河南省商周联盟2020-2021学年高二下学期6月联考数学理科Word版含答案

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商周联盟2020~2021学年高二6月联考数学试卷（理）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：选修2-2，选修2-3，选修4-4，选修4-5．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数满足（为虚数单位），则在复平面内所对应的点为（）A．B．C．D．2．某产品的宣传费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如表所示：45677608090100120根据上表可得回归直线方程，则宣传费用为9万元时，销售额约为（）A．123万元B．128万元C．132万元D．138万元3．已知，则对，（）A．B．C．D．4．在四张卡片上写上甲、乙、丙、丁四位同学的名字，再随机地发给这四位同学，在甲得到写有自己名字的卡片的情况下，其他人得到的都不是写有自己名字的卡片的概率为（）A．B．C．D．5．若，则（）A．120B．24C．-24D．-120

16．已知复数，，则下列结论：①若，则；②若，则；③；④；⑤正确的个数为（）A．1B．2C．3D．47．（）A．B．C．D．98．，，三人参加单位组织的安全生产知识（闭卷）竞赛，三人向组织人员询问结果，得知他们三人包揽了这次竞赛的前三名，未告知具体名次，但提供了以下3条信息：①不是第一名；②不是第三名；③是第三名，并告知他们这3条信息中有且只有一条信息正确，那么该次竞赛的第一名，第二名，第三名依次为（）A．、、B．、、C．、、D．、、9．已知，若，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．10．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）A．26种B．30种C．37种D．42种11．从集合中任取3个元素组成一个集合，记中所有元素之和被3除余数为的概率为，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．12．定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，，，当时，的值域为，记集合中元素的个数为，数列的前项和为，则（）A．B．2C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．______．

214．某校2000名学生的某次数学考试成绩，则成绩位于区间的人数大约是______人（注：若，则，，）15．30030能被______个不同正偶数整除．16．一几何体是由圆柱及其上的半球组合而成，球的半径等于圆柱底面半径，若该组合体的体积为，当圆柱的半径为______时，该组合体的表面积最小．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）某餐厅为提高服务质量，随机调查了60名男顾客和60名女顾客，每位顾客对该餐厅的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意合计男顾客48女顾客24合计（1）完成上述列联表，并判断能否有95%的把握认为男、女顾客对该餐厅服务的评价有差异？（2）该餐厅为了进一步提高服务水平，改善顾客的用餐体验，在不满意的顾客中利用分层抽样的方法抽取6人听取他们的意见，并从这6人中抽取3人作为监督员，设为抽取的3人中男顾客人数，求的分布列及数学期望．附：，．0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．（本小题满分12分）用两种方法证明：能被49整除．19．（本小题满分12分）2021年五--期间，某大型超市举办了一次回馈消费者的有奖促销活动，消费者消费每超过800元（含800元），均可抽奖一次，并获得用相应的奖励（抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种）

3．抽奖方法及奖励如下：方案一：从装有10个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球1个，白球2个，黑球7个）的抽奖盒中，一次摸出3个球，奖励规则为：若摸出1个红球和2个白球，享受免单优惠；若摸出2个白球和1个黑球则打4折；若摸出1个红球2个黑球，则打6折；若摸出1个白球2个黑球则打9折，其余情况不打折．方案二：从装有10个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．（1）若两个顾客均分别消费了800元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费了1000元，试从数学期望角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20．（本小题满分12分）（1）已知，且，用分析法证明：；（2）已知函数，证明：在上单调递增．21．（本小题满分12分）已知函数（为常数）．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数恰好有2个零点，求的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线的交点为，，与轴的交点为，．求的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知．

4（1）若，求不等式的解集；（2）若对任意，关于的不等式恒成立，求的取值范围．商周联盟2020~2021学年高二6月联考·数学试卷（理科）参考答案、提示及评分细则1．D由题意，得，所以．所以在复平面内对应的点为．故选D．2．C由表格数据知：，，由回归直线方程的性质，得，所以，故，所以当万元时，万元．故选C．3．A．故选A．4．A设事件为“甲得到写有自己名字的卡片”，事件为“其他三人得到的卡片都不是写有自己名字的卡片”，则，，故．故选A．5．D令，则，所以，所以．故选D．6．A①错误，例如，满足，但，；②错误，例如，，满足条件．但二者是虚数，不能比较大小；③错误，等号左边结果一定是非负实数，等号右边未必是实数；④正确；⑤错误，类似于③．故选A．7．C，由定积分的几何意义知表示曲线（单位圆的上半部分）与直线，及坐标轴所围成的图形的面积，所以．所以

5．故选C．8．B由题意知若③对，则②也对，不合题意，故③一定错误，则为第一名，或为第二名，若为第一名，则①正确，那么②错误，故为第三名，符合题意；若为第二名，此时①②同真，或同假，不合题意．故选B．9．B，令，则，易知在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，又的定义域为，所以在，上单调递减，又，，，，所以．故选B．10．C根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论：①从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取，有种选法，②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取，有种选法，③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，则有种不同的选法．故选C．11．B记为中被3除余数为的数所组成的集合，则在，，中各有11个元素，在中任取3个元素，其和被3除余数为0，在，，各取一个元素，其和被3除余数为0，所以，同理可得，，很明显，所以．故选B．12．D当时，，，，所以的取值为0，所以，所以；当时．，若时，，故，若时，，，故，所以，所以；当时，，若时，，故；若时．，故

6；若时，，故，5，所以，所以；当时，，若时，故；若时，，故；若时，，故，5，若时．，故，10，11，所以．所以；以此类推，可以归纳，得，所以，所以，所以．故选D．13．．14．43，其中，，所以，，所以，所以成绩在的人数估计约为人．15．32先把30030分解成质因数的形式：；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为个．16．3法一：设圆柱的半径为，高为，则，即，所以，所以该组合体的表面积，当且仅当，即时等号成立．法二：设圆柱的半径为，高为，则，即，所以，所以该组合体的表面积，所以

7，令，得，易知当时，取得最小值．17．解：（1）满意不满意合计男顾客481260女顾客362460合计8436120所以，所以能有95%的把握认为男、女顾客对该餐厅服务的评价有差异．（2）由题意知，抽取的6人中男顾客，女顾客的人数分别为2人，4人，所以的取值为0，1，2，，，，所以其分布列为012所以其数学期望．18．证明：方法一：因为为整数，所以能被49整除．方法二：（1）当时，，能被49整除．

8（2）假设当，能被49整除，那么，当，．因为能被49整除，也能被49整除，所以能被49整除，即当时命题成立，由（1）（2）知，能被49整除．19．解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出1个红球，2个白球，设顾客享受到免单优惠为事件，则，所以两位顾客均享受到免单的概率为．（2）若选择方案一：设付款金额为元，则可能的取值为0、400、600、900、1000．，，，，，故的分布列为04006009001000所以．若选择方案二：设摸到红球的个数为，付款金额为，则，由已知可得，故，所以（元）．因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算．20．证明：（1）因为，且，所以，，，要证，只需证即可，

9只要证，即证，只要证，因为，，，所以，，所以成立．命题得证．（2）任取，，且，因为，所以，由，得，所以，所以，所以，所以，即．所以在上单调递增．21．解：（1）函数的定义域为，，当时，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增；当时，的两根是，2．①当，即时，由，得或，由，得，所以在上单调递减，在，上单调递增；②当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增；③当，即时，由，得或，由，得，所以在上单调递减，在，上单调递增；（2）问题可以转化为关于的方程有两个不相等的实数根，

10因为（由易得），所以，令，则．令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又当时，，所以，所以，即的取值范围为．22．解：（1）由，得，消去参数，得，即曲线的普通方程为；由，得，即．又，，所以，所以直线的直角坐标方程为．

11（2）因为直线的方程为，所以直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线的方程，得．所以，设，两点对应的参数分别为，，则，．所以．23．解：（1）时，，所以，当时，不等式变为，解得；当时，不等式变为，不等式无解；当时，不等式变为，解得．所以原不等式的解集为．（2）因为，当且仅当时等号成立，所以．由题意知，所以，或，所以，或．所以的取值范围为．