山东省枣庄市滕州市2022-2023学年高二上学期期末数学 Word版含解析.docx

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高二检测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算计算即可.【详解】由题得故选：D2.双曲线的焦距等于（）A.1B.2C.3D.6【答案】D【解析】【分析】由题意可知，，，解出，即可知焦距.【详解】由题意可知：，，，解得，即双曲线的焦距等于，故选：D.3.过点且与直线平行的直线方程是（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得解.【详解】设过点且与直线平行的直线方程是，将点的坐标代入直线的方程得，解得，故所求直线方程为，即.故选：A.4.在等比数列中，，则（）A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的下标性质，即可求解.【详解】设等比数列的公比为，，且，则.故选：D5.如果圆关于直线对称，则有（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】圆心在直线上，代入计算得到答案.【详解】由圆的对称性知，圆心在直线上，故有，即.故选：B6.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为1，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则（） A.B.C.D.【答案】D【解析】分析】根据空间向量基本定理得到，平方后，利用空间向量数量积公式计算出，从而求出模长.【详解】因为是的中点，所以，所以因为的长为1，且与，的夹角都等于60°．所以，所以.故选：D7.已知数列满足，且，则的最小值是（）A.-15B.-14C.-11D.-6【答案】A【解析】【分析】根据已知条件得出最小项为，利用迭代的思想即可求得.【详解】∵，∴当时，，当时，，∴ ，显然的最小值是.又，∴，即的最小值是.故选：A8.已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率.【详解】因为，所以，如图，在上取一点M，使得，连接，则，则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，所以，设，则，由椭圆定义可知：，即，所以，所以，，故点A与上顶点重合，在中，由余弦定理得： ，在中，，解得：，所以椭圆离心率为.故选：A【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的有（）A.直线必过定点B.直线在轴上的截距为1C.直线的倾斜角为D.点到直线的距离为1【答案】CD【解析】【分析】令的系数为0求解判断A；根据截距的定义判断B，求出直线的斜率再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角判断C，利用点到直线的距离的定义求距离判断D.【详解】对A，直线过的定点坐标满足：，，故定点为，故A 错误；对B，在轴上的截距为，故B错误；对C，直线的斜率为，故倾斜角满足，即，故C正确；对D，因为直线垂直于轴，所以点到直线的距离为，故D正确.故选：CD10.等差数列的前项和为，若，公差，则（）A.若，则必有B.若，则必有是中最大的项C.若，则必有D.若，则必有【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，结合等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质，逐项分析，即可求解.【详解】对于A中，若，则，可得，所以，所以是正确的；对于B中，若，则，即，又由，公差，所以，所以，所以必有是中最大的项，所以是正确的；对于C中，若，则，即，又由，则必有，可得，所以必有，所以是正确的；对于D中，若，则，而的符号不能确定， 所以不一定成立，所以是错误的.故选：ABC.11.在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，且．若点，，分别为棱，，的中点，则　　A.平面B.直线和直线所成的角为C.当点在平面内，且时，点的轨迹为一个椭圆D.过点，，的平面与四棱锥表面交线的周长为【答案】ABD【解析】【分析】将该四棱锥补成正方体后可判断A、B正误；结合椭圆的定义可判断C的正误；结合空间中垂直关系的转化可判断D的正误．【详解】解：将该正四棱锥补成正方体，可知位于其体对角线上，则平面，故A正确；设中点为，则，且，故B正确；，在空间中的轨迹为椭圆绕其长轴旋转而成的椭球，又平面与其长轴垂直，截面为圆，故C错误；设平面与，交于点，，连接，，，，，，，，，，，， ，而，故，同理，而，平面，而平面，则，平面，平面，，，，平面，平面，而平面，则，，同理，，又，，则，而，交线长为，故D正确．故选：ABD.12.已知抛物线：与圆：交于，两点，且，直线过的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（）A.若直线斜率为，则B.的最小值为C.若以为直径的圆与轴的公共点为，则点的横坐标为D.若点，则周长的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】首先求出抛物线的解析式，设出的坐标，联立进行求解，当时，，进而判断选项A错误；再根据韦达定理和不等式求最小值后进行判断选项B；画出大致图象，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合抛物线定义判断选项C；过作垂直于准线，垂足为，结合的周长，进而判断选项D即可. 【详解】由题意得点在抛物线上，所以，解得，所以，则，设直线，与联立得，设，，所以，，所以，当时，，A项错误；，则，当且仅当，时等号成立，B项正确；如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点为，过点作轴的垂线，垂足为，则，是梯形的中位线，由抛物线的定义可得，所以， 所以以为直径的圆与轴相切，所以点为圆与轴的切点，所以点的纵坐标为，又为中点，所以点的纵坐标为，又点在抛物线上，所以点的横坐标为，C项正确；过作垂直于准线，垂足为，所以的周长为，当且仅当点的坐标为时取等号，D项正确.故选：BCD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.等差数列中，则数列的前5项和__________.【答案】25【解析】【分析】利用基本量代换求出首项和公差，套公式求出.【详解】设等差数列的公差为，由可得：，解得：，所以.所以.故答案为：2514.若空间向量共面，则实数__________.【答案】1【解析】【分析】因为三个向量共面，由平面向量的基本定理可知，然后计算即可. 【详解】由题可知，，故，有，解得故答案为：115.写出与两圆均相切的一条直线方程为___________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据圆的方程判断圆的位置关系，公切线斜率存在，设为，应用点线距离公式求参数，即可写出直线方程.【详解】由，圆心为，半径为1；由，圆心为，半径为4；所以圆心距为，故两圆外切，如下图，公切线斜率存在，设为，所以，解得或或，所以，公切线方程有或或.故答案为：（答案不唯一）16.椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，这个圆称为该椭圆的“蒙日圆”，圆心是椭圆的中心．已知长方形的四条边均与椭圆相切，则的蒙日圆方程为_______________；的面积的最大值为_________________．【答案】①.②.18 【解析】【分析】设两条互相垂直切线的交点为，分为两切线存在斜率为0和斜率不为0两种情况讨论，斜率不为0时，设切线方程为.联立，利用整理成关于的一元二次方程，利用两直线垂直斜率之积为，化简整理即可求解的蒙日圆方程；要使圆的内接四边形面积最大，即四边形为正方形时，结合面积公式即可求解.【详解】设两条互相垂直的切线的交点为，当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点的坐标是，或.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点的坐标是且，所以可设曲线的过点的切线方程是.由，得，由其判别式的值为0，得，因为（为过点互相垂直的两条直线的斜率）是这个关于的一元二次方程的两个根，所以，由此，得，即的蒙日圆方程为：；因为蒙日圆为长方形外接圆，设，，则矩形面积公式为，显然，即矩形四条边都相等，为正方形时，. 故答案为：；.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.设圆的方程为（1）求该圆的圆心坐标及半径.（2）若此圆的一条弦AB的中点为，求直线AB的方程.【答案】（1）；；（2）【解析】【分析】（1）将圆的方程转化为标准形式，可得结果.（2）根据弦的中垂线过圆心，可得中垂线的斜率，然后根据垂直关系，可得直线的斜率，最后根据点斜式可得结果.【详解】（1）由圆的方程为则所以可知圆心，半径（2）由弦的中垂线为,则所以可得，故直线AB的方程为：即【点睛】本题考查圆的方程以及直线方程，难点在于对圆的几何性质的认识，属基础题.18.设为数列的前n项和，已知，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据等差数列定义可得，利用与之间关系可证得数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得；（2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果.【小问1详解】由题意得：；当时，，又，；当且时，，整理可得：，，，数列是以为首项，为公差的等差数列，.【小问2详解】由（1）得：，.19.如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点. （1）求证：；（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.【答案】（1）证明过程见解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可；（2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可.【小问1详解】因为平面，平面，所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：，，因为，所以，即，【小问2详解】设平面的法向量为，，所以有，因为直线与平面所成角为， 所以，解得，即，因为，所以点到平面的距离为：.【点睛】20.如图，在四棱锥中，平面为等边三角形，分别为棱的中点.（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1）（2）棱上存在点，使得平面，且【解析】【分析】（1）取的中点，连接，先证明，再根据线面垂直的性质可得，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（2）设点满足，再利用向量法求解即可.【小问1详解】取的中点，连接，因为在四边形中，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以，又在等边中，是的中点，所以，如图以为原点，建立空间直角坐标系，，故，，设平面的法向量，则 即，可取，因为平面，所以即为平面的一个法向量，设平面与平面所成的锐二面角为，则，即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为；【小问2详解】设点满足，所以，则，因为平面，所以，解得，即棱上存在点，使得平面，且.21.已知公比大于1的等比数列满足.（1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和.【答案】（1）（2）193【解析】【分析】（1）设首项为，公比为，代入条件计算，可求出通项公式；（2）由条件可知，当时，，且，即可计算前50项的和.【小问1详解】由于数列是公比大于1的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得：或（舍）.所以.【小问2详解】由题意，，即，当时，，当时，当时，，共有个，则.22.如图，已知椭圆，其左､右焦点分别为，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且. （1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义可得，结合题列出关系式，可得，即得；或利用椭圆上点的坐标结合定义可得.（2）由题可设直线的方程为：，设点，利用韦达定理法，结合条件可得，即得.【小问1详解】法一：，,，,,∴椭圆方程为：. 法二：设，代入椭圆方程，由，解得，，椭圆方程为：.【小问2详解】设动直线的方程为：，由，得设，则，由对称性可设存在定点满足题设，则，由，可得，所以，∴，∴，由题意知上式对成立， 且，解得.存在定点，使得以为直径的适恒过这个点，且点的坐标为.