河南省新乡市多校联考2022-2023学年高三下学期入学测试（理科）数学Word版含解析

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2022~2023学年新乡市高三年级入学测试数学（理科）试卷考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。2．请将各题答案填写在答题卡上。3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，若，则实数x的取值集合为（）A．B．C．D．2．已知，且为实数，则实数（）A．B．C．1D．23．在2022年某地销售的汽车中随机选取1000台，对销售价格与销售数量进行统计，这1000台车辆的销售价格都不小于5万元，小于30万元，将销售价格分为五组：（单位：万元）．统计后制成的频率分布直方图如图所示．在选取的1000台汽车中，销售价格在内的车辆台数为（）A．800B．600C．700D．7504．已知直线l交抛物线于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的斜率为（）A．B．C．3D．5．已知体积为3的正三棱锥P-ABC，底面边长为，其内切球为球O，若在此三棱锥中再放入球，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球的半径为（）A．B．C．D．6．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为学科网（北京）股份有限公司

1．记第n个k边形数为，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数正方形数五边形数六边形数可以推测的表达式，由此计算（）A．4020B．4010C．4210D．41207．如图，程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前300年左右提出的“辗转相除法”执行该程序框图，若输入，，则输出m的值为（）A．6B．12C．18D．248．若二项式的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（）A．B．C．1792D．11209．已知函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若图象相邻对称轴间的距离为，对任意x，都有，且，则（）学科网（北京）股份有限公司

2A．的最大值为B．的图象关于点中心对称C．的图象关于直线对称D．在上单调递增10．已知函数若的最小值为6，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．l1．设函数在上的导函数为，，对任意，都有，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．12．已知是数列的前n项和，，，则（）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知向量，，若，则________．14．方程的实数解为________．15．在长方体中，，，，M是棱上一点，且，则异面直线CD与BM所成角的余弦值为________．16．已知双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则和的内切圆面积之和的取值范围是________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．（1）求角A；学科网（北京）股份有限公司

3（2）若D为AB的中点，且，求的面积．18．（12分）在数字化时代，电子书阅读给人们的阅读方式、认知模式与思维习惯带来了改变，电子书阅读的快速增长也再次引发人们对相关问题的思考．某地对本地群众（中老年人与年轻人）的年龄与阅读习惯（经常电子阅读与经常纸质阅读）进行了调查统计，得到如下列联表：年轻人中老年人合计经常电子阅读503585经常纸质阅读xy115合计MN200设从经常电子阅读的人中任取1人，记抽取到的中老年人数为；从经常纸质阅读的人中任取1人，记抽取到的中老年人数为已知．（1）求列联表中x，y，M，N的值，并判断是否有95%的把握认为阅读习惯与年龄有关；（2）从年轻人中按阅读习惯用分层抽样的方法抽出10人，再从抽出的10人中用简单随机抽样的方法抽取3人，若其中经常电子阅读的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式及数据：，其中．0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87919．（12分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，．以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M．（1）证明：M为PD的中点．（2）若二面角B-AM-C的余弦值为，求AB．20．（12分）学科网（北京）股份有限公司

4已知椭圆，的三个顶点都在椭圆C上，且P为椭圆C的左顶点，直线AB经过点．（1）求面积的最大值．（2）若三边所在的直线斜率都存在，且分别记为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数．（1）判断极值点的个数；（2）当时，证明：．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；（2）设，曲线与曲线的交点为A，B，求的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）当时，求不等式．（2）若对任意，成立，求a的取值范围．2022~2023学年新乡市高三年级入学测试数学参考答案（理科）1．B因为，所以．当时，，得；若，则．故实数x的取值集合为．学科网（北京）股份有限公司

52．A因为为实数，所以．3．C由频率分布直方图知，，所以，所以销售价格在内的频率为，故销售价格在内的车辆台数为．4．C易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，，则两式相减得，整理得．因为MN的中点为，所以，即直线l的斜率为3．5．D设内切球O的半径为r，球的半径为R．因为正三棱锥P-ABC的体积为3，底面边长为，所以可求得侧棱长为，进而可得三棱锥P-ABC的表面积为．由，得．用一平行于底面ABC的平面去截此三棱锥，得到一个高为的棱台，那么截下去的棱锥的高是原棱锥的，根据相似关系，截下去的棱锥的体积为，根据等体积法，，解得．6．B由题可归纳，所以．7．A题中程序框图为用转相除法求2022和1314的最大公约数．因为，，，，，，所以2022和1314的最大公约数为6．8．D因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以．通项为，令，得，所以展开式中项的系数为C24（-1）4=1120．9．D因为，所以为奇函数．因为图象相邻对称轴间的距离为，所以的周期为π．因为，所以，．因为，所以．因为，所以，所以．因为学科网（北京）股份有限公司

6，所以A错误．令，得，所以图象的对称中心为，故B错误．令，得．所以图象的对称轴为，故C错误．令，得，所以的单调递增区间为，故D正确．10．C因为当时，，当且仅当时，等号成立，所以当时，，当时，的最小值大于或等于6．当时，在上单调递减，则．由得．当时，．由得．综合可得．11．B因为，所以为奇函数．令，则，所以在上单调递增．因为为偶函数，所以在上单调递减．不等式等价于，因为，所以，所以不等式等价于，所以，即．12．A因为，所以当时，．因为，所以．当时，，两式相减得．因为，所以．因为，所以从第二项起是公比为的等比数列，所以，所以所以，，所以．学科网（北京）股份有限公司

713．因为，所以，得．14．令，则，整理得，解得（舍去）或，所以，故．15．因为，所以即异面直线CD与BM所成角．连接AM（图略），因为，，，所以，．在中，，，所以，故异面直线CD与BM所成角的余弦值为．16．设直线l的倾斜角为，则．设与圆的切点分别为M，N，E，因为，所以．设和的内切圆圆心分别为，半径分别为，因为，所以，所以，即．因为，所以，所以，又，，所以，所以所求面积之和的取值范围是．17．解：（1）因为，所以，1分所以，2分所以，3分学科网（北京）股份有限公司

8即．4分因为，所以，所以．5分因为，所以．6分（2）在中，由余弦定理得，8分所以解得或．10分当时．；当时，．12分18．解：（1）因为，所以，2分解得．4分因为，5分所以有95%的把握认为阅读习惯与年龄有关．6分（2）由题意可知，抽出的10人中，经常电子阅读的有5人，经常纸质阅读的有5人，从中取3人，则X的可能取值为0，1，2，3．7分因为；；；．9分所以X的分布列为X0123P．12分19．（1）证明：因为AC是所作球面的直径，所以．2分因为平面ABCD，所以．3分因为，所以平面PAD，所以，所以平面PCD，所以．4分因为，所以M为PD的中点．5分（2）解：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z学科网（北京）股份有限公司

9轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则．6分设平面ABM的法向量为，因为，，所以令，则．8分设平面ACM的法向量为，因为，，所以令，得．10分设二面角B-AM-C为α，则，解得，即．12分20．解：（1）因为椭圆C的方程为，所以椭圆C的左顶点．1分设直线AB的方程为，，联立方程组得，则，3分所以．4分因为点P到直线AB的距离，5分学科网（北京）股份有限公司

10所以．因为，所以当，即时，面积取得最大值，最大值为．6分（2）由（1）可知，，，8分所以，所以为定值，且．12分21．（1）解：因为，所以．1分令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．2分当时，，若，则，若，则，所以只有一个极值点．4分当时，存在，，使．当时，；当时，．所以，；，；，；，．所以有三个极值点．5分学科网（北京）股份有限公司

11综上，当时，只有一个极值点；当时，有三个极值点．6分（2）证明：．8分令，则，所以当时，h'（x）<0，单调递减，当时，，单调递增，所以．9分令，则等价于．因为，所以等价于．10分令，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以．11分因为，所以，故．12分22．解：（1）曲线的极坐标方程为，因为，，所以，2分即曲线的直角坐标方程为．因为曲线的极坐标方程为，且，，所以曲线的直角坐标方程为，即．5分（2）因为在曲线上，所以曲线的参数方程为6分将曲线的参数方程代入中，得，学科网（北京）股份有限公司

12设A，B对应的参数分别为，则，，所以．8分因为，所以．10分23．解：（1）由题知，当时，，所以2分因为，所以或或4分解得或或，所以不等式的解集为．5分（2）因为，所以，7分所以，所以，即，所以，解得，所以a的取值范围为．10分学科网（北京）股份有限公司

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