极坐标系下单相 LCL 型并网逆变器幅相导纳 建模方法

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2020极坐标系下单相LCL型并网逆变器幅相导纳建模方法*徐元璨，陈燕东，伍文华，谢志为（湖南大学国家电能变化与控制工程技术研究中心，湖南省长沙市410082）Amplitude-phaseAdmittanceModelingMethodofSingle-phaseGrid-connectedInverterinPolarCoordinateSystemXUYuancan,CHENYandong,WUWenhua,XIEZhiwei(NationalEngineeringResearchCenterforPowerConversionandControl,HunanUniversity,Changsha410082,HunanProvince,China)摘要：阻抗分析法被广泛应用于并网逆变器与弱交流电网互联系统的模型建立及稳定性分析。单相并网逆变器因其特有的不对称特征在建模及实际扫频测量时与三相并网逆变器差异明显，具有更为复杂的阻抗特性。为此，本文在极坐标系下建立了单相并网逆变器的幅相导纳模型，推导了SOGI模块映射至极坐标系下的电压电流转换表达式。并通过在一次侧串联扰动电压源，逐点扫频得到实际测量值，验证了所建立的理论模型准确性。结果表明：单相并网逆变器的幅相导纳模型不同于三相并网逆变器具有解耦形式，并且对角线导纳元素在中频段内幅值大小无法忽略。相角导纳在全频段内幅值均比较大，为系统输出阻抗外特性的主要表征因素。关键词：幅相导纳模型；极坐标系；等效电路模型；单相并网逆变器；稳定性分析ABSTRACT:Impedanceanalysismethodiswidelyusedinmodelingandstabilityanalysisofinterconnectedsystemofgrid-connectedinverterandweakACgrid.Duetotheasymmetriccharacteristicsthesingle-phaseACsystemaresignificantlydifferentfromthree-phaseACsysteminmodelingandactualfrequencysweepmeasurement,andtheyhavemorecompleximpedancecharacteristics.Forthisreason,thisarticleestablishedtheamplitude-phaseadmittancemodelofthesingle-phasegrid-connectedinverterinthepolarcoordinatesystem,anddeducedthevoltage-currentconversionexpressionoftheSOGImodulemappedtothepolarcoordinatesystem.Andbyconnectingadisturbancevoltagesourceinseriesontheprimarysideandsweepingthefrequencypointbypointtoobtaintheactualmeasuredvalue,theaccuracyoftheestablishedtheoreticalmodelisverified.Theresultsshowthattheamplitude-phaseadmittancemodelofthesingle-phasegrid-connectedinverterisdifferentfromthethree-phasegrid-connectedinverter,whichhasadecouplingform,andtheamplitudeofthediagonaladmittanceelementinthemid-frequencybandcannotbeignored.Thephaseadmittancehasarelativelylargeamplitudeinthewholefrequencyband,whichisthemaincharacterizingfactorofthesystemoutputimpedance.KEYWORD:Amplitude-phaseadmittancemodel;Polarcoordinatesystem;Equivalentcircuitmodel;Single-phasegrid-connectedinverter;Stabilityanalysis[2]1引言静止坐标系下的线性时变模型(LTP)。根据所选取的坐标系不同，LTI模型进一步分为直角坐标由于电力电子器件的可控性与灵活性，以电系下的dq阻抗模型与极坐标系下的幅相阻抗模压源型变换器（VSC）为代表的电力电子器件广型，LTP模型分为直角坐标系下的模型与自然泛应用于可再生能源发电、高压直流输电、直流变压器、电力牵引机车等场景，渗透进电力系统坐标系下的序阻抗模型。其中dq阻抗模型表征为发-输-变-配-用的各个环节，同时也带来新型的稳2阶MIMO系统，模型精度高并保留了系统的所定性问题[1]。因此，建立准确的VSC小扰动模型，有特征，但是物理意义不清晰，无法用于直观解分析其对系统稳定性的影响是十分重要的。释系统振荡机理。序阻抗模型则有表征为SISO已有阻抗模型主要分为两类，一类是在dq系统的对角矩阵与表征为多输入多输出(MIMO)坐标系下的线性时不变模型（LTI），另一类是在系统的非对角矩阵两种形式。其中单输入单输出-1-

12020(SISO)形式的序阻抗模型形式简洁，物理意义清荡现象，主要讨论电流内环、锁相环以及控制延晰，易于开展测量，在高频段具有较高的精确度，时对系统的影响。由于为了提高能量利用效率，而MIMO形式的序阻抗模型则能捕捉到更多中直流侧新能源发电装置基本工作在单位功率因数[3]低频段频率耦合的信息。[4]提出一种基于矩阵的工况下，不失一般性，本文中系统的功率因数舒尔变换将MIMO形式序阻抗模型变形为SISO为1。形式的转换技术，在保留系统频率耦合特征的同3幅相导纳模型时提高了频率耦合模型(FCEM)测量的方便性。3.1传统dq坐标系下的导纳模型另一方面，[5]提出相量域下幅相阻抗模型的建模思路，对模型形式进行了定性分析，并指出其在首先，采样得到的PCC点处的交流电压电中低频段的动态特性捕捉能力优于序阻抗。在此流量经SOGI模块构造了对应的虚拟正交量，通基础上，[6]-[7]建立了三相电压源型变换器(VSC)过坐标变换后得到dq坐标系下的电压电流分量。在极坐标系下的幅相导纳模型，并表征为SISO电流内环采用PI控制，同时考虑电压前馈控制，系统的对角矩阵形式，具有推广至多台VSC并网最终可得到送入PWM信号发生器的dq轴占空比系统建模的优势。值得注意的是，在幅相导纳矩信号D、D，公式1即为拉氏变换后的控制电dq阵的基础上可以得到具有对称结构的等效电路，路小信号方程：从而将三相VSC系统并网振荡问题等价描述为GisHis11LGfisIpccd系统等效电路发生串并联谐振。不过[8]尚未对锁ddGdels11LGfisGisHisIpccq相环、电流环以及控制延时的影响进行深入分析。以上所说的建模方法在三相VSC系统中得dqUdcUpccdGGFvss到了广泛应用，相比之下单相VSC系统的阻抗建Upccq[9]模研究则寥寥无几。为了填补这一空白，本文(1)的主要贡献如下：首次建立了极坐标系下单相然后根据图1列写系统的主电路方程，其经VSC系统的幅相导纳模型，与三相VSC系统幅过拉氏变换与线性化后即可得到dq坐标系下的相导纳模型不同，单相系统模型为包含非对角线小信号方程，见公式2：耦合项的特殊对称形式。然后采用一次侧扰动注UUidpccd入法，逐点扫频得到单相系统导纳测量值，验证UUiqpccd了理论模型的正确性。在所建幅相导纳模型基础sLLII上分析可知锁相环带宽、电流环比例参数主要影f11f1pccdpccqLf1LsLII响中低频段幅值导纳Y与相位导纳Y，并且随1f1f1pccqpccd(2)MM着锁相环带宽增大，相位导纳的幅值将会迅速增锁相环的小信号方程见公式(3)：大，呈现容性。HpllsUpccq2系统描述s(3)invertergird其中Gi、Gv、Gdel分别为电流采样延时的传sLff11R①sLff22RsLRgg②递函数、电压采样延时的传递函数以及PWM调CUCf1UdcdcRgrid制延时的传递函数，Hi、GF分别为电流内环与css~电压前馈控制的传递函数，具体传递函数表达式14SOGISOGIPWMdqdq见公式(4)，T为PWM的开关周期，T为电压前DdDqsF11IIpccdpccqUPLL馈控制的时间常数。currentpccdcontrolKIIUpccqiidrefqrefHs()K图ipis11单相并网逆变器示意图Gs()FTs1FFig.1Theschematicdiagramofsingle-phase11esTiGs()esTiigrid-connectedinverterTsis/1i11esTv图1为单相并网逆变器的示意图，逆变器经Gs()esTvvTss/1由LCL滤波器接入交流电网，电网等效阻抗为1.5sTvvG()sesdelsLg+Rg。由于外环带宽远小于内环与锁相环的带KipllH()sK宽，本文忽略直流侧电压扰动，直流侧为恒定电pllpplls(4)压源，不讨论该控制环节主要影响的超低频段振联立公式(1)(2)(3)即可得到dq坐标系下电压-2-

22020与电流之间的关系式。值得注意的是现在所得到的dq导纳模型并未考虑系统中扰动的影响，实际cUGHdcdelisLf11RfGGGdelvF1Y上当系统受到小扰动时，dq坐标系将会分离为转dd2UGHdcdeli22速为的控制dq坐标系与转速为的系统dq坐11LfGGdeli11sLRff11标系。本文用上标c代表控制坐标系，上标s代1GGGdelvF表系统坐标系，由于SOGI模块会影响PCC点交11LfdGGeli1GsHLIcvpllf1cdY流电压电流传送至控制坐标系的这一过程，用上dq2UGHdcdeli22标s’代表未考虑SOGI模块影响的系统坐标系，11LfGGdeli1sLff11R(9)SOGI模块的影响将会在幅相导纳模型中进行具c11LfGGdeli11GGdelvGF体建模讨论。Yqd2通过分析控制坐标系与未考虑SOGI模块影UGdcdelHi2211LfGGdeli1sLR响的系统坐标系之间的转换关系，可以得到公式ff11(5)所示方程式：GGGdelvF1UGHdcdelisLf11RfMccosMss''sinMcGsHLIvpllf1cdddqYqq2McsinMs''cosMsUGHdcdeli22qqd(5)11LfGGdeli1sLRf11f其中M代表电压或者电流，对公式(5)进行将公式(6)(7)代入公式(8)即可得到未考虑SOGI线性化之后联立锁相环的小信号方程，即公式(3)，模块影响的系统坐标系下的电压电流关系式为：即可分别得到不同坐标系下电压、电流量之间的s's's's'IYYUpccddddqpccd转换方程式，见公式(6)-(7)：s's's's'IYYU10pccqqdqqpccq(10)cUpccd其中：1Uc0pccq1+UHYYsc'coscosYccossinpccplldddddds'cccossinUpccdYHdqcossinYIqqpccdplls'sinsinsincosUpccq(6)11UUpccdHpllpccdHpllcs'Ys'YcccossinYsinsinIIpccdcossinpccddqddqdIIcssincos'YccoscosYcIHpccqpccqdqqqpccdpllsincosc11UHHUIHpccdpllpccdpllpccqpll0cs's'cc1UpccdHpllcossinUpccdYqdYYddsincosqdcoscoscs'ccIpccdHpllsincosUpccqYHdqsinsinYIqqpccdpll0sincos1UcH11UUHHpccdpllpccdpllpccdplls'cc(7)YYsinsinYcossin+qqddqd于是控制dq坐标系下的电压电流关系式为：ccYHcossinYIdqqqpccdpllIcYcYcUcsincospccddddqpccd1UUHH1pccdpllpccdpllccccIYYUpccqqdqqpccd(8)(11)其中：3.2极坐标系下逆变器幅相导纳模型systemsidecontrolsides'cUUs1pccαpccdUkSOGIpccαβωs1s'c1UdqUpccqpccβ1Hspll1sθs图2SOGI-PLL示意图Fig.2TheschematicdiagramofSOGI-PLL-3-

32020图2为SOGI-PLL的示意图，图中标示出在clark10T(s)TsSOGI0变换的右边部分位于控制坐标系下，左边部分则SOGI010TsSOGI位于系统坐标系下。公式(10)是传统dq导纳模型，s[]则是在此基础上进行坐标变换后直接得到三相ksSOGI110220sksVSC系统的极坐标下幅相导纳模型，但是对于单SOGI1101ks相VSC的幅相导纳模型而言，则需要进一步考虑0SOGI1s22sksSOGI的影响，得到其从自然坐标系映射至极坐SOGI11标系的解析表达式，这一过程会涉及到多次频域(12)与时域之间的卷积与反卷积运算，大大增加了单值得注意的是，Tθ为时域表达式，Ts相VSC系统幅相导纳建模的复杂程度。αβ/dq1SOGIss's'ccUpccTsUpccUpccTUpccdUpccq为频域表达式，因此需要进行卷积运算才能得到
sSOGIs's'/dq1IcIcIpccIpccIpccpccdpccqTs。图3中蓝色方框代表频域表达式，红frequencyTimeeq.(11)SOGI_dqdomaindomainss's's's'ccUpccTsUpccUpccTUpccdUpccqUpccdUpccq色方框代表时域表达式。具体推导过程见公式sSOGIs's'/dq1Is'Is'TΔθccIpccIpccIpccpccdpccqIpccdIpccq(13)-(14)。eq.(13)sssss's'ccUpccUpccTdqM/δ/φUpccdUpccqTsSOGI_dqUpccdUpccqTΔθUpccdUpccq再将其进行拉氏变换得到频域模型：IsIsIsIss's'ccpccpcceq.(17)pccdpccqeq.(14)(15)(16)IpccdIpccqIpccdIpccqTSOGI_dq1(s)TSOGI_dq2(s)eq.(18)(19)T(s)sss's'UcUcSOGIdqUpccUpccTsUpccdUpccqTΔθpccdpccq_-T(s)T(s)IsIsSOGI_ploar_/uiIs'Is'IcIcSOGI_dq2SOGI_dq1pccpccpccdpccqpccdpccq(13)其中：图3建模流程图11Fig.3ThediagramofModellingTSOGI_dq1sTSOGIsjs11TSOGIj(14)22图3具体展示了SOGI部分的建模流程。第一行jj是基本的建模思路。PCC点的电压Us、电流IsTSOGI_dq2sTSOGIsjs11TSOGIj(15)pccpcc22经过SOGI模块Ts后各自变为αβ系统坐标[]中给出了变量极坐标形式与直角坐标形式的转SOGI换关系式，见公式(17)：系下的一对正交量，然后通过clark变换后成为dq控制坐标系下的分量。第二行则推导映射至dqMcossinMd旋转坐标系下的SOGI传递函数表达式。考虑系MsincosMq(16)统小扰动的影响，也便于后续区分位于系统坐标图3中则用Tδ/φ表示电压电流在极坐标dqM/系与控制坐标系中的电压电流量，第二行中将系与dq坐标系之间的转换关系，其中为电压clark变换Tθ分解为两个变换矩阵，一个是αβ/dq量与d轴的夹角，为电流量与d轴的夹角。由Tαβ/dqθ1，另一个是Tαβ/dqΔθ。三者之间的关于此时电压电流量均为线性时不变的量，因此系见公式(11)：TdqM/δ/φ为实数矩阵。通过合并TdqM/δ/φcos1190sin90o与Ts即可得到映射至极坐标系下的SOGITαβ/dqθ-90SOGI_dqsin1190cos90传递函数表达式Ts，由于电压和电流SOGI_ploar_u/icos1190sin90cossin相角不一致，因此适用于两者的传递函数表达式sin1190cos90sincos不一致，见公式(18)-(19)。ss'UUTαβ/dqθ1TΔθpccdTpccss'SOGI_ploar_uUUpccqpcc(12)UsTTspccSOGI_dqdq/Ms式中90是为了保证d轴直流量等于α轴交流Upcc量的幅值[]。通过合并Ts与Tθ即可sSOGIαβ/dq1TSOGI_dq1TSOGI_dq2cossinUpcc得到dq域内的SOGI传递函数表达式Ts。sSOGI_dq-TTSOGI_dq2SOGI_dq1sincosUpcc其中TsSOGI表达式为：(17)-4-

42020ss'I1sLRLIIRLgggpccdTpccss'SOGI_ploar_iI22LsLRIIpccqpccRLRLsLgRgLggggscossinUIuuTTspccSOGI_dqdq/MssincosUIuuupcccossinEsEETSOGI_dq1TSOGI_dq2cossinIpccssinEcosEEE-TTSOGI_dq2SOGI_dq1sincosIpcc(22)(18)阻容元件在直角坐标系下的动态方程可表示为：最后将公式(18)-(19)代入公式(9)-(10)，得到考虑11R延时以及SOGI-PLL影响的单相VSC在极坐标系sCcC2ff下的幅相导纳模型，见公式(20)。sCf11T2YYccTTRSOGI_dq1ddSOGI_dq1SOGI_dq2qdICsCcURCdffdccYYIHdq2qqpccdpllIsRC2sCCUTSOGI_dq1TSOGI_dq2TSOGI_dq2RCdcfffq11UHUH(23)pccpllpccdpllY=MM22其在极坐标系下的表达形式为：TTSOGI_dq1SOGI_dq2TTYYccT211SOGI_dq1SOGI_dq2ddSOGI_dq2qdRcccsCCYYIH2ff2dqqqpccdpllsCTTTfSOGI_dq1SOGI_dq1SOGI_dq2111UpccHUpll1pccdHpllRYcM22ICsCTTSOGI_dq1SOGI_dq2RCff2TTYYccT2IsRCsCCSOGI_dq1SOGI_dq2ddSOGI_dq1qdRCRCcfffcc2YdqYqqIpccdHpllcosuusinUTSOGI_dq2TSOGI_dq1TSOGI_dq211UHUHpccpllpccdpllsinucosuUuYM22(24)TTSOGI_dq1SOGI_dq2根据图一逆变器的示意图，存在如下关系：2ccTYY++TTSOGI_dq2ddSOGI_dq1SOGI_dq2qdΔIΔIΔIpccRLRC(25)ccYYIHdq2qqpccdpll得到电网侧等效幅相阻抗见公式(26)TTTSOGI_dq1SOGI_dq2SOGI_dq111UHUHpccpllpccdpllY=TT224仿真验证SOGI_dq1SOGI_dq2在Matlab/Simulink中搭建如图1所示的仿真模型，(20)并且在一次高压侧注入幅值为0.1*Un，频率为3.3极坐标系下电网侧幅相导纳模型10Hz至1kHz逐渐增加的扰动电压Uper。通过采集逆变器并网PCC点处的电流与电压，转换至极电网侧的元件包括滤波电容C与并联电阻R、电fc坐标系下后进行FFT变换，从而可以计算得到极网等效阻抗sLR。因此电网侧的幅相导纳模gg坐标系下的逆变器幅相导纳模型测量值。型等同于建立无源元件的幅相导纳模型。表1单相LCL并网逆变器的参数首先阻感元件在直角坐标系下的动态方程可表示符号值为：Un220V(rms)In4.5A(rms)sLRLgggUdc400VILsLRUERLdgggddLf1/Rf13mH/0.2ΩI22UELRLqsLRLqqf2/Rf21.5mH/0.1ΩgggCf/Rc10μF/5Ω(21)Kp/Ki5/100记和分别为pcc点和电源E处的功率因数角，ijfbpll80Hz因此可转换得到极坐标系下的动态方程，表示为：fs10kHzTv/Ti50μsωv/ωi62831(rad)Zg3.5mH+0.4Ω图四为稳态下单相并网逆变器的扫频测量结果，由图4可知系统的实际测量模型与理论推导模型-5-

52020sLRL11gggRLsLRsC2sCcCgggfffcosuusinY(26)RLCgrid_sLR2L2sRC2sCC11sincosgggcfffRuucCsCff吻合度高，验证了理论模型的正确性。角线元素在中频段的幅值大小无法忽略。0YY2）单相并网逆变器的相角导纳在全频段内幅值MMM-20较大，为整个系统输出阻抗外特性的主要影响因素。-40-60参考文献Amplitude-80[1]曾正,赵荣祥,汤胜清,杨欢,吕志鹏.可再生能源分散接入用先进并网逆变器研究综述[J].中国电机工程学200报,2013,33(24):1-12+21.100[2]陈新,王赟程,龚春英,孙建,何国庆,李光辉,汪海蛟.采用阻抗分析方法的并网逆变器稳定性研究综述[J].中国电机工0程学报,2018,38(07):2082-2094+2223.Phase[3]年珩,徐韵扬,陈亮,李光辉.并网逆变器频率耦合特性建模及系-100统稳定性分析[J].中国电机工程学报,2019,39(05):1421-1432.[4]C.Zhang,X.Cai,A.RyggandM.Molinas,"SequenceDomain-200SISOEquivalentModelsofaGrid-TiedVoltageSource101001000101001000aFrequencybConverterSystemforSmall-SignalStabilityAnalysis,"inIEEETransactionsonEnergyConversion,vol.33,no.2,pp.741-749,June2018.0[5]S.ShahandL.Parsa,"ImpedanceModelingofThree-PhaseYYMVoltageSourceConvertersinDQ,Sequence,andPhasor-20Domains,"inIEEETransactionsonEnergyConversion,vol.-4032,no.3,pp.1139-1150,Sept.2017.[6]辛焕海,李子恒,董炜,章雷其,黄伟,邢玉辉,王康.三相变流器并-60网系统的广义阻抗及稳定判据[J].中国电机工程学Amplitude报,2017,37(05):1277-1293.-80[7]杨超然,辛焕海,宫泽旭,董炜,鞠平,徐路遥.变流器并网系统复200电路分析与广义阻抗判据适用性探讨[J].中国电机工程学报,2020,40(15):4744-4758.100[8]L.Xu,H.Xin,L.Huang,H.Yuan,P.JuandD.Wu,"SymmetricAdmittanceModelingforStabilityAnalysisof0Grid-ConnectedConverters,"inIEEETransactionsonEnergyPhaseConversion,vol.35,no.1,pp.434-444,March2020.-100[9]Y.Liao,Z.Liu,H.ZhangandB.Wen,"Low-FrequencyStabilityAnalysisofSingle-PhaseSystemWithdq-Frame-200101001000101001000ImpedanceApproach—PartI:ImpedanceModelingandcFrequencydVerification,"inIEEETransactionsonIndustry图4扫频结果与理论模型的对比Applications,vol.54,no.5,pp.4999-5011,Sept.-Oct.2018.Fig.4TheAdmittancecomparsionoftheorymodelandmeasurementvalue收稿日期：2020.10.235结论作者简介：本文在旋转极坐标系下建立了单相并网逆变器的徐元璨（1996），女，博士，研究方向为电力电子化电力系统建模与幅相导纳模型，在一次侧串联扰动电压源，扫频稳定性分析。得到10Hz至1000Hz频段的逆变器幅相导纳值，陈燕东（1979），男，博士，教授，博士生导师，IEEE高级会员，研究方向为新能源并网发电与微电网建模与控制、特种电源系统、电能对理论模型进行对比验证。得出了以下结论：质量控制。E-mail：yandong_chen@hnu.edu.cn（通讯作者）1）极坐标系下单相并网逆变器的幅相导纳模型伍文华（1991），男，博士后，研究方向为电力电子化电力系统、阻不同于三相并网逆变器建模，单相系统本身抗测量装置。的不对称性需要在建模过程中考虑加入构建谢志为（1994），女，博士，研究方向为新能源电力电子装备建模与虚拟正交量的环节，因此幅相导纳模型并不控制。是仅包含对角线元素的解耦形式，并且非对-6-