1A. f(log34)0,b>0)的上下焦点分别为F1，F2，过点F1且垂直于y轴的直线与该双曲线的上支交于A，B两点，AF2，BF2分别交x轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为12，则ab取得最大值时，双曲线Γ的渐近线方程为（ ）A. x±3y=0 B. x±y=0 C. 3x±y=0 D. 3x±2y=0二、多选题（共4题；共20分）9.已知各项均为正数的等比数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，若a1=12，S3=78，则下列说法正确的是（ ）A. an≤12 B. an≥12 C. Sn<1 D. 2lgan=lgan−2+lgan+2(n≥3)10.已知(3+x)(1−x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则（ ）A. a0=3 B. a4=1 C. a1+a2+a3+a4+a5=−3 D. a1+a3+a5=1611.（多选题）在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1，BG，CC1，DD1均与底面ABCD垂直，且AA1=CC1=DD1=2BG=2，点E，F分别为线段BC，CC1的中点，则下列说法正确的是（ ）A. 直线A1G与平面AEF平行B. 三棱锥G−ACD的外接球的表面积是3πC. 点C1到平面AEF的距离为23D. 若点P在线段AD1上运动，则异面直线EF和CP所成角的取值范围是(0,π3]
212.已知定义在[1e,e]上的函数f(x)满足f(x)=f(1x)，且当x∈[1e,1]时，f(x)=xlnx+1，若方程f(x)−13x−a=0有两个不同的实数根，则实数a可以是（ ）A. 1−e−12 B. 1−e−23 C. 1−43e D. 1−1e三、填空题（共4题；共20分）13.已知i是虚数单位，复数z满足11−z=i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第________象限.14.已知圆C的圆心C(0,m)，其中m>0，圆C与x轴相切且半径为1，直线l过(−2,0)点且倾斜角为45°，直线l与圆C交于A,B两点，则△ABC的面积为________.15.已知θ为常数，x∈R，函数f(x)=sin(x−θ)−cosx的最大值为455，则cos2θ的值为________.16.设O为坐标原点，抛物线C:y=x24焦点坐标为________，过N(0,2)的直线与抛物线的第一象限的交点为M，若点Q满足MN=4MQ，求直线OQ斜率的最小值________.四、解答题（共6题；共70分）17.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC+3asinC−b−c=0.（1）求∠A；（2）若a=23，且向量m=(1,sinB)与n=(sinC,−2)垂直，求△ABC的面积.18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6=63，a4是a2与a8的等比中项.（1）求数列{an}的通项公式；（2）从①bn=an3n，②bn=1anan+2这两个条件中任选一个补充在下列问题中，并解答:数列{bn}满足 ▲ ，其前n项和为Tn，求Tn.19.九个人围成一圈传球，每人可传给圈中任何人（自己出外），现在由甲发球.（1）求经过3次传球，球回到甲的手里的概率；（2）求经过n(n∈N)次传球，球回到甲手里的概率Pn.20.△ABC为等腰直角三角形，AB=BC=2，∠B=π2,D,E，分别为边AB,AC的中点，将三角形ADE沿DE折起，使A到达P点，且PC=5，O为BD中点.
3（1）求证：PO⊥平面BCED.（2）求二面角B−PE−C的余弦值.21.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点E(1,32)，A1，A2为椭圆的左右顶点，且直线A1E，A2E的斜率的乘积为−34.（1）求椭圆C的方程；（2）过左焦点F的直线l与椭圆C交于M,N两点，线段MN的垂直平分线交直线l于点P，交直线x=4于点Q，求|PQ||MN|的最小值.22.已知函数f(x)=(x2−x)lnx，x>12.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）存在x0>12，使得(x03−x02)lnx0≤ax0−(x0−1)2−ex0成立，求实数a的取值范围.
4答案解析部分一、单选题（共8题；共40分）1.已知集合A={(x,y)∣x,y∈N,y5【解析】【解答】由题得AP=3AQ，又AQ=λAB+μAC所以13AP=λAB+μAC,AP=3λAB+3μAC因为B,P,C三点共线，所以3λ+3μ=1，λ+μ=13故答案为：B【分析】首先利用向量共线的充要条件求出AP=3λAB+3μAC，进一步利用向量的线性运算求出结果，可得答案。4.已知函数f(x)={x+1,x≥01,x<0，则不等式f(x)≥x2−1的解集为（ ）A. {x|−2≤x≤2} B. {x|−2≤x≤1} C. {x|−2≤x≤1} D. {x|−2≤x≤2}【答案】D【考点】分段函数的应用【解析】【解答】当x≥0时，f(x)=x+1，所以x+1≥x2−1，所以x2−x−2≤0，解得−1≤x≤2，所以解集为{x|0≤x≤2}，当x<0时，f(x)=1，所以1≥x2−1，所以x2≤2，解得−2≤x≤2，所以解集为{x|−2≤x<0}，又{x|−2≤x<0}∪{x|0≤x≤2}={x|−2≤x≤2}，所以不等式解集为{x|−2≤x≤2}，故答案为：D.【分析】通过讨论x的范围，得到关于x的不等式，解出，即可得出答案。5.随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长.下面是2014年至2020年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中正确的是（ ）
6①2015年至2020年，中国雪场滑雪人次逐年减少；②2015年至2017年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加；③2020年与2015年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等；④2020年与2018年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%A. ②④ B. ①② C. ②③ D. ①④【答案】A【考点】频率分布直方图【解析】【解答】由2014年至2020年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图可知：对于①，由条状图可知，2015年至2020年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故①错误；对于②，2015年至2017年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加，故②正确；对于③，2020年与2015年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是同比增长人数不相等，2020年比2015年增长人数多，故③错误；对于④，2020年与2018年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为1970-15101510×100%≈30.5%，故④正确．故答案为：A．【分析】根据条状图的信息逐项进行分析可得答案。6.已知定义在R上的偶函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，则（ ）A. f(log34)log316=log34>1，所以log23>log34>1，所以log23>log34>1>2−0.4>0，因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f(log23)>f(log34)>f(2−0.4)，即f(2−0.4)7【分析】由于偶函数 f(x) 在 (−∞,0) 上单调递减，可得f(x)在(0,+∞)上单调递增，而f(log123)=f(−log23)=f(log23)，进行比较可得答案。7.面对全球蔓延的疫情，疫苗是控制传染的最有力的技术手段，中国疫苗的上市为全球战胜疫情注入信心.各地通过多种有效措施加快推进新冠病毒疫苗接种，目前接种能力显著提升.同时根据任务需要，针对市民关心的问题，某市需要在每个接种点安排专职负责健康状况询问与接种禁忌核查的医师.经协商，现安排甲、乙、丙等5位医师前往A、B、C、D四个接种点进行答疑解惑，每位医师去一个接种点，每个接种点至少安排一名医师，其中，甲必须去C地，乙与丙需要安排到不同的接种点，则不同的安排方法共（ ）A. 120种 B. 54种 C. 336种 D. 80种【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】由题意，5位医师前往A、B、C、D四个接种点进行答疑解惑，则其中一个接种点有2人，其他的接种点各1人，若C地有2人，则不同的派法共有C41A33=24种；若C地只派1人，则只能是甲，则剩余的4人分成3组，其中乙与丙需要安排到不同的接种点，共有C42−1=5种，所以不同的派法有5×A33=30种，所以不同的安排方法共有24+30=54种.故答案为：B.【分析】由题意，5位医师前往A、B、C、D四个接种点进行答疑解惑，则其中一个接种点有2人，其他的接种点各1人，再根据分布计数原理可得答案。8.已知双曲线Γ:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的上下焦点分别为F1，F2，过点F1且垂直于y轴的直线与该双曲线的上支交于A，B两点，AF2，BF2分别交x轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为12，则ab取得最大值时，双曲线Γ的渐近线方程为（ ）A. x±3y=0 B. x±y=0 C. 3x±y=0 D. 3x±2y=0【答案】C【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质
8【解析】【解答】由题意，得|AF1|+|BF1|=|AB|=2b2a①，且P,Q分别为AF2,BF2的中点,由双曲线定义，知|AF2|−|AF1|=2a②，|BF2|−|BF1|=2a ③，联立①②③，得|AF2|+|BF2|=4a+2b2a．因为ΔPQF2的周长为12，所以ΔABF2的周长为24，即4a+4b2a=24，亦即b2=6a−a2，所以(ab)2=6a3−a4．令f(a)=6a3−a4，则f'(a)=18a2−4a3=4a(92−a)，所以f(a)在(0,92)上单调递增，在(92,+∞)上单调递减，所以当a=92时，f(a)取得最大值，此时b2=6×92−(92)2=274，所以渐近线为y=±3x，即3x±y=0.故答案为：C．【分析】由题意，结合中位线定理可得ΔABF2的周长为24，利用双曲线的定义可得4a+4b2a=24，进而转化，利用导数求单调性和最值，即可得出渐近线方程。二、多选题（共4题；共20分）9.已知各项均为正数的等比数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，若a1=12，S3=78，则下列说法正确的是（ ）A. an≤12 B. an≥12 C. Sn<1 D. 2lgan=lgan−2+lgan+2(n≥3)【答案】A,C,D【考点】对数的运算性质，等比数列的前n项和【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q(q>0,q≠1)，因为a1=12，S3=78，所以S3=a1(1−q3)1−q=12(1−q3)1−q=78，解得q=12或q=−32（舍去），
9所以an=(12)n≤12，A符合题意，B不符合题意；Sn=a1(1−qn)1−q=12(1−(12)n)1−12=1−(12)n<1，C符合题意；当n≥3时，2lg(12)n=2nlg12，lgan−2+lgan+2=lg(12)n−2+lg(12)n+2=(n−2)lg12+(n+2)lg12=2nlg12，故2lgan=lgan−2+lgan+2(n≥3)，D符合题意.故答案为：ACD【分析】设等比数列{an}的公比为q(q>0,q≠1)，根据a1=12 ， S3=78 即可计算出q值，从而得到通项公式与前n项和公式即可对选项进行逐一判断，可得答案。10.已知(3+x)(1−x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则（ ）A. a0=3 B. a4=1 C. a1+a2+a3+a4+a5=−3 D. a1+a3+a5=16【答案】A,C【考点】二项式定理【解析】【解答】令x=0，可得a0=3，A符合题意；(1−x)4的展开式通项为Tr+1=C4r⋅14−r⋅(−x)r=(−1)rC4rxr，则a4=3×(−1)4C44+(−1)3C43=−1，B不符合题意；令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0，又a0=3，则a1+a2+a3+a4+a5=−3，C符合题意；令x=−1，可得a0−a1+a2−a3+a4−a5=32，又a0+a1+a2+a3+a4+a5=0，两式相减可得a1+a3+a5=−16，D不符合题意.故答案为：AC.【分析】令x=0，可求得a0=3，即可判断选项A ；利用二项展开式的通项可求得a4,即可判断选项B；令x=1，结合选项A即可求解a1+a2+a3+a4+a5，从而判断选项C ;令x=−1，结合选项C,即可求解a1+a3+a5，从而判断选项D.11.（多选题）在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1，BG，CC1，DD1均与底面ABCD垂直，且AA1=CC1=DD1=2BG=2，点E，F分别为线段BC，CC1的中点，则下列说法正确的是（ ）
10A. 直线A1G与平面AEF平行B. 三棱锥G−ACD的外接球的表面积是3πC. 点C1到平面AEF的距离为23D. 若点P在线段AD1上运动，则异面直线EF和CP所成角的取值范围是(0,π3]【答案】A,C【考点】球的体积和表面积，异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，点、线、面间的距离计算【解析】【解答】解：对于A：连接AD1，FD1，FG，依题意可知EF//AD1，即A,E,F,D1四点共面，因为A1D1//GF且A1D1=GF，所以四边形A1D1FG为平行四边形，所以A1G//D1F，因为A1G⊄平面AEFD1，D1F⊂平面AEFD1，所以A1G//平面AEFD1，即直线A1G与平面AEF平行，A符合题意；对于B：三棱锥G−ACD的外接球即为四棱锥G−ABCD的外接球，所以外接球的直径即为DG，所以DG2=AB2+BC2+BG2=9，所以外接球的表面积为9π，B不符合题意；如图建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，E(1,2,0)，F(0,2,1)，C1(0,2,2)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，所以AE=(−1,2,0)，AF=(−2,2,1)，AC1=(−2,2,2)，EF=(−1,0,1)，设面AEF的法向量为n=(x,y,z)，所以{n⋅AE=−x+2y=0n⋅AF=−2x+2y+z=0，令y=1，则x=2，z=2，所以n=(2,1,2)，所以点C1到平面AEF的距离d=|n⋅AC1||n|=|−2×2+2×1+2×2|22+22+12=23，C符合题意；
11因为点P在线段AD1上运动，EF//AD1，所以异面直线EF和CP所成角即为CP与AD1所成的角，显然当P在AD1的端点处时，所成角为π3，当P在AD1的中点时CP⊥AD1，即所成角为π2，所以CP与AD1所成的角的范围为[π3,π2]，D不符合题意；故答案为：AC【分析】由线面平行的判定定理证明A；棱锥G−ACD的外接球即为四棱锥G−ABCD的外接球，则外接球的直径即为DG，利用勾股定理求出外接球的直径即可判断B；建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到面的距离，由EF//AD1，异面直线EF和CP所成角即为CP与AD1所成的角，利用特殊位置即可判断D。12.已知定义在[1e,e]上的函数f(x)满足f(x)=f(1x)，且当x∈[1e,1]时，f(x)=xlnx+1，若方程f(x)−13x−a=0有两个不同的实数根，则实数a可以是（ ）A. 1−e−12 B. 1−e−23 C. 1−43e D. 1−1e【答案】B,D【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】解：因为f(x)=f(1x)，且当x∈[1e,1]时，f(x)=xlnx+1，所以当x∈[1,e]时，f(x)=f(1x)=−1xlnx+1，所以f(x)={xlnx+1,x∈[1e,1]−1xlnx+1,x∈(1,e]，当x∈[1e,1]时，f'(x)=1+lnx≥0，所以f(x)在[1e,1]上单调递增，当x∈(1,e]时，f'(x)=1x2(lnx−1)≤0，所以f(x)在(1,e]上单调递减，因为方程f(x)−13x−a=0有两个不同的实数根，所以函数f(x)的图像与直线y=13x+a有两个不同的交点，作出函数f(x)的大致图像如图所示，
12当直线y=13x+a与f(x)的图像相切时，结合图像，设切点为(x0,y0)，由f'(x0)=1+lnx0=13，可得x0=e−23，y0=e−23lne−23+1=1−23e−23，代入y=13x+a得1−23e−23=13e−23+a，解得a=1−e−23，当直线y=13x+a过(1e,1−1e)时，a=1−43e，当直线y=13x+a过（1，1）时，a=23所以由图可知实数a的取值范围为(1−43e,23)∪{1−e−23}，故答案为：BD【分析】由f(x)=f(1x)，求出函数 f(x)在[1e,e]上的解析式，作出函数大致的图像，将方程根的问题转化为函数图像的交点问题，结合函数的图像即可求解a的取值范围，再结合选项可得答案。三、填空题（共4题；共20分）13.已知i是虚数单位，复数z满足11−z=i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第________象限.【答案】四【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】解：因为11−z=i，所以1−z=1i，即z=1+i，所以z=1−i，再复平面内所对应的点的坐标为(1,−1)位于第四象限，故答案为：四【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的共轭复数，得到其坐标即可。14.已知圆C的圆心C(0,m)，其中m>0，圆C与x轴相切且半径为1，直线l过(−2,0)点且倾斜角为45°，直线l与圆C交于A,B两点，则△ABC的面积为________.
13【答案】12【考点】直线与圆相交的性质【解析】【解答】因为圆C的圆心C(0,m)，其中m>0，圆C与x轴相切且半径为1，所以m=1，所以圆C的圆心C(0,1)，直线l的方程为x−y+2=0，圆心C(0,1)到直线l的距离为d=|0−1+2|2=22，所以弦长AB=212−(22)2=2，所以△ABC的面积为S△ABC=12×22×2=12，故答案为：12.【分析】求出直线l的方程为x−y+2=0，圆C的圆心C(0,1)半径为1，根据点到直线的距离得d=|0−1+2|2=22，直线与圆相交的性质可求出AB=212−(22)2=2，再根据面积公式可得答案。15.已知θ为常数，x∈R，函数f(x)=sin(x−θ)−cosx的最大值为455，则cos2θ的值为________.【答案】725【考点】三角函数中的恒等变换应用，二倍角的余弦公式【解析】【解答】因为f(x)=sin(x−θ)−cosx=cosθsinx−(sinθ+1)cosx=cos2θ+(sinθ+1)2sin(x−φ)，当cosθ≠0时，tanφ=sinθ+1cosθ，当cosθ=0时，sinθ=±1，此时f(x)=0或f(x)=−2cosx，均不满足最大值为455，所以由上可知：cosθ≠0，所以f(x)max=cos2θ+(sinθ+1)2=455，所以2+2sinθ=165，所以sinθ=35，所以cos2θ=1−2sin2θ=1−1825=725，故答案为：725.【分析】利用三角函数的关系式的变换，函数的性质的应用求出结果。16.设O为坐标原点，抛物线C:y=x24焦点坐标为________，过N(0,2)的直线与抛物线的第一象限的交点为M，若点Q满足MN=4MQ，求直线OQ斜率的最小值________.【答案】(0,1)；63【考点】基本不等式，平面向量的综合题
14【解析】【解答】由y=x24得x2=4y，所以其焦点坐标为(0,1)；设M(x,y)，Q(x0,y0)，因为M位于第一象限，所以x>0，y>0，又MN=4MQ，即Q在线段MN上，所以{−x=4(x0−x)2−y=4(y0−y)，x0>0，y0>0，则{x=43x0y=23(2y0−1)，代入x2=4y可得169x02=83(2y0−1)，则y0=13x02+12，所以直线OQ斜率为kOQ=y0x0=x03+12x0≥2x03⋅12x0=63，当且仅当x03=12x0，即x0=62时，等号成立.故答案为：(0,1)；63.【分析】由y=x24得x2=4y，所以其焦点坐标为(0,1)；设M(x,y)，Q(x0,y0)，因为M位于第一象限，所以x>0，y>0，又MN=4MQ，即Q在线段MN上，得{−x=4(x0−x)2−y=4(y0−y)，代入x2=4y可得169x02=83(2y0−1)直线OQ斜率为kOQ=y0x0=x03+12x0，根据基本不等式可得直线 OQ 斜率的最小值。四、解答题（共6题；共70分）17.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC+3asinC−b−c=0.（1）求∠A；（2）若a=23，且向量m=(1,sinB)与n=(sinC,−2)垂直，求△ABC的面积.【答案】（1）因为acosC+3asinC−b−c=0，所以3sinC+cosC=b+ca，整理得：3sinC+cosC=sinB+sinCsinA，所以3sinCsinA+cosCsinA=sin(A+C)+sinC，化简得：(3sinA−cosA)sinC=sinC，所以3sinA−cosA=1，故sin(A−30°)=12，由于0°15∴sinC−2sinB=0，可得sinC=2sinB，即c=2b，∵A=60°，a=23，∴由余弦定理可得12=b2+c2−bc=b2+4b2−2b2=3b2，解得b=2，c=4，∴△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×4×32=23.【考点】正弦定理，余弦定理【解析】【分析】（1）根据已知条件，运用正弦定理可得(3sinA−cosA)sinC=sinC，再结合三角函数的两角差公式即可求解；（2）由向量 m=(1,sinB) 与 n=(sinC,−2) 垂直，以及正弦定理可得c=2b，再结合余弦定理和三角形面积公式，即可求解。 18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6=63，a4是a2与a8的等比中项.（1）求数列{an}的通项公式；（2）从①bn=an3n，②bn=1anan+2这两个条件中任选一个补充在下列问题中，并解答:数列{bn}满足 ▲ ，其前n项和为Tn，求Tn.【答案】（1）设等差数列的公差为d，∵S6=6a1+15d=63，∴2a1+5d=21∵a42=a2⋅a8，∴(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)即a1=d解得{a1=3d=3∴an=3n（2）选①则bn=n3n−1Tn=130+231+332+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+n3n−113Tn=131+232+333+⋅⋅⋅+n3n所以23Tn=130+131+132+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+13n−1−n3n=1−13n1−13−n3n=32(1−13n)−n3n∴Tn=94−2n+34⋅3n−1选②bn=13n⋅3(n+2)=19⋅1n(n+2)=118⋅(1n−1n+2)
16Tn=118(11−13+12−14+13−15+⋅⋅⋅+1n−1−1n+1+1n−1n+2)=118(32−1n+1−1n+2)=112−118(2n+3(n+1)(n+2))【考点】数列的求和，等比数列的性质【解析】【分析】（1）直接利用已知条件建立方程组求出数列的通项公式；（2）选①，利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和；选② 利用裂项相消法求出数列的和。 19.九个人围成一圈传球，每人可传给圈中任何人（自己出外），现在由甲发球.（1）求经过3次传球，球回到甲的手里的概率；（2）求经过n(n∈N)次传球，球回到甲手里的概率Pn.【答案】（1）设经过n(n∈N)次传球，球回到甲手里的概率Pn，则易知P0=1，P1=0，P2=18，P3=18(1−P2)=18×78=764.（2）分析可知，Pn=18(1−Pn−1)，∴Pn−19=−18(Pn−1−19)，∴Pn−19=(P0−19)(−18)n=(89)(−18)n∴Pn=19+(89)(−18)n(n∈N).【考点】相互独立事件的概率乘法公式，n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【解析】【分析】（1）设经过 n(n∈N) 次传球，球回到甲手里的概率 Pn，分别求出 P0=1 ， P1=0P2=18 ， 即可求出P3；（2）通过分析可得，Pn=18(1−Pn−1) ，然后构造等比数列，由等比数列的通项公式求解即可。
1720.△ABC为等腰直角三角形，AB=BC=2，∠B=π2,D,E，分别为边AB,AC的中点，将三角形ADE沿DE折起，使A到达P点，且PC=5，O为BD中点.（1）求证：PO⊥平面BCED.（2）求二面角B−PE−C的余弦值.【答案】（1）证明：因为D、E分别为AB、AC的中点，所以DE⊥AB，在图（2）中DE⊥PD，DE⊥BD，PD∩BD=D，PD,BD⊂平面PBD，所以DE⊥平面PBD，又因为DE⊂平面BCED，所以平面BCED⊥平面PBD，又因为DE//BC，所以BC⊥平面PBD，BC⊥PB，在直角△PBC中，PC=5，BC=2，所以PB=PC2−BC2=1，△PBD为等边三角形，又因为O为BD中点，所以PO⊥BD，又因为平面BCED⊥平面PBD，平面平BCED∩面PBD=BD，PO⊂平面PBD，所以PO⊥平面BCED；（2）取EC中点F，以O为坐标原点，OB、OF、OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.则B(12,0,0)，P(0,0,32)，E(−12,1,0)，C(12,2,0)，
18所以BE=(−1,1,0)，PE=(−12,1,−32)，CE=(−1,−1,0)设平面BPE的法向量为m=(x,y,z)，则{BE⋅n=0PE⋅n=0得{−x+y=0−12x+y−32z=0，所以m=(3,3,1)同理平面CPE的法向量n=(1,−1,−3)，cos〈m,n〉=m⋅n|m||n|=−10535，由图可知二面角B−PE−C的平面角为锐角，所以二面角B−PE−C的余弦值为10535【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明DE⊥平面PBD,从而得到平面BCED⊥平面PBD,进而证明PO⊥BD,由面面垂直的性质定理即可证明；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可.21.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点E(1,32)，A1，A2为椭圆的左右顶点，且直线A1E，A2E的斜率的乘积为−34.（1）求椭圆C的方程；（2）过左焦点F的直线l与椭圆C交于M,N两点，线段MN的垂直平分线交直线l于点P，交直线x=4于点Q，求|PQ||MN|的最小值.【答案】（1）依题意有，1a2+94b2=1，321+a⋅321−a=−34，解得a2=4，b2=3，椭圆的方程为x24+y23=1；（2）由题意知直线l的斜率不为0，设其方程为x=my−1，设点M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立方程{x24+y23=1x=my−1，得(3m2+4)y2−6my−9=0得到，y1+y2=6m3m2+4，y1⋅y2=−93m2+4由弦长公式|MN|=1+m2(y1+y2)2−4y1y2=12(m2+1)3m2+4，又yP=y12+y22=3m3m2+4，xP=−43m2+4，|PQ|=1+m2|4−xp|=12m2+203m2+41+m2，
19|PQ||MN|=3m2+531+m2，令t=m2+1，t≥1，上式=3t2+23t=t+23t，设f(x)=x+23x，则f(x)在[1,+∞)上是增函数，所以t=1取得最小值53.则|PQ||MN|的最小值是53.【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由椭圆C过点 E(1,32)，得1a2+94b2=1 ，直线 A1E ， A2E 的斜率的乘积为 −34，解得 a2=4 ， b2=3 ，可得椭圆 C 的方程；(2)由(1) 可知F (1,0)， 设其方程为 x=my−1 ，设点 M(x1,y1) ， N(x2,y2) ，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得|MN|,由中点坐标公式可得yP=y12+y22=3m3m2+4 ， xP=−43m2+4 进而可得|PQ|,再计算|PQ||MN|即可得出答案. 22.已知函数f(x)=(x2−x)lnx，x>12.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）存在x0>12，使得(x03−x02)lnx0≤ax0−(x0−1)2−ex0成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）f'(x)=(2x−1)lnx+x−1，x>12.当x∈(12,1)时，2x−1>0，lnx<0，∴(2x−1)lnx<0，而且x−1<0，所以f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1,+∞)时，2x−1>0，lnx>0，∴(2x−1)lnx>0，而且x−1>0，所以f'(x)>0，f(x)单调递增.故f(x)在(12,1)上单调递减；在(1,+∞)上单调递增；（2）存在x>12，使得(x3−x2)lnx≤ax−(x−1)2−ex成立，即存在x>12，(x2−x)lnx≤a−(x−2+1x)−exx，即存在x>12，(x2−x)lnx+x+1x+exx≤a+2.设g(x)=x+1x，ℎ(x)=exx，则F(x)=f(x)+g(x)+ℎ(x)
20g'(x)=1−1x2，所以g(x)在(12,1)上单调递减，在(1,+∞)上递增，ℎ'(x)=xex−exx2=ex(x−1)x2，所以ℎ(x)也在(12,1)上单调递减，在(1,+∞)上递增，结合本题第（1）问，f(x)也在(12,1)上单调递减，在(1,+∞)上递增，则函数F(x)=f(x)+g(x)+ℎ(x)=(x2−x)lnx+x+1x+exx在(12,1)上单调递减，在(1,+∞)上递增，所以F(x)≥F(x)=2+e，所以只需2+e≤a+2，即a≥e.【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为存在x0>12 ，使得(x2−x)lnx+x+1x+exx≤a+2成立，设 g(x)=x+1x ， ℎ(x)=exx ，求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的取值范围即可.
