安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二上学期1月考数学 Word版含解析.docx

《安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二上学期1月考数学 Word版含解析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

合肥一中高二上学期素质拓展9数学试卷一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.抛物线的焦点坐标是（    ）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意结合抛物线方程运算求解.【详解】因为抛物线方程为，即，即，可得，且焦点在y轴正半轴上，可知抛物线的焦点坐标是.故选：D.2.数列0，，，，…的一个通项公式是(　　)A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】在四个选项中代n=2,选项B,D是正数，不符，A选项值为，符合,C选项值为，不符．所以选A.【点睛】对于选择题的选项是关于n的关系式，可以考虑通过赋特殊值检验法，来减少运算，或排除选项．3.平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（）A.B.C.或D.或 【答案】D【解析】【分析】设点，可得出，分、两种情况讨论，化简可得出点的轨迹方程.【详解】设点，因为平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则，当时，则有，即，等式两边平方整理可得；当时，则有，即，等式两边平方可得.综上所述，点的轨迹方程为或.故选：D.4.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（）A.y2＝9xB.y2＝6xC.y2＝3xD.y2＝x【答案】B【解析】【分析】分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，设|BF|=a ，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p，可得所求抛物线的方程．【详解】如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x.故选：B5.已知数列满足，若，恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析可知数列是递减数列，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为恒成立，所以数列是递减数列，所以，，即，解得.故选：A.6.已知数列中，，当最大时，（）A.3B.4C.5D.6【答案】B 【解析】【分析】根据条件建立不等式组求解即可.【详解】由题易知，且，即，解得，；故选：B.7.如图，已知抛物线，圆，过圆心的直线与抛物线和圆依次交于、、、，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设点、，分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦半径公式以及基本不等式可求得的最小值.【详解】易知抛物线的焦点为，设点、，圆的半径为，由抛物线的定义可得，，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，设直线的方程为，联立可得，则，由韦达定理可得， 所以，，当且仅当时，即当或时，等号成立，因此，的最小值为.故选：A.8.已知焦点在轴上的双曲线，，是双曲线的两个顶点，是双曲线上的一点，且与点在双曲线的同一支上，关于轴的对称点是.若直线，的斜率分别是，，且，则双曲线的离心率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设点，则，易得，，然后由，得到，再根据点在双曲线上，化简得到求解.【详解】设点，则，因为，是双曲线的两个顶点，所以,AP斜率为，的斜率，所以，即，因为点在双曲线上， 所以，所以，所以，所以，则，即，所以故选：B二､多选题（本大题共4题，每小题5分，共20分）9.已知等差数列为递减数列，且，，则下列结论中正确的有（    ）A.数列的公差为B.C.数列是公差为的等差数列D.【答案】ABC【解析】【分析】A选项，根据等差数列的性质得到，从而求出，，得到公差，A正确；利用等差数列求通项公式求出B正确；由，得到当时，，结合，从而得到C正确；在C选项的基础上，求出，结合，求出答案.【详解】由题意知，又，故可看出方程的两根，∵数列为递减数列， ，．公差，故A正确；又，，故B正确；由上可知，则当时，，当时，，数列是首项为，公差为的等差数列，故C正确；由C选项知：，故，∵，，故D错误．故选：ABC10.已知数列满足，，记数列的前项和为，则（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】根据递推公式求出、、，即可找到规律得到数列是以为周期的周期数列，即可判断A、B、D，再根据递推公式表示出，即可得到，从而判断C.【详解】解：因为，，所以，故A错误；，，所以数列是以为周期的周期数列， 所以，故B错误；因为，，所以，故C正确；，故D正确；故选：CD11.已知抛物线，焦点为，动点在抛物线的准线上，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，则下列说法正确的是（）AB.C.直线的方程为D.面积的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】设点、，推导出抛物线在点处的切线方程为，同理可得出抛物线在点处的切线方程为，将点的坐标代入两切线的方程，可推导出直线的方程，然后将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，逐项判断可得出合适的选项.【详解】设点、，先证明出抛物线在点处的切线方程为， 联立可得，即，即，可得，所以，抛物线在点处的切线方程为，同理可知，抛物线在点处的切线方程为，将点的坐标代入两切线方程可得，所以，点、的坐标均满足方程，又因为两点确定一条直线，故直线的方程为，C对；联立可得，，由韦达定理可知，，，故直线、的斜率之积为，故，A对；因为，则，可得，所以，，易知直线经过抛物线的焦点，，所以，，则，B对； ，，则，当且仅当时，等号成立，故面积的最小值为，D错.故选：ABC.【点睛】结论点睛：抛物线在其上一点处的切线方程为；抛物线在其上一点处的切线方程为.12.已知抛物线的焦点为F，过抛物线上任意一点P作圆的切线，A为切点，且直线交抛物线于另一点Q，则下列结论正确的有（）A.的最小值为B.的取值范围为C.三角形面积的最小值为D.连接，并延长，分别交抛物线于N，M两点，设直线和直线的斜率分别为，，则【答案】ABD【解析】【分析】先求出圆C的圆心和半径，以及F点的坐标，再根据图中的几何关系逐项分析.【详解】对于圆C，标准方程为，所以圆心，半径， 对于抛物线，，，对于A，设，则有，当时，取得最小值，即，A正确；对于B，设，则直线的方程为：，将代入得：，，其中，，，，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，，B正确；对于C，采用水平底铅锤高计算的面积，即，当且仅当，即时成立，即最小值为，C错误；对于D，原问题等价于从F点引2条斜率不等的直线分别与抛物线交于P，N和Q，M点，并且P，Q，C三点共线，设，2两条直线的斜率分别为（即都存在），则直线方程分别为：，联立方程，解得，，同理可得，三点共线，即与 共线，，，整理得：，依题意，，，；当有1个不存时（当都不存在时，两条直线重合，不满足题意），比如不存在，则垂直于x轴，此时，其余条件相同，，D正确；故选：ABD.三､填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13.已知数列的前n项和为=，则=______.【答案】，【解析】【分析】应用与的递推关系，由求通项公式即可.【详解】由，知：，故答案为：，【点睛】本题考查了应用数列递推关系式求通项，根据与的递推关系结合求通项.14.在等差数列中，若，则__________.【答案】 【解析】【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】由可得，故，，故答案为：15.已知抛物线的弦斜率为1，则弦中点的轨迹方程__________.【答案】（）【解析】【分析】联立直线于抛物线方程，根据中点坐标公式即可求解.【详解】设直线的方程为，联立，由于，所以，设,则故因此，设，由于，则，故的轨迹方程为，（）故答案为：（）16.如图，三棱锥中，且为正三角形，分别是的中点，若截面侧面，则此棱锥侧面与底面夹角的余弦值为__________. 【答案】【解析】【分析】取和的中点分别为，，根据二面角的定义可得，进而可得为所作的二面角，根据三角形的边角关系即可求解二面角余弦值．【详解】取和的中点分别为，，，分别是，的中点，,,由于且为正三角形，，故,由于，分别是，的中点，因此，故,由于截面侧面，所以,进而可得,由于故为侧面与底面的二面角的平面角，设，，，在直角中，，故答案为： 四､解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）17.已知数列满足.（1）求证：等差数列.（2）求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义即可求证，（2）根据等差数列的通项即可求解.【小问1详解】为常数，所以为公差为的等差数列，【小问2详解】由于为公差为等差数列，且首项为，所以，所以18.设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、.当直线 垂直于轴时，.（1）求抛物线的标准方程.（2）已知点，直线、分别与抛物线交于点、.求证：直线过定点.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用弦长求解，即可求解抛物线方程；（2）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点.【小问1详解】解：由题意，当直线垂直于轴时，直线的方程为，联立可得，则，所以，即，所以抛物线的方程为.【小问2详解】证明：若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，同理可知，直线也不与轴重合，设、，设直线的方程为， 联立得，，因此，.设直线的方程为，联立得，则，因此，，则，同理可得.所以.因此直线的方程为，由对称性知，定点在轴上，令得，，所以，直线过定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.五､附加题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）19.已知双曲线的右焦点，过点倾斜角为的直线与双曲线左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率__________.【答案】## 【解析】【分析】设，根据题意结合双曲线的定义可得，，分别在、中，利用余弦定理运算求解.【详解】设双曲线的左焦点为，连接、，设，，则，，，，在中，由余弦定理，即，整理得，在中，由余弦定理，即，整理得，可得，注意到，即，整理得，故离心率.故答案为：.20.我们通常把圆、椭圆、抛物线､双曲线统称为圆锥曲线，通过普通高中课程实验教科书《数学》2-1第二章《圆锥曲线与方程》章头引言我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，实际上，设圆锥母线与轴所成角为，不过圆锥顶点的截面与轴所成角为 .当，截口曲线为圆，当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为双曲线；当时，截口曲线为抛物线；如图2，正方体中，为边的中点，点在平面上运动并且使，那么点的轨迹是__________.【答案】一段双曲线弧【解析】【分析】设与底面所成角为，计算出、正弦值，比较这两个角的大小，结合题意可得出点的轨迹图形.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、，则，，，所以，，设与底面所成角为，易知平面的一个法向量为，则， 因为、为锐角，且，则，所以，该正圆锥面与底面的交线是双曲线弧，因此，点的轨迹为一段双曲线弧.