同济七版高等数学1.1 映射与函数.pptx

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第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限 17世纪笛卡尔建立了解析几何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学进一步发展到研究变量的高等数学。微积分是高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量间的依赖关系——函数的一门学科，是学习其它自然科学的基础。高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。 高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的精华所在，是高等数学的灵魂。因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。本章我们首先介绍极限理论的基本概念、运算和性质，然后讨论函数的连续性。 重点极限概念，无穷小与极限的关系，极限运算法则，两个重要极限，连续概念，初等函数的连续性，间断点及其分类难点极限概念及求极限的方法技巧基本要求①能准确叙述并深刻理解极限定义，明确其几何意义，会用定义验证极限②正确理解无穷小量及其与极限的关系 ③牢固掌握极限运算法则，极限的性质，尤其是函数极限的保号性质④理解极限存在准则，熟记两个重要极限及其证明方法，灵活地运用它们及各种变形公式求极限⑤正确理解连续概念，理解间断点的分类⑥理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质 二、映射三、函数一、集合第一节映射与函数 一、集合1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集 数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点. 称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间 无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.3.邻域: 4.绝对值:运算性质:绝对值不等式:绝对值不等式的两个变形公式： 二、映射定义.设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作元素y称为元素x在映射f下的像,记作元素x称为元素y在映射f下的原像.集合X称为映射f的定义域;Y的子集称为f的值域. 注意：1)映射是集合间的一种对应关系.集合X、Y中所含的元素不一定是数，可以是其它的一些对象(或事物)。2)对每一个xX，只有唯一的一个yY值与之对应关系不一定就是映射。对应，这一点很重要，它说明集合间元素的3)映射的定义不排除几个不同的x值与同一个y值对应。 对映射若,则称f为满射;若有则称f为单射;若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射. 三、函数定义域定义.设数集则称映射为定义在D上的函数,记为f(D)称为值域函数图形:自变量因变量 (对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值定义域对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域 如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．问题：多值函数与单值函数的区别在哪里？根据函数的定义，多值函数本质上不是函数，只是在使用时为了方便起见，仍然把它叫做“函数”！ 几个特殊的函数举例(1)符号函数1-1xyo(2)取整函数y=[x][x]表示不超过x的最大整数12345-2-4-4-3-2-1-1-3xyo阶梯曲线4321 (3)狄利克雷(Dirichlet)函数有理数点无理数点•1xyo(4)取最值函数yxoyxo 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.(5)绝对值函数oxy定义域R值域 三、函数的特性1．函数的有界性:M-Myxoy=f(x)X有界M-MyxoX无界 成立，则称函数y=f(x)在区间I上是上方有界的,简称有上界。设函数y=f(x)在区间I上有定义。若存在实数M(可正，可负)，对一切xI恒有y=f(x)f(x)≤M f(x)≥m在区间I上是下方有界的,简称有下界。设函数y=f(x)在区间I上有定义。若存在实数m(可正，可负),对一切xI恒有成立，则称函数y=f(x)y=f(x) 函数y=f(x)有界f(x)既有上界又有下界.在区间I上:xyABO 证明或判断无界的依据是什么？函数y=f(x)在区间I上无界，则不论M>0的值取得多么大，总使得|f(x0)|>M成立。 易知：例解在其定义域内是无界的。故函数在任何一个有限区间内有界。 2．函数的单调性:xyo xyo 3．函数的奇偶性:yxox-x偶函数 yxox-x奇函数 4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. 5.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f的反函数.其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质: 2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数 (2)复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件不可少.例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合 两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数: 思考题映射与函数及其定义域.解题思路此题是复合函数问题,可设从题目条件分析u和x的关系.解令则于是, 四.初等函数(1)基本初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成,并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.否则称为非初等函数. 例如都是初等函数. 一般说来,分段函数不是初等函数.但有个别分段函数例外，例如因为它可以改写为初等函数的形式. 幂指函数是否为初等函数？它是由与构成的复合函数,故该幂指函数是一个初等函数.例解 附录：几类基本初等函数图像1.幂函数 2.指数函数 3.对数函数 4.三角函数正弦函数余弦函数 正切函数余切函数 正割函数余割函数 5.反三角函数 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数. 内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构2.函数的定义及函数的二要素 单击此处添加副标题谢谢聆听