河南省洛阳市创新发展联盟2022-2023学年高二下学期3月联考数学Word版含解析

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2022~2023年度下学年创新发展联盟第一次联考数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册占20%，选择性必修第二册占60%，选择性必修第三册第六章第1节占20%。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有A.5种B.12种C.20种D.60种2.已知数列{an}的前n项和为Sₙ,且Sₙ=n²+2ⁿ,则a₃=A.4B.8C.9D.123.已知某质点的位移x(单位：m)与时间t(单位：s)的关系式是x=3t²+2t,.则质点在2s时的瞬时速度为A.14m/sB.16m/sC.7m/sD.8m/s4.用4种不同的颜色对图中3个区域涂色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则不同的涂法有123A.24种B.36种C.48种D.64种5.设等差数列{an}的前n项和为an，且S₇>0,S₈<0,则下列各项中值最大的为A.S4a4B.S5a5C.S7a7D.S3a36.函数f(x)的图象如图所示,设f(x)的导函数为f'(x),则f(x)·f'(x)>0的解集为

1A.(1,6)B.(1,4)C.(−∞,1)∪6,+∞D.(1,4)∪6,+∞7.已知数列{an}满足a₁=16,(n+1)aₙ₊₁=2(n+2)aₙ,则aₙ的前100项和为A.25×2¹⁰²B.25×2¹⁰³C.25×2¹⁰⁴D.25×2¹⁰⁵8.已知a=3301,b=2201,c=ln101100,则A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知等比数列{an}的前n项积为Tₙ,a₃a₄a₅=1,则下列结论正确的是A.a₄=1B.T₂=T₅C.T₇=7D.若a₁=1,则a₂=110.已知圆C₁:x²+y²−6y+5=0和圆C₂:x²+y²−8x+7=0,则下列结论正确的是A.圆C₁与圆C₂外切B.直线y=x与圆C₁相切C.直线y=x被圆C₂所截得的弦长为2D.若M,N分别为圆C₁和圆C₂上一点,则|MN|的最大值为1011.若函数f(x)=x²−1−alnx有两个零点，则a的值可以是A.-1B.1C.2D.312.意大利数学家斐波那契从兔子繁殖问题引出的一个数列{an}：1，1，2，3，5，8，13，…，其被称为斐波那契数列，满足a₁=a₂=1,aₙ₊₁=aₙ+aₙ₋₁.某同学提出类似的数列{bn}:1,3,4,7,11,18,…,满足b₁=1,b₂=3,bₙ₊₁=bₙ+bₙ₋₁.下列结论正确的是A.b2+b4+b6+…+b100=b101−1B.b101b99−b1002=5C.设{bₙ}的前n项和为Sₙ,b₁₀₀−S₉₈=1D.b12+b22+b32+…+b1002=b100b101−1

2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分,把答案填在答题卡中的横线上.13.某书架的第一层放有5本不同的数学书，第二层放有8本不同的英语书.从这些书中任取1本数学书和1本英语书，共有▲种不同的取法.14.已知函数f(x)=sinx,则lim∆x→0f(π−2∆x)−f(π)∆x=▲15.已知球O的半径为6，球心为O，球O被某平面所截得的截面为圆M，则以圆M为底面，O为顶点的圆锥的体积的最大值为▲.16.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示.若点G在直线BC上，且BG=5BC,BC=1,则直线EF与直线AG所成角的余弦值为▲.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知等差数列{an}的前n项和为Sₙ,bₙ是等比数列，且a₁=b₁=a₂b₂=1,a₂(b₁+b₂)=a₃.(1)求{bₙ}的通项公式及Sₙ;(2)求数列{1Sn+an}的前n项和Tₙ.18.(12分)将2个不同的红球和2个不同的黑球放入3个不同的盒子中(可以有盒子不放球).(1)若2个红球放入同一个盒子中，则不同的放法有多少种?(2)若每个盒子最多只能装3个球，则不同的放法有多少种?19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,PD=CD=1,BC=2,M为BC的中点,(1)证明:PB⊥AM.(2)求二面角B-AP-M的平面角的余弦值.20.(12分)已知函数f(x)=xlnx+x³.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)≥1对任意的x≥m恒成立，求实数m的取值范围.

321.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=11(a>b>0),四点P1(0,2),P2(1,1),P3(2,1),P4(−2,1)中恰有三点在C上.(1)求C的方程;(2)若圆x2+y2=43的切线l与C交于点A,B,证明:OA⊥OB,22.(12分)已知函数f(x)=lnx−ax.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若函数g(x)=f(x)−x²有两个零点x₁,x₂(x₁1.2022~2023年度下学年创新发展联盟第一次联考数学参考答案1.B从油画中选，有3种不同的选法；从国画中选，有4种不同的选法；从水彩画中选，有5种不同的选法.根据分类加法计数原理，共有3+4+5=12种不同的选法.2.Ca₃=S₃−S₂=3²+2³−(2²+2²)=9.3.Ax'=6t+2,质点在2s时的瞬时速度为6×2+2=14m/s.4.B先涂区域1，有4种涂法；再涂区域2，有3种涂法；最后涂区域3，有3种涂法.故不同的涂法有4×3×3=36种.5.A因为S₇=7a₄>0,S₈=4(a₄+a₅)<0,所以a₄>0,a₅<0.在{Sn}中,S₄最大,在{an}中,a₄是最小的正数,所以S4a4最大.6.D图象可得当x<4时,f'(x)>0,当x>4时,f'(x)<0.结合图象可得?(?)⋅?′(?)>0的解集为(1,4)∪(6,+∞).7.D因为a₁=16,(n+1)aₙ₊₁=2(n+2)aₙ,所以an+1n+2=2ann+1,a12=8,所以数列{ann+1}是以8为首项，2为公比的等比数列，则ann+1=2n+2,即aₙ=(n+1)2ⁿ⁺².设{aₙ}的前n项和为Tₙ,则Tₙ=2×2³+3×2⁴+4×2⁵+⋯+(n+1)2n+2,2??=2×24+3×25+4×26+⋯+(?+1)2?+2,两式相减，得−??=2×23+24+25+⋯+2?+2−(?+1)2?+3,所以?ₙ=?⋅2ⁿ⁺³,?₁₀₀=100×2¹⁰³=25×2¹⁰⁵.8.B因为?−?=3301−2201=603−602301×201=1301×201>0,所以a>b.设?(?)=ln?−(2(x−1)x+1,则?′(

4?)=1x−4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2≥0,故?(?)=ln?−2(x−1)x+1在(0,+∞)上单调递增.因为f(1)=0,所以?(101100)=ln101100−2(101100−1)101100+1=ln101100−2201>?(1)=0,即c>b.设?(?)=ln?−3(x−1)x+2,则?′(?)=1x−9x+22=x−1x−4xx+22,当x∈(1,4)时,?′(?)<0,则g(x)在(1,4)上单调递减.因为g(1)=0,所以g(101100)=ln101100−3(101100−1)101100+2=ln101100−3301>g(1)=0即a>c.综上,a>c>b.9.ABD因为?3?4?5=?43=1,所以a₄=1,A正确.因为a₁a₂=a₁a₂a₃a₄a₅,.所以T₂=T₅,B正确.T₇=?1?2?3?4?5?6?7=?47=1,?错误.若a₁=1,则?3=a₄a₁=1,解得q=1,所以a₂=a₁q=1,D正确.10.ACD圆C₁:x²+y²−6y+5=0化为x²+(y−3)²=4,圆心坐标为(0,3),半径为2,圆C₂:x²+y²−8x+7=0化为(x−4)²+y²=9,圆心坐标为(4,0),半径为3.因为两个圆的圆心距为32+42=5,等于两个圆半径的和，所以两个圆外切，A正确.圆C₁的圆心到直线y=x的距离为0−32=322≠2,所以直线y=x与圆C₁不相切，B错误.圆C₂的圆心到直线y=x的距离为4−02=22,,直线y=x被圆C₂所截得的弦长为232−(22)2=2,C正确.若M,N分别为圆C₁和圆C₂上一点,则|MN|的最大值为2×2+2×3=10,D正确.11.???′(?)=2?−ax.当a≤0时,?′(?)>0,?(?)在(0，+∞)上单调递增.易知f(x)有且仅有一个零点x=1.当00,即f(x)在(0,x₀)上有一个零点,在(x₀,+∞)上,?′(?)>0,?(?)单调递增.结合x₀<1,f(x₀)<0,可得f(x)在(x₀,+∞)上有一个零点x=1.故f(x)在(0,x₀),(x₀,+∞)上各有一个零点.当a=2时,令?′(?)=0,,得x=1,易知在(0,1)上,?′(?)<0,?(?)单调递减,在(1,+∞)上,?′(?)>0,?(?)单调递增.故f(x)的最小值为f(1)=0,f(x)仅有一个零点.当a>2时,?′(?)=0有唯一解x0=a2>11.易知在(0,x₀)上,?′(?)<0,?(?))单调递减,且f(1)=0,所以f(x)在(0,x₀)上有一个零点x=1.在(x₀,+∞)上,?′(?)>0,?(?)单调递增,且fx₀(?+1)²−1−?²=2?>0所以f(x)在(x₀,+∞)上有一个零点.

5故f(x)在(0,x₀),(x₀,+∞)上各有一个零点.综上,当a≤0或a=2时,f(x)仅有一个零点;当02,f(x)有两个零点。12.ADb2+b4+b6+...+b100=b3−b1+b5−b3+b7−b5+...+b101−b99=b101−b1=b101−1A正确.因为bn+2bn−bn+12=(bn+1+bn)bn−bn+12=bn2−bn+1(bn+1−bn)=bn2−bn+1bn−1bn+2bn−bn+12bn+1bn−1−bn2=−1,b3b1−b22=−5,所以{bn+1bn−1−bn2}是以-5为首项，-1为公比的等比数列.bn+1bn−1−bn2=−5×(−1)n,b101b99−b1002=−5,B错误.b100−b98=b100-(b₁+b₂+b₃+…+b₉₈)=b₁₀₀−(b₂+b₁+b₂+b₃+…+b98−b₂)=b₁₀₀−(b₃+b₂+b₃+…+b₉₈−3)=b₁₀₀−(b₄+b₃+…+b₉₈−3)=…=b₁₀₀-(b₁₀₀-3)=3,C错误.b12+b22+b32+⋯+b1002=b1b2+b22+b32+⋯+b1002−2=b2b3+b32+⋯+b1002−2=b3b4+b42+⋯+b1002−2=b₁₀₀b₁₀₁−2,D正确.13.40从第一层中任取1本数学书，有5种取法；从第二层中任取1本英语书，有8种取法.由分步乘法计数原理，共有5×8=40种不同的取法.14.2?′(?)=cos?,,则lim∆x→0f(π−2∆x)−f(π)∆x=−2lim∆x→0f(π−2∆x)−f(π)−2∆x=−2?′(?)=−2cos?=2.15.163?设圆M的半径为r，圆锥的高为ℎ，则r²+ℎ²=36.圆锥的体积?=13?r²ℎ=13?(36−ℎ²)ℎ,令函数?(ℎ)=13?(36−ℎ²)ℎ,则?′ℎ=13π36−ℎ2.当ℎ∈0,23时,?′(ℎ)>0,?(ℎ)单调递增；当h∈(23,6)时,?′(ℎ)<0,?(ℎ)单调递减.f(ℎ)≤f(23)=163?,，故圆锥的体积的最大值为163?.16.52142.建立如图所示的空间直角坐标系，则?(32,12,0),B(−33,1,36),C(−36,12,263)E(−33,−1,63),F(32,−12,0)??=(536,12,−36),??=(63,−12,63),??=(−536,12,63,??=??+??=??+5BC=(0,-2,26),cos⟨??,??⟩=EF∙AGEFAG=−52142⋅故直线EF与直线AG所成角的余弦值为52142.17.解:(1)设{an}的公差为?,?ₙ的公比为q.因为a₁=b₁=a₂b₂=1,a₂(b₁+b₂)=a₂b₁+a₂b₂=a₃,所以

61+d+1=1+2d,解得d=1,…………………………………………………………………2分所以a₂=2,b2=12,则?=12,…………………………………………………………3分故aₙ=a₁+(n−1)d=n,Sn=n(n+1)2,……………………………………………………………………………4分??=?1??−1=12n−1…………………………………………………………………………5分(2)由(1)知1Sn=2(1n−1n+1)…………………………………………………………………6分所以Tn=2(11−12+12−13+...+1n−1n+1)+1−12n1−−12=4n+2n+1−12n−1.…………………………10分18.解：(1)若2个红球放入同一个盒子中，可看成将3个不同的球放入3个不同的盒子中……3分不同的放法有3³=27种.…………………………………………………………………5分(2)不考虑每个盒子最多只能装3个球,有3⁴种放法………………………………………7分若4个球放入同一个盒子中,有3种放法…………………………………………………9分故不同的放法有34-3=78种……………………………………………………………12分19.(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则?(0,0,1),B(2,1,0),M(22,1,0),A(2,0,0)…………………………2分??=(2,1,−1),??=(−22,1,0),??=(−2,0,1)分因为PB∙??=2×(−22)+1×1=0,所以PB⊥??……………………………………5分(2)解:设平面PAM的法向量为m=(x₁,y₁,z₁),则m⋅AM=−22x₁+y₁=0m⋅AP=−2x₁+z₁=0,取x₁=2,可得?=（2，1，2）……………………7分设平面PAB的法向量为n=(x₂,y₂,z₂),则n⋅PB=2x₂+y₂−z₂=0n⋅AP=−2x₂+z₂=0取x₂=2,可得?=（2，0，2）…………………9分cos⟨?,?⟩=m∙nmn=427………………………………………………………11分故二面角B-AP-M的平面角的余弦值为427……………………………………12分

720.解:(1)?′(?)=ln?+3?²+1,?′(1)=4,?(1)=1.………………………………3分曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−1=4(x−1),即4x−y−3=0………5分(2)f(x)≥1,即ln?+?²-1x≥0………………………………………………………………7分令h(?)=ln?+?²-1x,即h(?)≥0对任意的x≥m恒成立…………………………………8分ℎ'(x)=1x+2x+1x²≥0所以h(x)在(0,+∞)上单调递增…………………………10分因为ℎ(1)=0,所以当x≥1时,ℎ(x)≥0,所以m≥1.故实数m的取值范围为[1,+∞)……………………………………………………………12分21.(1)解:由P₃,P₄两点关于y轴对称,可得C经过P₃,P₄两点…………………………………1分P₂与P₃的纵坐标相同，且都位于第一象限，不可能都在C上，所以P₂不在C上，…2分则b=22a2+1b2=1解得a=2b=2,故C的方程为x24+y22=1…………………………………4分(2)证明：当切线l的斜率不存在时，得?:x=±233……………………………………5分当?:x=233时，可得?(233,233)B(233,−233).??⋅??=233×233−233×233=0,则??⊥??当?:x=−233时,同理可证…………………………………………………………………6分当切线l的斜率存在时，设l:y=kx+m.因为l与圆x2+y2=43相切,所以圆心(0，0)到l的距离为mk2+1=233,即3m2=4k2+1……8分联立y=kx+m,x24+y22=1得(2k²+1)x²+4kmx+2m²−4=0.设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则x₁+x₂=−4km1+2k²,x₁x₂=2m²−41+2k²9分??⋅??=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(?x₁+?)(?x₂+?)=(k²+1)x₁x₂+??x₁x₂+m2=(k²+1)(2m²−4)1+2k²−4k²m21+2k²+m2=−4k²+3m2−41+2k².………………………………………………………………………11分由3m²=4(k²+1),得OA·OB=0,则OA⊥OB.综上，若圆x2+y2=43的切线l与C交于点A,B,则OA⊥OB.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分

822.解:(1)?′(?)=1−axx.………………………………………………………………………1分当a≤0时,?′(?)≥0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.………2分当a>0时,若?∈(0,1a),则?′(?)>0,若?∈(1a,+∞),则?′(?)<0,所以f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减.………………………4分(2)令g(x)=f(x)−x²=0,得lnxx−a−x=0.令ℎ(?)=lnxx−?−?(?>0),则ℎ′(?)=1−x2−lnxx2.…………………………5分设函数s(x)=1−x²−lnx,则s'(x)=−2x−1x<0,所以s(x)在(0,+∞)上单调递减……………………………………………………………6分因为s(1)=0,所以当x∈0,1时，sx>0,当x∈1,+∞时,s(x)<0.所以ℎ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则ℎxₘₐₓ=ℎ1=−1−a………………………………………………………7分因为g(x)有两个零点x₁,x₂,所以−1−a>0,解得a<−1.故a的取值范围为(-∞,-1)……………………………………………………………8分因为x₁1,只需证x1>1x2.由于ℎ(x)在(0，1)上单调递增，故只需证ℎ(x1)>ℎ(1x2)…………………………………9分由ℎ(x₁)=ℎ(x₂)=0,ℎ(x1)−ℎ(1x2)=ℎ(x2)−ℎ(1x2)=lnx2x2−x2−a−ln1x21x2−1x2−a=1x2+x2∙lnx2−x2+1x2………………………………………………………10分令φ(?)=(?+1x)ln?−?+1x,则φ'(?)=(1−1x2)ln?…………………………11分当x>1时,?′(?)>0,,所以φ(x)在(1,+∞)上单调递增.φ(x)>φ(1)=0,即(1x2+x2)lnx2−x2+1x2>0,所以ℎ(x1)>ℎ(1x2),即证得x₁x₂>1.

9…………………………12分

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