《平面与平面平行(2)》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

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第六章立体几何初步6.4.2平面与平面平行(2)◆教学目标1.借助长方体，通过直观感知、操作确认，理解平面与平面平行的判定定理，并会初步运用；2.能运用有关平行的判定定理和性质定理，论证线线平行、线面平行、面面平行；3.让学生在发现中学习，培养学生抽样概括、推理论证等素养．◆教学重难点◆教学重点：平面与平面平行的判定定理．教学难点：平面与平面平行的判定定理的应用．◆教学过程一、新课导入回顾：如何判断一条直线与一个平面平行？答案：线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.简单来说，就是要证“线面平行”，先证“线线平行”.追问1：那么如何证明两个平面平行呢？回答：从定义看，证明两平面无交点即可.类比线面平行的判定，是否可以通过“线面平行”来证明“面面平行”？接下来我们就一起来探讨一下.设计意图：通过复习线面平行的判定定理，引出面面平行的判定.先引导学生提出猜想，后面再进行探究，启发学生思考.二、新知探究问题1：一个平面内的一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？ 探究：长方体中，A′D′∥平面ABCD，那么过A′D′的平面与平面ABCD平行吗？如图，平面A′B′C′D′∥平面ABCD，平面A′BCD′∩平面ABCD=BC.答案：不一定.问题2：一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？答案：一个平面内的两条直线可能平行，也可能相交，故要分情况讨论追问1：当两条直线平行时，两平面是否平行？（借助长方体探究）答案：①如图，长方体中，A′D′，B′C′∥平面ABCD，A′D′∥B′C′时，平面A′B′C′D′∥平面ABCD；②如图，长方体中，A′D′，EF∥平面ABCD，A′D′∥EF时，平面A′EFD′∩平面ABCD；综上所述，两条直线平行时，两平面可能平行，也可能相交.追问2：当两条直线相交时，两平面是否平行？（借助长方体探究）答案：平行.追问3：综合上述探究过程，试猜想如何判定两个平面平行？答案：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.下面我们证明此猜想的正确性.已知：a⊂α，b⊂α，a∩b=A，a∥β，b∥β.求证：α∥β. 证明：假设α∩β=c，则a，b与c相交或平行．①若a，b与c都相交，∴a，b与β相交，与a∥β，b∥β矛盾．②若a，b中一条与c相交，另一条与c平行，不妨设a与c相交，b∥c．∴a与β相交，与a∥β矛盾．综上所述，假设不成立，故α∥β.面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.符号语言：若a⊂α，b⊂α，a∩b=A，a∥β，b∥β，则α∥β.注意：此定理共三个条件，在应用时缺一不可，即：①两条线都在面内，“a⊂α，b⊂α”；②两线相交，“a∩b=A”；③两线与另一平面平行，“a∥β，b∥β”.在空间中，常用此定理来由“线面平行”来证明“面面平行”.至此，“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”之间的相互推导就已学完了，具体如下：判断：下列命题是否正确？（1）若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α∥β；（2）若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥β；（3）平行于同一直线的两个平面平行；（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面；（6）一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行，则两个平面平行.答案：（1）错误.没有说明两条直线相交，条件不足，面面平行的判定定理不成立； （2）错误.线不在多，重在相交，无数条直线并不能保证有相交的两条直线，判定定理不成立；（3）错误.平行的传递行只能在线线之间传递或面面之间传递，不可在线面之间传递；（4）错误.两个平面分别经过两条平行直线，那这两个平面可能平行也可能相交；（5）错误.平面外的一条直线可能与已知平面相交，此时就不能作出与已知平面平行的平面.（6）正确.任何一条直线则必能找到相交的两条直线，面面平行的判定定理成立.思考：“平面α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的什么条件？答案：必要不充分条件.理由如下：分别讨论必要性与充分性.①必要性显然成立．当α∥β时，平面α内必存在着不共线的三点到平面β的距离均相等.②充分性不成立．如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，平面AA′C′C中有不共线的三个点A、A′、C到平面BB′D′D的距离相等，但平面AA′C′C与平面BB′D′D相交，不平行，故充分性不成立.三、应用举例例1如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′．求证：平面AB′D′∥平面C′BD．证明：在长方体ABCD-A′B′C′D′中，易证得BD∥B′D′．又∵B′D′⊂平面AB′D′，BD⊄平面AB′D′，∴BD∥平面AB′D′．同理BC′∥平面AB′D′．又∵BD∩BC′=B，且BD⊂平面C′BD，BC′⊂平面C′BD，∴平面AB′D′∥平面C′BD（面面平行的判定定理）． 总结：利用判定定理证明两个平面平行的一般方法：（1）要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可．（2）判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．例2如图，点P在SA上，从点P处将三棱锥形木块S-ABC锯开，使得截面与底面ABC平行，怎么在侧面上画线？解：如图，过点P在侧面SAB上作AB的平行线，交SB于点E；再过点P在侧面SAC上作AC的平行线，交SC于点F，连接EF.则截面PEF就是所求.下面证明平面PEF∥平面ABC：∵PE∥AB，AB⊂平面ABC，PE⊄平面ABC，∴PE∥平面ABC.同理可证PF∥平面ABC.又∵PE⊂平面PEF，PF⊂平面PEF，PE∩PF=P，∴平面PEF∥平面ABC.设计意图：通过例题，熟悉面面平行的判定定理的解题思路，并提醒学生注意判定定理的注意事项．四、课堂练习1.设α，β为两个不同的平面，则α∥β的充要条件是（）A.α内有无数条直线与β平行B.α，β平行于同一条直线C.α，β平行于同两条直线D.α内的任何直线都与β平行2.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是棱BB′和棱CC′的中点. （1）求证：平面B′DF∥平面ACE；（2）试问平面B′DF截正方体所得的截面是什么图形？并说明理由.3.如图，在四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，点M是线段B′D′上的一个动点，E、F分别是BC、CM的中点.（1）求证：EF∥平面BDD′B′；（2）设G是棱CD上的一点，问：当G在什么位置时，平面GEF∥平面BDD′B′.参考答案：1.A选项，无数条直线可能都是平行的，不能保证有相交的两条直线，错误；B选项，线线之间平行可以传递，面面之间平行可以传递，但是线面之间不可传递，错误；C选项，选项中两条直线不一定相交，面面平行的判定定理不成立，错误；D选项，α内的任何直线都与β平行，则一定能找出两条相交直线β平行，判定定理成立，正确.故选D选项.2.（1）证明：连接EF∵E、F分别是棱BB′和棱CC′的中点 ∴EF∥BC∥AD，且EF=BC=AD，可得四边形AEFD为平行四边形则AE∥DF，又AE⊂平面ACE，DF⊄平面ACE，∴DF∥平面ACE∵B′E∥CF，且B′E=CF，∴四边形B′ECF为平行四边形，则CE∥B′F又CE⊂平面ACE，B′F⊄平面ACE，∴B′F∥平面ACE又DF∩B′F=F，∴平面B′DF∥平面ACE（2）取AA′的中点G，连接DG，B′G，可得B′G∥AE且B′G=AE，由（1）知，DF∥AE且DF=AE，则B′G∥DF且B′G=DF，∴四边形DGB′F为平行四边形，又B′G=B′F，∴四边形DGB′F为菱形.3.（1）证明：连接BM．∵E、F分别是BC、CM的中点，∴EF∥BM．又EF⊄平面BDD′B′，BM⊂平面BDD′B′，∴EF∥平面BDD′B′．（2）解：当G为CD中点时，平面GEF∥平面BDD′B′．理由如下：取CD中点G，连接EG、MG，∵E、G分别是BC、CD的中点，∴EG∥BD．又EG⊄平面BDD′B′，BD⊂平面BDD′B′，∴EG∥平面BDD′B′．又EF∥平面BDD′B′，EG∩EF=E，∴平面GEF∥平面BDD′B′．五、课堂小结 六、布置作业教材第223页习题6-4A组第1、3、5题．