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2021—2022学年度第高二年级一学期期中练习数学试卷考试时间90分钟一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.以下各种情况中，是长方体的是A．直平行六面体B．侧面是矩形的四棱柱C．底面是矩形的平行六面体D．底面是矩形的直棱柱2.已知，，且，则向量与的夹角为A．B．C．D．3.已知，，，若，，三个向量共面，则实数等于A．B．C．D．4.如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是A．B．C．D．5.四面体中，，，，点在线段上，且，为中点，则为A．B．C．D．6.如图，在正方体中，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角大小等于A．B．C．D．7.在正方体中，为棱的中点，则A．B．C．D．
18.已知A（0，0，1），B（3，0，0），C（0，2，0），则原点到平面ABC的距离是A．B．C．1D．9.已知，是两个不同的平面，“∥”的一个充分条件是A.内有无数条直线平行于B.存在平面，，C.存在平面，，，且∥D.存在直线，，10.在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是A.点可以是棱的中点B.线段的最大值为C.点的轨迹是正方形D.点轨迹的长度为二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。11.已知两个向量，，且，则的值为____________.412.如图，以长方体的顶点为坐标原点，的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为.13.圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值是.1214.已知直线不在平面内，给出下列三个论断:①②③.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题:.①②③或①③②
215.给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：．规定：(i)为同时与，垂直的向量；(ii)，，三个向量构成右手系（如图1）；(iii)．如图2，在长方体中，给出下列四个结论：①②③④其中，正确结论的序号是_①③④_.（注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得4分，不选或有错选得0分，其他得2分.）三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．已知正四棱锥P-ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE.解(1)连接OE∵O是正方形ABCD的中心∴O为AC中点，又E为PC中点∴OE∥PA∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE∴PA∥平面BDE…………………………………………………………………5分(2)∵O是正方形ABCD的中心，∴AC⊥BD∵PO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PO⊥BD∵AC，PO⊂平面PAC，AC∩PO＝O，∴BD⊥平面PAC∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.……………………………………10分17.在四棱锥中，平面平面，底面为梯形,
3∥，,且.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与所成角的余弦值；（Ⅲ）求四棱锥的体积.（Ⅰ）法一：因为平面平面平面平面平面所以平面…………………………………………………………………..4分法二：在平面中过点作，交于因为平面平面平面平面平面所以平面因为平面所以又，所以平面………………………………………………………..4分（Ⅱ）因为平面，所以又，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系所以，,所以直线与所成角的余弦值为.…………………………………………..7分法二：取中点为，连接
4因为//,且所以四边形为平行四边形所以所以为异面直线与所成角或其补角连接在中，中，中，在中，所以直线与所成角的余弦值为..…………………………………………..7分（Ⅲ）过点在平面内作交延长线于点，因为平面平面平面平面=所以平面所以在中，所以.…………………………………………..10分18.在如图所示的多面体中，∥，四边形为矩形，，.（Ⅰ）求证：平面∥平面；（Ⅱ）设平面平面，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使二面角的大小确定，并求此二面角的余弦值.条件①：；
5条件②：平面；条件③：平面平面.解：（Ⅰ）因为四边形为矩形，所以.又因为，，平面，平面，平面，平面，所以平面平面..………………………………………4分（Ⅱ）选择①②因为平面，平面，平面，所以，.又因为，所以分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，，.所以，.设平面的法向量为，则即令，则，.于是.由（Ⅰ）可得：平面.取平面的一个法向量为.所以.所以二面角的余弦值为..…………………………….10分选择①③因为平面平面，平面平面,，平面,所以平面.又因为平面，所以.
6在矩形中，.因为平面，平面，，所以平面.又因为平面，所以.分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，，.所以，.设平面的法向量为，则即令，则，.于是.由（Ⅰ）可得：平面.取平面的一个法向量为.所以.所以二面角的余弦值为..………………………………10分选择②③没分19.如图，在直三棱柱中，，，点分别为棱的中点.(Ⅰ)求证：∥平面；(Ⅱ)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为？如果存在，求出线段的长；如果不存在，说明理由.解：(Ⅰ)方法一：连结因为分别为,中点，所以
7因为分别为,中点,所以又因为，所以又因为平面，平面平面，平面所以平面平面又平面，所以平面.…………………………..4分方法二：取中点为,连结由且又点为中点，所以又因为分别为,中点,所以所以所以共面于平面因为,分别为中点,所以平面，平面所以平面.…………………………………………………...4分方法三：在直三棱柱中，平面,又因为以为原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系由题意得,.所以,设平面的法向量为，则，即令，得
8于是又因为所以又因为平面，所以平面.…………………………………………..,,,,,,,,4分（Ⅱ）设直线与平面所成角为，则设，则所以解得或（舍）所以点存在，即的中点，.…………………………………………..10分
