安徽省皖中名校联盟2023-2024学年高一上学期第一次联考数学Word版含解析.docx

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2023-2024学年智学大联考·皖中名校联盟高一（上）第一次联考数学试题一、单选题1.不等式x2−4>0的解集是(    )A.{x|−22}D.{x|x<−2或x>2}2.命题“∀x<0，x2−2x+1≤0”的否定是(    )A.∃x≥0，x2−2x+1>0B.∀x≥0，x2−2x+1≤0C.∃x<0，x2−2x+1>0D.∀x<0，x2−2x+1>03.2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁.专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器(黑匣子)，如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器.则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的(    )A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列不等式中成立的是(    )A.若a>b>0，则ac2>bc2B.若a>b>0，则a2>b2C.若a1b5.如果两个正方形的边长之和为2，那么它们的面积之和的最小值是(    )A.14B.12C.1D.26.某校高一(3)班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有12名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为(    )A.27B.23C.15D.77.已知集合M={x|x2−2mx−3m2≤0}，N={x|x2+mx−2m2≤0}，定义b−a叫做集合{x|a≤x≤b}的长度，若集合M∩N的长度为4，则M∪N的长度为(    )A.3B.4C.5D.108.已知命题“存在x∈{x|10，则下列不等式正确的是(    )A.a2+b2≥2abB.a+b≥2abC.1a+1b≥2abD.ba+ab≥211.下列说法正确的是(    )A.a∈R是a∈Q的必要不充分条件B.若集合A={x|ax2+ax+1=0}中只有一个元素，则a=4或a=0C.已知p:∃x∈R，1x−2>0，则¬p为假命题D.已知集合M={0,1}，则满足条件M∪N=M的集合N的个数为412.下列命题为真命题的是(    )A.若一个直角三角形的斜边长为2，则它周长的最大值为2+22B.若一个直角三角形的斜边长为2，则它面积的最大值为1C.若ax2+bx+c>0的解集是{x|10的解集是{x|−20的解集是{x|10的解集是{x|x>−12或x<−1}三、填空题13.设集合A={x|a5}，若A∩B=⌀，则实数a的取值范围为__________.14.已知x>2，那么函数9x−2+x的最小值是__________.15.已知关于x的不等式(a2−4)x2+(a+2)x−1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是__________.16.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45∘方向600km处的热带风暴中心正以30km/ℎ的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，据以上预报估计，该码头将受到热带风暴的影响时长大约为__________ℎ.四、解答题17.已知集合A={x|3b>c，且a+b+c=0，求证：ac−a>ab−a.19.已知集合A={1,3,a2}，B={1,a+2}.(1)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的值;(2)从三个条件①a=1，②a=2，③a=3中选出合适的一个，补充在下面问题中，并完成解答.已知__________，若集合C含有两个元素且满足C⊆(A∪B)，求集合C.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)20.(1)若关于x的不等式ax2+a2x−2>0的解集为{x|x1}，求a，b的值;(2)实数a，b满足−3≤a+b≤2，−1≤a−b≤4，求5a−b的取值范围.21.已知p:∀m∈{m|−3≤m≤1}，不等式a2+2a−11≥m2+7恒成立;q:∃x∈R，使不等式x2+ax+6<0成立.若p和¬q都是真命题，求a的取值范围.22.某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量x(单位：吨)最少为70吨，最多为100吨.日加工处理总成本y(单位：元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=12x2+40x+3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元.(1)该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低?此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态?(2)为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：①每日进行定额财政补贴，金额为2300元;②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x元. 如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案?为什么? 答案和解析1.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．根据一元二次不等式的解法进行解答即可．【解答】解：不等式x2−4>0化为(x+2)(x−2)>0，且该不等式对应的一元二次方程的实数根是−2和2，则该不等式的解集为{x|x<−2或x>2}.故选D.2.【答案】C 【解析】【分析】本题考查全称量词命题的否定，属于基础题.根据全称量词命题的否定为存在量词命题，可得答案.【解答】解：命题“∀x<0，x2−2x+1≤0”为全称量词命题，其否定为存在量词命题：∃x<0，x2−2x+1>0.故选：C.3.【答案】B 【解析】【分析】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．【解答】解：因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，故选：B.4.【答案】B 【解析】【分析】本题考查利用不等式性质判断不等关系，为基础题. 【解答】解：对于A，若c=0，则则ac2=bc2，故A错误；B显然正确；对于C，若aab>b2，故C错误；对于D，若a<01b，故D错误.故选B.5.【答案】D 【解析】【分析】本题考查利用基本不等式解决实际问题，属于基础题.设一个正方形的边长为x，面积之和为y，则y=x2+2−x2，利用基本不等式求解即可，【解答】解：设一个正方形的边长为x，面积之和为y，则另一个正方形的边长为2−x，x∈0,2，y=x2+2−x2≥x+2−x22=2，当且仅当x=2−x，即x=1时，等号成立，故两个正方形面积之和的最小值为2.故选D.6.【答案】A 【解析】【分析】本题考查集合的实际应用，属于基础题.由题意，求出参加田赛或径赛的同学人数，即可求解.【解答】解：设高三(1)班有50名学生组成的集合为U ，参加田赛项目的学生组成的集合为A，参加径赛项目的学生组成的集合为B.由题意集合A有15个元素，B有20个元素，A∩B中有12个元素，所以A∪B有15+20−12=23个元素，所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为50−23=27.故选A.7.【答案】D 【解析】【分析】本题考查集合的运算以及新定义问题，题目较难.先求出一元二次不等式对应方程的根，再讨论根的大小确定两个集合，进而求出两集合的交集，通过长度求出m值，再求集合的并集及其长度.【解答】 解：x2−2mx−3m2=0的两根为−m，3m，x2+mx−2m2=0的两根为m，−2m；当m=0时，易知M∩N=0，不满足题意；当m>0时，M={x|−m≤x≤3m}，N=x|−2m≤x≤m，M∩N={x|−m≤x≤m}；当m<0时，M={x|3m≤x≤−m}，N=x|m≤x≤−2m，M∩N=x|m≤x≤−m.由M∩N的长度为4，得2m=4或−2m=4，∴m=2或m=−2，当m=2时，M={x|−2≤x≤6}，N={x|−4≤x≤2}，M∪N={x|−4≤x≤6}；∴M∪N的长度为10.当m=−2时，M={x|−6≤x≤2}，N={x|−2≤x≤4}，M∪N={x|−6≤x≤4}.∴M∪N的长度为10.综上所述，M∪N的长度为10.故选：D.8.【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查命题的否定及函数的值域求解，属于中档题.分析可得“任意x∈{x|10，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，不能满足不等式成立，所以B，C错；对于D，∵ab>0，∴ba>0，ab>0，∴ba+ab≥2ba⋅ab=2，当且仅当“ba=ab”时取“=”，所以D正确，故选AD.11.【答案】ACD 【解析】【分析】本题考查充分必要条件的判断，命题真假判断，求子集个数，属于基础题.利用充分必要条件判定A；根据a=0时，A=⌀判定B；根据p与¬p的真假性判定C；根据若M∪N=M，则N⊆M，判定D》【解答】解：对于A：(∵Q⫋R)，(∴ainQ⇒ainR,ainR⇏ainQ)，故(ainR)是(ainQ)的必要不充分条件，故A正确；对于B：当a=0时，A={x1=0}=⌀，故B错误；对于C：当x=3时，1x−2=1>0，故p为真命题，即¬p为假命题，故C正确；对于D：若M∪N=M，则N⊆M，故N=⌀,0,1,0,1，故D正确.故选ACD.12.【答案】ABC  【解析】【分析】本题主要考查命题真假的判定，基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．由基本不等式可判定选项A，B；由一元二次不等式的解法可判定选项C，D.【解答】解：对于A，设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边c=2.则a2+b2=c2=4，由于(a+b)2≤2(a2+b2)=8，所以a+b≤22，当且仅当a=b=2时等号成立，则周长的最大值为2+22，故A正确；对于B，设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边c=2.则a2+b2=c2=4，所以ab≤a2+b22=2，当且仅当a=b=2时等号成立，所以面积S=12ab≤1，故面积的最大值为1，故B正确；对于C，若ax2+bx+c>0的解集是{x|10，即ax2+3ax+2a>0(a<0)，所以x2+3x+2<0，(x+1)(x+2)<0，解得−20的解集为{x|−20即2ax2+3ax+a>0(a<0)，所以2x2+3x+1<0，(2x+1)(x+1)<0，解得−10的解集是{x|−15}，且A∩B=⌀， 显然A≠⌀，则a≥−1a+2≤5，解得−1≤a≤3，综上得，实数a的取值范围为−1≤a≤3.14.【答案】8 【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题目.利用基本不等式求出最值即可.【解答】解：∵x>2，∴x−2>0，∴9x−2+x=9x−2+x−2+2≥29x−2×(x−2)+2=8，当且仅当x=5时取得等号.则函数9x−2+x的最小值是8，故答案为8.15.【答案】[−2,65) 【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式与相应的函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于中档题.设y=(a2−4)x2+(a+2)x−1，按二次项系数是否为0进行分类讨论，当二次项系数不为0时，利用二次函数的性质得到二次项系数小于0，根的判别式小于0列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．【解答】解：设y=(a2−4)x2+(a+2)x−1，当a=−2时，不等式(a2−4)x2+(a+2)x−1≥0的解集为空集，符合题意；当a=2时，原不等式变形为4x−1≥0⇒x≥14，不是空集，不符合题意；当a2−4≠0时，则a2−4<0Δ=a+22+4a2−4<0，解得：−20，y>0，所以x+y>0，(x−y)2≥0， 所以a−b≥0，即a≥b；(2)因为a>b>c，且a+b+c=0，所以a>0，c<0，所以a−c>b−c>0，所以0<1a−c<1b−c，所以ca−c>cb−c. 【解析】本题考查利用不等式的性质证明不等关系，考查利用作差法比较代数式的大小，属于中档题.(1)利用作差法判断即可；(2)根据不等式的性质证明即可.19.【答案】解：(1)若“ x∈A ”是“ x∈B ”的必要不充分条件，则B是A的真子集，∴a+2=3 或 a+2=a2 ，解得 a=−1 或1或2，∵a=−1 或1时，不满足集合元素的互异性，应舍去， ∴a=2 ，∴ 存在实数 a=2 使得 A∪B=A.  (2)若选择条件①，则 A=1,3,1 ，不满足集合元素的互异性，不符合题意；   若选择条件②，则 A=1,3,4,B=1,4,A∪B=1,3,4 ， ∴C=1,3或C=1,4或C=3,4 ；   若选择条件③，则 A=1,3,9,B=1,5,A∪B=1,3,5,9 ， ∴C=1,3或C=1,5或C=1,9或C=3,5或C=3,9或C=5,9 . 【解析】本题考查充分必要条件的应用，考查含参集合关系的处理，为中档题.20.【答案】解： (1) ax2+a2x−2>0 的解集为 {x|x1} ，所以 a>0−a2a=1+b−2a=b ，解得 a=1b=−2 ；(2) 设 5a−b=xa+b+ya−b=x+ya+x−yb ，∴x+y=5x−y=−1 ，解得 x=2y=3 ，∴5a−b=2a+b+3a−b ，∵−3≤a+b≤2 ， −1≤a−b≤4 ， ∴−6≤2a+b≤4 ， −3≤3a−b≤12 ，∴−9≤2a+b+3a−b≤16 ，即 −9≤5a−b≤16.   【解析】本题考查三个二次的关系，利用不等式的性质求取值范围，属于中档题.21.【答案】解：当−3≤m≤1时，7≤m2+7≤4，若 ∀m∈m|−3≤m≤1 ，不等式 a2+2a−11≥m2+7 恒成立， 则 a2+2a−11≥4 ，解得a≥3或a≤−5，故命题p为真命题时，a≥3或a≤−5.若q为真命题，则∃x∈R，使不等式x2+ax+6<0成立，则Δ=a2−24>0，解得a>26或a<−26，故¬q是真命题即命题q为假命题时，−26≤a≤26综上可知，当p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为{a|3≤a≤26}. 【解析】本题考查不等式恒成立问题，属于中档题.22.【答案】解：(1)由题意可知，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为yx=x2+3200x+40,x∈70,100又x2+3200x+40≥2x2⋅3200x+40=120 ，当且仅当x2=3200x ，即x=80时，等号成立，所以该企业日加工处理量为80吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低.因为110<120，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态(2)若该企业采用第一种补贴方案，设该企业每日获利为y1元，由题可得 y1=110x+2300−(12x2+40x+3200) =−12(x−70)2+1550因为x∈[70,100]，所以当x=70时，企业获利最大，最大利润为1550元，若该企业采用第二种补贴方案，设该企业每日获利为y2元，由题可得y2=110x+30x−(12x2+40x+3200) =−12(x−100)2+1800，因为x∈[70,100]，所以当x=100时，企业获利最大，最大利润为1800元，因为1800>1550，所以选择第二种补贴方案.