《三角形中四类重要的最值模型》专题练习：专题讲练（原卷版）

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《三角形中四类重要的最值模型》专题练习：专题讲练（原卷版）专题1.2三角形中四类重要的最值模型专题讲练三角形中重要的四类最值模型(将军饮马模型、瓜豆模型(动点轨迹)、胡不归模型、费马点模型等)在考试中,无论是解答题,还是选择、填空题,都是学生感觉有困难的地方,也恰是学生能力区分度最重要的地方,主要考查转化与化归等的数学思想.在各类考试中都以中高档题为主,中考说明中曾多处涉及.在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间,线段最短;②垂线段最短,涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到”三角形两边之和大于第三边”、”三角形两边之差小于第三边”等.特殊三角形中的分类讨论则体现了另一种数学思想,希望通过本专题的讲解让大家对这两类问题有比较清晰的认识.重要模型模型1：将军饮马模型【模型图示】将军饮马模型图形原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A,B为定点,l为定直线,P为直线l上的一个动点,求AP+BP的最小值A,B为定点,l为定直线,MN为直线l上的一条动线段,求AM+BN的最小值A,B为定点,l为定直线,P为直线l上的一个动点,求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M,N重合,然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点将军饮马拓展型：1)点位定点,在直线,上分别找点,,使周长(即)最小操作：分别作点关于直线,的对称点和,连结与直线,的交点为,,18

1《三角形中四类重要的最值模型》专题练习：专题讲练（原卷版）求长度通法：如上图,一般会给一个特殊角(15°,30°,45°,60°,75°),连结,,,由对称性可求也为特殊角(30°,60°,90°,120°,150°),,可得特殊等腰,利用三边关系求出2)点,为定点,直线,上分别找,,使周长(即)小操作：分别作点,关于直线,的对称点和,连结与直线,的交点为,,例1．(2022·广东·九年级专题练习)已知点,,在x轴上的点C,使得最小,则点C的横坐标为_______．变式1．(2022·河南南阳·八年级阶段练习)如图,等边的边长为4,点是边的中点,点是的中线上的动点,则的最小值是_____．例2．(2022·山东潍坊·八年级期末)如图,在平面直角坐标系中,已知,,是轴上的一条动线段,且,当取最小值时,点坐标为______.变式2．(2022·成都市·八年级专题练习)如图,四边形是平行四边形,,,,点、是边上的动点,且,则四边形周长的最小值为______．18

2《三角形中四类重要的最值模型》专题练习：专题讲练（原卷版）例3．(2022·安徽·八年级期末)已知在平面直角坐标系中,点A(－1,－2),点B(4,12),试在x轴上找一点P,使得｜PA－PB｜的值最大,求P点坐标为_________．变式3．(2022·河南南阳·一模)如图,已知△ABC为等腰直角三角形,AC＝BC＝6,∠BCD＝15°,P为直线CD上的动点,则|PA－PB|的最大值为____．例4．(2022·江苏·无锡市东林中学八年级期末)如图,已知∠AOB的大小为α,P是∠AOB内部的一个定点,且OP＝4,点E、F分别是OA、OB上的动点,若△PEF周长的最小值等于4,则α＝(       )A．30°B．45°C．60°D．90°变式4．(2022·安徽·合肥市八年级阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,∠AOB＝30°,P(5,0),在OB上找一点M,在OA上找一点N,使△PMN周长最小,则此时△PMN的周长为___．例5．(2022·湖北武汉市·八年级期末)如图,点A在y轴上,G、B两点在x轴上,且G(﹣3,0),B(﹣2,0),HC与GB关于y轴对称,∠GAH＝60°,P、Q分别是AG、AH上的动点,则BP＋PQ＋CQ的最小值是()18

3《三角形中四类重要的最值模型》专题练习：专题讲练（原卷版）A．6B．7C．8D．9变式5．(2022·湖北黄冈·八年级期末)已知,如图,,点M,N分别是边OA,OB上的定点,点P,Q分别是边OB,OA上的动点,记,,当最小时,则______．模型2：瓜豆原理(动点轨迹)【解题技巧】1)动点轨迹为直线时,利用”垂线段最短”求最值.确定直线型动点轨迹的常见方法：①观察动点运动到特殊位置时,如中点,端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变,若存在该动点的轨迹为直线;②当某动点到某条直线的距离不变时或某动点所在直线与已知定直线夹角不变时,该动点的轨迹为直线;③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时,若可化为一次函数,则点的轨迹为直线.2)动点的轨迹为定圆时,可利用：”一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和,最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解.确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法：动点到定点的距离不变,则点的轨迹是圆或者圆弧.3)动点轨迹非圆(直线)时,可此线段转化为一个三角形中,(1)利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边求最值.(2)在转化较难进行时,可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形(常构造手拉手模型)进一步转化求最值.例1.(2022·长沙市初二月考)如图,OE是等边的中线,,点C是直线OE上一动点,以AC18

4《三角形中四类重要的最值模型》专题练习：专题讲练（原卷版）为边在直线AC下方作等边,连接ED,下列说法正确的是()A．ED的最小值是2B．ED的最小值是1C．ED有最大值D．ED没有最大值也没有最小值变式1.(2022·陕西·西安八年级期末)预备知识：(1)在一节数学课上,老师提出了这样一个问题：随着变量t的变化,动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么?一番深思熟虑后,聪明的小明说：”是一条直线”,老师问：”你能求出这条直线的函数表达式吗?”小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为,将点代入得：,整理得∵t为任意实数,等式恒成立,∴,∴,∴这条直线的函数表达式为请仿照小明的做法,完成问题：随着变量t的变化,动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l,求直线l的函数表达式．问题探究：(2)如图1,在平面直角坐标系中,已知,,且,,则点C的坐标为_________．结论应用：(3)如图2,在平面直角坐标系中,已知点,Q是直线上的一个动点,连接,18

5《三角形中四类重要的最值模型》专题练习：专题讲练（原卷版）过点P作,且,连接,求线段的最小值．变式2.(2022·重庆八年级月考)在中,,,,点D是直线BC上一动点,连接AD,在直线AD的右恻作等边,连接CE,当线段CE的长度最小时,则线段CD的长度为_______．例2．(2022·成都市八年级月考)如图,在中,,点分别在上,将沿翻折,点落在处,则线段长度的最小值为_____．变式3.(2022·重庆八年级月考)如图,等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE的腰长分别为4和2,其中∠BAC＝∠DAE＝90°,点M为边DE的中点,若等腰Rt△ADE绕点A旋转,则点B到点M的距离最小值为__________．例3.(2022·成都市·八年级月考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点的最大距离是()18

6《三角形中四类重要的最值模型》专题练习：专题讲练（原卷版）A．6B．C．D．变式4.(2022·广东·八年级期中)如图,已知等边三角形ABC边长为2,两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动,点C在第四象限,连接OC,则线段OC长的最小值是()A．1B．3C．3D．模型3：费马点模型【解题技巧】费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点.如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小?如图：将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AQE,再连接CE.当B、P、Q、E四点共线时取得最小值.费马点的性质：费马点有如下主要性质：1)费马点到三角形三个顶点距离之和最小.2)如果三角形有一个内角大于或等于120°,这个内角的顶点就是费马点;3)如果3个内角均小于120°,则在三角形内部对3边张角均为120°的点,是三角形的费马点.例1．(2022·湖北鄂州市·九年级期末)中,,,,为18

7《三角形中四类重要的最值模型》专题练习：专题讲练（原卷版）内一个动点,则的最小值为_____．变式1．(2021·山东滨州·中考真题)如图,在中,,,．若点P是内一点,则的最小值为____________．例2．(2022·广东·九年级专题练习)如图,△ABC中,∠BAC＝30°且AB＝AC,P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2,则BC＝_____．变式2．(2022·绵阳市·八年级期中)如图,四边形ABCD是菱形,AB=4,且∠ABC=∠ABE=60°,G为对角线BD(不含B点)上任意一点,将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF,当AG+BG+CG取最小值时EF的长()A．B．C．D．18

8《三角形中四类重要的最值模型》专题练习：专题讲练（原卷版）模型4：胡不归模型【解题技巧】如图,一动点P在直线MN外的运动速度为V1,在直线MN上运动的速度为V2,且V1

9《三角形中四类重要的最值模型》专题练习：专题讲练（原卷版）变式1．(2022·成都市七中育才学校八年级期中)如图,在平面直角坐标系中,直线l分别交x、y轴于B、C两点,点A、C的坐标分别为(3,0)、(0,﹣3),且∠OCB＝60°,点P是直线l上一动点,连接AP,则的最小值是______．例2．(2022·成都市·九年级专题练习)如图,在中,,,,若是边上的动点,则的最小值()A．B．C．D．变式2．(2022·绵阳市·九年级专题练习)如图,▱ABCD中,∠DAB＝30°,AB＝6,BC＝2,P为边CD上的一动点,则2PB+PD的最小值等于______.18

10《三角形中四类重要的最值模型》专题练习：专题讲练（原卷版）课后专项训练：1.(2022·贵州黔东南·八年级期末)如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,EF是BC的垂直平分线．点P是EF上的动点,则|PA-PB|的最大值为_______________2．(2022·和平区·八年级期末)如图,,点M,N分别是边,上的定点,点P,Q分别是边,上的动点,记,,当的值最小时,的大小=___(度)．3．(2022·重庆·八年级期末)如图,在中,以BC为底边在外作等腰,作的平分线分别交AB,BC于点F,E．若,,的周长为30,点M是直线PF上的一个动点,则周长的最小值为______．18

11《三角形中四类重要的最值模型》专题练习：专题讲练（原卷版）4．(2022·湖北黄石·中考真题)如图,等边中,,点E为高上的一动点,以为边作等边,连接,,则______________,的最小值为______________．5．(2022·成都市·九年级专题练习)在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,A(3,0),B(0,4),D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点,求的周长最小值;(2)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=1,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.6.(2022河北·八年级期中)如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上,当B在边ON上运动时,A随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=4,BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是______．18

12《三角形中四类重要的最值模型》专题练习：专题讲练（原卷版）7．(2022·广东·八年级专题练习)如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝6,,点F在边AC上,并且CF＝2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是.8.(2022·绵阳市八年级月考)如图,已知线段AB＝12,点C在线段AB上,且△ACD是边长为4的等边三角形,以CD为边的右侧作矩形CDEF,连接DF,点M是DF的中点,连接MB,则线段MB的最小值为.9．(2022·东北师大附属明达学校九年级二模)数学兴趣活动课上,小致将等腰的底边与直线重合．(1)如图(1),在中,,点在边所在的直线上移动,根据”直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”,小致发现的最小值是____________．(2)为进一步运用该结论,在(1)的条件下,小致发现,当最短时,如图(2),在中,作平分交于点点分别是边上的动点,连结小致尝试探索的最小值,小致在上截取使得连结易证,从而将转化为转化到(1)的情况,则的最小值为;(3)解决问题：如图(3),在中,,点是边上的动点,连结将线段绕点顺时针旋转,得到线段连结,求线段的最小值．18

13《三角形中四类重要的最值模型》专题练习：专题讲练（原卷版）10.(2020·江苏宿迁市·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,Q是直线y=﹣x+2上的一个动点,将Q绕点P(1,0)顺时针旋转90°,得到点,连接,则的最小值为()A．B．C．D．11．(2021·福建·福州华伦中学八年级期末)如图,在中,,,,D为AB上一动点(不与点A重合),为等边三角形,过D点作DE的垂线,F为垂线上任意一点,G为EF的中点,则线段BG长的最小值是()A．B．6C．D．912．(2022·江苏·苏州八年级期中)背景资料：在已知所在平面上求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的,所求的点被人们称为”费马点”．如图1,当三个内角均小于120°时,费马点P在内部,当时,则取得最小值．18

14《三角形中四类重要的最值模型》专题练习：专题讲练（原卷版）(1)如图2,等边内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求的度数,为了解决本题,我们可以将绕顶点A旋转到处,此时这样就可以利用旋转变换,将三条线段、、转化到一个三角形中,从而求出_______;知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢?为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点,则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．(2)如图3,三个内角均小于120°,在外侧作等边三角形,连接,求证：过的费马点．(3)如图4,在中,,,,点P为的费马点,连接、、,求的值．(4)如图5,在正方形中,点E为内部任意一点,连接、、,且边长;求的最小值．18

15《三角形中四类重要的最值模型》专题练习：专题讲练（原卷版）13．(2023·山西·九年级专题练习)请阅读下列材料,并完成相应的任务：费马,17世纪德国的业余数学家,被誉为”业余数学家之王”,他独立于笛卡儿发现了解析几何的基本原理.费马得到过这样的结论：如图①,当三角形的三个角均小于时,在三角形内有一点,使得,且该点到三角形三个顶点的距离之和最小,这个点被称为费马点.证明：如图②,把绕点逆时针旋转得到,连接,则,________,为等边三角形.,,点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点,为定长,当四点在同一直线上时,最小,这时,,.任务：(1)横线处填写的条件是__________;(2)已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为,求此正方形的边长.18

16《三角形中四类重要的最值模型》专题练习：专题讲练（原卷版）14．(2022·北京八年级期中)等边三角形ABC的边长为6,将其放置在如图所示的平面直角坐标系中,其中BC边在x轴上,BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发,先沿y轴到达G点,再沿GC到达C点,已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍,若电子虫走完全程的时间最短,则点G的坐标为．15．(2022·湖北·九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系中,直线l1：y＝x＋和直线l2：y＝﹣x＋b相交于y轴上的点B,且分别交x轴于点A和点C．(1)求△ABC的面积;(2)点E坐标为(5,0),点F为直线l1上一个动点,点P为y轴上一个动点,求当EF＋CF最小时,点F的坐标,并求出此时PF＋OP的最小值．18

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