四川省成都列五中学2023-2024学年高二上学期阶段性考试（一）数学（原卷版）.docx

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2023-2024学年度高2022级（上）阶段性考试（一）数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某中学高三年级共有学生人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若样本中共有女生人，则该校高三年级共有男生（）人A.B.C.D.2.如果从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，那么下列各组中的两个事件是“互斥而不对立”是（）A.“至少有一个黑球”与“都是红球”B.“至少有一个黑球”与“都黑球”C“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”3.如图是根据某市1月1日至1月10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天的最低气温的第50百分位数是（）A.2℃B.1℃C.0℃D.1.5℃4.一次数学考试后，某班级平均分为110分，方差为．现发现有两名同学的成绩计算有误，甲同学成绩被误判为113分，实际得分为118分；乙同学成绩误判为120分，实际得分为115分．更正后重新计算，得到方差为，则与的大小关系为（）AB.C.D.不能确定5.如图，在平行六面体中，为的中点，若，则（    ） A.B.C.D.6.甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（    ）A.0.504B.0.648C.0.712D.0.7467.正四面体ABCD中，E，F分别是AB和CD的中点，则异面直线CE和AF所成角的余弦值为（）A.B.C.D.8.如图，元件失效的概率均为，元件失效的概率均为，元件失效的概率为，则闭合开关时，灯泡L亮的概率为（）A.B.C.D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（    ）A.设是两个随机事件，且，则B.若，则事件与事件相互独立C.一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件D.从中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是10.抛掷两枚质地均匀的骰子，落地向上的点数记为，则（） A.的概率为B.的概率为C.的概率为D.能被3整除的概率为11.A，B两组各有2名男生、2名女生，从A，B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛．甲表示事件“从A组中选出的是男生小明”，乙表示事件“从B组中选出的是1名男生”，丙表示事件“从A，B两组中选出的是2名男生”，丁表示事件“从A，B两组中选出的是1名男生和1名女生”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.甲与乙相互独立D.乙与丁相互独立12.如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥，设，点分别为棱的中点，为线段上的动点，下列说法正确的是（）A.在翻折过程中，不存在某个位置使得B.若，则与平面所成角正切值为C.当三棱锥体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正弦值为D.当时，的最小值为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知空间向量，，且，则_____.14.名工人某天生产同一零件，生产的件数是设其平均数为,中位数为,众数为，则大小关系为______________（从大写到小）．15.已知这5个数的标准差为2，若在中随机取出3个不同的数，则5为这3个数的中位数的概率是_____．16.三棱锥中，，底面是边长为3的正三角形，分别是 的中点，且，若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为_______.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性，在对某高中2000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这2000名高二年级学生中男生有1200人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和13.36，女生的平均数和方差分别为和17.56．（1）求样本中男生和女生应分别抽取多少人；（2）求抽取的总样本的平均数，并估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.（参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：．记总样本的平均数为，样本方差为，则）18.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．（1）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（2）求该选手至多进入第二轮考核的概率．19.已知A，B两个盒子中分别装有仅颜色不同的4个红球2个白球和2个红球2个白球.（1）若甲从A盒中抽取2个球，求两个球颜色不同的概率；（2）若甲从A盒中，乙从B盒中分别有放回地抽取两次，每次每人抽取1球，求甲、乙共抽到3个红球的概率.20.在三棱锥P−ABC中，AB=BC，BC⊥平面PAB，平面PAC⊥平面ABC.（1）证明：PA⊥平面ABC；（2）若D为PC的中点，且，求平面DAB与平面ABC所成二面角的余弦值.21.4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000 名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值，并估计1000名学生每日阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值），若学生甲的阅读时长排在第600名，估计该生的阅读时长；（2）若采用分层抽样的方法，从样本在内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率；（3）从全市所有中学生中随机抽取4人进行进一步调查，求4人中恰有两人课外阅读时长均不超过60分钟的概率.22.如图，棱长为2的正方体中，E、F分别是棱AB，AD的中点，G为棱上的动点．（1）是否存在一点G，使得面？若存在，指出点G位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；（2）若直线EG与平面所成的角为，求三棱锥的体积；（3）求三棱锥的外接球半径的最小值．