当=0时，，此时不成立.（2）当时，递增，故恒成立，故.（3）当时，在递增，故恒成立，故，舍去.（4）当时，在上递减，在上递增，若，则恒成立，故，舍去.若，则恒成立，故，舍去.（5）当时，在上递减，故恒成立.综上：或.【点睛】关键点点睛:不等式可转化为，设，转化为，只需对任意的实数都成立，转化为求，利用分类讨论及函数的单调性分析，属于难题，注意分类讨论思想的运用.