河北省张家口市2021届高三高考三模数学Word版含解析

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2021年河北省张家口市高考数学三模试卷一、选择题（共8小题）.1．已知M，N均为R的子集，若N∪（∁RM）＝N，则（　　）A．M⊆NB．N⊆MC．M⊆∁RND．∁RN⊆M2．若复数z满足＝，则在复平面内对应的点位于（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某中学春季运动会上，12位参加跳高半决赛同学的成绩各不相同，按成绩从高到低取前6位进入决赛．如果小明知道了自己的成绩后（　　）A．中位数B．平均数C．极差D．方差4．“a＞0”是“点（0，1）在圆x2+y2﹣2ax﹣2y+a+1＝0外”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．为了得到函数的图象，可以将函数（　　）A．向右平移单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度6．我国东汉末数学家赵爽在《周牌算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，，则λ+μ＝（　　）A．B．C．D．7．（x+2y﹣3z）5的展开式中所有不含y的项的系数之和为（　　）A．﹣32B．﹣16C．10D．648．已知a，b∈（0，3），且4lna＝aln4，c＝log0.30.06，则（　　）

1A．c＜b＜aB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a二、选择题（共4小题）.9．已知方程表示的曲线是双曲线，其离心率为e，则（　　）A．B．点（2，0）是该双曲线的一个焦点C．D．该双曲线的渐近线方程可能为x±2y＝010．已知一个圆柱的上、下底面圆周均在球O的表面上，若圆柱的体积为4π，则球O的表面积不可能为（　　）A．6πB．8πC．12πD．16π11．已知正数a，b满足（a﹣1）b＝1，则（　　）A．a+b≥3B．2＞4C．2log2a+log2b≥2D．a2+b2＞2a12．已知函数，则下列结论正确的是（　　）A．函数f（x）是偶函数B．函数f（x）的最小正周期为2C．函数f（x）在区间（1，2）存在最小值D．方程f（x）＝1在区间（﹣2，6）内所有根的和为10三、填空题（共4小题）.13．在等差数列{an}中，a11＝2a8+6，则a2+a6+a7＝　　．14．2021年3月18日至19日的中美高层战略对话结束后，某校高二1班班主任王老师利用班会时间让学生观看了相关视频，见识了强大的祖国对中美关系的霸气表态，爱国情感油然而生．为使班会效果更佳，班主任王老师计划从由3名女生（分别记为甲、乙、丙）（分别记为A，B，C，D）组成的学习小组中选出4名进行观后体会交流，则男生A和女生甲没有被同时选中的概率为　　．15．若对任意的非零实数a，均有直线l：y＝ax+b与曲线相切　　．16．已知为椭圆的右焦点，B两点，P为AB的中点，且△OFP外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为　　．四、解答题（共6小题，满分72分）

217．已知数列{an}的前n项和为An，数列{bn}的前n项和为Bn，且．（1）求{an﹣bn}的通项公式；（2）若，求数列{an⋅bn}的前n项和Tn．18．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝1，BD＝2，且sin∠DBC＝sin∠DCB．（1）求AD的长；（2）求△ABC的面积．19．某县一高级中学是一所省级规范化学校，为适应时代发展、百姓需要，该校在县委县政府的大力支持下，并由县政府公开招聘事业编制教师．招聘时首先要对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节，第一题考查教育心理学知识，答对得10分；第二题考查学科专业知识，答对得10分；第三题考查课题说课，说课优秀者得15分（1）若共有2000人应聘，他们的简历评分服从正态分布N（65，152），80分及以上为达标，估计进入面试环节的人数（结果四舍五入保留整数）；（2）面试环节一应聘者前两题答对的概率均为，第三题被评为优秀的概率为，每道题正确与否、优秀与否互不影响附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ），P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PB＝AB，且∠PBC＝2∠PAD＝90°．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值．21．已知抛物线C：y2＝4px（p＞0）的焦点为F，且点M（1，2）（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l：x﹣m（y+2）﹣5＝0与抛物线C交于A，B两点？若存在，求出m的值，请说明理由．22．已知函数f（x）＝x3﹣x﹣alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；（2）当a≤3时，求证：对任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，有2f（x2）﹣2f（x1）+（x1﹣x2）[f

3'（x1）+f'（x2）]＞0恒成立．

4参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知M，N均为R的子集，若N∪（∁RM）＝N，则（　　）A．M⊆NB．N⊆MC．M⊆∁RND．∁RN⊆M解：由题意知，∁RM⊆N，其韦恩图如图所示，由图知，只有D正确．故选：D．2．若复数z满足＝，则在复平面内对应的点位于（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：由已知得，所以＝1﹣2i，所以在复平面内对应的点（8．故选：D．3．某中学春季运动会上，12位参加跳高半决赛同学的成绩各不相同，按成绩从高到低取前6位进入决赛．如果小明知道了自己的成绩后（　　）A．中位数B．平均数C．极差D．方差解：12位同学参赛，按成绩从高到低取前6位进入决赛，因此可根据中位数判断小明是否能进入决赛．故选：A．4．“a＞0”是“点（0，1）在圆x2+y2﹣2ax﹣2y+a+1＝0外”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：将x2+y2﹣7ax﹣2y+a+1＝3化为标准方程，得（x﹣a）2+（y﹣1）3＝a2﹣a．当点（0

5在圆x2+y2﹣2ax﹣5y+a+1＝0外时，有解得a＞1．所以“a＞3”是“点（0，1）”在圆x7+y2﹣2ax﹣2y+a+1＝0外”的必要不充分条件．故选：B．5．为了得到函数的图象，可以将函数（　　）A．向右平移单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度解：∵，∴将函数的图象向右平移，可得f（x）的图象，故选：A．6．我国东汉末数学家赵爽在《周牌算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，，则λ+μ＝（　　）A．B．C．D．解：以E为坐标原点，EF所在直线为x轴，建立如图直角坐标系，设|EF|＝1．由E为AF的中点，

6可得E（0，8），1），0），﹣8），2），所以，因为，所以（1，﹣5）+μ（1，即解得 则．故选：D．7．（x+2y﹣3z）5的展开式中所有不含y的项的系数之和为（　　）A．﹣32B．﹣16C．10D．64解：在（x+2y﹣3z）7的展开式中，通项公式为．若展开式中的项不含y，则r＝65展开式中的所有项．令x＝z＝1，得这些项的系数之和为（﹣3）5＝﹣32，故选：A．8．已知a，b∈（0，3），且4lna＝aln4，c＝log0.30.06，则（　　）A．c＜b＜aB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a解：由4lna＝aln4＝3aln2，得．令，则，所以当x∈（3，e）时，f（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，f（x）单调递减．又f（a）＝f（4），f（b）＝f（16）．又c＝log0.33.06＝log0.3（5.2×0.2）＝log0.35.2+1，log7.30.8+1＞log0.40.3+4＝2，所以c＞a，所以b＜a＜c．

7故选：C．二、选择题（共4小题）.9．已知方程表示的曲线是双曲线，其离心率为e，则（　　）A．B．点（2，0）是该双曲线的一个焦点C．D．该双曲线的渐近线方程可能为x±2y＝0解：因为方程表示的曲线是双曲线，所以（m2﹣2）（m2+2）＜3，解得；将化为，故选项B错误；因为2≤m3+2＜4，所以；因为双曲线的渐近线斜率的平方，所以选项D错误．故选：AC．10．已知一个圆柱的上、下底面圆周均在球O的表面上，若圆柱的体积为4π，则球O的表面积不可能为（　　）A．6πB．8πC．12πD．16π解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h，则所以，所以，所以当h∈（0，2）时6）′＜0；当h∈（2，（R3）′＞0，所以当h＝2时，R2有最小值．此时球O的表面积有最小值，且最小值为，即球O的表面积S球O≥12π．故选：AB．11．已知正数a，b满足（a﹣1）b＝1，则（　　）

8A．a+b≥3B．2＞4C．2log2a+log2b≥2D．a2+b2＞2a解：由（a﹣1）b＝1，得，又b＞0，所以，当且仅当b＝，即b＝1时取等号；因为，所以当b＝2时，，此时；，当且仅当b＝，即b＝1时取等号，所以2log5a+log2b≥2，故C正确；又（a﹣5）2+b2≥6（a﹣1）b＝2，当且仅当a﹣8＝b时取等号，所以a2+b2≥8+2a＞2a，故D正确．故选：ACD．12．已知函数，则下列结论正确的是（　　）A．函数f（x）是偶函数B．函数f（x）的最小正周期为2C．函数f（x）在区间（1，2）存在最小值D．方程f（x）＝1在区间（﹣2，6）内所有根的和为10解：，A.，所以f（x）是偶函数；B．因为f（0）＝﹣1，f（0）≠f（2），选项B错误；C．当x∈（1，，所以．因为，所以f（x）在区间，在区间，所以f（x）在区间（6，不存在最小值；D．因为f（x）＝f（x+4），

9当x∈（﹣2，6）时，．因为，所以f（x）在（﹣2．同理，可得f（x）在（0．因为f（0）＝﹣2，f（﹣2）＝f（2）＝1，5）内有5个根．又所以f（x）的图象关于直线x＝8对称，所以方程f（x）＝1在区间（﹣2．故选：AD．三、填空题（共4小题）.13．在等差数列{an}中，a11＝2a8+6，则a2+a6+a7＝　﹣18　．解：设等差数列{an}的公差为d，由a11＝2a8+8，得2a8﹣a11＝﹣8，即a8﹣3d＝a5＝﹣6，所以a2+a3+a7＝3a5＝﹣18．故答案为：﹣18．14．2021年3月18日至19日的中美高层战略对话结束后，某校高二1班班主任王老师利用班会时间让学生观看了相关视频，见识了强大的祖国对中美关系的霸气表态，爱国情感油然而生．为使班会效果更佳，班主任王老师计划从由3名女生（分别记为甲、乙、丙）（分别记为A，B，C，D）组成的学习小组中选出4名进行观后体会交流，则男生A和女生甲没有被同时选中的概率为　　．解：从3名女生和4名男生组成的学习小组中选4名共有（种）选法，男生A和女生甲被同时选中有种）选法，故所求概率．故答案为：．15．若对任意的非零实数a，均有直线l：y＝ax+b与曲线相切　　．解：设切点横坐标为m，因为，所以，又a≠3，所以，将其代入y＝ax+b，有＝a•，解得，

10所以，所以直线l必过定点．故答案为：．16．已知为椭圆的右焦点，B两点，P为AB的中点，且△OFP外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为　　．解：因为△OFP外接圆的面积为，所以其外接圆半径为．又△OFP是以OF为底边的等腰三角形，设∠OFP＝α，则∠OPF＝π﹣2α，所以，所以，所以或．不妨设点P在x轴下方，所以或．又根据点差法可得，所以或此时焦点在y轴上．因为为椭圆，所以，故椭圆C的长轴长为．故答案为：2．四、解答题（共6小题，满分72分）17．已知数列{an}的前n项和为An，数列{bn}的前n项和为Bn，且．（1）求{an﹣bn}的通项公式；（2）若，求数列{an⋅bn}的前n项和Tn．解：（1）记数列{an﹣bn}的前n项和为Sn，所以，所以当n≥2时，．两式作差，得当n≥2时，．

11因为当n＝1时，S1＝a4﹣b1＝2，也符合上式，所以{an﹣bn}的通项公式为．（2）由（1）知．因为，所以，所以数列{an⋅bn}的前n项和.所以数列{an⋅bn}的前n项和．18．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝1，BD＝2，且sin∠DBC＝sin∠DCB．（1）求AD的长；（2）求△ABC的面积．解：（1）因为在四边形ABCD中，AB∥CD．在△DBC中，由sin∠DBC＝sin∠DCB及正弦定理可得BD＝CD＝2．设AD＝x．在△ABD和△ACD中，由及余弦定理，得，所以5（x2+1﹣6）＝﹣（x2+4﹣5）．解得，即．（2）在△ACD中，，得AD8+CD2＝AC2，所以AD⊥CD，所以．所以△ABC的面积为．19．某县一高级中学是一所省级规范化学校，为适应时代发展、百姓需要，该校在县委县政府的大力支持下，并由县政府公开招聘事业编制教师．招聘时首先要对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节，第一题考查教育心理学知识，答对得10分；第二题考查学科专业知识，答对得10分；第三题考查课题说课，说课优秀者得15分（1）若共有2000人应聘，他们的简历评分服从正态分布N（65，152），80分及以上为达标，估计进入面试环节的人数（结果四舍五入保留整数）；

12（2）面试环节一应聘者前两题答对的概率均为，第三题被评为优秀的概率为，每道题正确与否、优秀与否互不影响附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ），P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973．【解答】解（1）因为X服从正态分布N（65，152），所以，因为2000×7.15865≈317，所以进入面试环节的人数约为317人．（2）记该应聘者第i（i＝1，2）题答对为事件Ai，第8题优秀为事件B，Y的可能取值为5，15，35，则，＝＝，＝＝，．所以Y的分布列为：Y5152535P所以Y的数学期望为．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PB＝AB，且∠PBC＝2∠PAD＝90°．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

13解：（1）证明：如图，在平面PAD内，垂足为H．因为∠PBC＝90°，所以PB⊥BC，因为AD∥BC，所以PB⊥AD，因为PB∩PH＝P，所以AD⊥平面PHB，因为PA＝PB＝AB，所以．又∠PAD＝45°，所以2＝PH2+BH5，即PH⊥BH．因为AD∩BH＝H，所以PH⊥平面ABCD．因为PH⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD．（2）由（1）知PH⊥平面ABCD，BH⊥AD，所以以H为原点，以HA所在直线为x轴，HP所在直线为z轴．设，则PH＝AH＝BH＝1，所以H（8，0，0），2，0），1，6），0，1），所以．设平面PAB的一个法向量为，则得，令x1＝6，则y1＝z1＝2，所以．设平面PBC的一个法向量为，则得，令y2＝6，则z2＝1，x4＝0，所以．所以．故平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．

1421．已知抛物线C：y2＝4px（p＞0）的焦点为F，且点M（1，2）（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l：x﹣m（y+2）﹣5＝0与抛物线C交于A，B两点？若存在，求出m的值，请说明理由．解：（1）因为点M到点F的距离比到y轴的距离大p，所以点M到点F的距离与到直线x＝﹣p的距离相等，由抛物线的定义可知，点M在抛物线C上，所以4＝4p，解得p＝5，故抛物线C的方程为y2＝4x；（2）存在m＝2或m＝﹣3．联立方程组，可得y2﹣4my﹣7m﹣20＝0，因为△＝16m2+3（8m+20）＞0恒成立，所以直线l与抛物线C恒有两个交点，设A（x6，y1），B（x2，y8），则有y1+y2＝6m，y1y2＝﹣7（2m+5），因为＝＝＝＝3，所以MA⊥MB，则△MAB为直角三角形，设d为点M到直线l的距离，则|MA|•|MB|＝|AB|•d＝

15＝＝＝64，所以（m+1）5+4（m+1）5﹣32＝0，解得（m+1）2＝4或（m+1）6＝﹣8（舍），所以m＝1或m＝﹣5，故当实数m＝1或m＝﹣3时，|MA|•|MB|＝．22．已知函数f（x）＝x3﹣x﹣alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；（2）当a≤3时，求证：对任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，有2f（x2）﹣2f（x1）+（x1﹣x2）[f'（x1）+f'（x2）]＞0恒成立．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，若函数f（x）在其定义域上为增函数，则f'（x）≥0在（4，即，得3x3﹣x≥a，设g（x）＝3x3﹣x，则g'（x）＝4x2﹣1，当时，g'（x）＜2，当时，所以当时，函数g（x）单调递减，当时，故，所以，﹣]．（2）证明：由（1）得，对任意的x1，x2∈[3，+∞）1＞x2，令，则5f（x2）﹣2f（x7）+（x1﹣x2）[f'（x8）+f'（x2）]＝＝＝，令，当t＞1时，，

16由此可得h（t）在（1，+∞）上单调递增，所以当t＞1时，h（t）＞h（1），即，因为，所以，设，则，所以函数p（t）在（1，+∞）上单调递增，综上，当a≤3时6，x2∈[1，+∞）5＞x2，有2f（x5）﹣2f（x1）+（x6﹣x2）[f'（x1）+f'（x3）]＞0恒成立．