湖北省重点高中2020-2021学年高二下学期期末联考数学Word版含答案

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湖北省重点高中2022届高二（下）期末联考数学试题一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．下列与集合A＝{﹣1，2}相等的是（　　）A．{（﹣1，2）}B．（﹣1，2）C．{（x，y）|x＝﹣1，y＝2}D．{x|x2﹣x﹣2＝0}2．若函数的定义域为（　　）A．B．C．D．3．下列各函数中，值域为（0，+∞）的是（　　）A．B．y＝2-2x-1C．y＝D．4．若α为第三象限角，则（　　）A．sinα﹣cosα＜0B．tanα＜0C．sin（+2α）＞0D．cos（π﹣α）＞05．下列选项中，y可表示为x的函数是（　　）A．3|y|﹣x2＝0B．x＝yC．lny＝x2D．y2=2x6．已知Sn是数列{an}的前n项和，则“”是“数列{an}是公差为2的等差数列”的（　　）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件7．集合A＝{x|x＜﹣1或x≥1}，B＝{x|ax+2≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（　　）A．[-2,2]B．[-2,2)C．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）D．8．若函数f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|在区间[﹣3，0]上是单调函数，则实数a

1的取值范围是（　　）A．（﹣∞，-9]∪{0}∪[3,+∞）B．（﹣∞，-3]∪{0}∪[9,+∞）C．[﹣9，3]D．[﹣3，9]二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分；漏选2分，错选0分。）9．已知函数f（x）的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（　　）A．函数f（x）在x＝﹣1处取得极小值B．x＝﹣2是函数f（x）的极值点C．f（x）在区间（﹣2，3）上单调递减D．f（x）的图象在x＝0处的切线斜率大于零10．若集合A，B满足：∃x∈A，x∉B，则下列关系可能成立的是（　　）A．ABB．A∩B≠∅C．BAD．A∩B＝∅11．先将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向下平移个单位，得到g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）A．B．g（x）在[0，π]上的值域为C．g（x）的图象关于点对称D．g（x）的图象可由的图象向右平移等个单位长度得到12．函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝，则下列结论正确的是（　　）A．当x＜0时，f（x）＝﹣B．关于x的不等式f（x）+f（2x﹣1）＜0的解集为（﹣∞，）C．关于x的方程f（x）＝x有三个实数解D．∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2

2三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．函数f（x）为定义在R上的奇函数，且满足f（x）＝f（2﹣x），若f（1）＝3，则f（1）+f（2）+…+f（2021）＝　　．14．请根据右矩形图表信息，补齐不等式：.15.若函数f（x）＝﹣x3+ax2-4x在区间（0，2）只有一个极值点，则实数a的取值范围为　　．16.法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC中，角A＝60°，以AB、BC、AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1、O2、O3，若三角形O1O2O3的面积为，则三角形ABC的周长最小值为　　．四、解答题（共6小题，70分）17．（10分）设全集为R，不等式的解集为A，不等式|x﹣4|＜6的解集为B．（1）求A∪B；（2）求∁R（A∩B）．18．（12分）在①，②，③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．已知，______，．（1）求的值；（2）求β．

319．（12分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x-1）．（Ⅰ）求定义域及单调区间；（Ⅱ）求的极值点.20．（12分）已知函数．（1）求曲线y＝f（x）过点（1，-3）处的切线方程；（2）求f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．21．如图所示，某市有一块正三角形状空地△ABC，其中测得BC＝10千米．当地政府计划将这块空地改造成旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△DEF，其中点D在AB边上，点E在BC边上，点F在AC边上，DF＝2DE，∠DEF＝90°，剩余部分需做绿化，设∠DEB＝θ．（1）若，求DE的长；（2）当θ变化时，△DEF的面积是否有最小值？若有则求出最小值，若无请说明理由．

422．（12分）已知函数f（x）＝ae﹣x+lnx﹣1（a∈R）．（1）当a≤e时，讨论函数f（x）的单调性：（2）若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1+x2≤，求的最大值．

5数学答案一．选择题（共8小题）1．【解答】解：∵{x|x2-x-2＝0}＝{-1，2}，∴与集合A＝{-1，2}相等的是{x|x2﹣x﹣2＝0}．故选：D．【点评】本题考查相等集合的判断，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．【解答】解：要使函数有意义，则2sinx﹣1≥0，即sinx≥，即6kπ+≤x≤6kπ+，k∈Z，得6k+≤x≤6k+，k∈Z，即函数的定义域为.故选：B．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键，是基础题．3．【解答】解：x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2，∴y＝的值域是[1,+)，不满足条件．∵1+2x>1，则函数的值域为(1,+)，不满足条件．y＝2-2x-1＞0，即函数的值域为（0，+∞），满足条件．∈（0，1）∪（1，+∞），不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查函数值域的求解和判断，结合函数的性质求出函数的值域是解决本题的关键，是基础题．4．【解答】解：因为α为第三象限角，所以sinα<0，cosα＜0，tanα>0，故sinα﹣cosα符号不定，故选项A错误；tanα＞0，故选项B错误；sin（+2α）＝cos2α＝sin2α﹣cos2α，故其符号不能确定，故选项C错误；cos（π﹣α）＝﹣cosα，故选项D正确．故选：D．【点评】本题考查了三角函数在各个象限符号的判定，二倍角公式以及诱导公式的运用，属于基础题．5.【解答】解：对于A：令x＝0，没有y的值与之对应，故A错误，对于B：令x＝4，y可以取±8，故B错误，对于C：，y＝，是一一对应的关系，符合函数的定义，故C正确对于D：，y2=2x不是函数故D错误，故选：C．【点评】本题考查了函数的定义，考查一一对应的关系，是基础题．

66．【解答】解：①当时，则a1＝0，当n≥2时，，又∵a1＝0满足上式，∴an＝2n﹣2，所以数列{an}是公差为2的等差数列，②当数列{an}是公差为2的等差数列时，因为不知首项，所以数列{an}的前n项和Sn不确定，∴是数列{an}是公差为2的等差数列的充分不必要条件，故选：C．【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式及求和公式及其性质、简易逻辑的判定方法，属于基础题．7．【解答】解：∵B⊆A，∴①当B＝∅时，即ax+2≤0无解，此时a＝0，满足题意．②当B≠∅时，即ax+2≤0有解，当a＞0时，可得x≤，要使B⊆A，则需要，解得0＜a＜2．当a＜0时，可得x≥，要使B⊆A，则需要，解得-2≤a＜0，综上，实数a的取值范围是[-2,2）．故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，考查了分类讨论思想．属基础题．8．【解答】解：f（x）＝．（1）若a＝0，当x＜0时，f（x）＝x2在[﹣3，0]上单调递减，符合题意；（2）若a＞0，在f（x）在（﹣∞，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增，若f（x）在[﹣3，0]上是单调函数，-a≤-3，则a≥3；（3）若a＜0，则f（x）在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，若f（x）在[﹣3，0]上是单调函数，则，所以a≤-9.即综上，a的取值范围是（﹣∞，-9]∪{0}∪[3,+∞）．故选：A．【点评】本题考查了分段函数的单调性，二次函数的性质，考查分类讨论思想，属于中档题．二．多选题（共4小题）9．【解答】解：结合图像，x∈（﹣∞，﹣2）时，＞0，x∈（﹣2，+∞）时，＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，+∞）递减，故x＝﹣2是函数的极大值点，故选：BC．

7【点评】本题考查了函数的单调性，极值点问题，考查数形结合思想，是基础题．10．【解答】解：存在当A＝{1，2}；B＝{1，2，3}时，不满足∃x∈A，x∉B“，则A不正确，B正确．若BA，则“∃x∈B，x∉A”成立，则C正确．存在当A＝{1，2}；B＝{3，4}时满足条件“∃x∈A，x∉B“且有A∩B＝∅，则D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查集合间的基本关系，解题的关键是找具体的例子使得选项“可能成立”，属于简单题．11．【解答】解：∵＝+sinxcosx＝+sin2x＝sin（2x﹣）+，∴将曲线y上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向下平移个单位，得到g（x）＝sin（x﹣）．则g（）＝sin（−）＝1，故A正确；由x∈[0，π]，得x﹣∈[﹣，]，可得sin（x﹣）∈[，1]，故B不正确；由g（）＝0，可得g（x）的图象关于点（，0）对称，故C正确；对于D，由y＝cosx+＝sin（x+）+的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin（x+−）+＝sin（x−）+的图象，故D不正确．故选：AC．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，是中档题．12．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，选项A错误；当x＞0时，，当x＝0时，f（0）＝0，结合函数的解析式绘制函数图像如图所示，函数为奇函数，不等式f（x）+f（2x﹣1）＜0即f（x）＜f（1﹣2x），很明显函数在R上单调递增，故不等式等价于x＜1﹣2x，解得，选项B正确；

8当x≥0时，f（x）＝x即，解得x＝0或x＝2，即方程在区间（0，+∞）上有一个实数根，由对称性可知函数在（﹣∞，0）上也有一个实数根，选项C正确；由函数的解析式和函数图像可知函数的值域为（﹣1，1），故∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2，选项D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查函数的奇偶性，函数的对称性，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．三、填空题（共4小题）13．【解答】解：∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，且满足f（x）＝f（2﹣x），∴f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x﹣2），即f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝f（x），则函数f（x）的周期为4，∵f（1）＝3，∴f（0）＝0，f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣3，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝3+0﹣3+0＝0，则f（1）+f（2）+…+f（2021）＝f（1）+505[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]＝3+0＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查函数值的计算，结合条件求出函数的周期，利用函数的周期和奇偶性进行转化是解决本题的关键．难度不大．14．【解答】解：由勾股定理知，AB＝＝，AC＝，BC＝，如图中的△ABC，根据三角形的两边之和大于第三边，知AB≤AC+BC，当且仅当A，B，C三点共线时，等号成立，∴故答案为：【点评】本题考查利用不等式表示不等关系，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．15．【解答】解：f（x）＝﹣x3+ax2-4x，则＝﹣3x2+2ax-4，若f（x）在区间（0，2）上只有一个极值点，则=0在（0，2）只有一个异号零点，所以只有一解，又因为故答案为：[4，+∞）．

9【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是中档题．16.【解答】解：由题意知△O1O2O3为等边三角形，设边长为m，则＝m2sin60°＝m2＝，解得|O1O2|＝m＝2，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图所示：在△O1AB中，∠O1AB＝∠O1BA＝30°，由∠BAC＝60°，可知∠O1AO3＝120°，在等腰△BO1A中，由＝，解得O1A＝，同理O3A＝，在△O1AO3中，由余弦定理，得O1O32＝O1A2+O3A2﹣2O1A•O3A•cos120°，即4＝+﹣2••（﹣），即b2+c2+bc＝12，在△ABC中，由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc，∴a＝，又∵（b+c）2＝b2+c2+2bc＝12+bc，∴b+c＝，∴△ABC的周长为a+b+c＝+，又∵b2+c2≥2bc，∴b2+c2+bc＝12≥3bc，∴0＜bc≤4．令f（x）＝+（0＜x≤4），则f′（x）＝﹣+＜0，∴f（x）在（0，4]上单调递减，∴当x＝4时取得最小值为f（4）＝6，∴a+b+c≥6，即△ABC的周长最小值为6．故答案为：6．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，利用构造函数求最值和利用导数研究函数的单调性，考查了函数思想，属于难题．四、解答题（共6小题）17．【解答】解：（1）由题意可知，⇒（x+3）（x﹣7）≤0且x﹣7≠0，解得﹣3≤x＜7，则A＝{x|﹣3≤x＜7}，（2分）|x﹣4|＜6，解得﹣2＜x＜10，则B＝{x|﹣2＜x＜10}，（4分）故A∪B＝{x|﹣3≤x＜10}；（6分）（2）根据题意，A＝{x|﹣3≤x＜7}，B＝{x|﹣2＜x＜10}，则A∩B＝{x|﹣2＜x＜7}，（8分）故∁R（A∩B）＝{x|x≤﹣2或x≥7}．(x﹣7≠0没考虑的扣2分，不重复扣分）（10分）【点评】本题考查不等式的解法，涉及集合交并补的计算，属于基础题．18．【解答】解：（1）∵，∴sinα＞0，cosα＞0，（2分）若选①tanα＝4，由sin2α+cos2α=1得sinα＝，cosα＝．（4分）

10若选②，则14sinαcosα＝8cosα，∵cosα≠0，∴sinα＝，（2分）则cosα＝．（4分）若选③，则tanα＝＝＝＝＝4，（2分）则由sin2α+cos2α=1得（3分）则sinα＝，cosα＝．综上sinα＝，cosα＝．（4分）＝（6分）（2）∵，∴＜﹣β＜0，∴0＜α﹣β＜，（8分）∵，∴sin（α﹣β）＝，（10分）∴sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）＝×﹣×＝＝，（11分）∴β＝．（12分）【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键，是基础题．19．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（1，+∞），（1分）f（x）＝x﹣ln（x-1）．＝，（2分）令＞0，解得：x＞2，令＜0，解得：1＜x＜2，（4分）故f（x）的递减区间是（1，2），递增区间是（2，+∞），（6分）【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．20．【解答】解：（1）由得，＝3x2﹣4，（1分）设切点，则（2分）

11切线方程：切线过点（1，-3）（4分）为所求（6分）（2）令f′（x）＞0可得x＞或x＜﹣，令f′（x）＜0可得﹣＜x＜，∴函数f（x）在[﹣2，﹣]上单调递减增，[﹣,]上单调递减，在[﹣，2]上单调递减增.（8分），（10分）（12分）【点评】本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查运算求解能力，属于基础题．21．【解答】解：（1）设DE＝x千米，当θ＝时，△BDE为等边三角形，所以BE＝DE＝x，由∠DEF＝90°，DF＝2DE＝2x，得EF＝x，（2分）△CEF中，∠CEF＝30°，∠C＝60°，所以∠CFE＝90°，所以EC＝＝＝2x，（3分）所以DE+EC＝BE+EC＝3x＝BC＝10，解得x＝，所以DE＝千米；（5分）（2）△BDE中，∠DEB＝θ，由正弦定理得＝，解得BE＝；（7分）△CEF中，∠CEF＝90°﹣θ，由正弦定理得＝，解得EC＝；（8分）由BE+EC＝BC，得+＝10，即x[sin（120°﹣θ）+sin（30°+θ）]＝5，解得x＝＝；（10分）

12由S△DEF＝x•x＝x2，（11分）因为x>0,所以当x取得最小值xmin＝时，△DEF的面积取得最小值为S△DEFmin＝×＝．（12分）22．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），＝，（1分）当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2分）当0＜a≤e时，令f′（x）＝0，则ex﹣ax＝0，设g（x）＝ex﹣ax，则g′（x）＝ex﹣a，易知，当0＜x＜lna时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞lna时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）≥g（lna）＝elna﹣alna＝a（1﹣lna）≥0，∴f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；（4分）综上，当a≤e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；（5分）（2）依题意，f'（x1）＝f'（x2）＝0，则，（6分）两式相除得，，设，（7分）则t＞1，x2＝tx1，，∴，∴，（8分）设，（9分）则，设，则，∴φ（t）在（1，+∞）单调递增，（10分）则φ（t）＞φ（1）＝0，∴h′（t）＞0，则h（t）在（1，+∞）单调递增，（11分）又x1+x2≤，且h（t）≤，∴t∈（1，2e]，即的最大值为2e．