四川省绵阳南山中学2022-2023学年高二上学期期末数学 Word版含解析.docx

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南山中学高二（上）线上期末测试卷数学试卷考试时间：120分钟一、单选题（共12个题，每个题5分，共60分．每个题有且只有一个选项符合题意）1.过点和的直线斜率等于1，那么的值等于（）A.1或3B.4C.1D.1或4【答案】C【解析】【分析】利用已知两点坐标，过两点的直线的斜率公式建立方程，解出即可.【详解】由题知，，解得，故选：2.已知两条直线和，若，则实数的值为（）A.或1B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得，解方程得或，再检验即可得答案.【详解】解：因为直线和，所以，解得或，当时，直线和重合，不满足；当时，直线和，满足平行.所以故选：B3.已知双曲线的渐近线方程为，则（）A.5B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线方程的特点确定m为负，再求出双曲线渐近线方程作答.【详解】在双曲线中，，其实半轴长，虚半轴长，因双曲线的渐近线方程为，于是得，解得，所以.故选：B4.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（　　）A.该市总有15000户低收入家庭B.在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C.在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户【答案】D【解析】【分析】根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确，该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确，该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确，该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．故选：D.【点睛】 本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.5.抛物线的焦点坐标为（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将已知抛物线方程整理成标准形式，从而可求出焦点坐标.【详解】由可得，焦点在轴的正半轴上，设坐标为，则，解得，所以焦点坐标为.故选：C.6.圆与圆的位置关系为（）A.相交B.内切C.外切D.相离【答案】A【解析】【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解.【详解】由与圆，可得圆心，半径，则，且，所以，所以两圆相交.故选：A.7.如图，已知抛物线，圆，过圆心的直线与抛物线和圆依次交于点，，，，则（） A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】首先根据题意得到直线过抛物线的焦点，设直线：，，，与抛物线联立得到，再利用抛物线的焦半径公式求解即可.【详解】由抛物线：，得焦点为.圆的标准方程为，所以圆心为，半径.设，，设直线：，将直线代入抛物线方程可得，即，，故.故选：B8.已知直线过点且斜率为1，若圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据直线过点且斜率为1，写出直线方程，再根据圆上恰有3个点到的距离为1，结合半径，则由圆心到直线的距离为1求解.【详解】因为直线过点且斜率为1，所以直线方程为， 即，因为圆上恰有3个点到的距离为1，所以圆心到直线的距离为1，即，解得.故选：D9.在区间内随机地各取一个数，则两数差的绝对值不小于1的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设所取两数分别为，由题意知，在平面直角坐标系中作出对应平面区域，将概率转化为面积比，即得解【详解】设所取两数分别为，由题意知，记四边形面积为，阴影部分面积为如图所示，所求概率.故选:A.10.某学校有男生400人，女生600 人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用均值的计算公式以及方差的计算公式，准确运算，即可求解.【详解】由题意，总体的均值为，根据分层抽样的性质，可得总体的方差为：.故选：D.11.已知抛物线的准线与轴交于点，为的焦点，是上第一象限内的点，则取得最大值时，的面积为（）A.2B.3C.4D.6【答案】A【解析】【分析】由题意可确定抛物线方程，利用抛物线几何性质确定直线与相切时，取得最大值，然后，设出直线的方程，联立抛物线方程，令判别式等于零，求出点坐标，即可求得答案.【详解】由题意可知，，所以，则，，．过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，，要使取得最大值，则取得最小值，需直线与相切．由题意知直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，由消去可得，，所以，解得，因为是上第一象限内的点，所以，此时为，则，故，所以,故选：A.12.已知圆，，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出点的轨迹为椭圆，可知为该椭圆的左焦点，利用椭圆的几何性质求出，再利用勾股定理可求得的最小值.【详解】易知圆的圆心，圆的半径为，圆的圆心，半径为，，所以，圆内含于圆，设圆的半径为，则，故，故圆心的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为、，设该椭圆的方程为，焦距为， 则，可得，，可得，，所以，点的轨迹方程为.，则且，由椭圆的几何性质可得，故.故选：B.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.第II卷（非选择题）二、填空题（共4个题，每个题5分，共20分）13.袋内装有质地、大小完全相同的6个球，其中红球3个、白球2个、黑球1个，现从中任取两个球.对于下列各组中的事件A和事件B：①事件A：至少一个白球，事件B：都是红球；②事件A：至少一个白球，事件B：至少一个黑球；③事件A：至少一个白球，事件B：红球、黑球各一个；④事件A：至少一个白球，事件B：一个白球一个黑球.是互斥事件的是___________.（将正确答案的序号都填上）【答案】①③【解析】【分析】根据互斥事件的定义逐个辨析即可.【详解】①“至少一个白球”与“都是红球”不能同时发生，且不为对立事件，故为互斥事件；②“至少一个白球”与“至少一个黑球”均包含“一黑一白”的情况，故不为互斥事件；③“至少一个白球”与“红球、黑球各一个”不能同时发生，且不为对立事件，故为互斥事件；④“至少一个白球”与“一个白球一个黑球”均包含“一黑一白”的情况，故不为互斥事件. 综上，①③为互斥事件.故答案为：①③14.过点作圆圆的切线，则的方程是___________.【答案】【解析】【分析】根据圆心到直线的距离等于半径即可列方程求解.【详解】当直线无斜率时，方程为：，显然与圆不相切，故直线有斜率，设斜率为，则直线方程为：，由是圆的切线，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得，故直线方程为：故答案为：15.若坐标原点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】先根据双曲线的焦点和双曲线方程解得，设出点，代入曲线方程，求得横纵坐标关系，再根据题意坐标表示，，代入后利用二次函数的性质求其最小值，则可求得的取值范围.【详解】解：由题意得：是已知双曲线左焦点，即双曲线方程为设点，则有，解得 ，，根据二次函数的单调性分析可知函数在上单调递增当时，取得最小值，故答案为：16.椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标成一体，，为旋杆上的一点且在，两点之间，且，当滑标在滑槽内做往复运动，滑标在滑槽内随之运动时，将笔尖放置于处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系.则椭圆的普通方程为______.【答案】【解析】【分析】由已知得出椭圆的长半轴长为3，短半轴长为1，可得出椭圆的方程.【详解】由题意得：，，所以椭圆的长半轴长为3，短半轴长为1，所以椭圆的普通方程为，故答案为：.【点睛】本题考查求椭圆的方程，关键在于将生活中的数据转化为椭圆的长半轴长和短半轴长，属于基础题. 三、解答题（17题10分，其余每个题12分．共70分）17.从1、2、3、4、5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：（1）事件“三个数字中不含1和5”；（2）事件“三个数字中含1或5”．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）列举出所有的基本事件以及事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求出事件的概率；（2）列举出事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求出事件的概率．【小问1详解】所有的基本事件有：，共10个基本事件，事件所包含的基本事件为，因此，；【小问2详解】事件所包含的基本事件有：，共9个基本事件，因此，．18.已知抛物线：的焦点到顶点的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）已知过点的直线交抛物线于不同的两点，，为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）由抛物线的几何性质有焦点到顶点的距离为，从而即可求解；（2）当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程为，，，联立抛物线的方程，由韦达定理及两点间的斜率公式即可求解.【小问1详解】解：依题意，，解得，∴抛物线的方程为；【小问2详解】解：当直线的斜率不存在时，直线与抛物线仅有一个交点，不符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程为，，，由消去可得，∵直线交抛物线于不同的两点，∴，由韦达定理得，∴19.已知的顶点坐标分别为，，．圆为的外接圆．（1）求圆的方程；（2）直线与圆相切，求直线与两坐标轴所围成的三角形面积最小时的方程．【答案】（1）；（2）或或或.【解析】【分析】（1）假设圆的一般方程，代入可构造方程组求得结果；（2）设，利用直线与圆相切和基本不等式可知当直线与两坐标轴所围成的三角形面积最小，由此得到，进而整理得到直线方程.【小问1详解】 设圆方程为：，则，解得：，圆方程为：，即；【小问2详解】由题意知：直线在轴的截距不为零，可设，即，与相切，，即（当且仅当时取等号），，即当时，直线与两坐标轴所围成的三角形面积最小，此时所有可能的结果为：或或或，方程为：或或或.20.某地市响应中央“节能减排，低碳生活”的号召，近5年来开展系列的措施控制碳排放.环保部门收集到这5年内新增碳排放数量，表中x代表年份，y代表新增碳排放量.x12345y6.15.24.943.8（1）根据线性相关系数，分析x与y之间是否具有较强的线性相关性；（2）求y关于x的回归方程.参考数据：，，，参考公式：【答案】（1）与之间具有较强的线性相关性；（2）．【解析】【分析】（1）由表中数据求得，和，再由线性相关系数的计算公式求得的值，即可得解； （2）根据和的参考公式求得回归系数，得解．【详解】解：（1）由表中数据知，，，，所以线性相关系数，因为，所以与之间具有较强的线性相关性；（2），所以，所以关于的回归方程为．21.有甲、乙两个班级进行数学考试，若规定成绩在85分及以上为优秀，85分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下的列联表.优秀非优秀总计甲班10乙班30总计105已知从105个学生中随机抽取1人，其数学成绩为优秀的概率为.（1）请根据已知条件补全上面的列联表；（2）根据列联表中的数据，判断是否有95%的把握认为“学生的数学成绩与班级有关”；（3）若按下面的方法从甲班数学成绩为优秀的学生中抽取1人：把甲班数学成绩为优秀的10名学生按2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的编号（注：出现的点数之和为12时，被抽取人的编号为2）.试求抽到4号或9号的概率.附： 0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，.【答案】（1）表见解析；（2）有95%的把握；（3）.【解析】【分析】（1）根据条件可得甲、乙两班数学成绩为优秀的人数为，然后可完善表格；（2）根据公式算出的值，然后可得答案；（3）利用列举法求解即可.【详解】（1）由题意知，甲、乙两班数学成绩为优秀的人数为，所以乙班数学成绩为优秀的人数为30－10＝20，甲、乙两班数学成绩为非优秀的人数为105－30＝75，甲班数学成绩为非优秀的人数为75－30＝45，所以甲班总人数10＋45＝55，乙班总人数为20＋30＝50.补全列联表如下：优秀非优秀总计甲班104555乙班203050总计3075105（2）根据列联表中数据，得到，因此有95%的把握认为“学生的数学成绩与班级有关”.（3）先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数记为，则样本空间，共包含36个样本点，设“抽到4号或9号”为事件A，则A＝{（1，3），（2，2），（3，1），（3，6），（4，5），（5，4），（6，3）}，共包含7个样本点，所以. 22.已知椭圆：的左右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，的面积为﹐点为椭圆的下顶点，．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆上有两点，(异于椭圆顶点且与轴不垂直)．当面积最大时，直线与的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2），理由见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件可得，，，解方程求出的值即可得椭圆的标准方程；（2）设，，直线的方程为：与椭圆方程联立，可得、、，由弦长公式计算，点到直线的距离，由基本不等式可得的面积最大时与满足的关系，代入中计算即可求解.【小问1详解】由题意可得：在中，，即，所以，椭圆：中，令可得，所以，可得，所以，所以，因为，，所以，可得，所以，，所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】设直线的方程为：，，，由可得：，，即，，，所以，点到直线的距离，所以的面积为，当且仅当即时等号成立，，所以当的面积最大时，直线与的斜率之积是.