江西省九江十校2023届高三第二次联考数学(文) Word版含解析.docx

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2023年江西省九江市十校高考第二次联考数学试卷(文科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合|,集合,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合M,再利用集合的并集运算求解.【详解】解:因为,,所以,故选:B.2.若复数(是虚数单位)的共轭复数是,则的虚部是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先利用复数除法求出,根据共轭复数定义写出,然后计算出,得到虚部.【详解】复数是虚数单位)的共轭复数是,,,,则的虚部是.故选:D3.2022年三九天从农历腊月十八开始计算,也就是2023年1月9日至17日,是我国北方地区一年中最冷的时间.下图是北方某市三九天气预报气温图,则下列对这9天判断错误的是() A.昼夜温差最大为12℃B.昼夜温差最小为4℃C.有3天昼夜温差大于10℃D.有3天昼夜温差小于7℃【答案】C【解析】【分析】直接看图求出每天的昼夜温差即可判断得解.【详解】A.1月11日昼夜温差最大为12℃,所以该选项正确;B.1月15日昼夜温差最小为4℃,所以该选项正确;C.1月11日、1月16日有2天昼夜温差大于10℃,所以该选项错误;D.1月9日、1月14日、1月15日有3天昼夜温差小于7℃,所以该选项正确.故选:C4.已知,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用降幂公式,再利用二倍角公式化简即得解.【详解】由已知,化简得.平方得,所以.故选:A.5.函数的部分图象大致为() A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性,并判断时,函数值的正负,即可判断选项.【详解】,定义域为,关于原点对称,由,所以为奇函数,排除;当时,,,故,排除.故选:.6.在中,,,若D是BC的中点,则()A.1B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】运用向量的加法、相反向量、向量的数量积运算即可得结果.【详解】∵D为BC的中点,∴,,∴∴.故选:B. 7.已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为,将函数的图象向左平移个单位后,得到的图象关于y轴对称,则函数的一个零点是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为,得到周期为,进而得到,再利用平移变换得到图象,然后根据图象关于y轴对称,求得解析式即可.【详解】解:由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为,可知其周期为,所以,所以.将函数的图象向左平移个单位后,得到函数图象.因为得到的图象关于y轴对称,所以,,即,.又,所以,所以.由得,,即.故选:B.8.设函数的定义域为,其导函数为,且满足,,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集是()A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】构造函数,利用导数判断出的单调性,由此求得不等式的解集.【详解】设,,即,,在上单调递减,又,不等式,即,,原不等式的解集为.故选:D【点睛】有关函数及其导数有关的不等式问题,求解方法是通过构造函数法,利用导数研究所构造函数的单调性、极值和最值等进行研究,由此对问题进行求解.9.在锐角中,,,若在上的投影长等于的外接圆半径,则()A.4B.2C.1D.【答案】B【解析】【分析】由题知,,进而得,即,再结合正弦定理求解即可.【详解】∵是锐角三角形,在上的投影长等于的外接圆半径,,又,,,,两式相加得:,即, ,即,又,,.故选:B.10.已知是自然对数底数,则下列不等关系中正确的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数,结合该函数的最大值,赋值进行判断.【详解】构造函数,,所以,令,得,所以在上,单调递增,在上,单调递减,所以所以,所以,,,所以,,,所以,,,所以,,所以,,,所以,,,故B错误,C正确,D错误;所以,故A错误;故选:C11.已知动圆过定点,且在x轴上截得的弦AB的长为8.过此动圆圆心轨迹C上一个定点 引它的两条弦PS,PT,若直线PS,PT的倾斜角互为补角,记直线ST的斜率为k,则()A.4B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】根据已知先求出动圆圆心轨迹C的轨迹方程,代入点求出,根据直线PS,PT的倾斜角互为补角,斜率互为相反数关系求出k,从而得出结果.【详解】设动圆圆心的坐标为C,已知动圆过定点,且在x轴上截得的弦AB的长为8,则.整理得,,故动圆圆心的轨迹C的方程为.因此,.当时,,设,,则有,.于是就是,所以.此时直线ST的斜率,故.同理可得,当时,直线ST的斜率.故.故选:C.12.已知正方体的棱长为1,,分别是棱和棱的中点,为棱上的动点(不含端点).①三棱锥的体积为定值;②当为棱的中点时,是锐角三角形;③面积的取值范围是;④若异面直线与所成的角为,则.以上四个命题中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.4 【答案】C【解析】【分析】结合判断①;设中点为,若为中点,证明即可判断②;在侧面内作垂足为,设到的距离,故面积为,进而判断③;取中点为,连接,进而得异面直线与所成的角即为,再讨论范围即可.【详解】解:因为,点到平面的距离为定值,是定值,则三棱锥的体积为定值,故①选项正确;设中点为,若为中点,由正方体的性质,有,,,平面所以平面,平面,则,因为,所以,所以是直角三角形,故选项②不正确;在侧面内作垂足为,设到的距离,则边上的高为,故其面积为,当与重合时,,,当与重合时,,,故选项③正确;取中点为,连接,因为,所以异面直线与所成的角即为, 在直角三角形中,,当为中点时,,当与,重合时,,故,,所以选项④正确,故命题正确的个数为3.故选:C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.命题p:“∀x∈R,x2﹣x+1>0”,则¬p为_____.【答案】∃x∈R,x2﹣x+1≤0.【解析】【详解】试题分析:利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.解:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题p:“∀x∈R,x2﹣x+1>0”,则¬p为:∃x∈R,x2﹣x+1≤0.故答案为∃x∈R,x2﹣x+1≤0.考点:命题的否定.14.过点作斜率为k的直线l交双曲线于,两点,线段的中点在直线上,则实数k的值为______.【答案】##【解析】【分析】联立得到韦达定理,解方程,再检验即得解.【详解】由题意可设l的方程为.联立消去y得,.显然.设,,则,解得.由得,显然不适合,适合.故答案为:15.已知圆锥的轴截面为等边三角形,是底面的内接正三角形,点在上,且 .若平面,则实数__________.【答案】##【解析】【分析】延长交圆于点,设,求出三边边长,分析可知,利用勾股定理可得出关于的等式,解之即可.【详解】如图,延长交圆于点,由题意可知,、均为等边三角形,设,由正弦定理可得,则,易知为的中点,则,,则,,因为平面,平面,所以,,在中,由勾股定理得,即,解得.故答案为:.16.著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时,给出了“牛顿数列”,它在航空航天中应用广泛.其定义是:对于函数,若数列满足,则称数列为牛顿数列,若函数,,且,则__________.【答案】【解析】 【分析】首先求出函数的导函数,依题意得到,从而得到,即可得到为等差数列,从而得解.【详解】,,,,即,又,数列为等差数列,公差为,首项为1,.故答案为:.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.17.设数列的前项和为,,是等比数列,,.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用与之间的关系,可得数列的通项公式;(2)利用等比数列的通项公式可得,利用裂项相消法与分组求和法可得.【小问1详解】,当时,,当时,,, 当时,符合上式,故数列的通项公式为;【小问2详解】由(1)得,则,,,在等比数列中,公比,,,数列的前项和.18.某省电视台为及时向人民群众传达二十大精神,在二十大召开期间,决定调整播放节目.现对收看曲艺节目和新闻节目观众的喜爱与否作抽样调查,随机抽取了100名电视观众,相关数据统计如下表所示:喜爱性别曲艺节目新闻节目男性1527女性4018(1)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,则女性观众应该抽取几名?(2)在上述抽取的5名观众中任取2名参加座谈会,求恰有1名男性观众的概率;(3)试判断是否有的把握认为,性别与喜爱节目的类型有关?参考公式:.其中.参考数据: 0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635【答案】(1)2名(2)(3)有的把握认为,性别与喜爱节目的类型有关【解析】【分析】(1)利用分层抽样的计算公式进行求解;(2)结合(1)中数据,利用古典概型概率公式求解;(3)结合题干数据和公式,算出,然后得出结论.【小问1详解】用分层抽样方法在收看新闻节目观众中随机抽取5名,则女性观众应该抽取名.【小问2详解】由(1)得5人中由男性观众3人,女性观众2人,根据古典概型概率公式:任取2名参加座谈会,恰有1名男性观众的概率为.【小问3详解】根据题目所给数据得到如下的列联表:曲艺节目新闻节目总计男性152742女性401858总计5545100,所以有的把握认为,性别与喜爱节目的类型有关.19.如图,四边形是正方形,是矩形,平面平面,, 是上一点,且.(1)当时,求证:平面平面;(2)当时,求直线与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)由已知根据面面垂直的性质定理可得平面,进而得出.根据勾股定理证明,然后证明平面,即可根据面面垂直的定义,得出证明;(2)以为坐标原点,建立空间直角坐标系,写出各点的坐标.求出平面的法向量和,即可根据向量法求出夹角的正弦值,根据正余弦的关系,得出余弦值.【小问1详解】因为四边形是正方形,所以.又平面平面,且平面平面,所以平面.因为平面,所以.当时,为的中点,此时,,则,所以,,所以有,所以.又,平面,平面,所以平面.因为平面, 所以,平面平面.【小问2详解】以为坐标原点,分别以,,所在直线为,,轴,如图建立空间直角坐标系,由已知,可得,所以,,,,所以,,,.设平面的一个法向量为,则有,取,得.设与平面所成角,则,所以.所以与平面所成角的余弦值为.20.已知为椭圆上一点,过点引圆两条切线、,切点分别为,直线与轴、轴分别交于点、.(1)设点坐标为,,求直线的方程;(2)求面积的最小值为坐标原点).【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)先求切线的方程,代入点坐标,进而求得直线的方程.(2)求得两点的坐标,然后求得面积的表达式,利用基本不等式求得面积的最小值.【小问1详解】先求在圆上一点的切线方程:设圆的方程为,圆心为,半径为,设是圆上的一点,则①,设是圆在处的切线方程上任意一点,则,即②,并整理得,即圆在处的切线方程为.根据题意,设,,,,,,是圆的切线且切点为,则的方程为,同理的方程为,又由、交于点,则有,,则直线的方程为.【小问2详解】要使围成三角形,则不是椭圆的顶点,所以,由(1)可得的坐标为,,的坐标为, ,又由点是椭圆上的动点(非顶点),则有,则有,即,当且仅当时等号成立,,即面积的最小值为.21.已知函数,其中,.(1)当时,讨论的单调性;(2)若函数的导函数在内有且仅有一个极值点,求a的取值范围.【答案】(1)函数在内单调递增(2)【解析】【分析】(1)由时,得到,然后利用导数法求解;(2)由,令,求导,由得到,令,利用数形结合法求解. 【小问1详解】解:当时,,.因为,所以,,因此,故函数在内单调递增.【小问2详解】,令,则.由得,.显然不是的根.当时,.令,则.由得.当或时,;当时,,且,.所以极大值是.由图知,当或时,直线与曲线在内有唯一交点或,且在附近,,则; 在附近,,则.因此是在内唯一极小值点.同理可得,是在内唯一极大值点.故a的取值范围是.【点睛】方法点睛:关于极值点问题,转化为函数零点再结合极值点的定义求解.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题计分选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系中,,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆锥曲线的极坐标方程为,、为的左、右焦点,过点的直线与曲线相交于A,两点.(1)当时,求的参数方程;(2)求的取值范围.【答案】(1)(为参数)(2)【解析】【分析】(1)利用,代入曲线的极坐标方程可得其直角坐标方程可得、、的坐标,求出直线的斜率、倾斜角,在上任取一点,设有向线段的长为可得直线的参数方程;(2)将的参数方程代入曲线的直角坐标方程,设,对应的参数分别为,,根据的值可得答案.【小问1详解】,, 曲线的直角坐标方程为,即,,,,直线的斜率:,时,直线的倾斜角为,在上任取一点,设有向线段的长为,则直线的参数方程为(为参数);【小问2详解】将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得,即,设,对应的参数分别为,,则,故,因为,所以,则,故,所以.选修4-5:不等式选讲23.设函数,其中.(1)当时,求曲线与直线围成的三角形的面积;(2)若,且不等式的解集是,求的值.【答案】(1)64(2)【解析】【分析】(1)由题知,进而分别求解相应的交点,计算距离,再计算面积即可;(2)分和两种情况求解得的解集为,进而结合题意求解即可.【小问1详解】 解:根据题意,当时,,所以,,设;直线与交于点,与直线交于点,且,点到直线的距离,所以,要求图形面积;【小问2详解】解:当时,,,即,解可得,此时有,当时,,,即,解可得,又由,则,此时有,综合可得:不等式的解集为,因为不等式的解集是所以,,解可得;所以,.

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