陕西省西安市长安区第一中学2023-2024学年高二上学期期中考数学Word版含解析.docx

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长安一中2023-2024学年度高二第一学期期中考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.双曲线的渐近线方程是（）A.B.C.D.2.已知直线交圆于，两点，则（为坐标原点）的面积为（）A.B.C.D.3.已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为（）A.B.C.D.4.在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.5.已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（）A.B.C.D.6.设直线，直线，则关于对称的直线方程为（）A.B.C.D.7.抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（）A10B.12C.20D.24 8.已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（）A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（）AB.椭圆的离心率C.面积的最大值为D.以线段为直径的圆与直线相切10.已知方程所表示的曲线为，则下列说法中正确的有（）A.曲线可以是圆B.当时，曲线是焦点在轴上的椭圆C.当时，曲线是焦点在轴上的双曲线D.当曲线是双曲线时，其焦距为811.已知，分别是正方体的棱和的中点，则（）A.与异面直线B.与所成角的大小为45°C.与平面所成角的余弦值为D.二面角的余弦值为12.已知点，点是双曲线：左支上的动点，为其右焦点，是圆：上的动点，直线交双曲线右支于点（为坐标原点），则（） A.过点作与双曲线有一个公共点的直线恰有条B.的最小值为C.若的内切圆与圆外切，则圆的半径为D.过点作轴的垂线，垂足为（与不重合），连接并交双曲线右支于点，则（为直线斜率，为直线斜率）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应位置.）13.抛物线准线方程为_______.14.直线与直线平行，则实数的值为______.15.已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.16.椭圆：的左，右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，直线将分成面积相等的两部分，则的取值范围是_________.四、解答题（本大题共60分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）设，求的值域.18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面为中点，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值.19.在中，内角，，所对的边分别为，，，满足. （1）求角的大小；（2）若，边上的中线的长为，求的面积.20.已知圆过点和，且与直线相切．（1）求圆方程；（2）设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程．21.如图，在四棱锥中，，，，.（1）求证：平面平面；（2）若，点是中点，且四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值.22.在平面直角坐标系中，椭圆＋，过点的动直线与椭圆相交于两点.（1）求面积的最大值；（2）是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 长安一中2023-2024学年度第一学期期中考试高二数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.双曲线的渐近线方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线方程直接写出渐近线方程即可.【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为，即.故选：D2.已知直线交圆于，两点，则（为坐标原点）的面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离，再结合圆的的弦长公式，求得，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】由题意，圆，可得圆心，则圆心到直线的距离为，所以，所以.故选：B.3.已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用共面的条件求出，再利用投影向量的定义计算即得.【详解】因为共面，则存在实数，使得使，即，即，解得，则，所以则在上的投影向量的模为.故选：A.4.在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.【详解】以为坐标原点，向量方向分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以，，所以异面直线与所成角的余弦值等于.故选：B5.已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由条件求得，结合勾股定理得，即可得，可得答案.【详解】椭圆的焦距为，则，由，的面积为，得，即，又，所以，即，，又，则，则椭圆标准方程为．故选：D．6.设直线，直线，则关于对称的直线方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案.【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，则，解得，∵点在直线上，即，∴，化简得，即为所求直线方程.故选：B.7.抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（）A.10B.12C.20D.24【答案】B【解析】【分析】求出抛物线焦点，化为点到圆上点的距离最大值问题：点到圆心距离与半径之和.【详解】 由方程知抛物线焦点，由圆方程知圆心半径为2,此时，所以焦点到圆上点距离最大值为.故选：B8.已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，根据长度表示出，然后根据向量的数量积计算公式求解，结合基本不等式求解出的最小值.【详解】如图，设，则，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故选：C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（）A.B.椭圆的离心率C.面积的最大值为D.以线段为直径的圆与直线相切【答案】AB【解析】【分析】由椭圆方程得出，由椭圆的定义判断A；由离心率公式判断B；面积，结合的范围判断C；根据圆心到直线的距离与半径的关系判断D．【详解】因为椭圆C的方程，故，由椭圆的定义可知，故A正确；离心率，故B正确；面积，而，∴面积最大值为，故C错误；∵，∴以线段为直径的圆的方程，其圆心为，半径为1，又直线方程为，∴圆心到直线的距离为，∴以线段为直径的圆与直线相离，故D错误． 故选：AB．10.已知方程所表示的曲线为，则下列说法中正确的有（）A.曲线可以是圆B.当时，曲线是焦点在轴上的椭圆C.当时，曲线是焦点在轴上的双曲线D.当曲线是双曲线时，其焦距为8【答案】BCD【解析】【分析】A只需判断能否成立即可；B、C根据椭圆、双曲线焦点位置特征列不等式求参数范围判断；D根据已知方程，由双曲线参数关系求焦距.【详解】A：显然恒成立，故曲线为不可能为圆，错；B：曲线是焦点在轴上的椭圆，只需，对；C：曲线是焦点在轴上的双曲线，只需，对；D：曲线是双曲线，则，即，，所以焦距为，对.故选：BCD11.已知，分别是正方体的棱和的中点，则（）A.与是异面直线B.与所成角的大小为45°C.与平面所成角的余弦值为D.二面角的余弦值为【答案】AD【解析】【分析】根据异面直线的概念可判断A，建立空间直角坐标系，用向量的方法可判断BCD．【详解】根据异面直线的概念可得“ 平面内一点与平面外一点的连线，与此平面内不经过该点的直线是异面直线异面直线”可知A正确；以原点，，分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，，，，，所以，，设与所成角的大小为，则，所以，故B错误；由题意可知，平面的法向量可取，，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为，,故C错误；，，设平面的法向量为，则，令，得，设平面的法向量为， 则，令，得，则，又因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为，故D正确.故选：AD．12.已知点，点是双曲线：左支上的动点，为其右焦点，是圆：上的动点，直线交双曲线右支于点（为坐标原点），则（）A.过点作与双曲线有一个公共点的直线恰有条B.的最小值为C.若的内切圆与圆外切，则圆的半径为D.过点作轴的垂线，垂足为（与不重合），连接并交双曲线右支于点，则（为直线斜率，为直线斜率）【答案】AD【解析】【分析】根据点的位置可确定与双曲线有一个公共点的直线条数判断A；根据，结合双曲线定义判断B；设，由两圆外切可构造方程求得圆的半径判断C；设直线，可求得，从而将化为，利用基本不等式可判断D. 【详解】A：由双曲线渐近线为，点在双曲线外，过作平行于渐近线的两条直线与双曲线有且仅有一个交点，过作双曲线的两条切线，与双曲线有且仅有一个交点，综上，过点作与双曲线有一个公共点的直线恰有条，对；B：由双曲线方程知，焦点为，故圆的圆心为双曲线的左焦点，所以，，当且仅当三点共线时取等号，，当且仅当三点共线时取等号，所以，错；C：若为焦点三角形内切圆与x轴的切点，由双曲线定义、圆切线长定理有，所以，故的内切圆的圆心必在上，设，圆半径为，又圆与圆外切，则，得，所以的内切圆半径为，错；D：设，，则，故， 所以，又，所以，所以，对.故选：AD【点睛】关键点睛：对于D，根据对称性设点坐标，应用斜率两点式求得为定值，进而得到关于所设参数的表达式为关键.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应位置.）13.抛物线的准线方程为_______.【答案】【解析】【分析】由抛物线方程求出，判断焦点位置，从而可得答案.【详解】因为抛物线方程为，所以，又因为抛物线焦点在轴上，所以抛物线的准线方程为，故答案为：.【点睛】本题主要考查由抛物线方程求准线方程，属于基础题.14.直线与直线平行，则实数的值为______.【答案】【解析】【分析】利用两直线平行时，利用法向量平行求解，求解出实数的值后需要代入直线验证是否平行，若直线重合则不符合题意应舍去.【详解】法一：直线的法向量为：； 直线的法向量为：；由于两直线平行，则法向量平行，所以，得到，当时，两直线重合，不符合题意；当时，两直线平行，故；法二：直线的斜率为；直线当时，两直线不平行；当时，斜率为;因为两直线平行，则所以，则当时，两直线重合，不符合题意；当时，两直线平行，故故答案为：15.已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线.【详解】由；由.综上：且.故答案为：.16.椭圆：的左，右焦点分别为，，上顶点为，离心率为 ，直线将分成面积相等的两部分，则的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】根据已知条件求得，根据直线与轴的交点的位置进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.【详解】依题意，，解得，所以椭圆的方程为，由于，，所以是等腰直角三角形，所以，直线的方程为，直线的方程为，设直线与的交点为，与轴的交点为，①当与重合时，，则，所以，解得.②当在之间时，，所以，由解得，，由令，得，所以，所以， 整理得，由解得.③当在左侧，则，，设直线与的交点为，由解得，因为，所以，，所以，所以，所以.综上所述，的取值范围是.故答案为：【点睛】求解椭圆的方程，关键点是根据已知条件求得，是个未知数，需要 个条件，其中一个条件是，另外的两个条件由题目给出，如本题中的点坐标以及离心率，通过解方程组可求得，进而求得椭圆的方程.四、解答题（本大题共60分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）设，求值域.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换公式化简，再由正弦型函数的单调区间，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由正弦型函数的值域，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，【小问2详解】因为，所以，所以，即，所以在上的值域为.18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面为中点，且. （1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值，再利用三角函数的基本关系求线面角的余弦值即可.【小问1详解】连接，交于点，连接，∵为中点，为中点，∴.又∵平面，平面，∴平面.【小问2详解】如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，，则，，，设平面的法向量为，则，令，得.设直线与平面所成角为，则，∴，∴，即直线与平面所成角的余弦值为.19.在中，内角，，所对的边分别为，，，满足.（1）求角的大小；（2）若，边上的中线的长为，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦边角关系及三角恒等变换可得，结合三角形内角性质即可求的大小；（2）由余弦定理可得，根据，结合数量积的运算律有，联立所得方程求得，最后应用三角形面积公式求面积.【小问1详解】由已知及正弦定理得，则， 在中，故，又，故.【小问2详解】由，得，由题意，则，即，解得，故的面积为.20.已知圆过点和，且与直线相切．（1）求圆的方程；（2）设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）根据弦的垂直平分线过圆心可知，圆心在线段的垂直平分线上，先求的垂直平分线，设圆心，半径，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，从而可求得圆心坐标，可得圆的标准方程；（2）设M点坐标为，P点坐标为，由中点坐标公式可用分别表示，将点代入圆的方程从而可得关于点M的轨迹方程．【小问1详解】圆心显然在线段的垂直平分线上，设圆心为，半径为，则圆的标准方程为， 由点在圆上得：，又圆与直线相切，有．于是，解得，或，所以圆的标准方程为或.【小问2详解】设点坐标为，点坐标为，由为的中点，，则，即又点在圆上，若圆的方程为，有，则，整理得：，此时点的轨迹方程为．若圆的方程为，有，则，整理得：，此时点的轨迹方程为，综上，点的轨迹方程为或.21.如图，在四棱锥中，，，，.（1）求证：平面平面； （2）若，点是中点，且四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据平面与平面垂直的判定定理证明；（2）由题意，证明是三棱锥的高，由四棱锥的体积为即可求出，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：由题意知为等边三角形，所以，又，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；小问2详解】取的中点，连接，，则，又，所以，又平面平面，平面平面，平面，则平面，即是三棱锥的高.因为点是中点，所以，解得.又平面，所以. 取中点，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，设平面的一个法向量为，所以，令，解得，，所以平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则，令，解得，，所以平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角的大小为，所以，即平面与平面的夹角的余弦值为.22.在平面直角坐标系中，椭圆＋，过点的动直线与椭圆相交于两点.（1）求面积的最大值； （2）是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）设直线l为与椭圆方程联立，将表达为k的函数，由基本不等式求最大值即可.（2）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于y轴对称点，证得三点共线得到成立.【小问1详解】依题意，设，直线的斜率显然存在，故设直线为，联立，消去，得，因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，故，令，所以，当且仅当，即时取得等号，综上可知，面积的最大值为.【小问2详解】当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件， 则有，即，解得或，所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，由（1）知，又因为点关于轴的对称点的坐标为，又，，则，所以，则三点共线，所以；综上，存在与点不同的定点，使恒成立，且.