北京市昌平区2023届高三二模数学（原卷版）

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昌平区2023年高三年级第二次统一练习数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则集合（）A.B.C.D.2.的展开式中项的系数为（）A.B.C.D.3.已知复数满足，则的值为（）A.B.2C.D.4.已知函数为奇函数，且当时，，则（）A.1B.C.2D.5.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减6.已知点在直线上，点，则的最小值为（）A.1B.3C.5D.77.已知双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为（）AB.C.2D.48.对于两个实数，设则“”是“函数的图象关于直线对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件第6页/共6页学科网（北京）股份有限公司

1C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知等比数列的前项和为，则下列结论中一定成立的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，粗线是大公路，细线是小公路，七个公司分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（）A.路口B.路口C.路口D.路口第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.三个数中最大的数是__________.12.已知抛物线的焦点为，点在上，且在第一象限，则点的坐标为__________；若，点到直线的距离为__________.13.若函数的最大值为2，则__________，的一个对称中心为__________.14.已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是__________.15.如图，在长方体中，，动点分别在线段和上.给出下列四个结论：第6页/共6页学科网（北京）股份有限公司

2①；②不可能等边三角形；③当时，；④至少存在两组，使得三棱锥的四个面均为直角三角形.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在中，.（1）求；（2）若，求的面积.17.在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且平面，分别是的中点，是上一点，且.（1）求证：平面；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分.18.2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.第6页/共6页学科网（北京）股份有限公司

3杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：班号1234人数30402010该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立.（1）求各班参加竞赛人数；（2）2班小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为，求的分布列及数学期望；（3）若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为，求1班参加竞赛的同学中至少有1位同学获得奖品的概率.19.已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4，且右焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点（不与重合），直线分别与直线相交于点，N.当点运动时，求证：以为直径的圆截轴所得的弦长为定值.20.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在上有最小值，求取值范围；（3）如果存在，使得当时，恒有成立，求的取值范围.21.若数列满足，则称数列为数列.记.（1）写出一个满足，且的数列；（2）若，证明：数列是递增数列的充要条件是；（3）对任意给定的整数，是否存在首项为1的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.第6页/共6页学科网（北京）股份有限公司

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