湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期月考卷（四）数学（原卷版）.docx

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湖南师大附中2024届高三月考试卷（四）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为（）A.B.C.D.2.若随机事件A，B满足，，，则（）A.B.C.D.3.设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设，，且，则（）A.B.C.D.5.若，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.6.函数在区间上所有零点的和等于（）A.2B.4C.6D.87.点M是椭圆上点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（） A.B.C.D.8.已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分、9.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（）A.的方程为B.的离心率为C.曲线经过的一个焦点D.直线与有两个公共点10.已知向量，满足，且，则（）A.B.C.D.11.如图，正方体棱长为2，点是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点，使得二面角大小为B.存在点，使得平面与平面平行C.当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为D.当为中点时，四棱锥外接球的体积为 12.若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（为自然对数的底数），则（）A.在内单调递增；B.和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；C.和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；D.和之间存在唯一的“隔离直线”.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数的图像在点处的切线方程是，则＝______．14.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF拼成的一个较大的等边三角形，若，，则的面积为________．15.已知数列的首项，且满足．若，则n的最大值为______．16.在棱长为3的正方体中，点E满足，点F在平面内，则|的最小值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数最小值为.（1）求函数的最大值； （2）把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，且函数在上为增函数，求的最大值.18.为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目A采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目B采取领先3局者获胜。每局不存在平局.假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响.（1）求甲班在项目A中获胜的概率；（2）若第二个比赛项目B进行了7局，仍然没有人领先3局，比赛结束，领先者也获胜.现比赛已经进行了2局，甲班2局全输.设甲班在第二个比赛项目B中参加总局数为X、求随机变量X的分布列及期望.19.如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上.（1）若P是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.20.如图，曲线C由上半椭圆和部分抛物线连接而成，与的公共点为A，B，其中的离心率为. （1）求a，b值；（2）过点B的直线l与，分别交于点P，Q（均异于点A，B），是否存在直线l，使得以为直径的圆恰好过点A，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.21.已知函数，．（1）若的最大值是0，求的值；（2）若对任意，恒成立，求取值范围．22.设数列的前n项之积为，满足（）.（1）设，求数列的通项公式；