四川省眉山市仁寿第一中学校南校区2023-2024学年高三上学期10月阶段测试文科数学 Word版含解析.docx

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仁寿一中2024届10月阶段性测试文科数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.4．考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若Ü，则实数（）A.或1B.0或1C.1D.【答案】B【解析】【分析】先求得合，再分和，两种情况讨论，结合题意，即可求解.【详解】解：由集合，对于方程，当时，此时方程无解，可得集合，满足Ü；当时，解得，要使得Ü，则满足，可得，所以实数的值为或.故选：B.2.已知为虚数单位，复数，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得答案.【详解】复数，则.故选：B.3.已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为（）．A.4B.9C.D.【答案】A【解析】【分析】画出可行域，结合目标函数的几何意义即可求出最小值.【详解】如图所示，目标函数即，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小．据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，联立直线方程，可得．据此可知目标函数的最小值为：．故选：A．4.某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8 ，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（）A.B.C.8D.【答案】B【解析】【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得.【详解】依题意这组数据一共有个数，中位数为，则从小到大排列的前面有个数，后面也有个数，又唯一的众数为，则有两个，其余数字均只出现一次，则最大数字为，又极差为，所以最小数字为，所以这组数据为、、、、，所以平均数为.故选：B5.已知空间中a，b，c是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（）．A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】C【解析】【分析】根据空间中垂直于同一条直线的两条直线可以是平行、相交或异面即可判断A；根据空间中两平面的位置关系即可判断B；根据空间中两直线的位置关系即可判断C；根据线面垂直的性质判断面面平行即可判断D．【详解】对于A，空间中垂直于同一条直线的两条直线可以是平行、相交或异面，故A错误；对于B，垂直于同一个平面的两个平面可以是平行、相交，故B错误；对于C，垂直于同一个平面两条直线是平行的，故C正确；对于D，垂直于同一条直线的两个平面平行，故D错误．故选：C．6.已知命题：若在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，则的概率为．命题：若函数，则的最小值为4，则下列命题为真命题的是（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】根据几何概型概率的计算判断命题p为真命题，函数的最值与函数单调性的关系判断命题q为假命题，进而根据命题的且和非运算判断.【详解】满足条件的正方形ABCD，如下图示：其中满足动点M到定点A的距离|MA|⩽1的平面区域如图中阴影所示，则正方形的面积S正方形=1，阴影部分的面积为，故动点M到定点A的距离|MA|⩽1的概率.故命题p为真命题．对于函数，则，则f(x)在区间[1,2)上单调递减，f(x)无最小值，故命题q为假命题．据此结合题意可得是真命题.故选：D.7.“”是“是奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 【分析】由是奇函数，逐步化简，计算可得，由此即可得到本题答案.【详解】当时，，由得，则的定义域关于原点对称，又，则是奇函数，故充分性成立；若是奇函数，则，即，所以，则，故，所以，故，不一定推得，从而必要性不成立；所以“”是“是奇函数”的充分不必要条件.故选：A8.已知，，则与的夹角等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据向量模的坐标公式,向量夹角的坐标公式，即可求解.【详解】因为向量，，所以，则，同理，所以，所以与的夹角为.故选：C. 9.把边长为正方形沿对角线折成直二面角，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由图形的几何性质得球心位置，利用等体积转化求点面距离即可.【详解】由图所示，易知三棱锥D-ABC的外接球球心为AC的中点O，易得OB=OC=OD=1，且OC⊥OB，DO⊥面OBC，计算可得BC=CD=BD=，设球心到平面的距离为，则.故选：A10.若函数在内有且只有一个零点，则的值为（）A.2B.1C.3D.5【答案】C【解析】【分析】对函数进行求导，并分类讨论函数的单调性，根据单调性结合已知可以求出的值.【详解】由函数在内有且只有一个零点,又①当时，上，可得函数在上单调递增，且，在上没有零点，故舍去；②当a＞0时，在上的解为x， 在单调递减，在单调递增，又只有一个零点，解得．故选：C.11.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】构建函数，求导判断其单调性，利用单调性比较大小，注意.【详解】由题意可得，，，设，，则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；因为，，，且，可得，，所以.故选：D.12.已知函数将其向右平移个单位长度后得到，若在上有三个极大值点，则一定满足的单调递增区间为（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】根据平移变换得函数，由在上有三个极大值点，结合正弦函数图象可得，再求的范围，结合正弦函数的单调性，由此可判断答案.【详解】解：有题意可得，由得，由于在上有三个极大值点，所以，解得，当，而，故A正确，当，而，故B不正确，当，，而，故C不正确，当，，而，故D不正确，故选：A.第Ⅱ卷二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上. 13.已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则__________【答案】##0.5【解析】【分析】利用幂函数的定义及性质计算即可.【详解】由题意可知或，又当时，与坐标轴有交点，不符合题意；所以，此时.故答案为：14.圆C的圆心在轴正半轴上，与y轴相切，且被直线截得的弦长为，直线l：与圆C相切，则直线l的斜率是________【答案】【解析】【分析】根据所给条件求出圆的方程，再利用圆心到直线的距离求出，即可得出直线斜率.【详解】设圆C的方程，则圆心到直线的距离，所以，解得，所以圆C的方程，则圆心C到直线l的距离，则或（舍去），所以，故直线l的斜率. 故答案为：.15.已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，，则__________【答案】##2.75【解析】【分析】利用函数的奇偶性、周期性结合对数运算法则计算即可.【详解】由是偶函数，，所以，即，故的一个周期为4，所以.故答案为：16.设，均为正数，且，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的有__________（填序号）．【答案】②③④【解析】【分析】利用基本不等式即可判断①；首先利用基本不等式求的取值范围，再变形，即可求解，判断②；首先利用不等式放缩，并构造函数，，利用导数判断函数的单调性，即可判断③；不等式等价于，再利用不等式放缩，构造函数，利用导数，即可判断④. 【详解】①由，得，当，即时，即时等号成立，由可知，“=”不能取到，即，故①错误；②，因为，即，当时，等号成立，所以，所以，故②正确；③由，，得，那么，则，设，，，，则，函数单调递减，且所以，即，即，所以，因为，所以，故③正确；④不等式等价于，设，，，所以函数在区间上单调递增，，所以在区间上，，即，则，，即，设，，，所以函数在区间上单调递减，，所以在区间上，，即，则，，即，即，即，综上，不等式成立，故④成立.故答案为：②③④ 【点睛】思路点睛：本题考查根据条件等式，判断不等式的综合应用问题，前2个不等式比较简单，利用基本不等式即可判断，后2个不等式需要对不等式进行放缩，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可判断不等式.三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列满足，．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用退一作商法，结合等差数列的知识证得数列是等差数列.（2）利用裂项求和法求得.【小问1详解】因为①，所以当时，②．因为，所以由得，即．所以，即．由，得，所以，所以．所以数列是以-2为首项，-3为公差的等差数列．【小问2详解】 由（1）得，即，所以．所以．18.如图，圆柱的轴截面是正方形，点E在底面的圆周上，，F是垂足.（1）求证：；（2）求将绕旋转一周所得几何体的表面积和圆柱表面积之比.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线线垂直证线面垂直，再得线线垂直；（2）利用圆锥、圆柱的表面积公式计算即可.【小问1详解】 根据圆柱性质，平面，因为平面，所以，因为是圆柱底面的直径，点在圆周上，所以，又平面，故平面，因为平面DAE，所以，又，且平面，故平面，因为平面，所以.【小问2详解】将绕旋转一周所得几何体为圆锥，其母线为，半径，设，则，故该圆锥的表面积为，又圆柱表面积为，所以圆锥表面积和圆柱表面积之比为.19.人工智能教育是将人工智能与传统教育相融合，借助人工智能和大数据技术打造一个智能化教育生态，通过线上和线下结合的学习方式，让学生享受到个性化教育．为了解某公司人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到该公司2017年—2021年人工智能教育市场规模统计表，如表所示，用表示年份代码（年用1表示，2018年用2表示，依次类推），用表示市场规模（单位：百万元）．x12345y4556646872附1：线性回归方程：，其中，；附2：，． 0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）已知与具有较强线性相关关系，求关于的线性回归方程；（2）该公司为了了解社会人员对人工智能教育的满意程度，调研了200名参加过人工智能教育的人员，得到数据如表：满意不满意总计男90110女30总计150完成列联表，并判断是否有的把握认为社会人员的满意程度与性别有关？【答案】（1）（2）列联表见解析，有97.5%的把握认为社会人员的满意程度与性别有关【解析】【分析】（1）利用公式求出，即可得出结论；（2）求得，与观测值比较，即可得出结论．【小问1详解】由题意得，，，，，则，，所以y关于x的线性回归方程为． 【小问2详解】由题意得如下列联表：满意不满意总计男9020110女603090总计15050200由，所以有97.5%的把握认为社会人员的满意程度与性别有关．20.在中，．（1）求；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求和的值．条件①:，边上中线的长为；条件②:，的面积为6；条件③:，边上的高的长为2．注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可求解；（2）若选择①，结合余弦定理，即可判断；若选择②结合面积公式，余弦定理，以及正弦定理，即可求解；若选择③结合三角恒等变换公式，以及直角三角形的三角公式，即可求解.【小问1详解】在中，因为，再由 可得.所以，即.因为，所以，，所以.【小问2详解】选择条件①：设点为中点，则，，中，根据余弦定理,解得：或，这样或，则不唯一确定；选择条件②：在中，，解得.所以.解得.在中，因为，所以.选择条件③：在中，因为，，所以，在中，在中，可得； 21.已知函数，．（1）当时，求函数的极值．（2）是否存在实数，对任意的，，且，有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）极大值，极小值；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数导数，利用，分析函数的单调性，由单调性可得函数极值；（2）假设存在，将已知条件转化为，构建新的函数，显然只要在为增函数即成立，等价于不等式在恒成立，解得a的取值范围即为答案.【小问1详解】当时，，，令，解得或，当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，极小值为.【小问2详解】假设存在实数a，对任意的，，且，都有恒成立，不妨设，若，即.令. 显然只要在为增函数即成立因为，要使在为增函数则在恒成立，即只需，则.故存在满足题意．22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），．以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）已知点，设与的交点为，．当时，求的极坐标方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将曲线的参数方程代入的直角坐标方程，根据的几何意义可设，，列出韦达定理，由求出，即可求出的普通方程与极坐标方程.【小问1详解】因为曲线的极坐标方程为，即，因为，所以，所以的直角坐标方程为.【小问2详解】 将曲线的参数方程为（为参数）代入的直角坐标方程，整理得，由的几何意义可设，，因为点在内，所以方程必有两个实数根，所以，，因为，所以，因为，所以，即，所以的普通方程为，则的极坐标方程为.23.已知，满足．（1）求的最小值；（2）证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由条件等式转化为关于的二次函数求最值；（2）首先利用基本不等式变形为，再变形利用基本不等式证明.【详解】（1）由题意，，由二次函数知识，知上式在时，取到最小值．（2）证明：由题目条件以及均值不等式可以得到： ，当且仅当等号成立．【点睛】关键点点睛：本题第二问用了两次基本不等式，两次基本不等式求最值，注意两次等号成立的条件要相等，才能保证等号成立.