江苏省常州市金坛区2021-2022学年高一下学期期末考试数学 Word版含解析

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2021~2022学年度高一第二学期期末质量调研数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（i是虚数单位），若复数z与在复平面上对应的点关于原点对称，则复数z为（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数运算法则化简复数，得到其在复平面上的对应点为A，记复数z在复平面对应点为B，由于点A、B关于原点对称，得B的坐标，即可求得复数z．【详解】解：则在复平面上的对应点为设在复平面上的对应点为，由于点A、B关于原点对称即复数z为：.故选：A.2.运动员甲10次射击成绩（单位：环）如下：7，8，9，7，4，8，9，9，7，2，则下列关于这组数据说法不正确的是（）.A.众数为7和9B.平均数为7

1C.中位数为7D.方差为【答案】C【解析】【分析】根据众数的含义可判断A;计算出平均数判断B,算出中位数判断C;计算出方差判断D.【详解】由题意，这组数据中7和9都出现3次，其余数出现次数没超过3次，故众数为7和9，A正确；计算平均数为，故B正确；将10次射击成绩从小到大排列为：2，4，7，7，7，8，8，9，9，9，则中位数为，故C错误；方差为，故D正确，故选：C3.已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）.A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则【答案】D【解析】【分析】根据平面的基本性质判断A、B、C，由线面垂直、面面平行的性质判断D即可.【详解】A：，，则或，错误；B：，，则或，错误；C：，，则相交或平行，错误；D：，，则，又，故，正确.故选：D4.甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（）.A.0.9B.0.8C.0.7D.0.2【答案】C【解析】

2【分析】求出甲乙两人分别解决不了难题的概率，即可求得该难题不能被解决即甲乙两人同时都解决不了该难题的概率，根据对立事件的概率计算，可得答案.【详解】由题意可知甲不能解决该难题概率为1-0.4=0.6,乙不能解决出该难题的概率为1-0.5=0.5，故该难题被解决出的概率为，故选：C5.已知，，，则a，b，c的大小顺序为（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用和差角正弦公式及商数关系可得、、，根据正弦函数的性质判断大小.【详解】，，，所以.故选：B6.设平面向量，满足，，，则在上投影向量的模为（）.A.B.C.3D.6【答案】A【解析】【分析】表示出在上投影向量，结合已知条件即可求得答案.【详解】由题意可知：在上投影向量为，故在上投影向量的模为，故选：A

37.如图，一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为a的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出该几何体的轴截面，求出内接圆柱的高，利用三角形相似求出圆锥的高，即可求的其体积.【详解】作出该几何体的轴截面如图示：AB为圆锥的高，设内接圆柱的高为h，而,因为内接圆柱的体积为，即，则，由于,故，则,即，故，所以圆锥体积为，故选：B8.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则角A的值为（）.

4A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由可得,利用余弦定理结合二倍角公式化简，即可得，进而求得答案.【详解】由可得：，即,即，所以，因为,故，则，由于，故，故选:B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设向量，满足，且，则下列结论正确的是（）.A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算性质可求得，从而求出的值，进而可求出向量，的夹角余弦值，再由数量积的运算性质判断各选项式子的正误.【详解】解：，；；；；

5又；．故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C正确；，故选项D正确.故选：CD．10.某教育局对全区高一年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表如下，则下列结论正确的是（）.A.男生人数为80人B.B层次男女生人数差值最大C.D层次男生人数多于女生人数D.E层次女生人数最少【答案】ABD【解析】【分析】根据条形图求出抽取女生人，得出抽取男生人，再对照图表判断选项中的命题是否正确即可．【详解】解：由条形图知，抽取女生学生有（人），所以抽取男生有（人），选项正确；层次的男生有（人，A，B，C，D，E五个层次男生人数分别：8，24，20，16，12（人），与女生各层次差值分别为：10，24，10，2，6，选项正确；层次的男生有（人），女生有18人，男生人数少于女生，选项错误；层次的女生人数最少，选项正确．

6故选：ABD．11.已知复数，复数，其中，a，b为实数，i为虚数单位，定义：复数为“目标复数”，其中和分别为“目标复数”的实部和虚部，则下列结论正确的为（）.A.B.C.若，则，D.若，，且，则锐角的值为【答案】ACD【解析】【分析】根据，利用复数的乘法以及复数相等，可求得，即可判断A,B;根据利用两角差的正弦公式结合复数相等，确定a,b的值，判断C;利用结合三角恒等变换，可求得锐角的值，判断D.【详解】由题意知：，故，，故A正确，B错误；若，即，则，，故C正确；若，，且，即，即，因为为锐角，故，D正确，故选：ACD12.如图，二面角的大小为120°，点A，B在二面角的棱l上，过点A，B分别在平面和内作直线l的垂线段和，且，，，则下列结论正确的是（）.

7A.异面直线和的所成之角为120°B.C.点C到平面与点D到平面的距离之比为D.异面直线和的之间距离是【答案】BCD【解析】【分析】对A，根据线线角的范围判断即可；对B，过作矩形，根据二面角的性质结合余弦定理求解即可；对C，根据二面角的性质可得点C到平面与点D到平面的距离之比为再计算即可；对D，根据二面角的性质分析可得异面直线和的之间距离即到平面的距离，再根据面积公式列式求解即可【详解】对A，因为线线角的范围为，故A错误；对B，过作矩形如图，则，故，且平面.由余弦定理，，解得.又，故，故，故，故B正确；

8对C，由题意，，，故点C到平面与点D到平面的距离之比为，故C正确；对D，同B中图，因为，故平面，又平面，故异面直线和的之间距离即到平面的距离.因为为二面角，故到平面的距离即到平面的距离设为，则根据三角形的面积公式有，故，解得，故D正确；故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知A，B是相互独立事件，且，，则________.【答案】0.12【解析】【分析】根据对立事件的概率公式，结合相互独立事件的概率公式求解即可【详解】由题意，，故答案为：0.1214.如图，在四边形中，E，F分别是和的中点，若，其中，则________.【答案】

9【解析】【分析】由、分别是、的中点，根据相反向量的定义，易得，，利用平面向量加法的三角形法则，我们易将向量分别表示为和的形式，两式相加后，易得到结论．【详解】解：、分别是、的中点，，，又，①同理②由①②得，．整理得：．又故答案为：.15.在中，边、的长度分别为5、12，现在从这9个正整数中任选一个数作为边的长度，则为钝角三角形的概率为________.【答案】【解析】【分析】计算出使得为钝角三角形时，BC的可能取值有多少种，根据古典概型的概率计算【详解】由题意可知：，从这9个正整数中任选一个数作为边的长度，故有9种可能，要使为钝角三角形，需满足：或，即或，故BC的取值可能是：8,9,10；或14,15,16，共6种可能，故为钝角三角形概率为，

10故答案为：16.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，且满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的表面积为________.【答案】【解析】【分析】确定三棱锥体积取最大值时顶点的位置，根据体积求得其高，继而利用勾股定理求得外接球的半径，即可求得答案.【详解】如图示：由题意知是等腰直角三角形，故AC为截面圆的直径，则外接球的球心O在截面ABC上的射影为AC的中点D,当P,O,D三点共线，且P,O位于截面ABC的同一侧时，棱锥体积最大，此时棱锥的高为PD，且高此时最大，故,即得，设外接球半径为R，则,在中，,故，解得,所以外接球的表面积为,故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小和质地完全相同的小球.（1）从盒中任取两球，求“取出的两球编号之和大于4”的概率；（2）从盒中任取一球，记下该球的编号x，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号y，求事件“”发生的概率.【答案】（1）

11（2）【解析】【分析】（1）列举出从盒中任取两球的所有等可能基本事件，再列出取出的两球编号之和大于4的事件，根据古典概型的概率公式即可求得答案；（2）列出有放回地连续抽取两球的所有等可能基本事件，列出事件“”发生的所有基本事件，根据古典概型的概率公式即可求得答案.【小问1详解】从盒中任取两球的所有等可能基本事件有：，，，，，，共6个，记取出的两球编号之和大于4的事件为A，则事件A包含，，，，共4个等可能基本事件所以;答：从盒中任取两球，取出的两球编号之和大于4的概率为【小问2详解】有放回地连续抽取两球的所有等可能基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共16个，记的事件为B，则事件B包含，，，，，，，，，，，，，共14个等可能基本事件,所以,答：事件“”发生的概率为.18.已知，为平面向量，且.（1）若，且，求向量的坐标；（2）若，且向量与平行，求实数k的值.

12【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）设，根据平面向量垂直和平面向量的模长公式可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标；（2）计算出向量与的坐标，由已知向量平行，可求得的值.【小问1详解】设，因为，所以①又因为，所，即②由①②联立得，解之得或，则所求向量的坐标为或【小问2详解】因为，，所以，，又因向量与平行，所以，解之得19.某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了100户居民的月平均用水量（单位：吨）得到如下频率分布表：分组频数频率220.22xy160.16100.10

1360.0660065z20.0220.02合计1001（1）求上表中x，y，z的值；（2）试估计该区居民的月平均用水量；（3）从上表中月平均用水量不少于22.5吨的4户居民中随机抽取2户调查，求2户居民来自不同分组的概率.【答案】（1），，（2）9.21吨（3）【解析】【分析】（1）根据频数和为100计算可得，进而根据概率求得，再根据频率和为1求得；（2）根据平均数的计算公式直接求解即可；（3）将所有基本事件例举出，再根据古典概型的公式求解即可【小问1详解】由题意可得，则，又，【小问2详解】利用组中值估计该区居民的月平均用水量为

14【小问3详解】记从上表中月平均用水量不少于22.5吨的4户居民中随机抽取2户调查，且2户居民来自不同分组的事件为A，设中的2户为，中的2户为，则所有可能的情况有共6种情况，其中满足条件的有四种情况，故，故从上表中月平均用水量不少于22.5吨的4户居民中随机抽取2户调查，且2户居民来自不同分组的概率为20.如图，在四棱锥中，平面，，，，点E为棱上一点，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连结交于点F，连结，由，结合，得到，再利用线面平行的判定定理证明；（2）过点A作直线的垂线交的延长线于点G，连结，易证平面，得到即为直线与平面所成的角求解.【小问1详解】证明：连结交于点F，连结，

15因为在底面中，，所以，又，则在中，，故，又因为平面，平面，所以平面；【小问2详解】过点A作直线的垂线交的延长线于点G，连结，因为平面，又平面，所以，，又因为，且，平面，所以平面，则即为直线与平面所成的角，又因为平面，所以，又在直角三角形中，，在直角三角形中，，

16在直角三角形中，，因为，所以，即所求直线与平面所成之角为.21.如图，是平面四边形的一条对角线，且在中，.（1）求角D的大小；（2）若，，，，求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在，根据已知边等式，可转化为边的二次式，结合余弦定理即可求角的大小；（2）设，，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理，联立可解得的值，在中，由正弦定理可得的值.【小问1详解】解：因为在中，所以，①即在中，由余弦定理得，

17，②则由①②两式得，，又因为在中，，所以，【小问2详解】解：在中，设，，则由正弦定理得，即①又在中，，，则由正弦定理得，即②则由①②两式得，，即，展开并整理得，也即，又因为在中，，所以，把代入①式得，.22.如图①，在梯形中，，，，，，如图②，将沿边翻折至，使得平面平面，过点B作一平面与垂直，分别交，于点E，F.（1）求证：平面；（2）求点E到平面的距离.

18【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直证明，利用面面垂直的性质定理证明，再根据线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）利用等体积法即，即可求得答案.【小问1详解】证明：如图②，因为平面，且平面，所以图②又因为平面平面，平面平面，且平面，，所以平面，又因为平面，所以，又因为，且平面，所以平面【小问2详解】由（1）知平面，平面，所以，在直角三角形中，,由等面积代换得，，即，又因为平面平面，平面平面，且平面，，所以平面

19又因为平面，所以在直角三角形中，,由等面积代换得，，即，又在直角三角形中，，设点到平面的距离为，在三棱锥中，由等体积代换得，，即，也即，即所求点到平面的距离为.

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