重庆市第二十九中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学 Word版含解析.docx

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重庆二十九中2023-2024学年度上期高二年级10月考试数学试卷（命题人：满分：150分时间：120分钟）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.过两点的直线的倾斜角是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，结合直线倾斜角的范围即可得出结果.【详解】由已知直线的斜率为，所以倾斜角．故选：D.2.已知直线的一个方向向量（），直线的一个方向向量，若，且，则的值是（）A.2B.或1C.D.1【答案】A【解析】【分析】根据模和垂直的空间向量公式，即可求解.【详解】，，得，所以，因为，则，得，所以.故选：A3.如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的四等分点，则（） AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据向量加减法的三角形法则计算即可.【详解】解：由题意可得：，，，．∴，故选：D.4.如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，是上一点，，为的中点，为上一点且，则（）A.5B.3C.D.【答案】D【解析】【分析】以为一组基底，表示求解.【详解】解：以为一组基底，则，，， ，，，，所以.故选：D5.如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解法一：取中点，连接，为的中点，连接，先证明平面，即可得出，根据勾股定理求出.然后由，得出或其补角等于异面直线和所成的角，在中，即可求出答案；解法二：先证明平面，建立空间直角坐标系，得出点的坐标，表示出，即可根据数量积公式，求出答案.【详解】解法一： 如图1，取中点，连接，为的中点，连接，易知底面，因为平面，所以平面底面.又平面底面，，所以平面.因为平面，所以.同理可得，.设底面半径为，，.因为分别为的中点，所以，则在中，或其补角等于异面直线和所成的角.所以.解法二：如图2，为的中点，连接，易知底面，因为平面，所以平面底面.又平面底面，，所以平面. 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，则，，，，所以，，记所求角为，则.故选：C.6.如图，平行六面体中，，，，，则与所成角的大小为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，表示出，，计算，即可求得答案. 【详解】设，则，三向量的夹角皆为，由题意可得，，故，即，所以与所成角的大小为，故选：C7.在中，内角A的平分线与边BC交于点D且，，若的面积，则AD的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据三角形的面积公式建立方程，求出，再由三角形面积范围求出角A的范围，利用三角函数即可求解.【详解】，，，，即，即，解得，又因为，所以，即，，，故选：D 8.平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据光线反射的性质，利用解三角形可得坐标，再由求解即可.【详解】由题意，，则,，，，即，，解得.故选：A二、多选题（本大题共4小题，每小5分，共20分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.两直线与互相平行的条件是（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】根据两直线平行斜率相等截距不相等可得答案. 【详解】时，两直线分别为与互相垂直，不满足题意；所以，根据两直线平行可得，所以，又两直线不重合，所以时，；时，．故选：CD.10.已知空间中三点，，，则（）A.B.与方向相反的单位向量的坐标是C.D.在上的投影向量的模为【答案】AB【解析】【分析】A选项，验证是否等于0即可；B选项，与方向相反的单位向量为，即可判断选项正误；C选项，验证是否存在非零实数，使即可；D选项，在上的投影向量的模为，据此可判断选项正误.【详解】由题，.A选项，，则，故A正确；B选项，，则，故B正确；C选项，设，则，即不存在，故C错误；D选项，，则，故D错误. 故选：AB11.下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（    ）A.两条不重合直线的方向向量分别是，则B.直线的方向向量，平面的法向量是，则C.两个不同的平面的法向量分别是，则D.直线的方向向量，平面的法向量是，则【答案】AC【解析】【分析】对于，由不重合两直线方向向量平行可判断直线相互平行；对于B，要考虑直线可能在面内；对于C，由两法向量垂直可得两平面垂直；对于D，直线方向向量与法向量平行，则直线与面垂直.【详解】对于，两条不重合直线，的方向向量分别是，则，所以，即，故正确；对于B，直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，即或，故B错误；对于C，两个不同的平面，的法向量分别是，则，所以，故C正确；对于D，直线方向向量，平面的法向量是，则，所以，即，故D错误．故选：AC．12.如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（） A.存在点，使得B.存在点，使得异面直线与所成的角为C.三棱锥体积的最大值是D.当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大【答案】ACD【解析】【分析】首先以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，对选项A，假设存在点，根据即可判断A正确，对选项B，假设存在点，根据无解即可判断B错误，对选出C，连接，根据即可判断C正确，对选项D，设直线与平面所成的角为，得到，再根据函数的单调性即可判断D正确.【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，，；对于A，假设存在点，使得，则，又，所以，解得：，即点与重合时，，A正确； 对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，因为，，所以，方程无解；所以不存在点，使得异面直线与所成的角为，B错误；对于C，连接；设，因为，所以当，即点与点重合时，取得最大值；又点到平面的距离，所以，C正确；对于D，由上分析知：，，若是面的法向量，则，令，则，因为，设直线与平面所成的角为，，所以，当点自向处运动时，的值由到变大，此时也逐渐增大， 因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知，若，则________．【答案】【解析】分析】根据，解得m，n求解.【详解】由题意可知n不为0，因为，且，所以，解得，所以，故答案为：14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，，则______．【答案】【解析】【分析】由已知利用三角形内角和定理可求A，根据正弦定理即可求的值．【详解】在中，因为，，，则，由正弦定理，可得：．故答案为：．15.两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和A，F，使，且 已知，则线段的长为___________．【答案】或【解析】【分析】利用空间向量线性运算得到，结合空间向量数量积的运算法则及模的运算即可得解，注意的夹角有两种情况.【详解】由题意，得，所以，因为，所以，，因为，所以，则，同理：，因为异面直线a，b所成的角为，当的夹角为时，，所以，则，即，故；当的夹角为时，，所以，则，故；综上：线段的长为或.故答案为：或..16.已知等腰内接于圆O，点M是下半圆弧上的动点（不含端点，如图所示）.现将上半圆面沿AB折起，使所成的二面角为.则直线AC与直线OM所成角的正弦值最小值为______. 【答案】##0.5【解析】【分析】取下半圆弧的中点D，连接OC，OD，以点O为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.【详解】在折后的图形中，取下半圆弧的中点D，连接OC，OD，如图，依题意，平面，于是得平面，且是二面角的平面角，即，在平面内过点O作，因此射线两两垂直，以点O为原点，射线分别为非负半轴建立空间直角坐标系，令，则，设点，显然有，于是得，令直线AC与直线OM所成的角为，因此，当且仅当，即时取等号，显然直线AC与直线OM为异面直线，即 ，而余弦函数在上单调递减，因此取最大值时，角取最小值，，所以直线AC与直线OM所成角的正弦值最小值为.故答案为：【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起变量的函数，求出函数最值即可.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知直线，.（1）若直线l与直线垂直，求实数的值（2）若直线l在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，求直线l的方程.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）根据直线垂直的充要条件列方程求解即可；（2）求出在坐标轴上的截距，由条件求出，即可得出直线方程.【小问1详解】因为直线l与直线垂直，所以，解得或.【小问2详解】令，得，令，，由题意知，解得或，所以直线l的方程为或.18.已知的内角所对的边分别为，且，.（1）若，求的值；（2）若的面积，求的值. 【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）先求出，再利用正弦定理求解；（2）利用的面积求出，再利用余弦定理求出得解.【小问1详解】，且.由正弦定理得，所以.【小问2详解】.由余弦定理得.19.如图，四棱柱为平行六面体，为的中点．（1）若点满足，求证：四点共面；（2）若为正方体，求直线平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）用向量证明即可；（2）用空间向量求角度.【小问1详解】 证明：在四棱柱为平行六面体中，，如图在的延长线上取，则，则，，所以，即，所以四点共面.【小问2详解】正方体，以为原点，所在直线轴如图建立空间直角坐标系，设，则，设平面的一个法向量为，，则，令，则，所以，，，所以直线平面所成角的正弦值. 20.读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情．某校为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名．经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图．男生一周阅读时间频数分布表小时频数92263（1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的第75百分位数； （2）从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取7人，再从这7人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据百分位数的定义，结合频率分布直方图可得答案；（2）由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有6人，女生有人，按照比例抽样，利用古典概型可解.【小问1详解】设女生一周阅读时间的分位数为a，，解得；【小问2详解】由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有6人，女生有（人），若从中按比例分别抽取7人，则男生有2人，记为，，女生有5人，记为，，，，，则样本空间，共有21个样本点．记事件A＝“恰好一男一女”，则包含10个样本点，故所求概率．21.如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点． （1）证明：平面；（2）求直线与平面间的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连，可证四边形为平行四边形，，再根据线面平行的判定定理可得平面；（2）根据平面，转化为求点到平面的距离，取的中点，连，可证平面，以为原点，分别为轴，在平面内，作平面，建立空间直角坐标系，根据点面距的向量公式可求出结果.【小问1详解】取的中点，连，因为为的中点，所以，，又，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面..【小问2详解】因为平面，所以点到平面的距离即为所求. 因为，取的中点，连，则四边形为矩形，，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，，因为，，平面，所以平面，因为，所以平面，因为，所以平面平面，以为原点，分别为轴，在平面内，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，因为平面，平面，所以，在中，，，所以，因为，所以，因为是三角形内角，所以，所以，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，，，所以点到平面的距离为.故直线与平面间的距离为. 22.如图1，菱形中，动点在边上（不含端点），且存在实数使，沿将向上折起得到，使得平面平面，如图2所示．（1）若，设三棱锥和四棱锥的体积分别为，求；（2）当点的位置变化时，平面与平面的夹角（锐角）的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦值，若不是，说明理由；【答案】（1）；（2）是，.【解析】【分析】（1）设，建立空间直角坐标系，由直线与垂直，即可列式求解；（2）设平面与平面的夹角为，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量夹角公式即可求解．【小问1详解】在图2中，取中点，中点，连接，，因即，所以,所以,又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 由题意可知,以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，，则，所以，，，，所以，，因为直线与垂直，所以，即，解得：（舍）或，所以，，所以图1中点在靠近点的三等分点处，所以，所以；【小问2详解】设平面与平面的夹角为，平面的法向量，，，设平面的法向量， 则，即，取，得，,得，所以，所以，所以无论点的位置如何，平面与平面的夹角余弦值都为定值．