初中三年中考必背-八年级《数学》重点知识点(全)

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初二数学知识点因式分解1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解;注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2．因式分解的方法：常用"提取公因式法”、"公式法”、"分组分解法”、"十字相乘法”.3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a;a-b=-(b-a);(a-b)2=(b-a)2;(a-b)3=-(b-a)3.4．因式分解的公式：(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.5．因式分解的注意事项：(1)选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字;(2)使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性;(3)因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止;(4)因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正;(5)因式分解的最后结果要求加以整理;(6)因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6．因式分解的解题技巧：(1)换位整理,加括号或去括号整理;(2)提负号;(3)全变号;(4)换元;(5)配方;(6)把相同的式子看作整体;(7)灵活分组;(8)提取分数系数;(9)展开部分括号或全部括号;(10)拆项或补项.7．完全平方式：能化为(m+n)2的多项式叫完全平方式;对于二次三项式x2+px+q,有"x2+px+q是完全平方式Û”.分式1．分式：一般地,用A、B表示两个整式,A÷B就可以表示为的形式,如果B中含有字母,式子叫做分式.13

12．有理式：整式与分式统称有理式;即.3．对于分式的两个重要判断：(1)若分式的分母为零,则分式无意义,反之有意义;(2)若分式的分子为零,而分母不为零,则分式的值为零;注意：若分式的分子为零,而分母也为零,则分式无意义.4．分式的基本性质与应用：(1)若分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式,分式的值不变;(2)注意：在分式中,分子、分母、分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变;即(3)繁分式化简时,采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法,比较简单.5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分;注意：分式约分前经常需要先因式分解.6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式,这个分式叫做最简分式;注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.7．分式的乘除法法则：.8．分式的乘方：.9．负整指数计算法则：(1)公式：a0=1(a≠0),a-n=(a≠0);(2)正整指数的运算法则都可用于负整指数计算;(3)公式：,;(4)公式：(-1)-2=1,(-1)-3=-1.10．分式的通分：根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分;注意：分式的通分前要先确定最简公分母.11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂.13

212．同分母与异分母的分式加减法法则：.13．含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数,对x来说,字母a是x的系数,叫做字母系数,字母b是常数项,我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数,用x、y、z等表示未知数.14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式,叫做公式变形;注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时,一般需要先确认这个代数式的值不为0.15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程;注意：以前学过的,分母里不含未知数的方程是整式方程.16．分式方程的增根：在解分式方程时,为了去分母,方程的两边同乘以了含有未知数的代数式,所以可能产生增根,故分式方程必须验增根;注意：在解方程时,方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式,因为可能丢根.17．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母(或分式方程的每个分母),若值为零,求出的根是增根,这时原方程无解;若值不为零,求出的根是原方程的解;注意：由此可判断,使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样,但需要增加"验增根”的程序.数的开方1．平方根的定义：若x2=a,那么x叫a的平方根,(即a的平方根是x);注意：(1)a叫x的平方数,(2)已知x求a叫乘方,已知a求x叫开方,乘方与开方互为逆运算.2．平方根的性质：(1)正数的平方根是一对相反数;(2)0的平方根还是0;(3)负数没有平方根.3．平方根的表示方法：a的平方根表示为和.注意：可以看作是一个数,也可以认为是一个数开二次方的运算.13

34．算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根,表示为.注意：0的算术平方根还是0.5．三个重要非负数：a2≥0,|a|≥0,≥0.注意：非负数之和为0,说明它们都是0.6．两个重要公式：(1);(a≥0)(2).7．立方根的定义：若x3=a,那么x叫a的立方根,(即a的立方根是x).注意：(1)a叫x的立方数;(2)a的立方根表示为;即把a开三次方.8．立方根的性质：(1)正数的立方根是一个正数;(2)0的立方根还是0;(3)负数的立方根是一个负数.9．立方根的特性：.10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：p和开方开不尽的数是无理数.11．实数：有理数和无理数统称实数.12．实数的分类：(1)(2).13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求,则结果应该用无理数表示;如果题目有近似要求,则结果应该用无理数的近似值表示.注意：(1)近似计算时,中间过程要多保留一位;(2)要求记忆：.三角形几何A级概念：(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明)13

41．三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.(如图)几何表达式举例：(1)∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD(2)∵∠BAD=∠CAD∴AD是角平分线2．三角形的中线定义：在三角形中,连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.(如图)几何表达式举例：(1)∵AD是三角形的中线∴BD=CD(2)∵BD=CD∴AD是三角形的中线3．三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.(如图)几何表达式举例：(1)∵AD是ΔABC的高∴∠ADB=90°(2)∵∠ADB=90°∴AD是ΔABC的高※4．三角形的三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边.(如图)几何表达式举例：(1)∵AB+BC＞AC∴……………(2)∵AB-BC＜AC∴……………5．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.几何表达式举例：(1)∵ΔABC是等腰三角形13

5(如图)∴AB=AC(2)∵AB=AC∴ΔABC是等腰三角形6．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形.(如图)几何表达式举例：(1)∵ΔABC是等边三角形∴AB=BC=AC(2)∵AB=BC=AC∴ΔABC是等边三角形7．三角形的内角和定理及推论：(1)三角形的内角和180°;(如图)(2)直角三角形的两个锐角互余;(如图)(3)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;(如图)※(4)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(1)(2)(3)(4)几何表达式举例：(1)∵∠A+∠B+∠C=180°∴…………………(2)∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°(3)∵∠ACD=∠A+∠B∴…………………(4)∵∠ACD＞∠A∴…………………8．直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形.(如图)几何表达式举例：(1)∵∠C=90°∴ΔABC是直角三角形(2)∵ΔABC是直角三角形∴∠C=90°9．等腰直角三角形的定义：几何表达式举例：(1)∵∠C=90°CA=CB13

6两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.(如图)∴ΔABC是等腰直角三角形(2)∵ΔABC是等腰直角三角形∴∠C=90°CA=CB10．全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边相等;(如图)(2)全等三角形的对应角相等.(如图)几何表达式举例：(1)∵ΔABC≌ΔEFG∴AB=EF………(2)∵ΔABC≌ΔEFG∴∠A=∠E………11．全等三角形的判定："SAS”"ASA”"AAS”"SSS”"HL”.(如图)(1)(2)(3)几何表达式举例：(1)∵AB=EF∵∠B=∠F又∵BC=FG∴ΔABC≌ΔEFG(2)………………(3)在RtΔABC和RtΔEFG中∵AB=EF又∵AC=EG∴RtΔABC≌RtΔEFG12．角平分线的性质定理及逆定理：几何表达式举例：(1)∵OC平分∠AOB13

7(1)在角平分线上的点到角的两边距离相等;(如图)(2)到角的两边距离相等的点在角平分线上.(如图)又∵CD⊥OACE⊥OB∴CD=CE(2)∵CD⊥OACE⊥OB又∵CD=CE∴OC是角平分线13．线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.(如图)几何表达式举例：(1)∵EF垂直平分AB∴EF⊥ABOA=OB(2)∵EF⊥ABOA=OB∴EF是AB的垂直平分线14．线段垂直平分线的性质定理及逆定理：(1)线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等;(如图)(2)和一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.(如图)几何表达式举例：(1)∵MN是线段AB的垂直平分线∴PA=PB(2)∵PA=PB∴点P在线段AB的垂直平分线上13

815．等腰三角形的性质定理及推论：(1)等腰三角形的两个底角相等;(即等边对等角)(如图)(2)等腰三角形的"顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一;(如图)(3)等边三角形的各角都相等,并且都是60°.(如图)(1)(2)(3)几何表达式举例：(1)∵AB=AC∴∠B=∠C(2)∵AB=AC又∵∠BAD=∠CAD∴BD=CDAD⊥BC………………(3)∵ΔABC是等边三角形∴∠A=∠B=∠C=60°16．等腰三角形的判定定理及推论：(1)如果一个三角形有两个角都相等,那么这两个角所对边也相等;(即等角对等边)(如图)(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(如图)(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形;(如图)(4)在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边是斜边的一半.(如图)(1)(2)(3)(4)几何表达式举例：(1)∵∠B=∠C∴AB=AC(2)∵∠A=∠B=∠C∴ΔABC是等边三角形(3)∵∠A=60°又∵AB=AC∴ΔABC是等边三角形(4)∵∠C=90°∠B=30°∴AC=AB17．关于轴对称的定理(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(如图)几何表达式举例：(1)∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称13

9(2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.(如图)∴ΔABC≌ΔEGF(2)∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称∴OA=OEMN⊥AE18．勾股定理及逆定理：(1)直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2;(如图)(2)如果三角形的三边长有下面关系：a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.(如图)几何表达式举例：(1)∵ΔABC是直角三角形∴a2+b2=c2(2)∵a2+b2=c2∴ΔABC是直角三角形19．RtΔ斜边中线定理及逆定理：(1)直角三角形中,斜边上的中线是斜边的一半;(如图)(2)如果三角形一边上的中线是这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.(如图)几何表达式举例：(1)∵ΔABC是直角三角形∵D是AB的中点∴CD=AB(2)∵CD=AD=BD∴ΔABC是直角三角形几何B级概念：(要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题)一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二常识：1．三角形中,第三边长的判断：另两边之差＜第三边＜另两边之和.13

102．三角形中,有三条角平分线、三条中线、三条高线,它们都分别交于一点,其中前两个交点都在三角形内,而第三个交点可在三角形内,三角形上,三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3．如图,三角形中,有一个重要的面积等式,即：若CD⊥AB,BE⊥CA,则CD·AB=BE·CA.4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.7．如图,双垂图形中,有两个重要的性质,即：(1)AC·CB=CD·AB;(2)∠1=∠B,∠2=∠A.8．三角形中,最多有一个内角是钝角,但最少有两个外角是钝角.9．全等三角形中,重合的点是对应顶点,对应顶点所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边.10．等边三角形是特殊的等腰三角形.11．几何习题中,"文字叙述题”需要自己画图,写已知、求证、证明.12．符合"AAA”"SSA”条件的三角形不能判定全等.13．几何习题经常用四种方法进行分析：(1)分析综合法;(2)方程分析法;(3)代入分析法;(4)图形观察法.14．几何基本作图分为：(1)作线段等于已知线段;(2)作角等于已知角;(3)作已知角的平分线;(4)过已知点作已知直线的垂线;(5)作线段的中垂线;(6)过已知点作已知直线的平行线.15．会用尺规完成"SAS”、"ASA”、"AAS”、"SSS”、"HL”、"等腰三角形”、"等边三角形”、"等腰直角三角形”的作图.16．作图题在分析过程中,首先要画出草图并标出字母,然后确定先画什么,后画什么;注意：每步作图都应该是几何基本作图.17．几何画图的类型：(1)估画图;(2)工具画图;(3)尺规画图.※18．几何重要图形和辅助线：(1)选取和作辅助线的原则：①构造特殊图形,使可用的定理增加;②一举多得;13

11③聚合题目中的分散条件,转移线段,转移角;④作辅助线必须符合几何基本作图.(2)已知角平分线.(若BD是角平分线)①在BA上截取BE=BC构造全等,转移线段和角;②过D点作DE∥BC交AB于E,构造等腰三角形.(3)已知三角形中线(若AD是BC的中线)①过D点作DE∥AC交AB于E,构造中位线;②延长AD到E,使DE=AD连结CE构造全等,转移线段和角;③∵AD是中线∴SΔABD=SΔADC(等底等高的三角形等面积)(4)已知等腰三角形ABC中,AB=AC①作等腰三角形ABC底边的中线AD(顶角的平分线或底边的高)构造全等三角形;②作等腰三角形ABC一边的平行线DE,构造新的等腰三角形.13

12(5)其它①作等边三角形ABC一边的平行线DE,构造新的等边三角形;②作CE∥AB,转移角;③延长BD与AC交于E,不规则图形转化为规则图形;④多边形转化为三角形;⑤延长BC到D,使CD=BC,连结AD,直角三角形转化为等腰三角形;⑥若a∥b,AC,BC是角平分线,则∠C=90°.13