广东省东莞外国语学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学Word版含解析.docx

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东莞外国语学校2023-2024高二上学期第一次段考数学试卷一、单选题1．若直线经过两点，则直线的倾斜角为（    ）A．B．C．D．2．若直线与直线平行，则的值为（    ）A．B．0C．1D．0或13．已知三点、、，则A．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形4．如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则　　A．B．1C．D．25．如图，二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，，则该二面角的大小为（）A．B．C．D．6．如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（    ）．A．B．C．D．7．如图，正方体中的棱长为2，分别为所在棱的中点，则四棱锥的外接球的表面积为（）A．B． C．D．8．已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题9．若向量，，是空间的一个基底，向量那么可以与，构成空间的一组基底的向量是  A．B．C．D．10．过点，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ）A．B．C．D．11．若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为（    ）．A．B．C．D．12．如图，在正方体中，，点P在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则下列结论正确的是（    ）A．B．点P在线段上C．平面D．直线AP与侧面所成角的正弦值的范围为三、填空题13．过点且与直线垂直的直线方程是．14．已知四棱柱的底面ABCD是矩形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为_____________．15．如图，正四棱锥模型中，过点作一个平面分别交棱、、于点、、，若，，则_____________． 16．材料：在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为．阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，直线l的方程为，则l与的交点坐标为，与所成角的正弦值为．四、解答题17．已知，，求：（1）(－)·(＋)的值；（2）以，为邻边的平行四边形的面积．18．（1）若直线经过两点，，且倾斜角为，求的值．（2）若，，三点共线，求实数的值．（3）若直线过点且倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求直线方程．19．如图，在四面体OABC中，，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．(1)用，，表示向量；(2)已知，，求的大小．20．已知直线的方程为：． (1)求证：不论为何值，直线必过定点；(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．21．如图四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且，，，，E是BC的中点．求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；求点D到平面PBG的距离；若F点是棱PC上一点，且，求的值．22．(本题12分)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴､y轴､z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作．(1)若，，求的斜60°坐标；(2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 东莞外国语学校2023-2024高二数学上学期第一次段考参考答案1．【答案】B【解析】由两点的坐标代入两点间的斜率公式可得，设直线的倾斜角为，可知，所以．2．【答案】D【解析】因为直线与直线平行，所以，解得：或，当时，直线分别为和，满足题意；当时，直线分别为和，满足题意，综上：实数的值为或．3．【答案】B【详解】由空间中两点间的距离公式可得，，，，因此，三点构成直角三角形．4．【答案】B【解析】解：正方体中，点为上底面的中心，，，．故选：．5．【答案】B【解析】由条件，知，，．∴．∴，又∵，∴，∴二面角的大小为．故答案为：．6．【答案】C【解析】如图，取在下底面的投影C，作，垂足为D．连接，，，则，在上的投影向量是．设上底面的半径为r，则，．故在上的投影向量是．7．【答案】D【解析】如图，建立空间直角坐标系，则，设球心为，外接球半径为R ，解得，，，，代入得，8．【答案】B【解析】设正方体内切球的球心为，则，，为球的直径，，，，又在正方体表面上移动，当为正方体顶点时，最大，最大值为；当为内切球与正方体的切点时，最小，最小值为，，即的取值范围为．故选．9．【答案】CD【解析】由题意和空间向量的共面定理，结合，得与、是共面向量，同理及与、是共面向量．易证得一定不与、共面。10．【答案】ABC【解析】设所求直线在，轴上的截距分别为，，当时，过点的直线为即，当且时，设直线的方程为，则，可得或，此时直线方程为或即或，综上所述：所求直线的方程为：或或，11．【答案】ABD【详解】因为直线，，不能构成三角形，所以存在，，过与的交点三种情况． 显然，．则直线的斜率分别为，，．当时，有，即，解得；当时，有，即，解得；当过与的交点时．先联立，解得，则与的交点为，代入，得，解得．综上：或或．12．【答案】BC【解析】对于A，点P在平面内，平面平面，所以点P到平面的距离即为点C到平面的距离，即正方体的棱长，所以，A错误；对于B，以D为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，且，，所以，，．因为，所以，所以，即，所以，所以，即，C，P三点共线，故点P在线段上，B正确；对于C，，，，，，由，因为，，平面，所以平面，C正确；对于D，，，平面的一个法向量为．设与平面的夹角为，为锐角，其正弦值为．由，得，D错误．13．【答案】【解析】由题设知：直线斜率为，故与其垂直的直线的斜率为，∴过点且与直线垂直的直线方程为．故该直线方程为． 故答案为：14．【答案】【解答】解：设则，，，，则对角线的长为．故答案为．15．解：法一：设，则有法二：如图所示：作法：连接并延长，与的延长线相交于点，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，与相交于一点，则该点即为点．理由如下：因为与是两条相交直线，所以与确定一个平面，则，，、、，因为，，所以，因为，所以，，、、、四点共面．16．【答案】【解析】（1）因为平面的方程，即，故平面经过点，且法向量；又直线l的方程为，即，故直线l经过点且方向向量．则l与的交点坐标为．（2）设直线与平面所成的角为，则．故答案为：；． 17．【解答】（1）由，－，＋(－)·(＋)=（2）故以，为邻边的平行四边形的面积：18．【解析】(1)由题意可得：，解方程可得：；(2)由题意可得：，即：，解方程可得：；(3)设直线的倾斜角为，则，，由点斜式可得所求直线方程为：，整理为一般式即：．19．【解析】（1）连接，因为P是线段MN的中点，所以，  因为N是棱BC的中点，，即，所以．（2）因为，，所以，故．20．【解析】（1）证明：原方程整理得：．由，可得，不论为何值，直线必过定点．（2）设直线的方程为．令令． ．当且仅当，即时，三角形面积最小．21．【解析】以点为原点，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，故E．，所以与所成的余弦值为．平面的单位法向量因为，所以点到平面的距离为，设，则，因为，所以，所以，又，所以，故F，所以．22．【解析】（1）由，，知，，所以，所以；（2）设分别为与同方向的单位向量，则，①②由题，因为，所以，由知，则