山东省临沂市郯城县郯城第二中学2022-2023学年高三上学期期末数学Word版含解析

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郯城二中高三上学期期末考试数学试题（时间120分钟，满分150分）一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量，且，则（）A．3B．C．D．4．已知直线与圆有公共点，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．5．良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠状况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间（单位：小时），经调查发现，这1200名学生每天的睡眠时间，则每天的睡眠时间为5-6小时的学生人数约为（结果四舍五入保留整数）（）（附：若，则，，）A．20B．26C．51D．1636．从2至7的6个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．7．已知为奇函数．为偶函数，若当，，则（）A．B．0C．1D．28．已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，以F为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线相切于第一象限内的一点B．若直线的斜率为，则双曲线C的离心率为（）学科网（北京）股份有限公司

1A．B．C．D．29．已知，则（）A．B．C．D．10．甲乙两个箱子中各装有5个大小、质地均相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球；抛一枚质地均匀的硬币，若硬币正面向上，从甲箱中随机摸出一个球；若硬币反面向上，从乙箱中随机摸出一个球．则摸到红球的概率为（）A．B．C．D．11．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，垂直l于点Q，与y轴交于点T，O为坐标原点，且，则（）A．1B．2C．3D．412．已知三棱锥中，三条棱两两垂直，且长度均为，以顶点P为球心，2为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。13．在的展开式中，下列说法正确的是（）A．常数项为160B．第4项的二项式系数最大C．第3项的系数最大D．所有项的系数和为6414．若正实数a，b满足，且，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．15．已知函数，则（）A．有两个极值点B．有三个零点C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线16．若函数在上恰有三个零点，则（）A．的取值范围为B．在上恰有两个极大值点学科网（北京）股份有限公司

2C．在上有极大值点D．在上单调递增三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知的三个内角A，B，C的对边分别是A，B，C，且．（1）求角A；（2）若，的面积为，求的值．18．（12分）已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，证明：．19．（12分）垃圾分类收集处理是一项利国利民的社会工程和环保工程。摘好垃圾分类收集处理，可为政府节省开支，为国家节约能源，减少环境污染，是建设资源节约型社会的一个重要内容。为推进垃圾分类收集处理工作，A市通过多种渠道对市民进行垃圾分类收集处理方法的宣传教育，为了解市民能否正确进行垃圾分类处理，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表（单位人）：能正确进行垃圾分类不能正确进行垃圾分类总计55岁及以下903012055岁以上503080总计14060200（1）根据以上列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关？（2）将频率视为概率，现从A市55岁及以下的市民中里随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“不能正确进行垃圾分类”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量X的分布列和均值．附：，其中．0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.02420．（12分）如图，在正方体中，E为的中点．学科网（北京）股份有限公司

3（1）求证：|平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．21．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知A，B是椭圆C上的两个不同的动点，以线段为直径的圆经过坐标原点O．是否存在以O为圆心的定圆恒与直线相切？若存在，求出定圆方程：若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若对于任意恒成立，求实数a的取值范围．学科网（北京）股份有限公司

4郯城二中高三上学期期末考试数学答案一、单项选择题：题号123456789101112答案DDCABCACCABB二、多项选择题：题号13141516答案BCABDADAD三、解答题：17．解：（1）因为，由正弦定理得，，----------------------------1分即，故，--------------------------------------------------------------3分因为，所以，----------------------------------------------------------------4分由A为三角形内角得，；----------------------------------------------5分（2）因为，的面积为，所以--------------------------------------------------6分所以，--------------------------------------------------------------------------7分由余弦定理得，，--------------9分故．------------------------------------------------------------------------10分18．（1）解：由可得：，---------1分两式相减得：，------------------3分即，--------------------------------------------------------------------4分又当时，有也适合上式，-------------------------------------------5分学科网（北京）股份有限公司

5∴；-----------------------------------------------------------------------------6分（2）证明：由（1）可得：，---------------8分∴---------------------------10分------------------------------------------------------------------11分．----------------------------------------------------------------------------12分19．解：（1）根据以上数据，的观测值-----------------2分，------------------------------------3分∴依据小概率值的独立性检验，能据此推断该市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关．---------4分（2）由题意可得：，--------------------------------------5分∴，，，，，．-----------------9分可得：随机变量X的分布列：X0123P-----------------------------------10分均值．-----------------------------------------------------------------12分xyz20．（1）证明：，四边形为平行四边形，，---------------------2分又平面，平面，平面---------------------------------------------------------------4分学科网（北京）股份有限公司

6（2）如图建系，设正方体的棱长为2．-------------------------------------------5分，，，----------------------------6分，，，，----------7分设平面的法向量为，则-------------------------------------------8分令，，，．--------------------10分设直线与平面所成角为，．------------12分21．解：（1）由题意可知，---------------------3分解得：，------------------------------------------------4分∴椭圆C的方程为：．------------------------------5分（2）设，直线的方程为：，联立方程，消去x得：，∴，，----------------------------------6分∵线段为直径的圆经过坐标原点O，∴，∴，---------------------------------------------------------------7分学科网（北京）股份有限公司

7∴，整理得：，-----------------------8分把，代入上式得：，整理得：，------------------------------------------------------9分∵原点到直线的距离，------------------------10分∴，-------------------------------------------------------------------------11分∴存在以O为圆心的定圆恒与直线相切．--------------------------12分<法二>当直线斜率存在时，设方程为：，设，联立可得：，，，，---------------------------------------------------------6分．------------------7分，．----------------------------------------------------------------8分，整理得：，--------------------9分到直线AB：的距离为：，，----------------------------------------------------------------------------------------10分∴存在以O为圆心的定圆恒与直线相切．当直线斜率不存在时，，合适．-------------------------------------------11分学科网（北京）股份有限公司

8综上所述，存在以O为圆心的定圆恒与直线相切．----------------------------12分22.解：（1）-----------------------------------------------------------1分①当时，，在上单调递增；------------------------2分②当时，令，，当时，，在上单调递减；--------------------3分当时，，在上单调递增；-----------------4分（2）由，得，对于任意恒成立，因此，---------------------------------------------6分记，由，得，----------------------7分当时，单调递减，当时，单调递增，-----------8分所以，因此；----------------------------------------------------------9分记，易知在调递减，所以，-----------------------------10分所以；--------------------------------------------------------------------------------------------11分综上，．---------------------------------------------------------------------------------12分．学科网（北京）股份有限公司

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