浙江省宁波市2021-2022学年高二下学期期末数学 Word版含解析

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宁波市2021学年高二第二学期期末试题数学试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合的补集，再由交集运算可得答案.【详解】由题意，所以故选：C2.若（，i为虚数单位），则（）A.2B.0C.D.1【答案】B【解析】【分析】利用复数乘法及复数相等可得，即可得答案.【详解】由，即，所以.故选：B3.甲、乙、丙、丁四位大学生将作为志愿者对A、B两个场馆进行志愿服务，每个场馆安排两名志愿者，每名志愿者只去一个场馆，则不同的安排方法种数为（）A.6B.12C.18D.24【答案】A【解析】【分析】应用平均分组法求安排方法种数.

1【详解】四位学生平均分为两组安排到A、B两个场馆，所以不同的安排方法种数种.故选：A4.在“2022年北京冬季奥运会”闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下：观看场数01234567观看人数占调查人数的百分比从表中可以得出正确的结论为（）A.表中m的数值为8B.估计观看比赛场数的中位数为3C.估计观看比赛场数的众数为2D.估计观看比赛不低于4场的学生约为720人【答案】B【解析】【分析】对A，由百分比之和为1判断即可；对B，根据中位数大于的数据判断即可；对C，根据出现频率最高的场次判断即可；对D，先由频率分布表求出观看比赛不低于4场的学生所占比率为36%，由此估计观看比赛不低于4场的学生数即可；【详解】对A，由频率分布表的性质，得：m＝100﹣8﹣10﹣20﹣26﹣12﹣6﹣2＝16，故A错误；对B，因为，，故中位数为3，故B正确；对C，因为观看场数为3占的比例最高，故观看比赛场数的众数为3；对D，观看比赛不低于4场的学生所占比率为：16%+12%+6%+2%＝36%，∴估计观看比赛不低于4场的学生约为：1000×36%＝360人，故D错误；故选：B．5.已知，则的值为（）A.3B.C.4D.

2【答案】A【解析】【分析】根据对数的运算法则求解即可【详解】由得，故故选：A6.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）A.B.C.的图象关于直线对称D.的图象向右平移个单位长度后的图象关于原点对称【答案】D【解析】【分析】对于A、B：根据图像可得，，结合周期得，代入点，分析可得；对于C：结合三角函数图象性质：在最值处取到对称轴，代入检验即可；对于D：通过平移可得，结合奇偶性分析判断．【详解】根据图象可得：，则，即，A正确；

3∵的图象过点，则又∵，则∴，即，B正确；∴，则为最大值∴的图象关于直线对称，C正确；的图象向右平移个单位长度得到不是奇函数，不关于原点对称，D错误；故选：D．7.已知平面向量满足，，，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设，，，由向量数量积和模长的坐标运算可表示出，由可得结果.【详解】不妨设，，，，，则，，，，则的最小值为.故选：D.8.已知函数有两个极值点，且，则下列选项正确是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】

4【分析】由极值点定义可知是方程的两根且，由可得的范围，由单调性和可得结果.【详解】由题意知：定义域，；有两个极值点，是方程的两根且，，则，；当时，；当时，；在，上单调递减，在上单调递增；又，，.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在二项式的展开式中，下列说法正确的是（）A.每项系数之和为1B.二项式系数之和为729C.含有常数项D.含有x一次幂项【答案】AC【解析】【分析】由二项式定理对选项逐一判断【详解】对于A，令，得其系数和为1，故A正确，对于B，二项式系数和为，故B错误，对于C，由二项式定理得，当时，常数项为，故C正确，对于D，令，得，不含x的一次幂项，故D错误，故选：AC10.已知函数，若存在实数，有，则下列选项一定正确的是（）A.

5B.C.在内有两个零点D.若，则在区间内有零点【答案】BD【解析】【分析】由单调性与零点存在性定理对选项逐一判断【详解】易知在上单调递增，而，若，则，而，故符号不确定，，故A错误，B正确，由零点存在性定理知在内有一个零点，故C错误，若，则在区间内有零点，故D正确，故选：BD11.甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球.以分别表示从甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以分别表示从乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，则下列结论正确的是（）A.事件与事件互斥B.事件与事件相互独立C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念判断A、B，根据古典概型的概率公式判断C，根据全概率公式判断D；【详解】解：对于A，每次取出球，事件与事件是互斥事件且是对立事件，故A正确；对于B，从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱黑球变为个，则取出白球概率发生变化，事件与事件不相互独立，故B错误；对于C，若从甲箱取出个黑球放入乙箱，这时乙箱黑球变为个，白球还是个，则，故C错误；

6对于D：因为，，，所以，故D正确．故选：AD．12.已知实数，且，则下列选项正确的是（）AB.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】首先求出，的范围，利用作差法判断A，利用基本不等式判断B、C，依题意可得，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，从而判断D；【详解】解：因为，所以，，又，，所以，，即，，所以，所以，故A正确；对于B：因为，，，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，故B正确；对于C：，所以，当且仅当，时取等号，故C错误；对于D：因为，，，所以，所以，令，，

7则，所以当时，当时，即在上单调递增，在单调递减，所以，即，又，所以，故D正确；故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题共0分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则_______．【答案】【解析】【分析】由幂函数奇偶性和单调性可求出的值.【详解】因为幂函数为奇函数，所以或1或3，又因为幂函数在上单调递减，所以，故答案为：.14.已知，则_______．【答案】##【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得；【详解】解：因为，所以；

8故答案为：15.已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】先求出时，，再求解当时，分类讨论，分，，，利用导函数求解函数单调性，从而求出实数a的取值范围.【详解】，所以，所以，当时，单调递增，所以当时，，此时值域为R，符合题意；当时，当时，，所以单调递增，当时，值域为R，所以满足题意；当时，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，要想值域为R，则要满足，解得：，综上：实数a的取值范围是故答案为：.16.如图，D，E，F分别是边长为4的正三角形三边的中点，将，，分别沿向上翻折至与平面均成直二面角，得到几何体．则二面角的余弦值为_____；几何体的外接球表面积为_____．

9【答案】①.②.##【解析】【分析】（1）取的中点，的中点，中点，则二面角为，再根据几何关系分别计算即可得（2）取外接球球心，设中心为，中心为，根据列式求解可得球半径，进而得到表面积即可【详解】取的中点，的中点，故，根据面面垂直的性质可得平面，平面，故，且，故矩形.所以.根据图形的对称性，易得为正三角形，取中点，因为，，则，，则二面角为，且，作，易得，且，，故，即二面角的余弦值为

10（2）设几何体的外接球球心为，设中心为，中心为，易得共线，如图，设外接球半径，根据正三角形中的关系，，.因为，则，即，即，故，解得，故外接球表面积为故答案为：；四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.为助力新冠肺炎疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场．为了对该产品进行合理定价，采用不同的单价在平台试销，得到的数据如下表所示：单价元销量万件（1）求单价的平均值；（2）根据以上数据计算得与具有较强的线性相关程度，并由最小二乘估计求得关于

11的经验回归方程为，求的值．附：【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由表格数据直接计算平均数即可；（2）根据表格数据可求得样本中心点，代入回归方程即可求得.【小问1详解】.【小问2详解】由表格数据知：，，解得：.18.在①；②．这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在中，角的对边分别为，的面积为，______．（1）求角的大小；（2）若，求角的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若选①，方法一：利用余弦定理角化边可求得，由此可得；方法二：利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可化简求得，由此可得；若选②，利用三角形面积公式和余弦定理边化角可化简已知等式求得，由此可得；

12（2）根据三角形内角和性质和三角恒等变换知识可化简已知不等式为，结合的范围，根据正弦型函数值域可求得的范围.【小问1详解】若选条件①，方法一：由余弦定理得：，整理可得：，又，，，；方法二：由正弦定理得：，，，，，，.若选条件②，由得：，，，，.【小问2详解】，，解得：，，，，解得：，即角的取值范围为.19.为了解学校学生的睡眠情况，决定抽取20名学生对其睡眠时间进行调查，统计如下：性别/睡眠时间足8小时不足8小时足7小时不足7小时

13男生351女生173（1）记“足8小时”为睡眠充足，“不足8小时”为睡眠不充足，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“睡眠充足与否”与性别有关；睡眠情况性别合计男生女生睡眠充足睡眠不充足合计（2）现从抽出的11位女生中再随机抽取3人，记X为睡眠时间“不足8小时足7小时”的女生人数，求X的分布列和均值．附：；0.10050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）表格见解析，没有90%的把握认为“睡眠充足与否”与性别有关（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据睡眠充足的定义完成列联表，再计算卡方与比较判断即可；（2）根据题意可得，X可取0，1，2，3，再分别计算概率求出分布列，再根据超几何分布的均值公式求解即可【小问1详解】由题意，填表如下：

14睡眠情况性别合计男生女生睡眠充足314睡眠不充足61016合计91120由表得．因为，所以没有90%的把握认为“睡眠充足与否”与性别有关【小问2详解】由题意，睡眠时间“不足8小时足7小时”的女生人数共7人，X可取0，1，2，3，且X服从超几何分布，，，即X0123P．20.如图，在三棱锥中，底面．

15（1）证明：平面平面；（2）若，直线与平面所成角的大小为，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直得到，再由，即可得到平面，从而得证；（2）过点A作，垂足为H，连接，由面面垂直的性质得到平面，即可得到就是直线与平面所成角，再由锐角三角函数及勾股定理计算可得；【小问1详解】证明：因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．【小问2详解】解：过点A作，垂足为H，连接．由（1）知平面平面，又，平面平面，平面，所以平面，所以就是直线与平面所成角，即．在中，，故．在中，．在中，因为，所以，即，所以为等腰直角三角形，所以．

1621.已知函数，其中．（1）当时，解关于的不等式；（2）若，，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分别在和的情况下，去掉绝对值符号，解一元二次不等式即可求得结果；（2）将不等式化为，分离变量得到，根据可知只需；令，由对勾函数单调性可求得，由此可得.【小问1详解】当时，可化为；当时，，解得：或，；当时，，解得：，；综上所述：的解集为.【小问2详解】当时，由得：恒成立，则，

17，；当时，，又，恒成立；令，当时，，则单调递增，，；综上所述：实数的取值范围为.22.已知函数．（1）求证：；（2）若为函数的极值点，①求实数a的取值范围；②求证：．【答案】（1）证明见解析（2）①；②证明见解析【解析】【分析】（1）分析可得，构建新函数结合导数证明；（2）①利用导数分类讨论判断，进而结合题意分析求参；②先利用零点代换可得，分类讨论，结合，进行放缩处理．【小问1详解】要证，只需证，即证．设，因为，

18所以，即成立．【小问2详解】①，当时，令，则∴在上单调递减，在上单调递增，则只有一个极小值点，符合题意当时，设，则．∴在上单调递增．又因为，对，取满足为，则所以有唯一实根∴在上单调递减，在上单调递增，则只有一个极小值点，符合题意当时，令，解得．在上单调递增，在上单调递减当时，∵，则当时，所以要使函数存在极值点，只需，即，解得．综上所述：当时，函数存在极值点．②由①得，所以，要证，只需证．

19由，则．当时，因为，所以．当时，因为，所以，要证，只需证，即证，即证对成立．令，因为，所以，即时，成立．综上所述，成立．【点睛】本题在证明不等式时，利用进行代入处理，注意分类讨论，并根据常用不等式，进行放缩处理．

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