辽宁省铁岭市六校2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析

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2020-2021学年辽宁省铁岭市六校高二（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＜3}，则A∩B＝（　　）A．{1，2，3，4}B．{1，2}C．{3，4}D．{1，2，3}2．对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜4”是“a＜3”的必要条件；其中真命题的个数是（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个3．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为（　　）A．14B．15C．16D．174．不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a﹣b的值为（　　）A．14B．﹣14C．10D．﹣105．若（　　）A．6B．C．9D．186．已知函数f（x）＝Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，f（x）的图像在y轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为1，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（200）＝（　　）A．0B．400C．﹣200D．2007．定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，（x﹣1）f′（x）﹣f（x）＜0恒成立，若a＝f（2），b＝f（3），c＝（+1）f（），则a，b，c的大小关系是（　　）A．c＜a＜bB．b＜a＜cC．a＜b＜cD．c＜b＜a8．在外接圆半径为的△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，则b+c的最大值是（　　）

1A．B．1C．3D．二、选择题：本大题共4小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图像如图所示．下面结论正确的有（　　）A．函数y＝f（x）在区间上单调递减B．函数y＝f（x）在区间（4，5）上单调递增C．当x＝2时，函数y＝f（x）有极大值D．当x＝﹣时，函数y＝f（x）有极大值12．已知f（x）的定义域为（0，+∞），导函数为f′（x），xf′（x）﹣f（x）＝xlnx，且f（）＝，则（　　）A．B．C．f（x）在x＝处取得极小值D．0＜f（1）＜1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S15＝　　．14．已知sin（﹣α）＝，则cos（+2α）＝　　．四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{an}是公差d不为0的等差数列，若{an}满足2a2﹣a1＝6，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且b2＝a1，b4＝a4，求数列{an+bn}的前n项和Tn．18．已知函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域；

2（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a＝，b＝，且f（）＝，求边c的值．19．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知条件①三个角A，B，C成等差数列；条件②三条边a，b，c成等比数列；求解下列问题：（1）若只选择条件②，试求角B的取值范围；（2）若两个条件①②同时成立，试判断△ABC的形状．20．已知函数f（x）＝xlnx+kx，k∈R．（Ⅰ）求y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若不等式f（x）≤x2+x恒成立，求k的取值范围．22．已知函数f（x）＝xlnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）是否存在最小的正常数m，使得当a＞m时，对于任意正实数x，不等式f（a+x）＜f（a）•ex恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性．

3参考答案一、选择题：本大题共8小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＜3}，则A∩B＝（　　）A．{1，2，3，4}B．{1，2}C．{3，4}D．{1，2，3}解：∵集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＜3}，∴A∩B＝{1，2}．故选：B．2．对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜4”是“a＜3”的必要条件；其中真命题的个数是（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①由“a＝b“可得ac＝bc，但当ac＝bc时，不能得到a＝b，故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故①错误；②因为5是有理数，所以当a+5是无理数时，a必为无理数，反之也成立，故②正确；③取a＝1，b＝﹣2，此时a2＜b2，故③错误；④当a＜4时，不能推出a＜3；当a＜3时，有a＜4成立，故“a＜4”是“a＜3”的必要不充分条件，故④正确．综上可得正确的命题有2个．故选：B．3．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为（　　）A．14B．15C．16D．17解：设从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列{an}，公差为d，前n项和为Sn，谷雨日影长为a9，根据题意可知：a1+a4+a7＝33，S9＝108，

4得3a4＝33，＝108，得a4＝11，a5＝12，∴d＝12﹣11＝1，∴a9＝a5+4d＝12+4＝16．故选：C．4．不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a﹣b的值为（　　）A．14B．﹣14C．10D．﹣10解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是，可得﹣，是一元二次方程ax2+bx+2＝0的两个实数根，∴＝，＝，解得a＝﹣12，b＝﹣2，∴a﹣b＝﹣12﹣（﹣2）＝﹣10，故选：D．5．若（　　）A．6B．C．9D．18解：∵a＞0，b＞0，且，∴＝＝2（5+）＝2（5+4）＝18，当且仅当b＝2a＝时取等号．∴的最小值为18．故选：D．6．已知函数f（x）＝Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，f（x）的图像在y轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为1，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（200）＝（　　）A．0B．400C．﹣200D．200解：∵函数f（x）＝Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为A+1＝3，∴A＝2．∵f（x）的图像在y轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为1，∴2cos2φ+1＝2，且•＝1，求得cos2φ＝，cosφ＝，且ω＝π，

5∴φ可以为±，f（x）＝2cos2（πx±）+1．∴f（1）＝2×+1＝2，f（1）＝2×+1＝2，•••，f（200）＝2×+1＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（200）＝2×200＝400，故选：B．7．定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，（x﹣1）f′（x）﹣f（x）＜0恒成立，若a＝f（2），b＝f（3），c＝（+1）f（），则a，b，c的大小关系是（　　）A．c＜a＜bB．b＜a＜cC．a＜b＜cD．c＜b＜a解：根据题意，设函数g（x）＝，其导数g′（x）＝＝，又由当x∈（1，+∞）时，（x﹣1）f′（x）﹣f（x）＜0恒成立，则有g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数，又由a＝f（2）＝＝g（2），b＝f（3）＝＝g（3），c＝（+1）f（）＝＝g（），又由函数g（x）为减函数，则有b＜a＜c；故选：B．8．在外接圆半径为的△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，则b+c的最大值是（　　）A．B．1C．3D．解：由题意可得2asinA＝（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，由正弦定理可得2a2＝（2b+c）b+（2c+b）c，变形可得a2＝b2+c2+bc，由余弦定理可得﹣2cosA＝1，可得cosA＝﹣，可得A＝，因为△ABC的外接圆半径为，由正弦定理可得＝2×，可得a＝，由基本不等式可得a2＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc≥（b+c）2﹣（）2＝（b+c）2，

6所以（b+c）2≤a2＝1，∴b+c≤1，当且即当b＝c＝时取等号，∴b+c的最大值为1．故选：B．二、选择题：本大题共4小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图像如图所示．下面结论正确的有（　　）A．函数y＝f（x）在区间上单调递减B．函数y＝f（x）在区间（4，5）上单调递增C．当x＝2时，函数y＝f（x）有极大值D．当x＝﹣时，函数y＝f（x）有极大值解：结合图像得：x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（﹣2，2）时，f′（x）＞0，f（x）递增，x∈（2，4）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（4，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故﹣2，4是极小值点，2是极大值点，故选：BC．12．已知f（x）的定义域为（0，+∞），导函数为f′（x），xf′（x）﹣f（x）＝xlnx，且f（）＝，则（　　）A．B．C．f（x）在x＝处取得极小值D．0＜f（1）＜1

7解：令g（x）＝，则g′（x）＝＝，∴g（x）＝ln2x+c，即＝ln2x+c，则f（x）＝•ln2x+cx．又f（）＝+＝，∴c＝，则f（x）＝（ln2x+1），f′（x）＝ln2x+lnx+＝（lnx+1）2≥0，则f′（）＝0，故B正确；f（x）在（0，+∞）单调递增，故A正确，C错误；f（1）＝∈（0，1），故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S15＝　　．解：根据题意，an＝＝﹣，所以S15＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故答案为：．14．已知sin（﹣α）＝，则cos（+2α）＝　﹣　．解：∵sin（﹣α）＝，∴cos（）＝，∴cos（+2α）＝cos2（）＝＝．故答案为：．四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{an}是公差d不为0的等差数列，若{an}满足2a2﹣a1＝6，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且b2＝a1，b4＝a4，求数列{an+bn}的前n项和Tn．解：（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由2a2﹣a1＝6，得2（a1+d）﹣a1＝6，即a1+2d＝6①，

8又a1，a2，a4成等比数列，得a＝a1a4，即（a1+d）2＝a1（a1+3d）②，联立①②解得a1＝2，d＝2，所以an＝2n；（2）设等比数列{bn}的公比为q（q＞0），则b2＝a1＝2；b4＝a4＝8，所以q2＝＝＝4，解得q＝2或q＝﹣2（舍去），所以b1＝＝＝1，故bn＝2n﹣1；所以Tn＝a1+a2+…+an+b1+b2+…+bn＝（2+2n）+＝2n+n2+n﹣1．18．已知函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a＝，b＝，且f（）＝，求边c的值．解：（1）f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），若x∈[0，]，则2x+∈[]，所以sin（2x+）≤1，﹣1≤f（x）≤2，所以函数f（x）的值域[﹣1，2]；（2）因为f（）＝2sin（A+）＝，所以sin（A+）＝，由A为三角形内角得A+＝或A+＝，所以A＝或A＝，当A＝时，a＝，b＝，由余弦定理得cosA＝＝，解得c＝4，当A＝时，a＝，b＝，由勾股定理得7＝3+c2，即c＝2，综上c＝2或c＝4．

919．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知条件①三个角A，B，C成等差数列；条件②三条边a，b，c成等比数列；求解下列问题：（1）若只选择条件②，试求角B的取值范围；（2）若两个条件①②同时成立，试判断△ABC的形状．解：（1）由②可知，b2＝ac，所以cosB＝＝≥，（a＝c时取等号），所以B的范围是0＜B≤；（2）由题意可知2B＝A+C，b2＝ac，所以B＝，所以b2＝a2+c2﹣2accos，即（a﹣c）2＝0，所以a＝c，所以△ABC的形状为等边三角形．20．已知函数f（x）＝xlnx+kx，k∈R．（Ⅰ）求y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若不等式f（x）≤x2+x恒成立，求k的取值范围．解：（Ⅰ）函数f（x）＝xlnx+kx，k∈R，定义域为（0，+∞），f'（x）＝1+lnx+k，则f'（1）＝1+k，由f（1）＝k，故切点为（1，k），切线的斜率为1+k，所以y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣k＝（1+k）（x﹣1），即y＝（k+1）x﹣1；（Ⅱ）不等式f（x）≤x2+x恒成立，，即lnx+k≤x+1恒成立，即lnx﹣x+k﹣1≤0恒成立，令g（x）＝lnx﹣x+k﹣1，则g'（x）＝，令g'（x）＝0，解得x＝1，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增，当x＞1时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，则g（x）的最小值为g（1）＝k﹣2，所以k﹣2≤0，即k≤2，故k的取值范围为（﹣∞，2]．22．已知函数f（x）＝xlnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）是否存在最小的正常数m，使得当a＞m时，对于任意正实数x，不等式f（a+x）＜f（a）•ex

10恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性．解：（1）因为f（x）＝xlnx，所以f′（x）＝1+lnx，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．（2）这样的最小正常数m存在，f（a+x）＜f（a）•ex，⇔（a+x）ln（a+x）＜alna•ex⇔＜，构造函数g（x）＝，则问题可转化为g（a+x）＜g（a）恒成立，g′（x）＝，令h（x）＝lnx+1﹣xlnx，h′（x）＝﹣lnx﹣1，为减函数，又h′（1）＝0，所以函数h（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，又h（）＝ln+1﹣ln＝﹣2+1+＝＜0，h（1）＝ln1+1﹣ln1＝1＞0，h（e）＝lne+1﹣elne＝1+1﹣e＝2﹣e＜0，所以函数h（x）在区间（0，1）和（1，+∞）上各有一个零点，不妨设x1和x2（x1＜x2），所以在区间（0，x1）和（x2，+∞）上，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在区间（x1，x2）上，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（1）＝0，当0＜x＜1时，g（x）＜0，当x＞1时，g（x）＞0，所以g（x2）是函数的极大值，也是最大值，若m＝x2，当a＞x2时，对任意非零正数x，a+x＞a+x2，而g（x）在（x2，+∞）上单调递减，所以g（a+x）＜g（a）一定恒成立，若m≤x2，当0＜a＜x2时，取x＝x2﹣a，

11所以x＞0且g（a+x）＝g（x2）＞g（a），所以题目不等式不恒成立，说明不能比x2小，综上所述，题目中最小的正常数m就是x2，即存在最小正常数m＝x2，当a＞m时，对于任意正实数x，不等式f（a+x）＜f（a）•ex恒成立．