专题12：子母型解三角形（老师版）

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专题12：子母型解三角形-2022年中考数学解题方法终极训练一、单选题1．如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的正弦即可表示出CD的长度．【详解】∵∠F=32°，∠DEC=64°，∴∠DEF=,∴,由题可知，△DCE为直角三角形，在Rt△DEC中，即：,∴,故选：C【点评】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形．2．如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（       ）

1A．米B．3米C．米D．米【答案】D【解析】根据等腰直角三角形的性质分别求出EC、EB，根据正切的定义求出DE，结合图形计算得到答案．【详解】解：在中，，（米，在中，，（米，米，故选：D．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．3．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（          ）．A．米B．米C．米D．米【答案】B【解析】设点到直线距离为米，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设点到直线距离为米，在中，，在中，，由题意得，，解得，（米，故选：．

2【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．4．一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后上到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A点仰角为37°（身高忽略不计）．已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡长为2.6米，旗杆AB所在旗台高度EF为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上．则请问旗杆自身高度AB为（　　）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．10.2B．9.8C．11.2D．10.8【答案】B【解析】如图，作交的延长线于，延长交的延长线于，作于．设，在中，根据，构造方程解决问题即可．【详解】解：如图，作DH⊥FC交FC的延长线于H，延长AB交CF的延长线于T，作DJ⊥AT于J．由题意四边形EFTB、四边形DHTJ是矩形，∴BT=EF=1.4米，JT=DH，在Rt△DCH中，∵CD=2.6米，=，∴DH=1（米），CH=2.4（米），∵∠ACT=45°，∠T=90°，∴AT=TC，设AT=TC=x．则DJ=TH=（x+2.4）米，AJ=（x﹣1）米，在Rt△ADJ中，∵tan∠ADJ==0.75，∴=0.75，解得x=2，∴AB=AT﹣BT=AT﹣EF=11.2﹣1.4=9.8（米），

3故选：B．【点评】本题考查解直角三角形的应用测量高度问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，要熟练掌握仰角，坡度等概念，为中考常见题型．5．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（       ）．A．B．51C．D．101【答案】C【解析】【详解】试题分析：设AG=x，分别在Rt△AEG和Rt△ACG中，表示出CG和GE的长度，然后根据DF=100m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AH．解：设AG=x，在Rt△AEG中，∵tan∠AEG=，∴EG==x，在Rt△ACG中，∵tan∠ACG=，∴CG==x，∴x﹣x=100，解得：x=50．则AB=50+1（米）．故选C．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

4二、填空题6．如图所示，为了测量出某学校教学大楼的高度，数学课外小组同学在处，测得教学大楼顶端处的仰角为45°；随后沿直线向前走了15米后到达处，在处测得处的仰角为30°，已知测量器高1米，则建筑物的高度约为______米．（参考数据：，，结果按四舍五入保留整数）【答案】21【解析】设AG=x米，由∠AEG=45°得EG=AG=x，FG=EG+EF=x+15，根据利用特殊角三角函数值可得关于x的方程，解之可得答案．【详解】解：由题意可得四边形FDCE，四边形ECBG，四边形FDBG均为矩形设AG=x米，由∠AEG=45°得EG=AG=x，FG=EG+EF=x+15，在Rt△AFG中，解得：∴故答案为：21【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．7．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成角时，第二次是阳光与地面成角时，两次测量的影长相差8米，则树高______米．（结果保留根号）

5【答案】【解析】设出树高，利用所给角的正切值分别表示出两次影子的长，然后作差建立方程即可．【详解】如图在中，设AB为x，∴，同理：，∵两次测量的影长相差8米，∴，∴，则树高为米．故答案为：．【点评】本题考查了平行投影的应用，太阳光线下物体影子的长短不仅与物体有关，而且与时间有关，不同时间随着光线方向的变化，影子的方向也在变化，解此类题，一定要看清方向．解题关键是根据三角函数的几何意义得出各线段的比例关系，从而得出答案．8．如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A，又在河的另一岸边取两个点B、C，测得∠a=30°，∠β=45°，量得BC的长为200米，则河的宽度为_________．（结果保留根号）【答案】（+1）m

6【解析】直接过点A作AD⊥BC于点D，利用tan30°==，进而得出答案．【详解】过点A作AD⊥BC于点D，∵∠β=45°，∠ADC=90°，∴AD=DC，设AD=DC=xm，则tan30°=，解得：x=100（+1），答：河的宽度为100（+1）m．故答案是：100（+1）m．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用、特殊角的的三角函数值，正确得出AD=CD是解题关键．9．如图，在一笔直的海岸线上有相距的两个观测站，站在站的正东方向上，从站测得船在北偏东的方向上，从站测得船在北偏东的方向上，则船到海岸线的距离是________．【答案】【解析】过点C作CD⊥AB于点D，然后根据等腰三角形和判定和性质以及解直角三角形的应用即可求出答案．【详解】过点C作CD⊥AB于点D，

7根据题意得：∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=4km，在Rt△CBD中，∴CD=BC•sin60°()∴船C到海岸线的距离是．故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用－方向角问题，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．10．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是_____米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）【答案】74【解析】首先证明BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由∠A＝30°，推出AD＝CD，由此构建方程即可解决问题．【详解】如图，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°，∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AD＝CD，∴52+x＝x，∴x＝≈74（m），故答案为74，【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．三、解答题

811．如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝16米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角是30°，塔顶A的仰角是45°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．（结果保留根号）【答案】【解析】分别解和，得到、，根据即可求解．【详解】解：在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，解得，∴．【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握正切的定义是解题的关键．12．某人在A处测得大厦的仰角∠BAC为30°，∠ACB＝90°沿AC方向行40米至D处，测得仰角∠BDC为45°，求此大厦的高度BC．（）【答案】54米【解析】先设BC＝x米；根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角形Rt△ABC和Rt△BCD，解三角形可求得AC、CD的数值，再根据AD＝AC−CD＝40，进而可求出答案．【详解】解：设BC＝x米，在Rt△ABC和Rt△BCD中，

9∵∠BAC＝30°，∠BDC＝45°，AD＝40米∴CD＝x，AC＝＝x，∵AD＝AC−CD＝40，∴x−x＝40，∴x＝20（＋1）≈54米．答：该大厦的高度是54米．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．13．如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测到塔尖D的仰角∠DAC=15º，向塔正前方水平直行260m到达点B，测得到塔尖的仰角∠DBC=30º，若小明的眼睛离地面1.6m，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程．【答案】．【解析】先根据等腰三角形的判定可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据线段的和差即可得．【详解】由题意得：，，，，，在中，，，即塔的高度DE为．【点评】本题考查了等腰三角形的判定、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．14．如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB、小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．（结果带根号）

10【答案】【解析】利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上1.5即为这幢教学楼的高度AB．【详解】解：在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，∴FG＝＝＝．在Rt△ACG中，tan∠ACG＝，∴CG＝=AG．又CG−FG＝40，即AG−＝40，∴AG＝20，∴AB＝20＋1.5．答：这幢教学楼的高度AB为（20＋1.5）米．【点评】本题考查了解直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．15．如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点处测得小岛在北偏东方向，之后轮船继续向正东方向行驶到达处，这时小岛在船的北偏东方向海里处．（1）求轮船从处到处的航速．（2）如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？【答案】（1）海里/小时．（2）小时．【解析】（1）过作

11，利用特殊三角函数解直角三角形，分别求得OC、BC、AC的长，进而可求得AB的长，再根据速度=路程÷时间解答即可；（2）如图，根据题意可判断△OCD为等腰直角三角形，则CD=OC，进而可得BD的长，再由时间=路程除速度求解即可．【详解】（1）过作，由题意得海里，，，（海里），（海里），（海里），（海里），速度：（海里/小时）．（2）如图，由题意，，点在的东南方向，∴△OCD为等腰直角三角形，∴（海里），（海里），（小时），经过小时后到达．【点评】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，理解方位角的概念，熟练运用三角函数解直角三角形是解答的关键．16．如图，在一次空中表演中，水平飞行的歼——10飞机在点发现航展观礼台在俯角为21°方向上.飞机继续向前飞行了800米到达点.此时测得点在点俯角为45°的方向上.请你计算当飞机飞到点的正上方点时（点、、在同一直线上），竖直高度

12约为多少米？（结果保留整数，参考数值：，，）【答案】竖直高度约为490米．【解析】根据题意直接利用解直角三角形的方法进行求解即可．【详解】解：如图：∴∵∴∵∴∴．答：竖直高度约为490米．【点评】本题主要考查解直角三角形，关键是根据题意利用三角函数进行求解即可．17．科技改变生活，时代将对我们的生活产生意想不到的改变．某数学兴趣小组要测量信号塔的高度，如图，在起点处用高米(米)的测量仪测得信号塔的顶端的仰角为，在同一剖面沿水平地面向前走米到达处，测得顶端的仰角为，求信号塔的高度约为多少米?(精确到米．参考数据：)【答案】该信号塔的高度约为米【解析】本题首先假设AB的长度为x，继而表示BE的长度，利用正切三角函数表示DE，进一步表示CE，最后再次利用正切三角函数列式求解．【详解】由已知得：，，设为米，则米，在中，，

13，，在中，．，求解得：（米）．故该信号塔的高度约为米．【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，解题关键在于对各种三角函数概念的理解，并结合具体图形情况，适时选取合适的三角函数以提升解题效率．18．如图，王刚想测量楼CD的高度，楼在围墙内，王刚只能在围墙外测量，他无法测得观测点到楼底的距离，于是王刚在A处仰望楼顶，测得仰角为37°，再往楼的方向前进30米至B处，测得楼顶的仰角为53°（A，B，C三点在一条直线上），求楼CD的高度（，，结果精确到1米，王刚的身高忽略不计）．【答案】楼CD的高度为52米【解析】设CD=xm，根据AC=BC-AB，构建方程即可解决问题；【详解】解：设CD=xm，在Rt△ACD中，tan∠A=，∴AC=，同法可得：BC=，∵AC—BC=AB，∴﹣=30，解得x=52，答：楼CD的高度为52米．【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．19．小明和小华进行社会实践活动时，想利用所学的知识测量某旗杆AB的高度．小明站在点D处利用测倾器测得旗杄顶端A的仰角为45°，小华在BD

14之间放置一个镜子，并调整镜子的位置，当镜子恰好放在点E处时，位于点D处的小明正好在镜子中看到旗杆顶端A，此时DE的距离为1.4米，已知测倾器的高为1.75米．请你根据以上信息，计算旗杆AB的高度．【答案】旗杆AB的高度为15.75米【解析】过点C作CF⊥AB于点F，可得四边形FBDC是矩形，根据入射角等于反射角可得，∠CED＝∠AEB，所以tan∠CED＝tan∠AEB，进而可求AF的长，最后求出AB的长．【详解】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，可得四边形FBDC是矩形，∴FB＝CD＝1.75，FC＝BD＝BE+1.4，根据题意，得∠ACF＝45°，∴AF＝CF，根据入射角等于反射角可知：∠CED＝∠AEB，∴tan∠CED＝tan∠AEB，∴，∴，∵AF＝FC，∴解得AF＝14，

15∴AB＝AF+FB＝14+1.75＝15.75（米）．答：旗杆AB的高度为15.75米．【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及到入射角和反射角的问题，能够正确理解正切的含义是解题的关键．20．炎黄二帝巨型塑像位于河南省郑州市西北部三十公里之处的黄河风景名胜区向阳山（始祖山）上，炎黄二帝巨塑背依邙山，面向黄河．数学活动小组的同学为测量像体的整体高度，在地面上选取两点和，且点，及其中像体在同一平面内，像体底部与点，在同一条直线上，同学们利用高1m的测倾仪在处测得像顶的仰角为，在处测得像顶的仰角为，且．根据测量小组提供的数据，求该塑像的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，．）【答案】该塑像的高度约为．【解析】延长CD交MN于E，则CE⊥MN，NE=BD=AC=1m，∠MDE=45°，∠MCE=35°，CD=AB=45m，在Rt△DEM中，求出ME=DE，在Rt△CEM中，利用勾股定理求出ME的长，即可得出答案．【详解】延长交于，如图所示：由题意得：，，，，在中，，∴，

16在中，，∴，解得：，∴；答：该塑像的高度约为．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角问题；通过作辅助线得出直角三角形，正确求解是解题的关键．