浙江省衢州市2021-2022学年高二下学期6月教学质量检测数学 Word版含解析

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衢州市2022年6月高二年级教学质量检测试卷数学试题一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)1.已知集合,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义计算可得;【详解】解:因为,,所以;故选:C2.已知为虚数单位,且复数,则()A.4B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数,再根据复数模的计算公式计算可得;【详解】解:因为,所以;故选:D3.“”是“直线与圆相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可;【详解】解:若直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径,

1即,解得,所以由推得出直线与圆相切,故充分性成立,由直线与圆相切推不出,故必要性不成立,故“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件;故选:A4.函数的部分图象大致为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性,再对和时函数值的情况讨论,利用排除法即可判断;【详解】解:因为定义域为,又,所以为奇函数,函数图象关于原点对称,故排除B;当时,,,所以,所以,故排除D;当时,因为,所以,即,故排除C;故选:A5.已知,,则()

2A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角公式计算可得;【详解】解:因为,所以;故选:D6.已知向量,满足,则为()A.1B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】根据数量积的运算律得到方程组,解得即可;【详解】解:因为,所以,即,即,即,解得,所以;故选:B7.疫情期间,某医院召集4位医生,1位护士共5人赶赴,,三个核酸检测点进行核酸采样工作,每个检测点至少派1人,且护士不去检测点,则不同的安排方法有()A.76B.88C.100D.124【答案】C【解析】【分析】先将护士安排好,再对4

3位医生分安排去两个检测点和三个检测点两种情况讨论,按照分类、分步计数原理计算可得;【详解】解:首先将护士安排去、两个核酸检测点中的一个有种安排方法,再将4位医生安排去两个检测点或三个检测点,若安排去两个检测点,则有种安排方法,若安排去三个检测点,则有种安排方法,综上一共有种安排方法;故选:C8.已知非零实数,满足,则()AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用特殊值判断A、B,构造函数,利用导数证明C、D;【详解】解:因为,所以,令,,此时满足,但是,故A错误;令,,此时满足,但是,故B错误;由两边取对数可得,当,,所以要比较与的大小,即比较与的大小,即与的大小,令,,则令,则令,,

4则,所以时,当时,即,所以,当时,,所以,综上可得,故D正确;当,,要比较与的大小,只需比较与的大小,令,,则,所以当时,当时,所以在单调递增,在上单调递减,当时,,,所以,此时不满足,即不恒成立,故C错误;故选:D二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分)9.已知函数,则下列关于函数描述正确的是()A.函数图象关于直线对称B.函数图象关于点中心对称C.函数在单调递增D.函数在上的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦型函数的对称性可判断AB选项;利用正弦型函数的单调性可判断C选项;利用正弦型函数的基本性质可判断D选项.

5【详解】对于A选项,,故函数图象关于直线对称,A对;对于B选项,,故函数图象关于点中心对称,B对;对于C选项,当时,,所以,函数在上不单调,C错;对于D选项,当时,,故当时,,D对.故选:ABD.10.已知曲线:,则下列说法正确的是()A.若曲线表示双曲线,则B.若曲线表示椭圆,则且C.若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为,则D.若曲线与椭圆有公共焦点,则【答案】BCD【解析】【分析】根据双曲线,椭圆的特征一一计算可得;【详解】解:对于A:若曲线:表示双曲线,则,解得或,故A错误;对于B:若曲线:表示椭圆,则,解得且,故B正确;

6对于C:若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为,则,所以,则,解得,故C正确;对于D:椭圆的焦点为,若曲线表示焦点在轴上的双曲线,则,则,则,解得(舍去);若曲线表示焦点在轴上的椭圆,则,则,则,解得,符合题意,故,故D正确;故选:BCD11.甲乙两位同学纸牌游戏(纸牌除了颜色有不同,没有其他任何区别),他们手里先各持4张牌,其中甲手里有2张黑牌,2张红牌,乙手里有3张黑牌,1张红牌,现在两人都各自随机的拿出一张牌进行交换,交换后甲、乙手中的红牌数分别为、张,则()A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】依题意可得的可能取值为、、,且,求出所对应的概率,即可求出,再根据期望与方差的性质计算可得;【详解】解:甲取出一张红牌为事件A,乙取出一张红牌为事件,则,,则的可能取值为、、,且,则,,所以,所以,

7,故正确的有A、D;故选:AD12.已知三棱锥底面是正三角形,则下列各选项正确的是()A.与平面所成角的最大值为B.与平面所成角的最小值为C.若平面平面,则二面角的最小值为D.若、都不小于,则二面角为锐二面角【答案】AC【解析】【分析】利用线面角的定义可判断AB选项;利用二面角的定义可判断C选项;利用空间向量法可判断D选项.【详解】对于A选项,设点在平面内的射影点为,取的中点,连接、、、,设等边的边长为,则,平面,所以,直线与平面所成角为,平面,平面,则,为等边三角形,为的中点,则,,平面,平面,,所以,二面角的平面角为,,所以,,

8则,即当平面平面时,取得最大值,A对;对于B选项,由A选项可知,与平面所成角的最大值为,B错;对于C选项,取的中点,过点在平面内作,垂足为点,连接、,则,为等边三角形,为的中点,则,因为平面平面,平面平面,平面,平面,平面,,,,平面,平面,,所以,二面角的平面角为,平面,平面,,因为,所以,,当且仅当时,等号成立,故当平面平面时,则二面角的最小值为,C对;对于D选项,过点在平面内作,垂足为点,过点在平面内作,垂足为点,则二面角的平面角为,

9设,,,,,,取,则,此时钝角,即二面角为钝二面角,D错.故选:AC.【点睛】方法点睛:求二面角常用的方法:(1)几何法:二面角的大小常用它的平面角来度量,平面角的作法常见的有:①定义法;②垂面法,注意利用等腰三角形的性质;(2)空间向量法:分别求出两个平面法向量,然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.随机变量服从正态分布,若,则___________.【答案】##【解析】【分析】根据正态曲线的性质计算可得;【详解】解:因为随机变量服从正态分布且,

10所以;故答案为:14.已知,则___________.【答案】【解析】【分析】令,利用赋值法可得出,即可得解.【详解】令,则,因此,.故答案为:.15.设数列:,,…,(),若存在公比为的等比数列:,,…,,使得,其中,2,…,,则称数列为数列的“等比分割数列”.若数列的通项公式为(,2,…,5),其“等比分割数列”的首项为1,则数列的公比的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据所给定义得到,2,3,,,再根据指数函数的性质计算可得;【详解】解:由题意可得,,2,3,,,所以,且,2,3,,,当时,成立;当,3,,时,应有成立,因为在上单调递增,所以随着的增大而减小,故,

11综上的取值范围是.故答案为:16.若不等式对任意均成立,则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】易知不成立,时,成立,当时,由图象开口向下,过点,求得在处的切线方程,得到,再利用导数法证明即可.【详解】解:当时,,不成立;当时,图象开口向下,过点,又,则,所以在处的切线方程为:,则,下证,令,则,当时,,递增,当时,,递减,则,所以,当时,,成立,故实数的取值范围是.

12故答案为:四、解答题(本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.在中,内角,,所对的边分别为,,,若.(1)求的值;(2)若,,求的面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由正弦定理将边化角,再利用两角和的正弦公式及诱导公式得到,再根据平方关系计算可得;(2)首先由余弦定理求出,再根据面积公式计算可得;【小问1详解】解:因为,由正弦定理可得,即,所以,因为,所以,即,所以【小问2详解】解:由余弦定理,即,解得或(舍去),所以;18.某学校为了解高二年级学生数学核心素养,从中抽取名学生参加数学素养大赛,成绩(单位:分)的分组及根据各组数据绘制的频率分布直方图如图所示,已知成绩的范围是区间,且成绩在区间的学生人数是37人.

13(1)求,的值;(2)估计这次数学竞赛成绩的75%百分位数和平均分.【答案】(1),(2)分位数为,平均数为.【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程,即可求出,从而求出样本容量;(2)首先判断分位数位于,设分位数为,即可得到方程,解得,再根据平均数公式计算可得;【小问1详解】解:由题意可得:,解得,所以,所以,;【小问2详解】解:成绩位于的频率为,成绩位于的频率为,所以分位数位于,设分位数为,则,解得,平均数为.19.在矩形中,,,点为线段上的中点,沿将翻折,使得,点在线段上且满足.

14(1)证明:平面平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】(1)取中点,连接,证明平面即可;(2)建立坐标系,用空间向量求解.【小问1详解】解:如图的示,取中点,连接,因为为线段上的中点,所以,所以,又因为,所以,所以①,由题意可得,,

15,又因为,所以为等边三角形,所以,所以,所以②,又因③,由①②③可得平面,又因为平面,所以平面平面;【小问2详解】建立如图所示的坐标系:则,,,.又因.所以.所以,,,,设平面的法向量,

16则,所以,故取,设直线与平面所成角为(),则有==.20.已知函数.(1)当时,写出的单调区间(不需要说明理由);(2)若存在,使得,求实数的取值范围.【答案】(1)增区间为、,减区间为(2)或【解析】【分析】(1)当时,化简函数的解析式,利用二次函数的单调性可得出函数的增区间和减区间;(2)由参变量分离法可知,或在上有解,利用函数单调性或基本不等式可求得实数的取值范围.【小问1详解】解:当时,,所以,函数的增区间为、,减区间为.【小问2详解】解:因为存在,使得,等价于存在,使得成立,即,所以,或在上有解,即或在上有解,

17所以,或,.因为、在上均为增函数,则在上为增函数,所以,,当时,,由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,则.综上所述,或.21.自年底开始,一种新型冠状病毒COVID-19开始肆虐全球.人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状,严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡.目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本,再进行核酸检验是否为阳性来判断.假设在接受检验的样本中,每份样本的检验结果(阳性、阴性)是相互独立的,且每份样本是阳性结果的概率均为.(1)若,现对份样本进行核酸检测,求这份中检验结果为阳性的份数的分布列及期望;(2)若,现有份样本等待检验,并提供“合”检验方案:将份样本混合在一起检验.若检验结果为阴性,则可认为该混合样本中的每个人都为阴性;若检验结果为阳性,则要求该组中各个样本必须再逐个检验.试比较用“合”检验方案所需的检验次数的期望与的大小.【答案】(1)分布列答案见解析,(2)答案见解析【解析】【分析】(1)分析可知,利用二项分布可得出随机变量的分布,利用二项分布的期望公式可求得的值;

18(2)计算出,令可得出,构造函数,利用导数研究函数的单调性,比较与的大小关系,即可得出与的大小.【小问1详解】解:记阳性人数为,则,,,,,,所以,随机变量的分布列如下表所示:所以,.【小问2详解】解:记所需化验次数为,则的可能取值为、、,,则,所以,,,,,令,可得,则,所以,,即,令,则.

19当时,,此时函数单调递增,当时,,此时函数单调递减,,当时,恒成立,,则当时,恒成立,当时,恒成立.综上所述,当且时,,则,当时,,则,当且时,,则.【点睛】方法点睛:求离散型随机变量均值与方差的基本方法:(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差,按定义求解.(2)已知随机变量的均值、方差,求的线性函数的均值、方差,可直接用的均值、方差的性质求解;(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),利用它们的均值、方差公式求解.22.已知函数.(1)若,求函数在上的最小值;(2)当时,证明:函数有两个不同的零点,(),且满足(i);(ii).【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)求出函数的导函数,即可得到,从而得到函数的单调性,即可得解;(2)首先求出导函数,即可得到在上单调递减,即在没有零点,当

20,令,参变分离可得,令,利用导数证明有两个根、,再利用导数分别证明即可;【小问1详解】解:当时,,所以,因为,所以,则在上单调递增,所以;【小问2详解】证明:因为,所以,当时,故在上单调递减,从而,即在没有零点,当,令,即,所以,令,,下面先证有两个根、,,令,则,故在上单调递增,又,,故存在,使得,从而在上单调递减,在上单调递增,又可知当时,有两个不同实数根、,且,即有两个不同的零点、,(i)因为,故等价于,等价于,即,即,而,故成立;

21(ii)先分别证明及,一方面由,故等价于,等价于,即,即,而,故成立;另一方面,由所以等价于,等价于,即,即,而,下面证明,令,则,所以在上单调递增,故只需,由等价于,令,,则,即在上单调递增,所以即当时,有成立,故且,所以成立,所以成立,综上可得,得证;【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

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