四川省成都外国语学校2022-2023学年高一上学期期中考试数学 Word版含解析.docx

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2022年成都外国语学校高2022级高一半期考试数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化简集合，由交集定义即可求解.【详解】，，所以.故选：B2.设命题，则的否定为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据特称命题的否定即可求解.【详解】因为，所以.故选：B3.下列各组函数能表示同一个函数的是（）A.与B.与C.与D.与【答案】D【解析】【分析】根据两函数相等的三要素一一判断即可. 【详解】对于A,与对应关系不相同,故A错误;对于B,的定义域为,的定义域为,所以不是相同函数,故B错误;对于C,的定义域是,的定义域是所以不是相同函数,故C错误;对于D,,且定义域是,,且定义域是,故D正确.故选：D.4.幂函数的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由进行分析即可【详解】由可知故C，D错误随着自变量的增大函数值增大，故B错误故选：A.5.下列命题正确有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法判断正确选项. 【详解】A选项，时，，但，A选项错误；B选项，时，，但，B选项错误；C选项，时，，但，C选项错误；D选项，，，，所以，D选项正确.故选：D6.已知，则的最小值为（）A.2B.3C.4D.8【答案】C【解析】【分析】由，，则，构造基本不等式即可.【详解】因为，所以，则所以当且仅当时，不等号成立，所以的最小值为：4故选：C.7.命题“函数对，都有”是真命题的一个充分不必要条件是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】原题等价于下，单增，分和讨论，结合二次函数特征即可求解.【详解】由题可知，当，单增，当时，单减，不符合题意，舍去；当时，要使，单增，需满足，解得.故选：D8.函数是定义在上的偶函数，且增函数，若对任意，均有，则实数的最大值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性单调性可得，再利用二次函数在区间的单调性与最值即可求解.【详解】因为，所以，，又因为函数是定义在上的偶函数，增函数，且，所以，两边平方化简得在恒成立，令，对称轴为，所以在单调递增，则，解得， 又因为，所以，所以的最大值为.故选:A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.的值域是B.的定义域为C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据题意可知：，进而判断定义域和值域，然后再根据函数的对称中心判断即可求解.【详解】因为，函数的定义域为，值域为，故选项A正确，选项B错误；又因为，所以函数关于点成中心对称，故，，所以选项D正确，选项C错误，故选：AD.10.下列说法正确是（）A.若函数，则B.若函数在和是减函数，则在是单调减函数C.已知，其中a，b为常数，若，则4042D.若实数，满足且，则的取值范围是【答案】ABC【解析】【分析】A选项先求出，计算，B选项利用函数单调性判断；C选项整体代入法计算，D选项用待定系数法求解. 【详解】选项A：由函数所以，所以，故A正确；选项B：若函数在和是减函数，由和区间连续所以在是单调减函数，故B选项正确.选项C：由，所以即所以，故C选项正确.选项D：设则所以由，所以由，所以相加得：，故D项错误.故选：ABC11.设函数的定义域为，为偶函数，则下列正确的是（）A.B.C.关于直线对称D.【答案】BCD【解析】【分析】利用为偶函数，判断A和B，再利用函数图像平移的相关性质判断C，最后利用为偶函数的性质，得到，进而进行化简转换，可判断D.【详解】对于A和B，为偶函数，故，故A错，B对； 对于C，令，，则，是向右平移一个单位后的图像，因为为偶函数，故关于直线对称，故C对；对于D，，取，则有，故必有成立.故选：BCD12.已知函数若对都有，则实数的取值可以是（    ）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用题意判断函数单调性，从而求出参数的取值范围即可【详解】因为函数对都有所以函数为上单调函数要使在上单调，结合分式型函数性质知：函数在上单调递增函数，所以.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若集合只有两个子集，则实数取值集合_________.【答案】【解析】【分析】由子集个数判断集合只有一个元素，结合一元二次方程判别式即可求解.【详解】因为集合只有两个子集，所以只有一个元素，所以，解得，所以实数取值集合为.故答案为：14.已知的定义域是，则函数的定义域是___________. 【答案】【解析】【分析】由已知的定义域求出函数的定义域，从而求出函数的定义域．【详解】解：因为的定义域是，所以，所以．函数应满足，解得．函数的定义域为．故答案为：．15.关于的不等式的解集为___________.【答案】【解析】【分析】先通分，将分式不等式等价转化为二次不等式即可求解.【详解】，原不等式等价于，解得.故答案为：16.已知正数满足，则的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】令，则，，利用基本不等式，并结合一元二次不等式的求法可得的范围，进而得到答案.【详解】令，因为，，所以.则，所以，当且仅当即时等号成立. 所以，即，解得，所以的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知集合，．（1）当时，求出；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）=或（2）【解析】【分析】（1）当时，得，由补集和交集运算即可求解；（2）由题可知，分集合和两种情况分类讨论，即可求解的取值范围.【小问1详解】当时，，所以=或，所以=或；【小问2详解】因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，于是得，①当时，；②当时，由得，，综上所述，.18.已知幂函数在上单调递增（1）求m的值；（2）若，且，求的最小值.【答案】（1）（2）8 【解析】【分析】(1)用幂函数的定义可求得的值，又由上单调递增确定.(2)结合第一问的结论，用基本不等式中的乘1法可以解决.【小问1详解】由幂函数定义得：，或，当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去；当时，在上单调递增，符合题意；综上可知：.【小问2详解】当且仅当且时，即时，的最小值为8.19.美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮，中国华为公司研发的、两种芯片都已获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为（与都为常数），其图象如图所示．（1）试分别求出生产、两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）函数关系式；（2）现在公司准备投入亿元资金同时生产、两种芯片，设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润．（利润芯片毛收入芯片毛收入研发耗费资金）【答案】（1）生产、两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）函数关系式分别为 、；（2）当时，利润最大，最大利润为千万元.【解析】【分析】（1）由题意得出生产种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）函数关系式，将点、的坐标代入函数的解析式，求出、的值，可得出生产种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）函数关系式；（2）由题意可得出，利用二次函数的基本性质求解即可.【详解】（1）由题意可知，生产种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）函数关系式为，将点、的坐标代入函数的解析式，得，解得，因此，生产种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）函数关系式为；（2）由题意可得，，当时，即当时，函数取得最大值，即.因此，当时，利润最大，且最大利润为千万元.【点睛】本题考查函数模型的应用，考查二次函数基本性质的应用，解题的关键就是求出函数模型的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.20.（1）解关于的不等式的解集（其中）．（2）已知函数有如下性质：若常数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．若，，利用上述性质，求函数值域；【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法，分类讨论即可； （2）根据双勾函数的图象和性质即可.【详解】解：（1）不等式，等价于，即，①当时，因为，解不等式得；②当时，因为，不等式的解集为；③当时，因为，解不等式得；综上所述，不等式的解集为：①当时，不等式解集为；②当时，不等式解集为；③当时，不等式解集为．（2）．设，，则，．由已知性质，得当，即时，单调递减，所以的单调递减区间为；当，即时，单调递增，所以的单调递增区间为．由，，，得的值域为．21.已知定义域为，对任意都有，当时，，．（1）试判断在上的单调性，并用单调性定义证明（2）求不等式的解集. 【答案】（1）在上单调递减，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设，且，结合定义得，代换即可证明；（2）令化简得，等价于，赋值求得，由函数单调性解不等式即可.【小问1详解】函数在上单调递减，证明如下：设，且，因为，又因为，且时，，所以，所以，即，所以在上单调递减；【小问2详解】令，得，∴，∴，∴，又在上的单调递减且，∴，∴．∴，即不等式解集为.22.已知函数是定义在上的奇函数且（1）求函数的解析式； （2）判断函数的单调性；并证明你的结论；（3）设，当，使得成立，请同学们探究实数的所有可能取值.【答案】（1）（2）增函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由可求，由可求，进而得到解析式；（2）由定义法直接证明即可；（3）原不等式化简得，使得成立，即成立，化简得，使得成立，结合函数单调性和定义域去“”即可求解.【小问1详解】由在上的奇函数，所以，即，由得，所以；【小问2详解】函数在上增函数，证明如下：设，且，又因为，又，所以，因为，所以，所以，即，故函数在上增函数；【小问3详解】 ，使得成立，即，使得成立，即，，即，使得成立，，使得，即，且，即且，即且，解得：