《2021中考真题480题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
2021年中考真题精选!一・选择题1.（2021•无锡）一次函数y=x+〃的图象与x轴交于点8,与反比例函数y=如（zn>0）的图象交于点4（1.m）,且△AOB的面积为1,则ワ的值是（）A.1B.2C.3D.42.（2021•无锡）在中,NA=90°,A8=6,AC=8,点P是△ABC所在平面内一点,则限2+pb2+Pc2取得最小值时,下列结论正确的是（）A.点P是△ABC三边垂直平分线的交点B.点/3是△ABC三条内角平分线的交点C.点P是△ABC三条高的交点D.点P是△ABC三条中线的交点3.（2021•无锡）设尸（x,yi）,Q（X,”）分别是函数。,Q图象上的点,当aWxWb时，总有一1Wメー"く1恒成立,则称函数Ci,C2在上是“逼近函数”，aWxWb为“逼近区间”.则下列结论:①函数y=x-5,y=3x+2在1WxW2上是“逼近函数”；②函数y=x-5,y=7-4x在3。<4上是“逼近函数”；③0«是函数y=/-1,尸がース的“逼近区间”；④2金ぐ3是函数y=x-5,y=/ー4x的“逼近区间”.其中,正确的有（）A.@@B.①④C.①③D.②④4.（2021•宿迁）如图，折叠矩形纸片ABCQ,使点8落在点。处，折痕为MN,已知AB=8,AD=4,则MN的长是（）A.B.2遅C.D.4遅
11.（2021•苏州）如图,在平行四边形ABC。中,将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB'C,B'C交AD于点E,连接8'D,若/B=60°,NACB=45°,AC=近,则8'。的长是（）2.（2021•苏州）如图，线段AB=10,点C、。在AB上,AC=BD=\,已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动.在点P移动过程中作如下操作:先以点P为圆心，阳、PB的长为半径分别作两个圆心角均为6。°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面，设点P的移动时间为・（秒），两个圆锥的底面面积之和为5,则S关于・的函数图象大致是（）
2C.D.
31.（2021•扬州）如图,一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C,则线段AC长为（）A.V6+V2B.3&C.2+V3D.M+近2.（2021•扬州）如图,点P是函数y=—（匕>0,x>0）的图象上一点,过点P分别作xx轴和y轴的垂线,垂足分别为点A、B,交函数y=とユ（わ>0,x>0）的图象于点C、D,x连接OC、。0、CD、AB,其中依.下列结论:®CD//ABi②Saocd=」_?.；③3.（2021•连云港）如图,△ABC中,BDLAB,BD、AC相交于点ハ,AD=^-AC,AB=2,D
4A.3731414c,竿1.（2021•连云港）如图,正方形ん8co内接于〇。,线段MN在对角线8。上运动,若。。的面积为2tt,MN=1,则△4MN周长的最小值是（）A.3B.4C.5D.62.（2021•广东）设。为坐标原点,点A、8为抛物线y=）上的两个动点,且。A丄。B.连接点A、B,过。作。C丄A8于点C,则点C到y轴距离的最大值（）A.AB•返C•返D.12223.（2021•安徽）如图，在菱形A8C。中，AB=2,NA=120°,过菱形A8CO的对称中心。分别作边AB,BC的垂线，交各边于点E,F,G,H,则四边形EFGH的周长为（）C.2+73D.1+2734.（2021•安徽）在△ABC中,ZACB=90°,分别过点B,C作/84C平分线的垂线，垂足分别为点ハ,E,BC的中点是M,连接CD,MD,ME.则下列结论错误的是（）A.CD=2MEB.ME//ABC.BD=CDD.ME^MD5.（2021•江西）如图是用七巧板拼接成的ー个轴对称图形（忽略拼接线）小亮改变①的位置,将①分别摆放在图中左,下,右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（）
5A.2B.3C.4D.5二.填空题1.（2021•无锡）如图,在RtZ^ABC中，ZBAC=90°,A8=2祀，AC=6,点E在线段AC上，且AE=1,ハ是线段8C上的一点，连接ルE,将四边形沿直线OE翻折，得到四边形ドGDE,当点G恰好落在线段AC上时，AF=.2.（2021•无锡）如图，在平面直角坐标系中,〇为坐标原点，点C为y轴正半轴上的ー个动点，过点C的直线与二次函数y=ド的图象交于A、B两点,且CB=3AC,P为CB的中点，设点P的坐标为P（x,y）（x>0）,写出y关于x的函数表达式为:.
61.（2021•盐城）如图,在矩形ABC。中,AB=3,AD=4,E、ド分别是边8C、CD上ー点,EF1AE,将△ECF沿Eド翻折得△EC'F,连接AC',当BE=时，AAEC是以AE为腰的等腰三角形.2.（2021•南京）如图,将包48C£＞绕点A逆时针旋转到团A'B'CD'的位置，使点タ落在BC上，B'C与CD交于点E.若AB=3,BC=4,BB'=1,则CE的长3.（2021•宿迁）如图,在RtZXABC中，NABC=90°,NA=32°,点8、C在。。上,边AB、AC分别交。。于。、E两点，点B是CD的中点，则/A8E=
71.（2021•宿迁）如图,点A、B在反比例函数y=エ（x>0）的图象上,延长48交x轴于C点,若△AOC的面积是12,且点B是AC的中点,则ん=.2.如图，在△ABC中，AB=4,BC=5,点ハ、E分别在8C、AC上,CD=2BD,CE=2AE,BE交AD于点F,则△AFE面积的最大值是.3.（2021•苏州）如图，四边形ABCO为菱形，ZABC=70°,延长BC到E,在/。CE内作射线CM,使得/ECM=15°,过点。作ハ尸丄CM,垂足为ド,若。ド=掂,则对角线B。的长为.（结果保留根号）4.（2021•扬州）如图,在△4BC中,AC=BC,矩形。EFG的顶点。、E在48上，点ド、G分别在BC、AC上,若C尸=4,8ド=3,且DE=2EF,则Eド的长为CADEB5.（2021•连云港）如图，BE是△ABC的中线，点ド在BE上，延长4ド交BC于点。.若
81.（2021•广东）若x+_l=2ユ且OVxVl,则7ー上X6x22.（2021•广东）在△ABC中,ZABC=90°,AB=2,BC=3.点。为平面上一个动点,ZADB=45°,则线段CO长度的最小值为.3.（2021•福建）如图，在矩形ABC。中，48=4,40=5,点、E,ド分别是边AB,BC±的动点，点E不与A,8重合，且EF=AB,G是五边形AEFC。内满足GE=Gド且ZEG尸=90°的点.现给出以下结论:①NGEB与/GFB一定互补:②点G到边48,BC的距离一定相等;③点G到边AC,0c的距离可能相等;④点G到边AB的距离的最大值为2ぶ.其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）4.（2021•江西）如图，将回沿对角线AC翻折，点8落在点E处,CE交AD于点F,若ZB=80°,NACE=2NECD,FC=a,FD=b,则回A8C。的周长为.
91.（2021•江西）如图,在边长为6，5的正六边形ABC0EF中,连接BE,CF,其中点M,N分别为BE和Cア上的动点.若以M,N,。为顶点的三角形是等边三角形,且边长为整数,则该等边三角形的边长为.三.解答题2.（2021•无锡）如图，已知锐角△ABC中，AC=BC.（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图:作/4CB的平分线C£>;作△ABC的外接圆。〇;（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下,若AB=整，0。的半径为5,则sin8=.（如5需画草图，请使用图2）3.（2021•无锡）如图，四边形んBCO内接于。0,AC是。。的直径，AC与BD交于点E,P8切。。于点B.
10(1)求证:NPBA=NOBC；(2)若/PB4=20°,乙48=40°,求证:△OABs^CDE.1.（2021•无锡）在平面直角坐标系中,。为坐标原点,直线y=-x+3与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数y=ar2+2x+c的图象过8、C两点，且与x轴交于另一点A,点M为线段08上的ー个动点，过点M作直线，平行于y轴交8c于点ド,交二次函数y=ar2+2x+c的图象于点E.（1）求二次函数的表达式;（2）当以C、E、ド为顶点的三角形与△4BC相似时，求线段EF的长度;（3）已知点N是y轴上的点,若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标.2.（2021•无锡）已知四边形A8C。是边长为1的正方形，点E是射线8C上的动点,以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEr，NAEF=90°,设BE=/n.
11备用图(1)如图,若点E在线段BC上运动,EF交CD于点P,AF交CD于点Q,连接CF,①当机=ユ时,求线段CF的长;3②在△PQE中,设边QE上的高为ん请用含机的代数式表示ハ,并求〃的最大值;(2)设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEド截得的线段长为y,请直接写出y与加的关系式.1.(2021•盐城)学习了图形的旋转之后,小明知道,将点P绕着某定点A顺时针旋转ー定的角度a,能得到ー个新的点P',经过进一步探究，小明发现,当上述点/3在某函数图象上运动时,点P’也随之运动，并且点P’的运动轨迹能形成一个新的图形.试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度a的大小来解决相关问题.【初步感知】如图1,设A(l,1),a=90°,点P是一次函数y=fcv+6图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点尸I(-1,1).(1)点、P1旋转后,得到的点尸1’的坐标为;(2)若点尸’的运动轨迹经过点放‘(2,1)(求原一次函数的表达式.【深入感悟】如图2,设4(0,0),a=45",点P是反比例函数y=ー丄(x<0)的图象上的动点,过点尸’作二、四象限角平分线的垂线,垂足为M,求△0"的面积.【灵活运用】如图3,设A(1,-a/3)，a=60°,点尸是二次函数ド=丄/+2百r+7图象上的动点,2已知点B(2,〇)、C(3,0),试探究ABC尸’的面积是否有最小值?若有，求出该最小值:若没有,请说明理由.
121.（2021•南京）不透明的袋子中装有2个红球、1个白球,这些球除颜色外无其他差别.（1）从袋子中随机摸出1个球,放回并摇匀,再随机摸出1个球.求两次摸出的球都是红球的概率.（2）从袋子中随机摸出1个球,如果是红球，不放回再随机摸出1个球;如果是白球,放回并摇匀，再随机摸出1个球.两次摸出的球都是白球的概率是.2.（2021•南京）如图，已知P是。。外一点.用两种不同的方法过点P作。。的一条切线.要求:（1）用直尺和圆规作图;（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.
131.(2021•南京)已知二次函数y=o?+反+c的图象经过(-2,1),(2,-3)两点.(1)求ら的值:(2)当c>-l时,该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是.(3)设(m,0)是该函数的图象与x轴的ー个公共点.当-l 141.(2021•宿迁)已知正方形ABC。与正方形AEFG,正方形AEFG绕点4旋转一周.(1)如图①,连接BG、CF,求史的值:BG(2)当正方形4EFG旋转至图②位置时,连接Cド、BE,分别取Cド、BE的中点M、N,连接试探究:MN与BE的关系,并说明理由;(3)连接BE、BF,分别取BE、8F的中点N、Q,连接QN,AE=6,请直接写出线段QN扫过的面积.2.(2021•宿迁)如图,抛物线ッ=-丄ー+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(4,0)(与y'2轴交于点C.连接AC,8C,点尸在抛物线上运动.(1)求抛物线的表达式;(2)如图①,若点P在第四象限,点。在网的延长线上,当/C4Q=NCBA+45°时,求点P的坐标;(3)如图②,若点P在第一象限,直线AP交BC于点ド,过点P作x轴的垂线交BC 15于点”,当△PF”为等腰三角形时，求线段PH的长.图①图②备用图1.(2021•苏州)如图,在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点じ,A分别在x轴和y轴的正半轴上,点。为んB的中点.已知实数えW0,一次函数y=-3x+ス的图象经过点C、D,反比例函数.y=K(x>0)的图象经过点B,求え的值.2.（2021•苏州）如图,二次函数y=/-（,“+1）x+"?（，"是实数,且-IVmVO）的图象与x轴交于4、B两点（点A在点B的左侧）,其对称轴与x轴交于点C.已知点。位于第一象限,且在对称轴上,。。丄8C,点E在x轴的正半轴上,OC=EC,连接E。并延长交y轴于点F,连接AF.（1）求4、8、C三点的坐标（用数字或含駆的式子表示）；（2）已知点。在抛物线的对称轴上,当△AFQ的周长的最小值等于12时,求山的值.5 16备用图1.（2021•苏州）如图①，甲、乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面ABCO是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形.如图②，已知正方形48co与矩形EFGH满足如下条件:正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆〇,矩形EFGH内接于这个圆〇,EF=2EH.（1）求容器甲、乙的容积分别为多少立方米?（2）现在我们分别向容器甲、乙同时持续注水（注水前两个容器是空的）,ー开始注水流量均为25立方米/小时,4小时后,把容器甲的注水流量增加a立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后,把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变，直到两个容器的水位高度相同，停止注水.在整个注水过程中,当注水时间为・时，我们把容器甲的水位高度记为万甲，容器乙的水位髙度记为ん乙，设ル乙一/1単=〃，已知万（米）关于注水时间［（小时）的函数图象如图③所示,其中MN平行于横轴,根据图中所给信息，解决下列问题:①求a的值:②求图③中线段PN所在直线的解析式. 17图①图②图③1.(2021•苏州)如图,在矩形AB8中,线段Eド、G”分别平行于Aハ、AB,它们相交于点P,点尸I、P2分别在线段尸ド、PH上,PP\=PG,PP2=PE,连接PH、P2F,P\H与上ド相交于点。.已知AG：GD=AEtEB=1：2.设AG=a,AE=b.(1)四边形EBHP的面积四边形GPFD的面积(填“〉”、“=”或“V”)(2)求证:APiFQsへP2HQ；(3)设四边形PP1QP2的面积为Si,四边形C尸QH的面积为S2,求包的值.S2 181.(2021•扬州)如图,四边形A8CO中,AD//BC,N8AO=90°,CB=CD,连接BD,以点B为圆心,84长为半径作。B,交BD于点E.(1)试判断C。与〇8的位置关系，并说明理由;(2)若48=2龜,ZBCD=60°,求图中阴影部分的面积.2.(2021•扬州)如图，在平面直角坐标系中,二次函数y=/+%x+c的图象与x轴交于点A(-1.0)、B(3,0),与y轴交于点C.(1)b=,c=；(2)若点。在该二次函数的图象上,且SzsABQ=2Sm8C,求点O的坐标;(3)若点P是该二次函数图象上位于ス轴上方的一点,且Sz\apc=Saapb,直接写出点尸的坐标. 191.（2021•扬州）在ー次数学探究活动中,李老师设计了一份活动单:已知线段BC=2,使用作图工具作/BAC=30°,尝试操作后思考:（1）这样的点A唯一吗?（2）点A的位置有什么特征?你有什么感悟?“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报:点A的位置不唯一,它在以8C为弦的圆弧上（点8、C除外），….小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）. 20(1)小华同学提出了下列问题,请你帮助解决.①该弧所在圆的半径长为;②△ABC面积的最大值为；(2)经过比对发现,小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上,而在如图1所示的弓形内部,我们记为A',请你利用图1证明/BA'030°.(3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题:如图2,已知矩形48co的边长A8=2,BC=3,点尸在直线Cハ的左侧,且tan/OPC=2.3①线段PB长的最小值为；②若△网D,则线段PO长为.31.(2021•扬州)甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租,下面是两公司经理的一段对话:甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元,那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.乙公司经理:我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计1850元. 21说明:①汽车数量为整数;②月利润=月租车费ー月维护费:③两公司月利润差=月利润较高公司的利润一月利润较低公司的利润.在两公司租出的汽车数量相等的条件下,根据上述信息,解决下列问题:(1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是元;当每个公司租出的汽车为辆时,两公司的月利润相等;(2)求两公司月利润差的最大值;(3)甲公司热心公益事业,每租出1辆汽车捐出。元(a>0)给慈善机构,如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时,甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围.1.(2021•连云港)如图，RtZ\ABC中,NABC=90°,以点C为圆心,CB为半径作。C,。为上一点,连接A。、CD,AB=AD,AC平分/BA。.(1)求证;AO是。C的切线；(2)延长Aハ、BC相交于点E,若S&edc=2Saabc,求tan/8AC的值. 221.(2021•连云港)如图,抛物线y=加/+(«2+3)X-(6/n+9)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,已知B(3,0).(1)求，〃的值和直线BC对应的函数表达式;(2)户为抛物线上一点,若S,bc=Saabc,请直接写出点P的坐标;(3)。为抛物线上一点,若/ACQ=45°,求点Q的坐标.2.(2021•连云港)在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.(1)ZXABC是边长为3的等边三角形,E是边AC上的一点，且AE=1,小亮以8E为边作等边三角形BEF,如图1.求CF的长; 23(1)ZXABC是边长为3的等边三角形,E是边AC上的ー个动点,小亮以BE为边作等边三角形BEF,如图2.在点E从点C到点A的运动过程中,求点ド所经过的路径长;(2)ZVIBC是边长为3的等边三角形，M是髙CO上的一个动点，小亮以为边作等边三角形BMN,如图3.在点M从点C到点。的运动过程中,求点N所经过的路径长;图3图4(4)正方形ABCO的边长为3,£是边C8上的ー个动点，在点E从点C到点8的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形8FG/7,其中点ド、G都在直线んE上，如图4.当点E到达点B时,点F、G、H与点B重合.则点H所经过的路径长为,点G所经过的路径长为.1.(2021•广东)如图，边长为1的正方形48co中,点E为4Q的中点.连接8E,将△ABE沿BE折叠得到△FBE,BF交AC于点G,求CG的长.D 241.（2021•广东）如图,在四边形ABC。中,AB//CD,AB^CD,N48c=90°,点、E、F分别在线段BC、ADh,且Eド〃CD,AB=AF,CD=DF.（1）求证:CFLFB-,（2）求证:以A。为直径的圆与BC相切;（3）若EF=2,ZDFE=120°,求△AOE的面积.2.（2021•广东）已知二次函数ynaAbx+c的图象过点（-1,0）,且对任意实数X,都有4x-12^ax2+fex+c^2x2-8x+6.（1）求该二次函数的解析式;（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为4,与y轴交点为C:点M是（1）中二次函数图象上的动点.问在x轴上是否存在点N,使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在,请说明理由.3.（2021•福建）如图,在正方形ABC。中,E,ド为边AB上的两个三等分点,点A关于。と的对称点为A',44’的延长线交BC于点G.(1)求证:DE//A,尸; 25(2)求/GA'B的大小;(3)求证:4'C=2A'B.1.(2021•福建)已知抛物线ギ=/+法+c与x轴只有一个公共点.(1)若抛物线过点尸(0,1),求的最小值；(2)已知点P(-2,1),P2(2,-1),尸3(2,1)中恰有两点在抛物线上.①求抛物线的解析式;②设直线ムy=履+1与抛物线交于M,N两点,点A在直线ド="!上,且/AMN=90°,过点4且与x轴垂直的直线分别交抛物线和，于点B,C.求证:△MAB与△MBC的面积相等.2.(2021•安徽)如图1,在四边形A8C。中，NABC=NBC。，点E在边BC上,且AE//CD,DE//AB,作CF〃厶。交线段AE于点凡连接BF. 26(1)求证:△ABFgAEAD；(2)如图2.若AB=9,CD=5,ZECF=ZAED,求BE的长;(3)如图3,若Bド的延长线经过AO的中点M,求理的值.ECAAA图1图2图31.(2021•江西)已知正方形4BC。的边长为4个单位长度,点E是C。的中点,请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹).(1)在图1中,将直线AC绕着正方形ABC。的中心顺时针旋转45°；(2)在图2中,将直线4c向上平移1个单位长度.2.(2021•江西)二次函数y=f-2ワ的图象交x轴于原点0及点4.感知特例 27(1)当m=l时,如图1,抛物线厶y=/-2x上的点B,〇,C,A,。分别关于点4中心对称的点为B',〇',C',4',,如表:…8(-1,3)〇(0,0)C(1,-1)A(,)D(3,3)……B'(5,-3)〇'(4,0)C(3,1)A'(2,0)(1,-…3)①补全表格;②在图1中描出表中对称后的点,再用平滑的曲线依次连接各点,得到的图象记为む.TTつ一"I图1厂.「一「一「一「ー厂ー厂-rー「ー「幻ー7f二5屮ー3二2曜形成概念我们发现形如(1)中的图象ク上的点和抛物线丄上的点关于点4中心对称,则称，是丄的“孔像抛物线”.例如，当加=-2时,图2中的抛物线，是抛物线L的“孔像抛物线”.图2探究问题 28（2）①当m=-I时,若抛物线L与它的“孔像抛物线”，的函数值都随着”的增大而减小,则x的取值范围为；②在同一平面直角坐标系中,当m取不同值时,通过画图发现存在一条抛物线与二次函数-2mx的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是（填ay=ax2+bx+cn或ay=ox2+bxn或ay=ax2+c,＜或uy=ax!'n,其中abcWO）：③若二次函数y=？-2mx及它的“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点,求m的值.1.（2021•江西）课本再现 29、尸(1)在证明“三角形内角和定理”时,小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明,其中与/A相等的角是;图1图2类比迁移(2)如图2,在四边形中，NA8C与/AOC互余,小明发现四边形ABCO中这对互余的角可类比(1)中思路进行拼合:先作/C£)F=NABC,再过点C作CE丄Oド于点E,连接4E,发现4£>,DE,4E之间的数量关系是:方法运用(3)如图3,在四边形ABC。中，连接AC,ZBAC=90°,点。是△ACハ两边垂直平分线的交点，连接。A,ZOAC=^ABC.①求证:ZABC+ZADC=90°；②连接8。，如图4,已知AO=机，DC=n,旭=2,求8。的长(用含山，〃的式子表AC示).图3图4 302021年中考真题精选2一・选择题1.（2021•河南）如图,团04BC的顶点。（0,0）,4（1,2）,点C在x轴的正半轴上,延长BA交y轴于点。.将△OD4绕点。顺时针旋转得到△。。’A',当点。的对应点D,落在。A上时,。'A’的延长线恰好经过点C,则点C的坐标为（）A.（2«,0）B.（2遥,0）C.（273+1，0）D.（2&+1,0）2.（2021•河南）如图1,矩形ABC。中，点E为BC的中点,点尸沿8C从点B运动到点C,设8,戶两点间的距离为x,PA-PE=y,图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）图1图2A.4B.5C.6D.73.（2021•岳阳）定义:我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异ニ次函数”.如图，在正方形。4BC中,点A（0,2）,点C（2,0）,则互异二次函数y=（.x-m）2-m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（） 31 321.（2021•怀化）如图,菱形ABCル的四个顶点均在坐标轴上,对角线AC、BD交于原点〇,AE丄BC于E点,交BD于M点、,反比例函数y=返（x>0）的图象经过线段。C3x的中点N,若BD=4,则ME的长为（）C.ME=\2.（2021•衡阳）如图，矩形纸片ABC。,4B=4,8C=8,点历、N分别在矩形的边A。、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AO上，记为点P,点。落在G处,连接尸C,交例N于点。，连接CM.下列结论:①四边形CMPN是菱形;②点尸与点4重合时，MN=5；③△尸。M的面积S的取值范围是4W5W5.其中所有正确结论的序号是（）A.®®®B.®®C.®（3）D.②③3.（2021•贵阳）小星在’‘趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题.现有7条不同的直线ギ=kゼ+ル（n—1,2,3,4,5,6,7）,其中人=わ，匕3=ら4=加，则他探究这7条直线的交点个数最多是（）A.17个B.18个C.19个D,21个 3367.（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题:“今有池方一丈,葭（jid）生其中,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深几何.”（丈、尺是长度单位,1丈=10尺）其大意为:有一个水池,水面是ー个边长为10尺的正方形,在水池正中央有ー根芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池ー边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度是多少?则水深为（）A.10尺B.11尺C.12尺D.13尺68.（2021•恩施州）如图,已知二次函数y=o?+灰+c的图象与x轴交于（-3,0）,顶点是（-1，机），则以下结论:®abc>0；②4a+2b+c>0；③若y2c,则スW-2或ス20；@b+c=—m,其中正确的有（）个.2（ノ,刑）A.1B.2C.3D.469.（2021•荆门）抛物线ぎ二苏+か汁。（a,b,c为常数）开口向下且过点A（1,0）,B（zn,0）（-2 3468.（2021•随州）如图,已知抛物线的对称轴在y轴右侧,抛物线与x轴交于点A（-2,0）和点8,与ア轴的负半轴交于点C,且OB=2OC,则下列结论:①史”〉C0；®2b-4ac=\i③0=1；④当-l 3568.（2021•鄂州）如图,RtZkABC中,NACB=90°,AC=2«,BC=3.点、P为へABC内一点,且满足以2+pc2=Aど.当尸8的长度最小时,△ACP的面积是（）B.3yC.茅"等二.填空题69.（2021•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,。均在小正方形的顶点上,且点B,C在AD上,NBAC=22.5°,则BC的长为.70.（2021•河南）小华用ー张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1,在RtZ\A8C中，ZACB=90°,NB=30°,AC=l,第一步，在AB边上找一点ハ，将纸片沿C。折叠,点A落在A处，如图2;第二步，将纸片沿CA折叠,点ハ落在ハ’处,如图3.当点。‘恰好落在原直角三角形纸片的边上时,线段A'D'的长为. 36图1图2图3 3768.（2021•岳阳）如图,在Rt△4BC中,ZC=90°,AB的垂直平分线分别交AB、AC于点。、E,8E=8,〇。为れロ〇E的外接圆,过点E作。。的切线Eド交A8于点ド,则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）①AE=BC；②NAED=NCBD；③若ノ。BE=40°,则在的长为@2L；9④DF=EF.EFBF'⑤若EF=6,贝リCE=2.24.69.（2021•衡阳）如图1,菱形ABC。的对角线4c与B。相交于点。，P、Q两点同时从。点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点尸的运动路线为。-A-Dー。，点。的运动路线为。ーC-Bー。.设运动的时间为x秒，P、。间的距离为ツ厘米,y与x的函数关系的图象大致如图2所示,当点P在Aー。段上运动且P、。两点间的距离最短时,尸、Q两点的运动路程之和为厘米.B图1 3868.（2021•张家界）如图,在正方形ABC。外取一点E,连接。E,AE,CE,过点。作。E的垂线交AE于点P,若。E=OP=1,PC=&.下列结论:①△AP。丝/XCE。:②AE丄CE；③点C到直线DE的距离为へ/京④S5+2点,其中正确结论的序号为.B69.（2021•宜昌）“莱洛三角形”是エ业生产中加工零件时广泛使用的ー种图形.如图,以边长为2厘米的等边三角形A8C的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”,该“莱洛三角形”的面积为平方厘米.（圆周率用n表示）70.（2021•襄阳）如图,正方形A3C。的对角线相交于点〇,点E在边3C上,点ド在C8的延长线上,NEA尸=45°,AE交BD于点G,tan/A4E=丄,BF=2,则FG2B 3968.(2021•随州)如图,在RtZXABC中,ZACB=90".。为AB的中点,0。平分/AOC交AC于点G,OD=OA,分别与AC,OC交于点£,F,连接A。，CD,则里・的值BC为;若CE=CF,则史的值为OF一CA〇B69.（2021•鄂州）如图，四边形ABOC中，4C=BC,NACB=90°,AO丄BO于点ハ.若BO=2,CD=4-/2＜则线段AB的长为.70.(2021•陕西)如图，AB是。0的直径，点E、ド在。。上，且BF=2BE,连接OE、AF,过点8作。。的切线，分别与。ど、Aド的延长线交于点C、D.(1)求证:ZCOB=ZA； 40(2)若4B=6,CB=4,求线段ド。的长. 41（1）如图1,在回ABC。中,NA=45°,AB=8,A£>=6,E是的中点,点ド在ハC±,且ハド=5,求四边形ABFE的面积.（结果保留根号）问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境.如图2所示,现规划在河畔的ー处滩地上规划ー个五边形河畔公园48（7。£按设计要求,要在五边形河畔公园AB8E内挖一个四边形人工湖。PMN,使点。、P、M、N分别在边8C、CD、AE.AB上,且满足BO=2AN=2CP,AM=OC.已知五边形AB8E中,ZA=ZB=ZC=90°,AB=800m,8c=1200m,CD=600/n,AE=900m.为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN?若存在,求四边形。PMN面积的最小值及这时点N到点A的距离;若不存在，请说明理由.图1图2 4284.（2021•山西）综合与实践问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图①,在回A8C。中,BEVAD,垂足为E,尸为CO的中点,连接£尸，BF,试猜想Eド与8F的数量关系,并加以证明.图①图②图③独立思考:（1）请解答老师提出的问题;实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将回A8C。沿着BF（ド为CO的中点）所在直线折叠,如图②,点C的对应点为C',连接OC’并延长交ん8于点G,请判断AG与BG的数量关系，并加以证明.问题解决:（3）智慧小组突发奇想,将回4BC。沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A',使A'8丄CO于点Z/,折痕交于点M,连接A'M,交C0于点N.该小组提出ー个问题:若此E1A8C。的面积为20,边长AB=5,BC=2巡,求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积.请你思考此问题，直接写出结果. 4384.(2021•山西)综合与探究如图,抛物线产尹+2%-6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点、C,连接AC,BC.(1)求4、B,C三点的坐标并直接写出直线AC,BC的函数表达式.(2)点P是直线AC下方抛物线上的ー个动点,过点P作8c的平行线ム交线段AC于点ハ.①试探究:在直线，上是否存在点E,使得以点。，C,B,E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标,若不存在，请说明理由;②设抛物线的对称轴与直线，交于点与直线AC交于点N.当Sadmn=Saaoc时,请直接写出。M的长.85.(2021•河南)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读,并完成相应的任务.小明:如图1,(1)分别在射线04,08上截取OC=O。，OE=OF(点C,E不重合);(2)分别作线段CE,。「的垂直平分线ム，12,交点为P,垂足分别为点G,//：(3)作射线OP,射线OP即为/AOB的平分线.简述理由如下:由作图知，NPGO=NPHO=90°,OG=OH,OP=OP,所以RtZ\PGO丝Rt/XPHO,则N尸。G=NPOH,即射线OP是/AOB的平分线.小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了,可以改进如下,如图2,(1)分别在射线。A,08上截取。C=。。,0E=0F(点、C,£・不重合)；(2)连接。E,CF,交点为P;(3) 44作射线0P.射线0P即为/408的平分线.任务:①SSS②SAS@AA5④ASA⑤，厶(2)小军作图得到的射线0P是/408的平分线吗?请判断并说明理由.(3)如图3(已知/AO8=60°,点、E,F分别在射线。4,0B上,且OE=OF=M+1.点C,£)分别为射线08上的动点,HOC=OD,连接。E,CF,交点为P,当/CPE=30°时,直接写出线段。C的长.84.(2021•常德)如图,在平面直角坐标系xOy中，平行四边形的AB边与y轴交于E点,尸是AO的中点,8、C、。的坐标分别为(-2,0),(8,0),(13,10).(1)求过8、E、C三点的抛物线的解析式:(2)试判断抛物线的顶点是否在直线Eド上;(3)设过ド与4B平行的直线交y轴于Q,M是线段E。之间的动点，射线与抛物线交于另一点P,当△PBQ的面积最大时,求P的坐标. 4584.(2021•常德)如图1,在AABC中,AB=AC,N是BC边上的一点,。为4N的中点,过点A作BC的平行线交C。的延长线于ア,且AT=8M连接(1)求证:BN=CN；(2)在图1中AN上取一点。，使4O=OC,作N关于边AC的对称点M,连接M7、MO、OC、OT、CM得图2.①求证:△7。Ms/XAOC；②设7M与んC相交于点P,求证:PD//CM,PD=^CM.28丄BC且CO=BE.(1)求证:△ABE四△4CO；(2)求证:EF2=BE1+CF2；(3)如图②,作A”丄BC,垂足为H,设NEA"=a,ZMH=p,不妨设AB=a/5，请 46利用(2)的结论证明:当a+0=45°时,tan(a+B)士”迷-成立.1-tanCI.，tanB图①图②90.(2021•娄底)如图,在直角坐标系中,二次函数y=/+か+c的图象与x轴相交于点A(-1,0)和点8(3,0)»与y轴交于点C.(1)求6、c的值:(2)点、P(m,〃)为抛物线上的动点,过户作x轴的垂线交直线ムy=x于点。.①当〇＜机＜3时,求当P点到直线，：y=x的距离最大时,”的值;②是否存在〃2，使得以点。、C、尸、。为顶点的四边形是菱形,若不存在,请说明理由;若存在,请求出,”的值. 4790.（2021•岳阳）如图,在RtZ\ABC中,ZACB=90°,ZA=60°,点。为4B的中点,连接CC,将线段C。绕点。顺时针旋转a(60° 48(1)求该抛物线的函数表达式;(2)如图2,直线ムy=丘+3经过点A,点P为直线/上的ー个动点,且位于x轴的上方,点。为抛物线上的ー个动点,当/5。〃y轴时,作丄P。,交抛物线于点M(点M在点。的右侧),以P。,。〃为邻边构造矩形「。仞7,求该矩形周长的最小值:(3)如图3,设抛物线的顶点为0,在(2)的条件下,当矩形R2MN的周长取最小值时,抛物线上是否存在点F,使得/C8尸=N。。时?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.图1图2图390.(2021•株洲)如图所示,在平面直角坐标系スOy中,一次函数y=2x的图象ノ与函数y=K(jt>0,x>0)的图象(记为「)交于点A,过点A作AB丄y轴于点8,且AB=1,点C在线段0B上(不含端点),且OC=f,过点C作直线，i〃x轴,交，于点ハ,交图象「于点E.(1)求ス的值,并且用含r的式子表示点。的横坐标: 49(2)连接OE、BE、AE,记△OBE、的面积分别为S卜S2,设U=5i-S2,求。的最大值.90.(2021•株洲)如图所示，AB是。。的直径，点C、。是。。上不同的两点，直线8。交线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F,若OC=3CE,且9(E尸-C尸)=〇&(1)求证:直线Cド是。。的切线:(2)连接。。、A。、AC、DC,若/COD=2NBOC. 50①求证:へACDsへOBE；②过点E作EG〃AB,交线段4c于点G,点M为线段AC的中点,若ん0=4,求线段MG的长度.90.（2021•株洲）已知二次函数ynd+bx+c（。>0）.（1）若a=l,b=c=-2,求方程欠2+bx+c=0的根的判别式的值;2（2）如图所示，该二次函数的图象与x轴交于点A（xi,O）、B（X2,0）,且xi<0 5190.(2021•怀化)如图所示,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且。4=2,OB=4,OC=8,抛物线的对称轴与直线BC交于点与x轴交于点M(1)求抛物线的解析式;(2)若点P是对称轴上的ー个动点,是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似?若存在，求出点尸的坐标，若不存在,请说明理由:(3)0为CO的中点,ー个动点G从。点出发，先到达x轴上的点E,再走到抛物线对称轴上的点凡最后返回到点C.要使动点G走过的路程最短,请找出点E、F的位置,写出坐标，并求出最短路程.(4)点。是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上,是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR?若存在,求出点Q的坐标,若不存在，请说明理由. 5290.（2021•衡阳）如图,点E为正方形ABCD外一点,ZA£B=90°,将RlAABE绕4点逆时针方向旋转90°得到△ん。ド,Dド的延长线交BE于“点.¢1）试判定四边形AF//E的形状,并说明理由;（2）已知8H=7,8c=13,求!W的长. 5390.(2021•衡阳)如图,△0AB的顶点坐标分别为0(0,0),A(3,4),B(6,0)»动点P、。同时从点。出发,分别沿x轴正方向和y轴正方向运动,速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位,点P到达点B时点尸、Q同时停止运动.过点。作MN〃08分别交40、4B于点A/、N,连接PM、PN.设运动时间为［(秒).(1)求点M的坐标(用含，的式子表示)；(2)求四边形MNBP面积的最大值或最小值;(3)是否存在这样的直线，,总能平分四边形MNBP的面积?如果存在,请求出直线I的解析式；如果不存在,请说明理由；(4)连接4P,当/。4尸时,求点N到04的距离.91.(2021•衡阳)在平面直角坐标系中,如果ー个点的横坐标与纵坐标相等,则称该点为“雁点”.例如(1,1),(2021,2021)••・都是“雁点”.(1)求函数y=纟图象上的“雁点”坐标;(2)若抛物线ynM+Sx+c上有且只有一个“雁点”E,该抛物线与x轴交于M、N两 54点（点M在点N的左侧）.当。＞1时.①求c的取值范围;②求/EMN的度数;（3）如图,抛物线y=-/+2x+3与x轴交于4、B两点、（点A在点B的左侧），P是抛物线y=-/+2x+3上一点,连接8P,以点P为直角顶点,构造等腰Rt^BPC,是否存在点P,使点C恰好为'‘雁点”?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.90.（2021•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C:丫=0?+か+,（。ナ〇）经过点（1,1）和（4,1）.（1）求抛物线C的对称轴.（2）当a=-l时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线 55Ci.①求抛物线C1的解析式.②设抛物线C1与x轴交于A,B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,连接BC.点、D为第一象限内抛物线C1上一动点,过点D作DEA.OA于点E.设点D的横坐标为m.是否存在点ハ,使得以点。,D,E为顶点的三角形与ABOC相似,若存在‘求出"’的值;若不存在，请说明理由.备用图90.如图，在RtZ\ABC中,点/3为斜边BC上一动点,将れAB尸沿直线AP折叠,使得点B的对应点为B',连接AB',CB',BB',PB'.(1)如图①，若尸タ丄AC,证明:PB'=AB'.(2)如图②，若48=AC,BP=3PC,求cos/8'AC的值.（3）如图③,若/AC8=30°,是否存在点尸,使得4B=CB'.若存在,求此时匹的 56BC值;若不存在,请说明理由.①②③备用图90.（2021•长沙）我们不妨约定:在平面直角坐标系中,若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称,则把该函数称之为“7函数”,其图象上关于y轴对称的不同两点叫做ー对“T点”.根据该约定,完成下列各题.-&x<0）（1）若点ん（1"）与点8（5,4）是关于ズ的“ア函数タ=♦x.tx2（x>0,t卉0,t是常数）的图象上的ー对“ア点”,则r=,s=,t=（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于x的函数y=丘+p（%,p是常数）是“7函数”吗?如果是,指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由;（3）若关于x的“T函数”y=a?+か+c（a>0,且a,b,c是常数）经过坐标原点。,且与直线ムy=mx+n（m^O,n>0,且加，〃是常数）交于M（xi,yi）,N（x2,J2）两点，当xi,满足（1-xi）'+X2=1时,直线Z是否总经过某ー定点?若经过某ー定点，求出该定点的坐标；否则,请说明理由.91.（2021•长沙）如图,点。为以4B为直径的半圆的圆心,点、M,N在直径ん8上，点尸，。在ABヒ,四边形MNPQ为正方形，点C在QP上运动（点C与点P,。不重合）,连接BC并延长交MQ的延长线于点。,连接AC交MQ于点E,连接。。. 57(1)求sinNAOQ的值;(2)求迎的值:MN(3)令ME=x,QD=y,直径AB=2R(R>0,R是常数),求y关于x的函数解析式,并指明自变量x的取值范围.90.(2021•安顺)(1)阅读理解我国是最早了解勾股定理的国家之一,它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中.汉 58代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程;(2)问题解决勾股定理的证明方法有很多,如图②是古代的一种证明方法:过正方形AC0E的中心0,作ドG丄HP,将它分成4份,所分成的四部分和以8c为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形.若AC=12,BC=5,求EF的值;(3)拓展探究如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形,再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这ー过程就可以得到“勾股树”的部分图形.设大正方形N的边长为定值〃，小正方形4,B,C,O的边长分别为a,b,c,d.已知/l=N2=N3=a,当角a(0° 59证明:任取X1VX2,且Xl>0,X2>0.则，（XI）-/（X2）=xi2-X22=（X1+X2）（XI-X2）.,.,xi 60后停止运动,求点E的运动时间t的最小值.90.(2021•宜昌)如图，在菱形んBCO中,。是对角线8。上一点(8。＞ハ。)，OE±AB,垂足为E,以OE为半径的〇。分别交。C于点，,交EO的延长线于点ド,EF与DC交于点G.(1)求证:8C是。。的切线；(2)若G是。ド的中点，OG=2,DG=\.①求HE的长；②求AD的长.91.(2021•宜昌)如图，在矩形ABC。中，E是边AB上一点,BE=BC,EFLCD,垂足为尸.将四边形CBEド绕点C顺时针旋转a(0° 61s(3)如图3,若BM〃F，B,交GP于点M,tanNG=工，求一丄理-的值.2SACFZH90.(2021•宜昌)在平面直角坐标系中，抛物线ッ=-(x+4)(X-n)与x轴交于点A和点、B(n,0)(〃ユ-4),顶点坐标记为(Zn,h).抛物线”=-(x+2n)2-n2+2n+9W]顶点坐标记为(力2,to).(1)写出A点坐标:(2)求心,to的值(用含〃的代数式表示)(3)当ー4W"<4时,探究&1与to的大小关系;(4)经过点、M(2/7+9,-5n2)和点N(2n,9-5n2)的直线与抛物线yi=-(x+4)(xー〃)，y2=-(x+2”)2ー〃2+2"+9的公共点恰好为3个不同点时，求〃的值. 6290.(2021•襄阳)如图，直线AB经过。。上的点C,直线80与。0交于点F和点ハ,OA与。。交于点E,与DC交于点,G,OA=OB,CA=CB.(1)求证:A8是。。的切线;(2)若FC〃。ん8=6,求图中阴影部分面积.91.（2021•襄阳）在△ABC中,ZACB=90°,&=〃?,。是边BC上一点,将△AB。沿BCん。折叠得到△AE。，连接 63（1）特例发现如图1,当m=1,落在直线AC上时.①求证:ZDAC=ZEBC；②填空:型的值为;CE（2）类比探究如图2,当mKl,AE与边BC相交时,在A£）上取一点G,使/ACG=/BCE,CG交AE于点H.探究”的值（用含m的式子表示）,并写出探究过程;CE后在（2）的条件下，当m=セム，ハ是8c的中点时，若EB・EH=6,求CG的长.（3）拓展运用BC图1图2 6490.（2021•襄阳）如图,直线ぎ=ユス+1与ス,y轴分别交于点3,A,顶点为P的抛物线y“2=ax^-2ox+c过点A. 65(1)求出点4,8的坐标及c的值(2)若函数y=。7ー2ar+c在3WxW4时有最大值为。+2,求a的值;(3)连接AP,过点A作AP的垂线交ス轴于点M.设△BMP的面积为S.①直接写出S关于〃的函数关系式及。的取值范围;②结合s与。的函数图象,直接写出s＞エ时。的取值范围.备用图90.(2021•恩施州)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCハ为正方形,点A,B在x轴上,抛物线y=/+bx+c经过点8,D(-4,5)两点,且与直线。C交于另一点E.（1）求抛物线的解析式:（2）F为抛物线对称轴上一点,。为平面直角坐标系中的一点,是否存在以点。,F,E,B为顶点的四边形是以BE为边的菱形.若存在，请求出点F的坐标:若不存在，请说明理由:（3）P为y轴上一点,过点P作抛物线对称轴的垂线,垂足为连接ME,BP,探究EM+MP+PB是否存在最小值.若存在,请求出这个最小值及点M的坐标:若不存在,请说明理由.备用图91.（2021•荆门）已知关于x的一元二次方程？-6x+2胆ー1=0有xi,な两实数根. 66（1）若xi=l,求X2及/n的值:（2）是否存在实数相，满足（XI-1）（X2-1）=旦?若存在,求出实数机的值:若m-5不存在，请说明理由.90.（2021•荆门）如图，在△ABC中，NB4c=90°,点E在BC边上,过A,C,£三点的。。交A8边于另一点凡且ド是AE的中点，是〇。的一条直径,连接OE并延长 67交AB边于M煎.(1)求证:四边形CQMド为平行四边形;(2)当CO=±AB时,求sin/ACF的值.590.(2021•荆门)如图,抛物线ぎ=/+か+<:交x轴于A(-1,0),B(3,0)两点,交y轴于点C(0,-3),点。为线段BC上的动点.(1)求抛物线的解析式;(2)求IQOI+IQM的最小值;(3)过点。作PQ〃んC交抛物线的第四象限部分于点P,连接以，PB,记△孙。与△尸8。面积分别为Si,52,设S=Si+S2,求点P坐标，使得S最大,并求此最大值.91.(2021•随州)等面积法是ー种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图形的面积相等”、’’分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等 68底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题,在解题中,灵活运用等面积法解决相关问题,可以使解题思路清晰,解题过程简便快捷.（1）在直角三角形中,两直角边长分别为3和4,则该直角三角形斜边上的高的长为,其内切圆的半径长为:（2）①如图1,P是边长为a的正AABC内任意一点，点〇为ふABC的中心，设点尸到△4BC各边距离分别为加,〃2,人3,连接4P,BP,CP,由等面积法,易知ユa（加+〃2+加）2=S4ABe=3S△0AB,可得/11+〃2+加=一:（结果用含。的式子表示）图1图2②如图2,P是边长为a的正五边形ABC0E内任意一点，设点P到五边形A8COE各边距离分别为ん,hi,〃3,〃4,ん，参照①的探索过程,试用含a的式子表示/n+/J2+〃3+/?4+加的值.（参考数据:tan36°ル且，tan54°ル」1）118（3）①如图3,已知。。的半径为2,点4为。0外一点，OA=4,AB切。。于点B,弦8C〃04,连接AC,则图中阴影部分的面积为；（结果保留n）②如图4,现有六边形花坛ABCDEF,由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形48CCG,其中点G在A/的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理由图3图490.（2021•随州）在平面直角坐标系中，抛物线ヅ:い+法+0与x轴交于点A（-1,O）和点B,与y轴交于点C,顶点。的坐标为（1,-4）.（1）直接写出抛物线的解析式;（2）如图1,若点P在抛物线上且满足/PCB=NCB£>,求点尸的坐标; 69（3）如图2,M是直线BC上一个动点,过点M作MN丄x轴交抛物线于点N,。是直线AC上一个动点,当厶。〃x为等腰直角三角形时,直接写出此时点M及其对应点Q的坐标.90.（2021•鄂州）如图,直线y=ー尹七与x轴交于点B,与y轴交于点4,点P为线段AB的中点，点。是线段OA上ー动点（不与点。、ス重合）.（1）请直接写出点A、点8、点P的坐标;（2）连接尸。,在第一象限内将△OPQ沿尸。翻折得到AEP。，点。的对应点为点£.若N。。七=90°,求线段A。的长:（3）在（2）的条件下，设抛物线y=o?-2a2ス+/+°+1（〇ノ〇）的顶点为点C.①若点C在42。£内部（不包括边），求a的取值范围;②在平面直角坐标系内是否存在点C,使|（r。-じ£!最大?若存在,请直接写出点C的坐标;若不存在，请说明理由.备用图1备用图291.（2021•鄂州）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究,请阅读以下探究过程并解决问题.猜想发现由5+5=2>/5X5=10;—+—=2J-L.x—=—;0.4+0.4=2VO.4X0.4=0.8；—+5>33V33352nx5=2；0.2+3.2>2VO.2X3.2=1.6；Xj=^- 70猜想:如果a>0,b>0,那么存在a+622ぜ不（当且仅当a=b时等号成立）.猜想证明（Va-2.0,...①当且仅当広一¢=0,即a=b时,a-2Vab+b=0，.".a+b=2yJ7b；②当広一«W0,即aWb时,a-2Vab+b>0，.".a+b>2y/^b，综合上述可得:若a>0,レ>0,则a+622Vab成立（当且仅当。=人时等号成立）.猜想运用对于函数y=x+工（x>0）,当x取何值时，函数y的值最小?最小值是多少?变式探究对于函数y=_L+x（x>3）,当x取何值时，函数y的值最小?最小值是多少?x-3拓展应用疫情期间,为了解决疑似人员的临时隔离问题.高速公路检测站入口处,检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限）,用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房,如图.设每间离房的面积为S（米2）.问:每间隔离房的长、宽各为多少时,可使每间隔离房的面积S最大?最大面积是多少? 712021年中考真题精选3・选择题90.（2021•十堰）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列,例如,位于第4行第3列的数为27.则位于第32行第13列的数是（）A.2025B.2023C.2021D.201991.（2021•十堰）如图，反比例函数y=K（x>0）的图象经过点A（2,1）,过A作4Bx丄y轴于点B,连。4,直线CO丄04,交x轴于点C,交y轴于点ハ,若点8关于直线CO的对称点タ恰好落在该反比例函数图像上,则ハ点纵坐标为（）575-192.（2021•武汉）ー辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地,其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变,两车离甲地的距离y（单位:km｝与慢车行驶时间r（单位:h）的函数关系如图,则两车先后两次相遇的间隔时间是（）B.悪 7290.（2021•武汉）如图,AB是。。的直径,BC是。。的弦,先将前沿BC翻折交AB于点ハ，再将BD沿AB翻折交BC于点E.若BE=在,设/ABC=a,则a所在的范围是A.21.9° 73DE=FG；②。E丄ドG；③/8Zて？=/ん。£；④FG的最小值为3.其中正确结论的个数有 7490.（2021•黄冈）如图,4c为矩形4BC。的对角线,已知AO=3,CO=4,点P沿折线C-A-D以每秒1个单位长度的速度运动（运动到。点停止）,过点P作尸E丄BC于点E,则△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（）91.（2021•广西）如图,矩形纸片ABC。,AD：48=亚:1,点E,ド分别在ん。,8c上,把纸片如图沿Eド折叠,点A,B的对应点分别为ん',B',连接ん4‘并延长交线段CD于点G,则盟的值为（）AG92.（2021•贺州）如图,在RtZ\ABC中,ZC=90°,AB=5.点。在AB上,08=2,以08为半径的〇〇与AC相切于点ハ,交8C于点E,则CE的长为（） 75 76A.AB.2C.义^D.123290.（2021•白银）如图1.在△ABC中,AB=BC,8。丄AC于点ハ（AD>BD）•动点M从A点出发,沿折线48fBe方向运动,运动到点C停止.设点M的运动路程为x,△AMO的面积为y,y与x的函数图象如图2,则AC的长为（）91.（2021•台州）如图,将长、宽分别为12cm3c山的长方形纸片分别沿A8,AC折叠,点”，N恰好重合于点尸.若/a=60°,则折叠后的图案（阴影部分）面积为（）A.（36~6a/3）cm2B.（36—12次）cm2C.24cm2D.36cm292.（2021•绍兴）如图,RtZXABC中，ZBAC=90°,cosB=工,点。是边BC的中点，4以4。为底边在其右侧作等腰三角形ADE,使ZB,连结CE,则出的值为（）ADA.7155D.293.（2021•嘉兴）如图,在△ABC中,NBAC=90°,AB=AC=5,点。在AC上,且AO=2,点E是A8上的动点,连结ハE,点凡G分别是BC和。E的中点，连结AG,FG, 77当AG=FG时,线段。E长为（）A.B.C.D.42290.（2021•湖州）如图，已知在矩形ABC。中，AB=\,BC=g点P是A。边上的ー个动点，连结8P,点C关于直线BP的对称点为。，当点P运动时,点。也随之运动.若点P从点A运动到点。，则线段CC1扫过的区域的面积是（）A.kB.皿+ふ2C.ふ应D.2n4291.（2021•湖州）已知抛物线y=a?+法+c（aW0）与x轴的交点为A（1,0）和8（3,0）,点P\（xi,yi）,尸2（X2,”）是抛物线上不同于A,B的两个点，记△PAB的面积为51,△P2んB的面积为S2,有下列结论:①当xi>x2+2时，51>52:②当xi<2-x2时，51<52;③当|xi-2|>废-2|>1时,51>52；④当（xi-2|>原+2|>1时，51<52.其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4 78--填空题90.（2021•十堰）如图,在Rt/XABC中,ZACfi=90°,AC=8,BC=6,点尸是平面内ー个动点,且AP=3,。为BP的中点,在P点运动过程中,设线段C。的长度为机,则m的取值范围是91.（2021•武汉）如图（1）,在△4BC中,AB^AC,NB4C=90°,边AB上的点。从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边8C上的点E从顶点B出发，向顶点C运动,D,E两点运动速度的大小相等，设x=AO,y=AE+CD,y关于x的函数图象如图（2）,图象过点（0,2）,则图象最低点的横坐标是92.（2021•湖北）如图，在平面直角坐标系中，动点?从原点。出发，水平向左平移1个单位长度,再竖直向下平移1个单位长度得点尸1（-1,-1）:接着水平向右平移2个单位长度,再竖直向上平移2个单位长度得到点尸2:接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点尸3:接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4,…，按此作法进行下去,则点P202I的坐标为. 7990.(2021•黄冈)如图,正方形4BC。中,A8=l,连接AC,NACO的平分线交AO于点E,在AB上截取A尸=£>£连接。凡分别交CE,C4于点G,H,点尸是线段GC上的动点，尸。丄4c于点。，连接尸Z/•下列结论:①CE丄。ド;②。E+OC=4C；③E4=百AH:④PH+尸。的最小值是堂，其中所正结论的序号是.91.(2021•广西)如图,已知点A(3,0),B(1,0),两点C(-3,9),D(2,4)在抛物线y=ド上,向左或向右平移抛物线后,C,。的对应点分别为C',D'.当四边形ABC'D'的周长最小时，抛物线的解析式为.92.(2021•柳州)如图，一次函数y=2x与反比例函数y=K(A>0)的图象交于A,B两点,点M在以C(2,0)为圆心，半径为I的。C上，N是AM的中点,已知。N长的最大值为3,则え的值是2 8090.（2021•贺州）如图.在边长为6的正方形ABC。中,点E,ド分别在BC,C。上,BC=3BES.BE=CF,AEYBF,垂足为G,。是对角线Bル的中点,连接。G、则OG的长为.91.（2021•玉林）如图，△ABC是等腰三角形,AB过原点0,底边BC〃ス轴,双曲线y=K过4,B两点,过点C作CD//y轴交双曲线于点D,若Smcd=8,则k的值是.92.（2021•玉林）如图,在正六边形4BCCE'ド中，连接对角线AO,AE,AC,DF,DB,AC与8。交于点M,AE与DF交于点为N,MN与AD交于点、〇,分别延长AB,0c于点G,设A8=3.有以下结论:①）MN丄AD②MN=2炳③△94G的重心、内心及外心均是点M④四边形阳CO绕点。逆时针旋转30°与四边形ABOE重合则所有正确结论的序号是 8190.（2021・绍兴）已知△A8C与△ABO在同一平面内,点C,。不重合,ZABC=ZABD=30",AB=4,AC=AD=2V2.贝リCD长为..91.（2021•杭州）如图是ー张矩形纸片ABC。，点M是对角线4c的中点，点、E在BC边上，把AOCE沿直线OE折叠，使点C落在对角线AC上的点ド处，连接。F,EF.若MF=AB,则/。んド=度.92.（2021•嘉兴）如图，在△ABC中，ZBAC=30°,NACB=45°,AB=2,点尸从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动,连结CP,点A关于直线CP的对称点为A',连结A'C,A'P,在运动过程中,点A'到直线AB距离的最大值是!点P到达点8时，线段A'P扫过的面积为■93.（2021•湖州）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3,4）,M是抛物线y=/+か+2（aWO）对称轴上的ー个动点.小明经探究发现:当士的值确定时,抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定,若抛物线y=ax2+bx+2（aWO）的对称轴上存在3个不同的点M,使△AOM为直角三角形，则旦的值 8290.（2021•湖州）由沈康身教授所著,数学家吴文俊作序的《数学的魅力》ー书中记载了这样ー个故事:如图,三姐妹为了平分ー块边长为1的祖传正方形地毯,先将地毯分割成七块,再拼成三个小正方形（阴影部分）.则图中AB的长应是三.解答题91.（2021•十堰）如图,已知A8是。。的直径,C为。〇上一点,NOC8的角平分线交。。于点ハ，ド在直线AB上,且ハ尸丄BC,垂足为E,连接A。、BD.（1）求证:。ド是〇。的切线;（2）若tan/4=丄，。0的半径为3,求Eド的长.2C92.(2021•十堰)已知等边三角形A8C,过A点作AC的垂线点P为/上ー动点(不与点A重合),连接CP,把线段C尸绕点C逆时针方向旋转60°得到C。,连。艮 83(1)如图1,直接写出线段AP与BQ的数量关系:(2)如图2,当点P、B在AC同侧且AP=AC时,求证:直线尸B垂直平分线段CQ(3)如图3,若等边三角形48c的边长为4,点、P、8分别位于直线んC异侧，且△APQ的面积等于返，求线段AP的长度.4图1图2图390.(2021•十堰)已知抛物线ア=0?+かー5与x轴交于点A(-1,0)和B(-5,0),与y轴交于点C,顶点为P,点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M,连AC、CM.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,当tan/4cM=2时,求M点的横坐标;(3)如图2,过点P作x轴的平行线，,过M作丄/于。，若求N点 84的坐标.图1上两点,152.(2021•武汉)如图,A8是。。的直径,C,。是。。C是BD的中点,过点C作的垂线,垂足是E.连接AC交8。于点ド.(1)求证:CE是。。的切线;(2)若坡=氓,求cos/ABO的值.DF153.(2021•武汉)问题提出如图(1),在△ABC和△OEC中，ZACB=ZDCE=90°,BC=AC,EC=DC,点E在△ABC内部，直线A。与BE于点ド.线段AF,BF,Cド之间存在怎样的数量关系?问题探究(1)先将问题特殊化如图(2),当点。,F重合时,直接写出ー个等式,表示AF,BF,Cド之间的数量关系;(2)再探究一般情形如图(1),当点。,ド不重合时,证明(1)中的结论仍然成立.问题拓展 85如图（3）,在△ABC和△£）£（7中,ZACB=ZDCE=90°,BC=kAC,EC=kDC（k是常数）,点E在△ABC内部，直线40与BE交于点F.直接写出ー个等式，表示线段AF,BF,CF之间的数量关系.(1)(2)(3)153.（2021•武汉）抛物线y=7-1交x轴于A,8两点（A在B的左边）.（1）ElACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上;①如图（1）,若点C的坐标是（0,3）,点E的横坐标是ヨ，直接写出点A,ル的坐标.2②如图（2）,若点。在抛物线上,且団AC0E的面积是12,求点E的坐标.（2）如图（3）,ド是原点。关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线，分别交线段AF,BF（不含端点）于G,4两点.若直线，与抛物线只有一个公共点，求证:FG+FH的值是定值.154.（2021•湖北）如图:在平面直角坐标系中,菱形A8c。的顶点ハ在y轴上,A,C两点的坐标分别为（2,0）,（2,m）,直线C。:yi=ar+b与双曲线:"=K交于C,P（-4,-1)两点.(1)求双曲线中的函数关系式及机的值; 86(2)判断点8是否在双曲线上,并说明理由:(3)当ダ＞"时,请直接写出x的取值范围.153.(2021•湖北)如图，AB为。。直径，ハ为。。上一点,BC丄于点C,交〇。于点E,C。与84的延长线交于点凡平分ノ48c.(1)求证:C。是。。的切线;(2)若AB=10,CE=1,求Cハ和。F的长.154.(2021•湖北)已知△ABC和△OEC都为等腰三角形，AB=AC,DE=DC,ZBAC=ZEDC=n.(1)当”=60时，①如图1,当点。在4c上时，请直接写出BE与AO的数量关系:；②如图2,当点。不在AC上时,判断线段BE与A。的数量关系，并说明理由:(2)当"=90时,①如图3,探究线段8E与A。的数量关系，并说明理由:BE//AC,AB=3如,ん。=1时，请直接写出。C的长. 87AD图1图2图3153.(2021•湖北)如图1.已知/RPQ=45。，ZvlBC中，N4cB=90°.动点P从点A出发,以2粕c〃1/s的速度在线段4c上向点C运动，PQ,PR分别与射线AB交于E,F两点，且PE丄A8,当点P与点C重合时停止运动，如图2,设点尸的运动时间为xs,NRPQ与へABC的重叠部分面积为ycm2,y与x的函数关系由Ci(0 88153.(2021•黄冈)如图,反比例函数y=K的图象与一次函数y=〃!什”的图象相交于A(a,-1),B(-1,3)两点.(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)设直线A8交y轴于点C,点N(ム0)是x轴正半轴上的ー个动点,过点N作NM丄x轴交反比例函数y=K的图象于点M,连接CMOM.若S四边形comn>3,求，的取154.(2021•黄冈)已知抛物线y=a?+6x-3与x轴相交于A(-1,0),8(3,〇)两点,与y轴交于点C,点N(ル0)是x轴上的动点.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,若〃<3,过点N作x轴的垂线交抛物线于点P,交直线BC于点G.过点P作尸。丄8c于点ハ,当〃为何值时，APDG纟ABNG；(3)如图2,将直线8c绕点B顺时针旋转,它恰好经过线段OC的中点，然后将它向上平移旦个单位长度，得到直线。物.2©tanZBOBi=；②当点N关于直线031的对称点M落在抛物线上时,求点N的坐标. 89153.（2021•广西）【阅读理解】如图①，/i〃/2,△ABC的面积与△OBC的面积相等吗?为什么?解:相等.在△ABC和△O8C中,分别作AE丄，2,DFL11,垂足分别为E,F.：.ZAEF=ZDFC=90°,J.AE//DF.V/1/7/2,.•・四边形AEFD是平行四边形,：.AE=DF.又Smbc=^BC'AE,Sへdbc=Lbudf.22:.SaABC=S&DBC・ 90【类比探究】如图②,在正方形ABCD的右侧作等腰△(7£)£CE=DE,40=4,连接AE,求△ADE的面积.解:过点E作E/丄C。于点凡连接A凡请将余下的求解步骤补充完整.【拓展应用】如图③,在正方形4BC。的右侧作正方形CEFG,点B,C,E在同一直线上,AD=4,连接8。,BF,DF,直接写出△8。ド的面积.153.(2021•广西)2022年北京冬奥会即将召开,激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某ー位置的水平线为x轴,过跳台终点A作水平线的垂线为メ轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线。:y=ー丄/+工ス+1近似表126示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点。正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y= 丄ユHx+c运动. 918(1)当运动员运动到离4处的水平距离为4米时,离水平线的高度为8米,求抛物线C2的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时,运动员与小山坡的竖直距离为1米?(3)当运动员运动到坡顶正上方,且与坡顶距离超过3米时,求人的取值范围.153.(2021•广西)如图①，在△ABC中，丄BC于点ハ,BC=\4,AD=8,8ル=6,点E是AO上一动点(不与点A,。重合),在△AOC内作矩形EFG/Z,点/在OC上,点G,”在4c上，设。E=x,连接BE.(1)当矩形E尸GH是正方形时,直接写出Eド的长;S, 92(2)设△ABE的面积为S,矩形EFG”的面积为52,令y=-U求y关于x的函数解S2析式(不要求写出自变量X的取值范围);(3)如图②,点P(a,b)是(2)中得到的函数图象上的任意一点,过点P的直线/分别与x轴正半轴,y轴正半轴交于M，N两点,求△OMN面积的最小值,并说明理由.图①图②153.(2021•广西)如图，已知AO,Eド是。。的直径，AD=6如,〇〇与!2OABC的边AB,OC分别交于点£M,连接C。并延长，与4F的延长线交于点G,ZAFE=ZOCD.(1)求证:C。是。。的切线;(2)若GF=1,求cos/AE/的值; 93(3)在(2)的条件下,若/A8C的平分线交C。于点，，连接A”交。。于点N, 94求旭的值.NH153.(2021•柳州)如图,四边形ABC。中,AD//BC,ADLAB,AD=AB=i,OC=巡,以A为圆心，A。为半径作圆,延长CD交OA于点F,延长DA交。A于点E,连结BF,交DE于点G.(1)求证:8c为〇A的切线;(2)求cos/EOF的值:(3)求线段BG的长.154.(2021•柳州)在平面直角坐标系ズ。)，中，已知抛物线:ヅ=い+か+じ交x轴于A(-1,0),B(3,〇)两点,与y轴交于点C(0,一3).(1)求抛物线的函数解析式:(2)如图I,点。为第四象限抛物线上一点,连接。。，过点8作BE丄。。，垂足为E,若BE=2OE,求点。的 95坐标:(3)如图2,点M为第四象限抛物线上一动点,连接んW,交BC于点M连接8W,记S,△8MN的面积为Si,△ABN的面积为S2,求」•的最大值.S2图1图2153.(2021•贺州)如图,抛物线ア=ノ+か+<:与x轴交于4、B两点,且A(-1,0),对称轴为直线x=2.(1)求该抛物线的函数达式:(2)直线，过点A且在第一象限与抛物线交于点C.当/CA8=45°时,求点C的坐标;(3)点。在抛物线上与点C关于对称轴对称,点P是抛物线上一动点,令P(xp,yp), 96当1くxpWa,l 97设直线，与y轴的交点为。’,原抛物线上的点P平移后的对应点为点0,若。‘P=0'Q,求点尸,。的坐标.153.（2021•白银）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的ー个引理.如图,已知AB，C是弦48上一点,请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.（1）尺规作图（保留作图痕迹,不写作法）；①作线段AC的垂直平分线。E,分别交AB于点ハ，4c于点E,连接A。，CD；②以点。为圆心,OA长为半径作弧，交AB于点Z：'（F,A两点不重合），连接。F,BD,BF.（2）直接写出引理的结论:线段8C,8ド的数量关系.154.（202い白银）如图，ZXABC内接于。。,。是。。的直径A8的延长线上ー点，NDCB=ZOAC,过圆心。作BC的平行线交DC的延长线于点E.（1）求证:C。是。。的切线;（2）若。0=4,CE=6,求。。的半径及tanノ。。?的值. 98153.(2021•白银)问题解决:如图1,在矩形A8C。中,点E,ド分别在AB,BC边上,DE=AF,DE丄AF于点、G.ADAD图1图2(1)求证:四边形ABC。是正方形;(2)延长CB到点〃，使得B”=AE,判断△4”尸的形状，并说明理由.类比迁移:如图2,在菱形A8CO中，点E,ド分别在A8,BC边上，OE与A尸相交于点G,DE=AF,ZA£D=60°,AE=6,BF=2,求0E的长.154.(2021白银)如图，在平面直角坐标系中，抛物线ソ=ユア+か:+じ与坐标轴交于A(0,-2),B(4,0)两点,直线BC：y=-2x+8交y轴于点C.点。为直线AB下方抛物线上ー动点,过点。作x轴的垂线，垂足为G,。6分别交直线BC,AB于点E,F.(1)求抛物线y=//+bx+c的表达式; 99(2)当G尸=ユ时,连接BO,求△8£＞ド的面积;2(3)①，是y轴上一点,当四边形BE//F是矩形时,求点/Z的坐标;②在①的条件下,第一象限有一动点尸,满足户”=PC+2,求△尸”8周长的最小值.153.(2021•台州)如图，BO是半径为3的。。的一条弦，80=4衣，点A是。。上的一个动点(不与点B,。重合)，以A,B,ハ为顶点作团ABCD(1)如图2,若点A是劣弧BD的中点.①求证:^iABCD是菱形;②求12ABe。的面积.(2)若点A运动到优弧BD上,且!2ABe。有一边与。。相切.①求A8的长；154.(2021•绍兴)小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图,如图1,杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径48=4,且点A,8关于y轴对称，杯脚高。。=4,杯高。。=8,杯底MN在x轴上. 100(1)求杯体ACB所在抛物线的函数表达式(不必写出x的取值范围);(2)为使奖杯更加美观,小敏提出了改进方案,如图2,杯体A'CB,所在抛物线形状不变,杯口直径A'B'//AB,杯脚高C。不变,杯深C。’与杯高。n’之比为0.6,求153.(2021•绍兴)如图，矩形4BC0中,AB=4,点E是边AO的中点,点F是对角线80上ー动点，N4OB=30°.连结EF,作点。关于直线Eド的对称点P.(1)若EF丄BD,求ハ尸的长;(2)若PE丄BD,求。ド的长;(3)直线PE交B。于点。,若ム。£。是锐角三角形,求。ド长的取值范围.154.(2021•杭州)如图,锐角三角形ABC内接于〇。,N8AC的平分线AG交。。于点G,交BC边于点F,连接BG.(1)求证:AABG^AAFC. 101（2）已知AB=a,AC=AF=b,求线段ドG的长（用含a,シ的代数式表示）.（3）已知点E在线段Aド上（不与点A,点ド重合）,点。在线段AE上（不与点A,点E重合），NABD=NCBE,求证:BG2=GE'GD.153.（2021•嘉兴）已知二次函数y=-7+6x-5.（1）求二次函数图象的顶点坐标;（2）当1WxW4时,函数的最大值和最小值分别为多少?（3）当/WxWt+3时，函数的最大值为か,最小值为〃，若/nー〃=3,求f的值.154.（202い嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后,进ー步开展探究活动:将ー个矩形A8C。绕点A顺时针旋转a（0° 102AP.(1)如图1,若/ACB=90°,ZCAD=60°,BD=AC,AP=«,求8c的长.(2)过点ハ作ハ后〃AC,交AP延长线于点E,如图2所示,若/C4O=60°,BD=AC,求证:BC—2AP.(3)如图3,若ノ。。=45°,是否存在实数m,当8。="?4c时，BC=2AP2若存在,请直接写出机的值;若不存在，请说明理由.153.(2021•湖州)已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数ソ=ユ(x>0)图象上的ー个动点，连结AO,AO的延长线交反比例函数y=K(fc>0,x<0)的图象于点B,过点A作AE丄y轴于点E.(1)如图1,过点B作Bド丄x轴，于点巴连接EF.①若え=1,求证:四边形AEFO是平行四边形:②连结BE,若え=4,求ABOE的面积.(2)如图2,过点E作EP〃んB,交反比例函数y=K(Q>0,x<0)的图象于点尸，连结OP.试探究:对于确定的实数ス,动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化?请说明理由.202I年中考真题精选4一.选择题 103153.（2021•金华）如图,在RtZXABC中,ZACB=90°,以该三角形的三条边为边向形外作正方形,正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上.记该圆面积为Si,△,S,"A8C面积为S2,则4的值是（）S2A苧B.3nC.5nD.写154.（2021•温州）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形A8C。如图所示.过点。作。/Z的垂线交小正方形对角线£ド的延长线于点G,连结CG,延长BE交CG于点”.若AE=28£则"的值为（BHV2「3710し・7155.（2021•宁波）如图是ー个由5张纸片拼成的平行四边形A8CC,相邻纸片之间互不重叠也无缝隙,其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为ふ,另两张直角三角形纸片的面积都为52,中间ー张矩形纸片EFGH的面积为S3,FH与GE相交于点O.当△AEO, 104△BFO,ACGO,△0〃。的面积相等时,下列结论ー定成立的是（A.Si=52B.51=S3C.AB=ADD.EH=GH153.（2021•衢州）如图.将菱形ABC。绕点A逆时针旋转/a得到菱形AB'C'D',XB=Zp.当AC平分/B'AC’时,Na与满足的数量关系是（）A.Za=2ZpB.2Za=3ZpC.4Za+Zp=180°D.3Za+2Zp=180°154.（202八衢州）已知A,B两地相距60h〃，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地,甲骑自行车匀速行驶3ん到达,乙骑摩托车，比甲迟16出发,行至30h〃处追上甲,停留半小时后继续以原速行驶.他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示.当乙再次追上甲时距离B地（）155.（2021•丽水）如图，在RtZXABC纸片中,ZACB=90°,AC=4,8C=3,点D,E分别在A8,AC上,连结ハE,将△AOE沿OE翻折,使点A的对应点ド落在BC的延长线上,若ド。平分ZEF8,则的长为（） 105A.里B.空C.生D•里9877153.（2021•通辽）为迎接中国共产党建党ー百周年,某班50名同学进行了党史知识竞赛,测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖.成绩/分919293949596979899100人数■■1235681012下列关于成绩的统计量中,A.平均数,方差C.中位数，众数与被遮盖的数据无关的是（）B.中位数,方差D.平均数，众数154.（2021•通辽）如图,在RtZ\ABC中,乙4cB=90°,根据尺规作图的痕迹,判断以下结论错误的是（）A.NBDE=NBACB.NBAD=NBC.DE=DCD.AE=AC155.（2021•通辽）如图，已知Aハ〃BC,ABA.BC,AB=3,点E为射线BC上一个动点,连接AE,将れABE沿AE折叠，点8落在点タ处，过点8’作ん。的垂线，分别交AO,BC于M,N两点，当8'为线段MN的三等分点时，BE的长为（）D.156.（2021•通辽）如图，在矩形中，AB=4,BC=3,动点尸,Q同时从点A出发,点P沿A-B-C的路径运动,点。沿Af。ーC的路径运动，点P,。的运动速度相同, 106当点P到达点C时,点。也随之停止运动,连接PQ.设点P的运动路程为x,PQ1为y，153.（2021•包头）如图,在△ABC中,AB=AC,△08c和△48C关于直线8c对称,连接AO,与BC相交于点。,过点C作CE丄CQ,垂足为C,A。相交于点E,若AO=8,C.D.154.（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，矩形。ABC的。4边在x轴的正半轴上,OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4,2）,反比例函数y=Z（x>0）的图象与BC交于点D,与对角线。B交于点E,与4B交于点凡连接。ハ,DE,EF,DF.下列 107结论:①sinNQOC=cos/BOC；②OE=BE；③SaDok=S&bef；®OD：DF=2：3.其中正确的结论有（）A.4个B.3个C.2个D.1个153.（202い包头）己知二次函数yna？-bx+cQWO）的图象经过第一象限的点（1,则一次函数y=6x-ac的图象不经过（）A,第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限154.（2021•广元）将二次函数y=ー7+2r+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后,所得新函数的图象如图所示.当直线y=x+6与新函数的图象恰有3个公共点时,b的值为（A.2或ー3B.丄或ー3C.里或ー3D.区或ー34444155.（2021•广元）如图，在△ABC中,ZACB=90°,AC=BC=4,点。是8C边的中点,点P是AC边上一个动点,连接PD,以为边在尸。的下方作等边三角形Pル。，连接CQ.则C。的最小值是（） 108A.—B.1C.V2D.322153.（2021•遂宁）如图,在△ABC中,AB=4C,以A8为直径的。。分别与BC,4c交于点。,E,过点ハ作。尺L4C,垂足为点ド,若。。的半径为4«,NC。ド=15°,则阴影部分的面积为（）A.16n-12-73B.16n-24a/3C.20n-12-73D.20n-24V3二.填空题154.（2021•金华）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边C。都在x轴上,“猫”耳尖E在y轴上.若“猫”尾巴尖A的横坐标是!,则“猫”爪尖F的坐标是.155.（2021•金华）如图1是ー种利用镜面反射，放大微小变化的装置.木条BC上的点尸处安装一平面镜,BC与刻度尺边MN的交点为。，从A点发出的光束经平面镜尸反射后,在MN上形成一个光点E.已知AB丄BC,MN丄BC,AB=6.5,BP=4,PD=8. 109（1）ED的长为.（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC'（如图2）,点尸的对应点为P',BC与MN的交点为。,从A点发出的光束经平面镜P’反射后,在MN上的光点为E'.若。ハ'=5,则EE'的长为.图1图2153.（2021•温州）图1是邻边长为2和6的矩形,它由三个小正方形组成,将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2）,则图I中所标注的d的值为:记图1中小正方形的中心为点A,B,C,图2中的对应点为点A',B',C'.以大正方形的中心〇为圆心作圆,则当点A',B',C在圆内或圆上时，圆的最小面积为图1图2154.（2021•宁波）如图,在矩形ABC。中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点尸在边A。上,G为C。中点,连结8G分别与CE,C尸交于M, 110N两点.若MG=\.则BN的长为sin/A尸E的值为153.（2021•衢州）如图,在正五边形48CCE中,连结AC,BD交于点F,则/AF8的度数为154.（2021•衢州）将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中,顶点A与原点。重合，AB在x轴正半轴上，且A8=4a6，点E在4。上,DE=1AD,将这副三角板整体向右平4移个单位,C,E两点同时落在反比例函数y=K的图象上.155.（2021•丽水）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞,用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己.已知图1正方形纸片 111的边长为4,图2中ドM=2E例,则“奔跑者”两脚之间的跨度,即A8,C。之间的距离153.（2021•通辽）如图，48是。。的弦,AB=2近，点C是。。上的ー个动点,且/ACB=60",若点M,N分别是AB,BC的中点,则图中阴影部分面积的最大值154.（2021•通辽）如图，△。ん物,△44282,△424383，…，△4”-148”都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点Ai,Ai,A3,…，ん都在x轴上,点81,B1,83,…，Bn都在反比例函数y=l（x>0）的图象上，则点あ的坐标为.（用含有正整数〃的式子表示）155.（2021•包头）如图，在Rt△4BC中，NACB=90°,过点B作8。丄CB,垂足为B,且80=3,连接C£>,与4B相交于点M,过点M作MN丄CB,垂足为N.若4c=2, 112则MN的长为153.（2021•包头）如图,在!2ABe。中,AD=\2,以A。为直径的。。与8C相切于点E,连接。C.若。C=A8,则团A8C。的周长为.154.（2021•包头）如图,8。是正方形的一条对角线,E是8。上一点,F是CB延长线上ー点，连接CE,EF,AF.若DE=DC,EF=EC,则/BAド的度数为155.（2021•包头）已知抛物线y=/ー2x-3与x轴交于A,B两点（点A在点8的左侧）与y轴交于点C,点。（4,y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上ー动点，当BE+DE的值最小时，Z\ACE的面积为.156.（2021•广元）如图，点A（-2,2）在反比例函数y=K的图象上，点M在x轴的正半轴上,点N在y轴的负半轴上，且。M=。ル=5.点P（x,y）是线段MN上ー动点, 113过点A和尸分别作x轴的垂线,垂足为点。和E,连接。4、OP.当S△0w 114①NABF=NDBE；②△ABFs△0BE；③4F丄BO；④2BG2=B〃♦8£）；则8H：D//=17：16.（填写序号）⑤若CE：D£=l：3,你认为其中正确是三.解答题153.（2021•金华）在扇形AOB中,半径。4=6,点P在OA上,连结PB,将△0BP沿PB折叠得到△〇'BP.（1）如图1,若/。=75°,且80’与AB所在的圆相切于点8.①求/APO’的度数.②求A尸的长.（2）如图2,BO,与AB相交于点。，若点。为AB的中点，且尸。〃08,求AB的长.154.（2021•金华）背景:点A在反比例函数y=K（む＞0）的图象上，48丄x轴于点B,4c丄y轴于点C,分别在射线AC,80上取点。，E,使得四边形4BE。为正方形.如图1,点A在第一象限内，当AC=4时，小李测得。。=3. 115探究:通过改变点A的位置,小李发现点D,A的横坐标之间存在函数关系.请帮助小李解决下列问题.（1）求マ的值.（2）设点A,。的横坐标分别为x,z,将z关于x的函数称为“Z函数”.如图2,小李画出了x>0时“Z函数”的图象.①求这个“Z函数”的表达式.②补画xVO时“Z函数”的图象,并写出这个函数的性质（两条即可）.③过点（3,2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标.I__|_J153.（2021•金华）在平面直角坐标系中,点A的坐标为（-V73,0）1点B在直线厶y=士ズ上，过点8作AB的垂线，过原点。作直线，的垂线，两垂线相交于点C.8（1）如图,点B,C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点ハ.①若BA=BO,求证:CD=C〇.②若/C8O=45°,求四边形4B0C的面积.(2)是否存在点B,使得以4,B,C为顶点的三角形与△BCO相似?若存在,求OB的长;若不存在,请说明理由. 116153.(2021•温州)如图,在回ABC。中，E,ド是对角线8。上的两点(点E在点ド左侧),且/AEB=NCra=90°.(1)求证:四边形AECド是平行四边形;(2)当AB=5,tanNABE=旦，NCBE=NEAド时，求BO的长.4154.(2021•温州)如图，在平面直角坐标系中，〇M经过原点。，分别交x轴、)，轴于点A(2,0),B(0,8),连结AB.直线CM分别交。M于点。，E(点。在左侧)，交x轴于点C(17,0).连结AE.(1)求。”的半径和直线CM的函数表达式;(2)求点ハ,E的坐标;(3)点P在线段AC上,连结尸E.当/4EP与△08。的ー个内角相等时,求所有满足条件的OP的长. 117153.(2021•宁波)【证明体验】(1)如图1,A。为△ABC的角平分线，ZADC=60°,点£在48上,AE=AC.求证:。と平分乙4。艮【思考探究】(2)如图2,在(1)的条件下，ド为AB上一点,连结ドC交A。于点G.若FB=FC,DG=2,CD=3,求8。的长.【拓展延伸】(3)如图3,在四边形ABC。中,对角线4c平分/BA。,ZBC4=2ZDCA,点E在AC上,ZEDC=ZABC.若BC=5,(7。=2遅,AD^2AE,求AC的长.154.(2021•宁波)如图1,四边形A8C。内接于。。,8。为直径,AD上存在点E,满足AE=CD,连结BE并延长交C。的延长线于点ド，BE与AD交于点G.(1)若Z。BC=a,请用含a的代数式表示ZAGB. 118(2)如图2,连结CE,CE=BG,求证:EF=DG.(3)如图3,在(2)的条件下,连结CG,AD=2.①若tanN408=リ,求△尸GO的周长.2②求CG的最小值.图1图2图3153.(2021•衢州)如图,在ふABC中,CA=CB,BC与0A相切于点ハ,过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E,交。A于点凡连结B尸.(1)求证:BF是OA的切线.(2)若BE=5,AC=20,求Eド的长.154.(2021•衢州)如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图.水面宽AB与桥长C。均为24,小在距离。点6米的E处,测得桥面到桥拱的距离EF为1.5机，以桥拱顶点。为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系. 119（1）求桥拱顶部。离水面的距离.（2）如图2,桥面上方有3根高度均为4机的支柱CG,OH,DI,过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线,其最低点到桥面距离为①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式.②为庆祝节日,在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带,求彩带长度的最小值.图2153.（2021•衢州）如图1,点C是半圆。的直径A8上一动点（不包括端点），AB=6an,过点C作CO丄48交半圆于点D,连结AD,过点C作CE//AD交半圆于点E,连结EB.牛 120牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系.他根据学习函数的经验,记4C=xcm,EC=yicm,请你ー起参与探究函数yi、y2随自变量ズ变化的规律.通过几何画板取点、画图、测量,得出如下几组对应值,并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象.X…0.300.801.602.403.204.004.805.60川•••2.012.983.463.332.832.111.270.38…5.604.953.952.962.061.240.570.10(1)当x=3时,yi=.(2)在图2中画出函数”的图象,并结合图象判断函数值yi与ジ的大小关系.(3)由(2)知“AC取某值时，有EC=EB”.如图3,牛牛连结了OE,尝试通过计算EC,EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程.图1图2图3153.(2021•衢州)【推理】 121如图1,在正方形A8CO中,点E是上ー动点，将正方形沿着8E折叠,点C落在点 122ド处,连结BE,CF,延长CF交AD于点G.(1)求证:4BCE冬ふCDG.【运用】(2)如图2,在【推理】条件下，延长Bド交Aル于点，.若理・=■1,CE=9,求线段HF5OE的长.【拓展】(3)将正方形改成矩形,同样沿着BE折叠,连结CF,延长CF,Bド交直线ん。于G,,求迈的值(用含ス的代数式表示).ECGH备用图153.(2021•丽水)如图，在△ABC中，AC=BC,以BC为直径的半圆。交AB于点ハ，过点ハ作半圆。的切线，交AC于点E.(1)求证:NACB=2NADE；(2)若。E=3,AE=M,求CD的长.154.(2021•丽水)如图，已知抛物线丄:y=)+bx+c经过点A(0,-5),B(5,0).(1)求b,c的值;(2)连结A8,交抛物线丄的对称轴于点M.①求点M的坐标; 123②将抛物线L向左平移m(机＞0)个单位得到抛物线レ.过点M作MN〃y轴,交抛物线山于点MP是抛物线シ上一点,横坐标为ー1,过点P作尸E〃ス轴,交抛物线L于点E,点E在抛物线ム对称轴的右侧.若P£+MN=10,求机的值.153.(2021•丽水)如图,在菱形ABC。中,NABC是锐角,E是BC边上的动点,将射线AE绕点A按逆时针方向旋转,交直线C。于点凡(1)当AE丄BC,/£4尸=Nム8。时，①求证:AE=AF；②连结BO,EF,若雙=2,求"ム回的值;BD5S菱物政!)(2)当时，延长BC交射线Aド于点M,延长OC交射线AE于点M2连结AC,MN,若A8=4,AC=2,则当CE为何值时，ZXAMN是等腰三角形.154.(2021•通辽)如图,AB是。。的直径，过点4作。。的切线AC,点P是射线AC上的动点,连接。P,过点B作8。〃。2，交。。于点ク,连接PD. 124(1)求证:Pハ是。。的切线;(2)当四边形尸。8。是平行四边形时,求/4P0的度数.CC备用图OA 125153.(2021•包头)如图，在锐角三角形んBC中，40是BC边上的髙，以4。为直径的。。交A8于点£交AC于点F,过点F作ドG丄A8,垂足为“，交AE于点G,交于点M,连接AG,DE,DF.(1)求证:NGAD+NE。尸=180°；(2)若/ACB=45°,AD=4,tanZABC=2,求HF的长.154.(2021•包头)如图，已知△ABC是等边三角形，P是△A8C内部的一点，连接BP,CP.(1)如图1,以8C为直径的半圆。交A8于点Q,交AC于点R,当点/5在演上时,连接AP,在BC边的下方作/BCO=/BAP,CD^AP,连接。P,求/CPハ的度数;(2)如图2,E是BC边上一点,且EC=3BE,当BP=CP时,连接EP并延长,交AC于点ド，若被AB=4BP,求证:4EF=3AB； 126(3)如图3,M是AC边上一点，当AM=2MC时,连接MP.若NCMP=150°,AB=6a,MP=Ma,△ABC的面积为Si,ABC尸的面积为S2,求Si-S2的值(用含“的代数式表示).图1图2图3153.(2021•包头)如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=-7+4x经过坐标原点,与ズ轴正半轴交于点A,点、M(m,n)是抛物线上一动点.（1）如图1,当m>0,n>0,且〃=3机时,①求点M的坐标;②若点8（」回,y）在该抛物线上,连接OM,BM,C是线段上ー动点（点C与点4M,8不重合），过点C作CZ）〃MO,交x轴于点ハ，线段。ハ与MC是否相等?请说明理由;（2）如图2,该抛物线的对称轴交x轴于点K,点E（x,エ）在对称轴上,当机>2,n3>0,且直线EM交x轴的负半轴于点ド时,过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N,G为y轴上一点，点G的坐标为（0,也），连接GF.若EF+NF=2MF,求证:射线5 127FE平分/AFG.图1图2153.（2021•广元）如图，直线y=b+2与双曲线y=」湛・相交于点A、B,已知点A的横坐标为!.（1）求直线ギ=ほ+2的解析式及点3的坐标; 128（2）以线段A8为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC.求经过点C的双曲线的解析式.153.（2021•广元）如图,在中,ZACB=90°,4。是/B4C的平分线,以AO为直径的〇。交AB边于点E,连接CE,过点。作。ド〃CE,交AB于点ド.（1）求证:。ド是。。的切线（2）若8。=5,sin/B=S,求线段。ド的长.154.（2021•广元）如图1,在AABC中,NACB=90°,AC=BC,点。是AB边上一点（含端点A、B）,过点B作B£垂直于射线C。，垂足为£点ド在射线C。上，且EF=BE,连接んド、BF. 129（1）求证:AABFsACBE；（2）如图2,连接AE,点P、M、N分别为线段AC、AE,Eド的中点,连接PM、MN、PN,求/PMN的度数及典的值;PM（3）在（2）的条件下,若BC=«,直接写出△PMN面积的最大值.153.（2021•广元）如图1,在平面直角坐标系X。），中，抛物线、=0?+法+。与x轴分别相交于A、B两点，与），轴相交于点C,下表给出了这条抛物线上部分点（x,y）的坐标值:x--10123… 130y…0343〇…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标;（2）P。是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点。上方）,求AQ+QP+PC的最小值;（3）如图2,点。是第四象限内抛物线上一动点,过点。作。ド丄x轴,垂足为F,△A8。的外接圆与。ド相交于点E.试问:线段Eド的长是否为定值?如果是,请求出这个图1图2153.（2021•遂宁）已知平面直角坐标系中，点尸（jco,,yo）和直线んv+By+C=O（其中A,IAXn+Byn+CIB不全为〇）,则点P到直线Ax+By+C=O的距离メ可用公式d=ー:」—来计算.Va2+b2例如:求点P(1,2)到直线y=2x+l的距离,因为直线y=2x+l可化为2xー/1=0,IAXn+Byn+CI其中4=2,B=-1,C=1,所以点尸(1,2)到直线y=2x+l的距离为:d=——Va2+b2_|2X1+(-1)X2+11_1_V5ム2+(_])2y/55根据以上材料，解答下列问题:(1)求点M(0,3)到直线y=«x+9的距离;(2)在(1)的条件下，的半径r=4,判断。M与直线y=«x+9的位置关系，若相交,设其弦长为〃，求〃的值:若不相交,说明理由. 131153.(2021•遂宁)如图，一次函数yi=fct+シ(AKO)与反比例函数プ=旦(/〃大〇)的图象交于点A(1,2)和B(-2,a),与y轴交于点M.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)在y轴上取一点M当△AMN的面积为3时，求点N的坐标:(3)将直线山向下平移2个单位后得到直线y3,当函数值yi>*>y3时，求x的取值范围.154.(2021•遂宁)如图，。。的半径为1,点A是。。的直径延长线上的一点，C为。0上的一点，AD=CD,NA=30°.(1)求证:直线AC是。。的切线;(2)求AABC的面积;(3)点E在前上运动(不与8、。重合),过点C作CE的垂线,与E8的延长线交于点F.①当点E运动到与点C关于直径8。对称时,求CF的长:②当点E运动到什么位置时，C尸取到最大值，并求出此时Cド的长.备用图 132153.(2021•遂宁)如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和8(-3,0)两点,与y轴交于C(0,-3),对称轴为直线x=-l,直线y=-2r+机经过点A,且与y轴交于点ハ,与抛物线交于点E,与对称轴交于点立 133(1)求抛物线的解析式和机的值;(2)在y轴上是否存在点P,使得以。、E、P为顶点的三角形与△400相似,若存在,求出点尸的坐标;若不存在,试说明理由:(3)直线y=l上有M、N两点(M在N的左侧),且MN=2,若将线段MN在直线y=1上平移，当它移动到某ー位置时，四边形ME/W的周长会达到最小，请求出周长的最小值(结果保留根号).x=-lx=-l备用图 1342021年中考真题精选5一・选择题153.（2021•达州）在平面直角坐标系中,等边△408如图放置,点A的坐标为（1,0）,每一次将△408绕着点。逆时针方向旋转60°,同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△4081,第二次旋转后得到△A2OB2,…,依次类推，则点A2021的坐标为（）易A.（-22020,-V3X22020）B.（22021,-V3X22021）C.（22020,-V3X22020）D.（-22021,-V3X22021）154.（2021•达州）如图，已知抛物线ヅ=/+か+。（a,b,c为常数，aWO）经过点（2,0）,且对称轴为直线x=」,有下列结论:®abc>0；②a+b>0；③4a+26+3c<0；④无论a,2b,c取何值，抛物线一定经过（£_,0）；⑤4丽2+4かn-ケ2〇.其中正确结论有（）155.（2021•资阳）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFG”组成,恰好拼成一个大正方形ABCD连 135结EG并延长交8c于点M.若AB=JH，EF=\,则GM的长为（153.（2021•资阳）ー对变量满足如图的函数关系.设计以下问题情境:①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟,在原地停留了2分钟,然后以1000米/分的速度匀速骑回家.设所用时间为x分钟,离家的距离为y千米;②有一个容积为1.5升的开口空瓶,小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空瓶注水,注满后停止，等2秒后，再以I升/秒的速度匀速倒空瓶中的水.设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升;③在矩形A8C。中，AB=2,BC=1.5,点尸从点4出发.沿D4路线运动至点A停止.设点尸的运动路程为x,△48尸的面积为y.其中,符合图中函数关系的情境个数为（）A.3B.2C.1D.0154.（2021•眉山）如图，在矩形A8C。中，对角线AC,相交于点。，AB=6,NDAC=60°,点ド在线段AO上从点A至点。运动，连接DF,以。ド为边作等边三角形DFE, 136②ED=EC；③NADF=)C.②③④D.①②③④点E和点A分别位于ルド两侧,下列结论:①NBDE=NEFC；NECF；④点E运动的路程是2«,其中正确结论的序号为（153.（2021•泸州）如图,。。的直径AB=8,AM,BN是它的两条切线,OE与。。相切于点E,并与AM,BN分别相交于。,C两点,BD,OC相交于点凡若CD=10,则B尸的长是（）8717ロ10/17,8775ロ1卬159999154.（2021•泸州）直线，过点（0,4）且与y轴垂直,若二次函数y=（x-a）2+（x-2a）2+（x-3a）2-2/+a（其中x是自变量）的图象与直线，有两个不同的交点,且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（）A.a>4B.a>0C.0 137C.3D.等153.（2021•自贡）如图,直线y=-2x+2与坐标轴交于4、B两点,点P是线段A8上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线y=-x+3于点Q,△0PQ绕点。顺时针旋转45°,边尸。扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（）A.—nB.AnC.-11.nD.321632154.（2021•宜宾）如图，在矩形纸片んBC。中，点E、ド分别在矩形的边A3、AD±,将矩形纸片沿CE、CF折叠,点8落在，处，点。落在G处,点じ、H、G恰好在同一直 138线上,若AB=6,AD=4,BE=2,则〇ド的长是（）C.M153.（2021•乐山）如图,已知点P是菱形ABC。的对角线4c延长线上ー点,过点P分别作Aハ、。c延长线的垂线,垂足分别为点E、F.若/ABC=120°,AB=2,则PE-PF的值为（）154.（2021•乐山）如图，已知。A=6,。8=8,BC=2,。尸与。8、A8均相切,点尸是线段4c与抛物线y=a?的交点，则a的值为（）I♦）'I\bL155.（2021•乐山）如图，直线厶与反比例函数y=3（x>0）的图象相交于A、B两点,线段AB的中点为点C,过点C作ズ轴的垂线，垂足为点ク.直线，2过原点。和点C.若 139直线拉上存在点P（m,ri'）,满足/4PB=N4Z）B,则m+〃的值为（）2C.5+a/^或3-yfsD.3153.（2021•南充）如图,在菱形ABCO中,ZA=60°,点E,ド分别在边AB,BC±,D.2炳-1154.（2021•南充）如图,在矩形ABC。中,AB=15,BC=20.把边AB沿对角线8。平移,点A',8'分别对应点A,8给出下列结论:①顺次连接点A',夕,C，O的图形是平行四边形; 140②点C到它关于直线AA'的对称点的距离为48；③A'C-B'C的最大值为15；®A'C+B'C的最小值为%ラ.A.1个B.2个C.3个D.4个153.（2021•南充）己知方程/-2021x+l=0的两根分别为川,％2,贝リ・空红的值为（）x2A.1B.-1C.2021D.-2021二.填空题154.（2021•达州）如图,将一把矩形直尺A8CZ）和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中,48在エ轴上,点G与点A重合,点ド在上,EF交BC于点M,反比例函数ア=ム（x<0）的图象恰好经过点F,M,若直尺的宽8=1,三角板的斜边FG=4,则k=155.（202】•达州）如图,在边长为6的等边△ABC中,点E,ド分别是边AC,8c上的动点，且AE=CF,连接BE,AF交于点P,连接C尸,则CP的最小值为. 141153.（2021•资阳）将一张圆形纸片（圆心为点。）沿直径MN对折后,按图1分成六等份折叠得到图2,将图2沿虚线A8剪开,再将△408展开得到如图3的ー个六角星.若ノCDE=15°,则/OBA的度数为.图1图2图3154.（2021•资阳）如图,在菱形ABC。中,NBAO=120°,OE丄BC交BC的延长线于点E.连结AE交8£）于点尸，交CD于点G.FH丄CD于点H,连结C尸.有下列结论:①AF=CF,②A尸=E尸③FG：EG=4：5；®cosZGFH=^^-.其中所有正确结14论的序号为.155.（2021•眉山）如图，在菱形ABCル中，AB=AC=10,对角线AC、8。相交于点。, 142点M在线段AC上,且4M=3,点P为线段8。上的ー个动点,则MP+丄P8的最小值153.（2021•泸州）如图,在边长为4的正方形ABC。中，点E是BC的中点，点ド在CO上，且Cド=3。ド，AE,B尸相交于点G,则.AGド的面积是263.（2021•自贡）当自变量一1くJ<<3时,函数y=|x-M（セ为常数）的最小值为ス+3,则满足条件的k的值为264.（2021•宜宾）如图，在矩形A8Cル中，对角线相交于点。，动点M从点B向点A运动（到点A即停止）,点N是AD上ー动点,且满足/MCW=90°,连结MN.在点、M、N 143运动过程中,则以下结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）①点M、N的运动速度不相等:②存在某ー时刻使S厶AMN=SaMON;③逐渐减小:④mM=bm2+dM.264.（2021•乐山）如图,已知点A（4,3）,点8为直线y=-2上的ー动点,点C（〇,〃），-2 144第二步，分别在E凡A'B,上取点M,N,沿直线MN继续翻折，使点ド与点E重合,则线段MN的长为264.（2021•广安）如图,在平面直角坐标系中,48丄y轴,垂足为B,将△ABO绕点A逆时针旋转到△48101的位置，使点B的对应点Bi落在直线y=-Sr上，再将△ABiOi4绕点B!逆时针旋转到△48102的位置,使点O!的对应点02也落在直线y=•3x上,4以此进行下去…若点B的坐标为（0,3）,则点B2I的纵坐标为.265.（2021•凉山州）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A8C,已知AC=3,BC=2,则线段んB扫过的图形（阴影部分）的面积为266.（2021•凉山州）如图，等边三角形ABC的边长为4,0C的半径为へ巧,P为48边上 145ー动点,过点P作。C的切线尸。,切点为Q,则尸。的最小值为三.解答题264.（2021•达州）如图,A8是。。的直径,C为。。上一点（C不与点A,8重合）连接AC,BC,过点C作CO丄48,垂足为点ハ.将△ACO沿AC翻折,点。落在点E处得△ACE,AE交。。于点ド.（1）求证:CE是。。的切线:（2）若/8AC=15°,0A=2,求阴影部分面积.265.（2021•达州）某数学兴趣小组在数学课外活动中,对多边形内两条互相垂直的线段做 146了如下探究:图1图2【观察与猜想】(1)如图1,在正方形A8C。中,点E,ド分别是AB,AO上的两点,连接。E,CF,DELCF,则迈的值为;CF(2)如图2,在矩形A8C。中，AO=7,CD=4,点E是上的一点，连接CE,BD,且CE丄BD,则出的值为;BD【类比探究】(3)如图3,在四边形A8C。中，NA=NB=90°,点E为AB上一点,连接。E,过点C作。E的垂线交E。的延长线于点G,交A。的延长线于点ド，求证:。后\48=。尸AD；图3图4【拓展延伸】(4)如图4,在RtZsAB。中，ZBAD=90°,AD=9,tanZADfi=A«将AAB。沿8。3翻折，点A落在点C处得△CB。,点、E,ド分别在边AB,4。上，连接。E,CF,DELCF.①求理的值;CF②连接BF,若AE=1,直接写出8ド的长度.264.(2021•达州)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=+次+c交x轴于点A和C(l,0),交y轴于点8(0,3),抛物线的对称轴交x轴于点E,交抛物线于点F. 147(1)求抛物线的解析式;(2)将线段OE绕着点。沿顺时针方向旋转得到线段OE,旋转角为a(0° 148B图3D图1连结CE.试探究8。与连结CE.若BDLAD,(1)如图1,已知点。在BC边上,ND4E=90°,AD=AE,CE的关系:(2)如图2,已知点。在BC下方,ZDAE=90a,AD=AE,AB=2^/10，CE=2,AD交BC干点、F,求Aド的长:(3)如图3,已知点。在BC下方，连结4。、8。、(7。.若/(78。=30°,ZBAD>i5°,ん解=6,4。2=4+愿，求sinNBC。的值.264.(2021•资阳)抛物线产ー/+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且8(- 149L0),C(0,3).(2)如图1,点P是抛物线上位于直线AC上方的一点,BP与AC相交于点E,当PE：BE=l：2时,求点P的坐标;(3)如图2,点。是抛物线的顶点，将抛物线沿C。方向平移,使点。落在点。’处,且。。，=2。。，点M是平移后所得抛物线上位于。’左侧的一点，MN//y轴交直线0。’于点N,连结CN.当逅。'N+CN的值最小时,求MN的长.264.(2021•眉山)如图，直线ド=ミイ+6与x轴交于点A,与y轴交于点B.直线〃んB, 150且与△408的外接圆。尸相切,与双曲线、=ー餃在第二象限内的图象交于C、O两点.（1）求点A,8的坐标和。P的半径;（2）求直线"N所对应的函数表达式;264.（2021•眉山）如图,在等腰直角三角形ABC中,ZACB=9Q°,AC=BC=2遅,边长为2的正方形。EFG的对角线交点与点C重合，连接AO,BE.(1)求证:△AC£＞纟△BCE；（2）当点。在△ABC内部,且/AOC=90°时,设AC与。G相交于点M,求AM的长；（3）将正方形。ErG绕点C旋转一周，当点4、。、£三点在同一直线上时,请直接写出AD的长.265.（2021•眉山）如图，在平面直角坐标系中,已知抛物线丫=«?+法+4（aWO）经过点A 151(-2,0)和点8(4,0).(1)求这条抛物线所对应的函数表达式;(2)点P为该抛物线上一点(不与点C重合),直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分,求点P的坐标;(3)点M从点C出发,以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为，秒，当』。。=NOCB-NOMA时,求t的值.264.(2021•泸州)如图,△ABC是。。的内接三角形，过点C作。。的切线交BA的延长线于点ド,AE是〇。的直径,连接EC.(1)求证:NACF=NB；(2)若AB=BC,A。丄BC于点ハ，FC=4,M=2,求Aハ・AE的值.265.(2021•泸州)如图,在平面直角坐标系X。)，中，抛物线ギ=-ユ,+3x+4与两坐标轴分别相交于A,B,C三点. 152（1）求证:ZACB=90°；（2）点。是第一象限内该抛物线上的动点,过点。作x轴的垂线交BC于点E,交x轴于点F.①求。后+8ド的最大值:②点G是AC的中点,若以点C,D,£为顶点的三角形与れAOG相似,求点。的坐标.264.（2021•自贡）函数图象是研究函数的重要工具.探究函数性质时,我们经历了列表、描点、连线画出函数图象,然后观察分析图象特征,概括函数性质的过程.请结合已有 153的学习经验,画出函数y=ー聿ー的图象,并探究其性质.x2+4列表如下:X・・・ー4-3-2-101234y...&24"13a8_0b-22413.8.5(1)直接写出表中。、ウ的值,并在平面直角坐标系中画出该函数的图象;(2)观察函数y=ー若ー的图象，判断下列关于该函数性质的命题:x2+4①当ー2《xW2时，函数图象关于直线y=x对称;②x=2时，函数有最小值,最小值为ー2；③时，函数y的值随x的增大而减小.其中正确的是.(请写出所有正确命题的番号)(3)结合图象,请直接写出不等式孝ー＞x的解集x2+4 154264.(2021•自贡)如图,点ハ在以AB为直径的。。上,过ハ作。。的切线交AB延长线于点C,AE丄Cル于点E,交00于点尸,连接40,FD.(1)求证:ZDAE=ZDACi(2)求证:DF'AC=AD'DC-,(3)若sinNC=工，AO=4V10，求"'的长.4265.(2021•自贡)如图,抛物线メ=(x+1)(x-a)(其中a>l)与x轴交于4、B两点，交)•轴于点C.(1)直接写出N。。1的度数和线段AB的长(用a表示)；(2)若点。为AABC的外心,且△BCク与△4T。的周长之比为ノ而:4,求此抛物线的解析式;(3)在(2)的前提下，试探究抛物线y=(x+1)(x-a)上是否存在一点P,使得/CAP=NO8A?若存在，求出点尸的坐标；若不存在,请说明理由.备用图266.(2021•宜宾)如图1,ハ为。。上一点,点C在直径BA的延长线上,且/CD4=NCBD. 155(1)判断直线C。与。。的位置关系,并说明理由;(2)若tanNAOC=l,AC=2,求。。的半径;2(3)如图2,在(2)的条件下，NAO8的平分线交。。于点E,交AB于点、F,连结BE.求sin/£>8£的值.图1图2264.(2021•宜宾)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、8两点,与y轴交于点C(0,6),抛物线的顶点坐标为E(2,8),连结BC、BE、CE.(1)求抛物线的表达式；(2)判断ABCE的形状,并说明理由；(3)如图2,以C为圆心，我为半径作。C,在。C上是否存在点P,使得BP+丄EP2的值最小,若存在,请求出最小值；若不存在，请说明理由.图1图2 156264.(2021•乐山)如图,已知点C是以AB为直径的半圆上一点,。是A8延长线上ー点,过点。作80的垂线交AC的延长线于点E,连结C£>,且CO=EQ.(1)求证:Cハ是。。的切线;(2)若tan/OCE=2,BD=l,求。。的半径.265.(2021•乐山)在等腰AABC中，AB=4C,点。是BC边上一点(不与点8、C重合)，连结A。.(1)如图1,若/C=60°,点。关于直线AB的对称点为点E,连结A£,DE,则N8。£：(2)若/C=60°,将线段A。绕点4顺时针旋转60°得到线段AE,连结BE.①在图2中补全图形;②探究C。与BE的数量关系,并证明;(3)如图3,若研=ぬ=鼠且//U)E=NC.试探究BE、BD、4c之间满足的数量关BCDE系,并证明.图1图2 157264.(2021•乐山)已知二次函数ぎ=/+汝+<:的图象开口向上,且经过点A(0,3),8(2,(1)求わ的值(用含。的代数式表示)；(2)若二次函数ド=い+か:+0•在时,y的最大值为1,求。的值;(3)将线段AB向右平移2个单位得到线段A'Bf.若线段A'Bf与抛物线y=cu?+hx+c^a-1仅有一个交点,求a的取值范围.265.(2021•南充)如图,点E在正方形ABC。边A。上,点ド是线段AB上的动点(不与点A重合)，。ド交AC于点G,GH丄AD于点、H,AB=\,DE=エ.3(1)求tanNACE；(2)设AF=x,GH=y,试探究y与x的函数关系式(写出x的取值范围)；(3)当/Aハド=N4CE时，判断EG与4c的位置关系并说明理由. 158264.(2021•南充)如图,已知抛物线ぎ=0?+法+4(aWO)与x轴交于点A(1,0)和B,与)，轴交于点C,对称轴为直线x=5.2(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,若点尸是线段BC上的ー个动点(不与点B,C重合),过点/3作y轴的平行线交抛物线于点Q,连接。Q,当线段PQ长度最大时,判断四边形。CP。的形状并说明理由;(3)如图2,在(2)的条件下,。是OC的中点,过点。的直线与抛物线交于点E,且ZDQE=2ZODQ,在y轴上是否存在点F,得△BEド为等腰三角形?若存在，求点F的坐标；若不存在,请说明理由.265.(2021•成都)如图,A8为。。的直径,C为。。上一点，连接AC,BC,。为AB延长线上ー点,连接8,且/BCC=N4.(1)求证;C。是。。的切线；(2)若。。的半径为“，ZVIBC的面积为2遅，求Co的长；(3)在(2)的条件下,E为。。上一点，连接CE交线段。A于点ド，若£巳=丄，求CF2BF的长.266.(2021•成都)在RtZ\A8C中,NACB=90°,AB=5,BC=3,将ふABC绕点8顺时针旋转得到△4,BC,其中点A,C的对应点分别为点4',C'. 159(1)如图1,当点A’落在AC的延长线上时,求ん4’的长;(2)如图2,当点C’落在AB的延长线上时，连接CC',交A'8于点M,求BM的长;(3)如图3,连接ル4',CC',直线CC’交ん4'于点ハ，点E为4c的中点，连接DE.在旋转过程中，OE是否存在最小值?若存在，求出OE的最小值:若不存在,请说明理由.图1图2图3264.(2021•成都)如图，在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=a(x一人)2十え与ズ轴相交于〇,A两点，顶点尸的坐标为(2,-1).点8为抛物线上一动点，连接AP,AB,过点B的直线与抛物线交于另一点C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点B的横坐标与纵坐标相等，ZABC=ZOAP,且点C位于x轴上方，求点C的坐标;(3)若点B的横坐标为f,ZABC=90°,请用含f的代数式表示点C的横坐标，并求出当/VO时，点C的横坐标的取值范围.备用图265.（2021•广安）如图,A8是。。的直径,点ド在。。上,N54F的平分线AE交。。于点E,过点E作EO丄AF,交Aド的延长线于点ハ，延长OE、48相交于点C.（1）求证:Cハ是。。的切线;（2）若。。的半径为5,tan/EA£>=L,求8c的长. 160264.（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ーノ+bx+c的图象与坐标轴相交于A、8、C三点,其中A点坐标为（3,0）,8点坐标为（-1,0）,连接AC、BC.动点P从点A出发,在线段4C上以每秒イラ个单位长度向点C做匀速运动;同时,动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动,连接产。,设运动时间为r秒.（1）求ら、c的值.（2）在「、。运动的过程中，当，为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少?（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点例，使△MPQ是以点尸为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，请求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.265.(2021•凉山州)阅读以下材料:苏格兰数学家纳皮尔(J.Npler,1550-1617年)是对数的创始人.他发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉(EWer,1707-1783年)オ发现指数与对数之间的联系.对数的定义:一般地,若び=N(a>0且。ナ1),那么x叫做以。为底N的对数,记作x=logaN,比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216,对数式2=log39可以转化为指数式32=9.我们根据对数的定义可得到对数的ー个性质:log“(M・N)=log〃M+log“N(。>0,。会1,M>0,N>0),理由如下:设log«A/=w,logaN=〃,则M=a'n,N=a",：.M-N=an,*an=am+n,由对数的定义得/w+〃=loga 161(M・N).又,/m+n=log“M+log“N,•\loga(M，N)=logaM+logaN.根据上述材料,结合你所学的知识,解答下列问题:(1)填空:①log232=,②log327=,(3)log71=；(2)求证:logo更=log°M-logaN(。>0,。W1,M>0,N>0)；N(3)拓展运用:计算log5125+Iog56-Iog530.264.(2021•凉山州)如图,△408中,ZABO=90°,边OB在x轴上,反比例函数y=K(x>0)的图象经过斜边。4的中点M,与AB相交于点N,5mob=12,AN=>.2(1)求ス的值:(2)求直线MN的解析式.265.(2021•凉山州)如图,在RtZXABC中,ZC=90°,AE平分/BAC交BC于点E,点。在AB上,DEA.AE,。。是RtZ\AOE的外接圆,交AC于点F.(1)求证:BC是。。的切线:(2)若。。的半径为5,4c=8,求Smde.266.(2021•凉山州)如图，抛物线ギ=0?+法+。(。ギ0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点， 162AC=V10-0B=0C=30A.(1)求抛物线的解析式:(2)在第二象限内的抛物线上确定一点P,使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标;(3)在(2)的结论下，点M为x轴上ー动点,抛物线上是否存在一点。,使点P、8、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在,请直接写出。点的坐标;若不存在，请说明理由. 1632021年中考真题精选6一・选择题264.（2021•威海）如图,在△ABC和△AOE中,ZCAB=ZDAE=36°,AB=AC,AD=AE,连接8,连接BE并延长交AC,AD于点F,G.若BE恰好平分/ABC,则下列结论错误的是（）A.ZADC=ZAEBB.CD//ABC.DE=GED.BF1=CF'AC265.（2021•威海）如图，在菱形ABC。中，AB=2cm,NO=60°,点尸,。同时从点A出发,点P以1cm/s的速度沿A-C-D的方向运动,点Q以2cm/s的速度沿A-B-C-£）的方向运动，当其中一点到达。点时,两点停止运动.设运动时间为x（s）,/XAPQ的面积为y（。/）,则下列图象中能大致反映ッ与ス之间函数关系的是（）C.D. 164264.（2021•聊城）如图,四边形ABC。中,已知AB〃CO,AB与C。之间的距离为4,AD=5,CD=3,NABC=45°,点、P,。同时由A点出发,分别沿边AB,折线AOC8向终点B方向移动,在移动过程中始终保持PQLAB,已知点P的移动速度为每秒1个单位长度,设点/3的移动时间为ズ秒,△APQ的面积为y,则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A.V5B.2遅C.8265.（2021•荷泽）如图（1）,在平面直角坐标系中，矩形ABCO在第一象限，且BC〃x轴，直线y=2x+l沿x轴正方向平移,在平移过程中，直线被矩形A8CO截得的线段长为a,直线在x轴上平移的距离为んa、b间的函数关系图象如图（2）所示,那么矩形ABC。的面积为（）D.10266.（2021•泰安）如图,在矩形ABC。中,AB=5,BC=5ヽ/3,点/5在线段BC上运动（含B、C 165两点）,连接AP,以点A为中心,将线段4尸逆时针旋转60。到4Q,连接O。,则线段DQ的最小值为（）•4DEBPCA.5B.5>/2C.D.323264.（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABC。的顶点。在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB〃x轴，AO1AD,AO=AD.过点A作AE丄C。，垂足为E,DE=4CE.反比例函数y=K（x>0）的图象经过点E,与边48交于点ド,连接OE,OF,EF.若SaEOF=2l,则ム的值为（）8DAC卜A.工B.雪C.7D.2342265.（2021•重庆）如图,在平面直角坐标系中，矩形ABC。的顶点A,8在x轴的正半轴上，反比例函数y=K（it>0,x>0）的图象经过顶点。，分别与对角线AC,边BC交于点E,F,连接ERAF.若点E为AC的中点,ZkAEド的面积为!,则ん的值为（）A.£B.3C.2D.3 16652264.（2021•呼和浩特）已知二次项系数等于1的一个二次函数,其图象与x轴交于两点（山,0）,（〃,0）»且过A（0,b）,B（3,a）两点（ルa是实数）,若0V/nV〃V2,则ah的取值范围是（）A.〇<"<以B.〇<"<11C.0<"<^1D.0 167264.（2021•本溪）如图,在矩形ABC。中,BC=l,NAOB=60。,动点P沿折线40-08运动到点8,同时动点。沿折线。B-BC运动到点C,点尸,。在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度,点尸,Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度.设运动时间为，秒,△PB。的面积为S,则下列图象能大致反映S与r之间函数关系的是（二.填空题265.（2021•威海）如图,先将矩形纸片ABCO沿Eド折叠（A8边与。E在Cド的异侧），AE交CF于点G;再将纸片折叠，使CG与AE在同一条直线上,折痕为G”.若/AE尸=a,纸片宽AB=2所,KlJHE=cm. 168264.（2021•威海）如图,在正方形ABC。中,AB=2,E为边48上一点,F为边BC上一点.连接OE和"'交于点G,连接BG.若AE=BF,则BG的最小值为.265.（2021•聊城）如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点。在坐标原点，顶点A,C分别在x轴，y轴上,B,ル两点坐标分别为B（-4,6）,D（0,4）,线段Eド在边OA上移动,保持EF=3,当四边形BDEF的周长最小时,点E的坐标为.266.（2021•荷泽）如图,在RtZiABC中，NC=30。，ハ、E分别为AC、BC的中点，DE=2.过点B作BF//AC,交DE的延长线于点F,则四边形ABFD的面积 169264.（2021•荷泽）如图,在△4BC中,AD1BC,垂足为ハ,AD=5,BC=10,四边形EFG”和四边形HGNM均为正方形,且点E、ド、G、N、M都在れABC的边上,那么△?!£；“与四边形BCME的面积比为265.（2021•泰安）如图,将矩形纸片ABC。折叠（AO>AB）,使A8落在4£）上，AE为折痕,然后将矩形纸片展开铺在ー个平面上,E点不动,将BE边折起,使点B落在AE上的点G处，连接。E,若DE=EF,CE=2,则ん。的长为.B'266.（2021•新疆）如图,已知正方形4BC。边长为1,E为48边上一点，以点。为中心,将△。ムと按逆时针方向旋转得れ。（7/，连接EF,分别交BD,CD于点M,N.若星=±,DN5则sin/aM=. 170264.（2021•海南）如图,ZVIBC的顶点8、C的坐标分别是（1,〇）、（0.遅）,且/ABC=90°,NA=30°,则顶点A的坐标是265.（2021•海南）如图,在矩形ん8c。中,AB=6,AD=8,将此矩形折叠,使点C与点A重合，点。落在点。’处，折痕为EF,则4。'的长为,DD,的长为.266.（2021•黄石）如图，A、B两点在反比例函数y=-3（x<0）的图象上，A8的延长X线交ス轴于点C,且A8=2BC,则△AOC的面积是. 171264.（2021•黄石）如图,在正方形A8CD中,点E、F分别在边8C、8上,且/E4尸=45°,AE交BD于M点、,AF交BD于N点、.（1）若正方形的边长为2,则△CEF的周长是.（2）下列结论:①BM?+D降=MN?；②若F是CD的中点,则tan/AEF=2；③连接MF,则△AMF为等腰直角三角形.其中正确结论的序号是（把你认为所有正确的都填上）.265.（2021•贵港）如图,在矩形ABCD中,BD是对角线,AELBD,垂足为E,连接CE,若tan/ADB=丄，则tan/DEC的值是.266.（2021•本溪）如图,AB是半圆的直径,C为半圆的中点,A（2,0）,B（0,1）,反比例函数y=ム（x>0）的图象经过点C,则k的值为. 172264.（2021•本溪）如图,将正方形纸片ABCD沿PQ折叠,使点C的对称点E落在边ん8上,点り的对称点为点ド,EF交于点G,连接CG交PQ于点T/,连接CE.下列四个结论中:①△PBE〜△QFG；②Saceg=&cbe+S四边爬co”；③EC平分/BEG；④EG2-ch2=gq・gd,正确的是（填序号即可）.265.（2021•临沂）如图,已知在。。中,AB=BC=CD,。。与A£＞相交于点E.求证:（1）AD//BC；（2）四边形BC0"为菱形. 173折叠,点B落在ド处,连接BF并延长,与/D4F的平分线相交于点”,与4E,CD分别相交于点G,M,连接“C.（1）求证:AG=GH；（2）若4B=3,BE=\,求点。到直线B”的距离;（3）当点E在8C边上（端点除外）运动时，NB”C的大小是否变化?为什么?328.（2021•临沂）公路上正在行驶的甲车，发现前方20ル处沿同一方向行驶的乙车后,开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位:机）、速度v（单位:mis'）与时间r（单位:s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示,其图象如图所示.（1）当甲车减速至9/n/s时，它行驶的路程是多少?（2）若乙车以10/n/s的速度匀速行驶,两车何时相距最近，最近距离是多少? 174328.（2021•威海）在平面直角坐标系中,抛物线y=/+2ゆ+2ガ-ル的顶点为ん（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；（2）若点8（2,ゆ），C（5,yc）在抛物线上,且ア＞yc,则，”的取值范围是（直接写出结果即可）（3）当1くxW3时,函数y的最小值等于6,求机的值.329.（2021•威海）（1）已知△ABC,ZXAOE如图①摆放,点、B,C,。在同一条直线上，ND4E=90°,NABC=NAOE=45°.连接BE,过点A作Aド丄BO,垂足为点ド，直线Aド交BE于点G.求证:BG=EG.（2）已知△ABC,ZXAOE如图②摆放，ZBAC=ZDA£=90",NACB=N4OE=30°.连接BE,CD,过点A作Aド丄BE,垂足为点ド,直线Aド交8于点G.求电的值.图①图② 175328.(2021•聊城)如图,过C点的直线ぎ=ー2x-2与x轴,y轴分别交于点4,B两点,2且BC=A8,过点C作CH丄x轴,垂足为点H,交反比例函数y=K(x>0)的图象于点ハ,连接。ハ,△。。，的面积为6.(1)求A值和点。的坐标:(2)如图,连接8。,OC,点E在直线y=-/x-2上,且位于第二象限内,若AB/JE的面积是△0。。面积的2倍，求点E的坐标.329.(2021•聊城)如图，在△ABC中,AB=AC,。。是△ABC的外接圆,AE是直径,交8c于点〃，点。在AC上,连接A。,C。过点E作E「〃BC交A。的延长线于点凡延长BC交AF于点G.(1)求证:Eド是。。的切线;(2)若8c=2,AH=CG=3,求所和C。的长.330.(2021•聊城)如图,抛物线ド=。ノ+旦x+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,已2知A,C两点坐标分别是A(1,0),C(0,-2),连接AC,BC.(1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式;(2)将ふABC沿BC所在直线折叠,得到△OBC,点4的对应点。是否落在抛物线的对 176称轴上,若点ハ在对称轴上,请求出点。的坐标;若点。不在对称轴上,请说明理由;(3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的ー动点，连接AP交BC于点Q,连接BP,328.(2021•济宁)如图，点C在以A8为直径的〇。上，点。是8c的中点,连接。。并延长交。。于点E,作/EBP=NEBC,BP交OE的延长线于点P.(1)求证:P8是。。的切线；(2)若AC=2,PD=6,求〇。的半径.E329.（2021•济宁）如图,直线ギ=ー丄计3分别交x轴、y轴于点4,B,过点A的抛物线22y=ー,+か+c与x轴的另ー交点为C,与），轴交于点。（0,3）,抛物线的对称轴，交4。于点、E,连接OE交AB于点ド.（1）求抛物线的解析式:（2）求证:OE丄A&（3）P为抛物线上的ー动点,直线PO交AD于点M,是否存在这样的点尸,使以A,〇,M为顶点的三角形与△4C。相似?若存在，求点P的横坐标;若不存在，请说明理由. 177336.（2021•范泽）如图，在平面直角坐标系中,矩形。ABC的两边OC、分别在坐标轴上，且OA=2,OC=4,连接QB.反比例函数y=と丄（x>0）的图象经过线段08的中点。，并与A3、BC分别交于点E、F.一次函数y=5+6的图象经过E、ド两点.（1）分别求出ー次函数和反比例函数的表达式;（2）点P是x轴上ー动点,当PE+Pド的值最小时,点P的坐标为.337.(2021•荷泽)在矩形A8c。中,BC=JjCD，点、E、ド分别是边Aハ、BC上的动点,且AE=C凡连接EF,将矩形4BCO沿Eド折叠,点C落在点G处,点。落在点〃处.(1)如图1,当EH与线段BC交于点尸时，求证:PE=PF；(2)如图2,当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M,求证:点M在线段Eド的垂直平分线上;(3)当4B=5时,在点E由点4移动到A。中点的过程中，计算出点G运动的路线长. 178337.(2021•荷泽)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线ッ;い+かー4交x轴于A( 1,〇)、B(4,0)两点,交y轴于点C.(1)求该抛物线的表达式;(2)点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB,过点C作C0〃BP交x轴于点。，连接尸。，求れPB。面积的最大值及此时点P的坐标;(3)在(2)的条件下，将抛物线y=ax2+bx-4向右平移经过点(工，0)时，得到新2抛物线ギ=m/+从X+C1,点E在新抛物线的对称轴上,在坐标平面内是否存在一点凡使得以4、尸、E、ド为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在,请说明理由.参考:若点P“XI,yi)、尸2(X2,J2),则线段P1P2的中点Po的坐标为(2I二三2,と善2).338.(2021•泰安)二次函数y=ax1+bx+4(aWO)的图象经过点A(-4,0),8(1,0),与y轴交于点C,点F为第二象限内抛物线上一点,连接BP、AC,交于点Q,过点P作尸ハ丄x轴于点り.(1)求二次函数的表达式;(2)连接BC,当ノ。PB=2NBC。时，求直线BP的表达式:(3)请判断:世是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理QB由. 179337.(2021•泰安)四边形A8C。为矩形，E是HB延长线上的一点.(1)若4C=EC,如图1,求证：四边形BEC。为平行四边形:(2)若A8=A。，点ド是A8上的点，AF=BE,EG丄AC于点G,如图2,求证:4DGF是等腰直角三角形.图1图2338.(2021•泰安)如图1,。为半圆的圆心,C、ハ为半圆上的两点,且BD=CD.连接AC并延长，与8。的延长线相交于点E.(1)求证:CD=ED；(2)A。与。C,BC分别交于点ド，H.①若CF=C"如图2,求证:Cドド。乂氏②若圆的半径为2,BD=l,如图3,求4c的值. 180337.(2021•新疆)如图，4C是。。的直径,BC,80是。。的弦,M为8C的中点，OM与B。交于点ト，过点。作/JE丄BC,交BC的延长线于点E,且。ハ平分乙4CE.(1)求证:。k是。。的切线;(2)求证:NCDE=NDBE；(3)若。E=6,tanN8E=2,求8ド的长.338.（2021•青海）在我们学习过的数学教科书中,有一个数学活动,若身旁没有量角器或三角尺,又需要作60°,30°,15°等大小的角,可以采用如下方法:操作感知:第一步:对折矩形纸片ABC。,使4。与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开（如图1）.第二步:再一次折叠纸片，使点A落在所上，并使折痕经过点B,得到折痕同时得到线段BN（如图2）.猜想论证：（1）若延长交BC于点P,如图3所示，试判定△BMP的形状，并证明你的结论.拓展探究： 181（2）在图3中，若A8=a,BC=b,当a,わ满足什么关系时，才能在矩形纸片ABCD中剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP?图1图2图3337.（2021•青海）如图，在平面直角坐标系中,直线y=x+2与坐标轴交于A,B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为（1,0）,抛物线ぎ=-+か:+c经过点4,B,C.（1）求抛物线的解析式;（2）根据图象写出不等式い+（ft-1）x+c>2的解集:（3）点P是抛物线上的ー动点,过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点.当尸。=き时,求P点的坐标. 182337.(2021•海南)如图1,在正方形ABCO中,点E是边BC上一点,且点E不与点8、C重合,点ド是BA的延长线上ー点，且AF=CE.(1)求证:ADCEgADAF；(2)如图2,连接EF,交AO于点K,过点ハ作ハZZ丄EF,垂足为と,延长。”交BF于点G,连接HB,HC.①求证:HD=HB；②若DK,HC=近,求//E的长.图1图2 183337.（2021•海南）已知抛物线丫=0?+9え+仃与ス轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且4点A的坐标为（-1,〇）、点C的坐标为（0,3）.（1）求该抛物线的函数表达式;（2）如图1,若该抛物线的顶点为P,求△PBC的面积;（3）如图2,有两动点ハ、E在△008的边上运动,速度均为每秒1个单位长度,它们分别从点C和点B同时出发,点D沿折线COB按C-O-B方向向终点B运动,点E沿线段BC按8-C方向向终点C运动,当其中一个点到达终点时,另ー个点也随之停止运动.设运动时间为「秒，请解答下列问题:①当r为何值时,△〃£>£的面积等于能;10②在点。、E运动过程中，该抛物线上存在点凡使得依次连接A。、。ド、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标. 184图1图2备用图 185337.(2021•重庆)如图,在平面直角坐标系中,抛物线ソ=ノ+か+。经过A(0,-1),8(4,1).直线AB交x轴于点C,P是直线AB下方抛物线上的ー个动点.过点P作P。丄AB,垂足为ハ,PE〃x轴,交AB于点E.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当△尸CE的周长取得最大值时,求点尸的坐标和△「£>£周长的最大值;(3)把抛物线ブ=/+fer+c平移，使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点P.M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标,并把求其中一个点M的坐标的过程写出来.338.(2021•重庆)在△ABC中，AB=AC,。是边8c上ー动点,连接AO,将ん。绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得/D4E+N8AC=180°.(1)如图1,当/BAC=90°时，连接BE,交4c于点ド.若BE平分/ABC,BD=2,求Aド的长;(2)如图2,连接BE,取BE的中点G,连接AG.猜想4G与CO存在的数量关系，并证明你的猜想:CE(3)如图3,在(2)的条件下,连接。G,CE,若/BAC=120°,当BD>CD,NAEC=150°时，请直接写出四Z四的值. 186337.(2021•重庆)如图,在平面直角坐标系中,抛物线メ=/+"-4(aWO)与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式;(2)直线，为该抛物线的对称轴,点。与点C关于直线，对称,点P为直线40下方抛物线上ー动点,连接方,PD,求△以。面积的最大值.(3)在(2)的条件下，将抛物线y=o?+6x-4(aWO)沿射线4。平移4あ个单位,得到新的抛物线V，点E为点尸的对应点，点ド为ザ的对称轴上任意一点，在yi上确定一点G,使得以点。,E,F,G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标,写出求解过程.备用图 187350.(2021•重庆)在等边△ABC中,AB=6,BDLAC,垂足为ハ,点、E为AB边上一点,点F为直线BD上一点,连接EE(1)将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,连接FG.①如图1,当点E与点B重合，且Gド的延长线过点C时，连接OG,求线段OG的长:②如图2,点E不与点A,B重合,GF的延长线交BC边于点H,连接E4,求证:BE+BH(2)如图3,当点E为AB中点时,点M为BE中点,点N在边AC上，旦DN=2NC,点ド从BO中点。沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP,连接FP,当NP+丄M尸最小时，直接写出△£)网的面积.2351.(2021•黄石)如图，PA.PB是。。的切线,ん、8是切点,AC是。。的直径，连接OP,交。。于点。，交AB于点E.(1)求证:BC//OP；(2)若E恰好是。。的中点,且四边形OAPB的面积是16«,求阴影部分的面积;(3)若sin/B4c=丄,且4。=2«,求切线物的长. 1883351.(2021•黄石)抛物线-26x+6(aWO)与y轴相交于点C(0,-3),且抛物线的对称轴为x=3,。为对称轴与x轴的交点.(1)求抛物线的解析式:(2)在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、ド两点,若ADEF是等腰直角三角形,求△OEド的面积;(3)若P(3,r)是对称轴上一定点,Q是抛物线上的动点,求尸。的最小值(用含t的代数式表示).352.(2021•呼和浩特)已知AB是〇。的任意一条直径.(1)用图1,求证:。。是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形;(2)已知。。的面积为4n,直线CD与。。相切于点C,过点B作BD丄CD,垂足为D,如图2.求证:①エB(^=2BD；2②改变图2中切点C的位置,使得线段。。丄BC时,。ハ=2近. 189351.(2021•呼和浩特)已知抛物线nニい+丘+ム(a>0).(1)通过配方可以将其化成顶点式为,根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征,可以判断,当顶点在x轴(填上方或下方),即4E-F0(填大于或小于)时,该抛物线与x轴必有两个交占.(2)若抛物线上存在两点A(xi,yi),B(X2,ジ)，分布在x轴的两侧,则抛物线顶点必在ズ轴下方,请你结合ス、8两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明;(为了便于说明,不妨设XIVX2且都不等于顶点的横坐标;另如果需要借助图象辅助说明,可自己画出简单示意图)(3)利用二次函数(1)(2)结论,求证:当a>0,(a+c)(a+b+c)<0时,(b-c)2>4a(a+b+c).352.(2021•贵港)如图，。。是△ABC的外接圆,4。是。。的直径，ド是4。延长线上ー点，连接CD,CF,且/QCF=NCAO.(1)求证:Cア是。。的切线;(2)若cosB=S,AD=2,求ドハ的长.5B 190351.(2021•贵港)如图,已知抛物线ぎMい+ル+じ与x轴相交于A(-3.0),B两点,与y轴相交于点C(0,2),对称轴是直线x=-l,连接4c.(1)求该抛物线的表达式;(2)若过点8的直线，与抛物线相交于另一点。,当/AB£>=NB4C时,求直线/的表达式;(3)在(2)的条件下,当点。在x轴下方时，连接4。，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P,使SABCP=ms“Bル请直接出所有符合条件的点/3的坐标.2352.(2021•贵港)已知在△ABC中,。为BC边的中点，连接40,将△AOC绕点。顺时针方向旋转(旋转角为钝角)，得到△EOF,连接4E,CF.(1)如图1,当/BAC=90°且A8=AC时，则AE与Cド满足的数量关系是；(2)如图2,当NBAC=90°且ABKAC时，(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 191当AO=Cド=5,BC=6时,求(3)如图3J延长AO到点ハ,使。。=。ん连接DE,351.(2021•本溪)如图,在Rt/XABC中,NAC8=90°,延长C4到点。,以40为直径作。。,交BA的延长线于点E,延长BC到点ド,使BF=EF.(1)求证:E尸是〇。的切线；(2)若。C=9,AC=4,AE=8,求8ド的长.352.(2021•本溪)在E1ABC。中，NBAD=a,QE平分/4OC,交对角线AC于点G,交射线AB于点E,将线段EB绕点E顺时针旋转1•a得线段EP.2(1)如图1,当a=120°时,连接4尸,请直接写出线段AP和线段4c的数量关系;(2)如图2,当a=90°时，过点8作BF丄E尸于点，连接A尸,请写出线段ARAB,Aハ之间的数量关系,并说明理由;(3)当a=120°时，连接AP,若BE=LaB,请直接写出与△COG面积的比值.2 192A.351.(2021•本溪)如图,抛物线y=ー2ノ+bx+c与x轴交于点A和点C(-1,0)(与y4轴交于点6(0,3),连接A8,BC,点P是抛物线第一象限上的ー动点,过点f作尸。丄x轴于点ハ,交A3于点£(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,作尸凡しP。于点P,使Pド=丄。4,以PE,Pド为邻边作矩形PEG凡当矩2形尸EG尸的面积是△BOC面积的3倍时,求点尸的坐标;(3)如图2,当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线尸。上，若以点。、A、8为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点。纵坐标〃的取值范围.备用图 1932021年中考真题精选7一・选择题351.（2021•雅安）定义:加〃{a,若函数y=/ni〃{x+l,-，+2x+3},则该lb（a>b）函数的最大值为（）A.0B.2C.3D.4352.（2021•永州）定义:若1（T=N,则x=logioMx称为以10为底的N的对数,简记为IgN,其满足运算法则:IgM+lgN—lg（M・N）（M>0,N>0）.例如：因为102=[〇〇,所以2=/glOO,亦即/glOO=2；/g4+/g3=/gl2.根据上述定义和运算法则,计算（/g2）2+/g2•Ig5+lg5的结果为（）A.5B.2C.1D.0353.（2021•东营）如图,△4BC是边长为1的等边三角形,D、E为线段AC上两动点,且ZDBE=30°,过点£）、E分别作48、BC的平行线相交于点F,分别交BC、AB于点H、G.现有以下结论:①S»bc=返:②当点。与点C重合时,FH=エ;@AE+CD=y[342DE；④当AE=C£>时，四边形BHFG为菱形,其中正确结论为（）A.③B.④C.①②③④D.②③④354.（2021•黑龙江）如图,平行四边形4BFC的对角线んド、BC相交于点E,点。为4c的中点,连接8。并延长,交ドC的延长线于点。,交AF于点G,连接A。、OE,若平行四边形ABFC的面积为48,则S^aog的面积为（）A.5.5B.5C.4D.3 194351.(2021♦黑龙江)如图,在正方形ん8C。中,对角线AC与相交于点。,点E在BC的延长线上，连接。E,点ド是。E的中点,连接OF交CC于点G,连接CF,若CE=4,。ド=6.则下列结论:©GF=2；②。ハ=ぜラ。G；③tan/C£>E=工;④NODF=N_2OCF=90°；⑤点。到Cド的距离为2匹.其中正确的结论是()5A.①②③④B.①③©⑤C.①②③⑤D.①②®®352.(2021•湘西州)已知点M(x,y)在第一象限，且x+y=12,点A(10,0)在x轴上,当△OMA为直角三角形时，点M的坐标为()A.(10,2),(8,4)或(6,6)B.(8,4),(9,3)或(5,7)C.(8,4),(9,3)或(10,2)D.(10,2),(9,3)或(7,5)353.(2021•鄂尔多斯)如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,将边BC沿C7V折叠，使点B落在AB上的点8’处，再将边AC沿CM折叠，使点A落在CB'的延长线上的点A’处，两条折痕与斜边48分别交于点MM,则线段A'M的长为()A.B.C.D. 195351.（2021•鄂尔多斯）如图①,在矩形ABCO中,H为CD边上的一点,点M从点A出发沿折线AH-HC-CB运动到点B停止,点N从点A出发沿AB运动到点B停止，它们的运动速度都是lew/s，若点M、N同时开始运动，设运动时间为r（s）,△AMN的面积为5（cm2）,已知S与•之间函数图象如图②所示,则下列结论正确的是（）①当0 196 197351.（2021•常州）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中,给出了证明三角形面积公式的出入相补法.如图所示,在△A8C中,分别取AB、AC的中点。、E,连接。E,过点A作Aド丄。E,垂足为F,将△ABC分割后拼接成矩形BC〃G.若。E=3,Aド=2,则ムABC的面积是BC352.（2021•常州）如图,在RtZXABC中,ZACB=90°,ZCB4=30°,3c=1,3是AB上一点（点。与点A不重合）.若在RtAABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、。成为直角三角形的三个顶点,则A。长的取值范围是.353.（2021•东营）如图，正方形纸片ABC。的边长为12,点ド是4。上一点，将△（7。F沿Cド折叠,点。落在点G处，连接。G并延长交A8于点E.若AE=5,则GE的长为. 198351.（2021•铜仁市）如图,E、ド分别是正方形ABC。的边A3、8c上的动点,满足AE=BF,连接CE、DF,相交于点G,连接AG,若正方形的边长为2.则线段AG的最小值为.352.（2021•黑龙江）如图,在RtZXAOB中,ZAOfi=90°,0A=4,0B=6,以点。为圆心,3为半径的。。，与08交于点C,过点C作CO丄08交48于点。,点尸是边0A上的动点,则PC+PO的最小值为.353.(2021•益阳)如图,RtaABC中,NBAC=90°,tanNABC=3,将△ABC绕A点顺2时针方向旋转角a(0° 199351.（2021•鄂尔多斯）如图,已知正方形ABC。的边长为6,点ド是正方形内一点,连接CF,DF,且ド=ノ。。ド,点E是边上ー动点,连接EB,EF,则EB+E/长度的最小值为.352.（2021•大连）如图，在菱形A8CZ）中，NBAD=60°,点E在边BC上,将△4BE沿直线AE翻折180°,得到れAB'E,点8的对应点是点B'.若48'±BD,BE=2,则BB,的长是.353.（2021•大连）如图，在正方形ABCO中,AB=2,点E在边BC上,点ド在边AO的延长线上,AF=EF,设BE=x,AF=y,当0 200三.解答题351.(2021•烟台)如图,已知RtZ\ABC中,NC=90°.(1)请按如下要求完成尺规作图(不写作法,保留作图痕迹).①作/8AC的角平分线AD,交BC于点ハ;②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点〇;③以点。为圆心,以。。长为半径画圆,交边AB于点M.(2)在(1)的条件下，求证:BC是。。的切线;(3)若AM=48M,AC=10,求。。的半径.352.(2021•烟台)有公共顶点A的正方形A8C。与正方形AEGド按如图1所示放置，点E,F分别在边48和AO上,连接BF,DE,M是8F的中点，连接AM交。E于点N.【观察猜想】(1)线段。E与AM之间的数量关系是,位置关系是；【探究证明】(2)将图1中的正方形4EG尸绕点A顺时针旋转45°,点G恰好落在边AB上,如图2,其他条件不变,线段OE与4M之间的关系是否仍然成立?并说明理由.图1图2 201351.(2021•烟台)如图,抛物线ア=ゼ+か+c经过点A(-2,0),B(4,0),与y轴正半轴交于点C,且。C=2OA,抛物线的顶点为ハ,对称轴交x轴于点E.直线ソ=ゆ+〃经过B,C两点.(1)求抛物线及直线8c的函数表达式;(2)点ド是抛物线对称轴上一点，当ル+FC的值最小时,求出点F的坐标及ハ+FC的最小值;(3)连接4C,若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点。是直线BC上一点,试探究是否存在以点E为直角顶点的RtAPEQ,且满足tan/EQP=tanNOC4.若存在，求出点尸的坐标；若不存在,请说明理由. 202351.(2021•雅安)如图,△0A。为等腰直角三角形,延长OA至点8使OB=0ハ,ABCD是矩形,其对角线AC,BD交于点、E,连接OE交AO于点ド.(1)求证:△0Aド纟△D48；352.(2021•雅安)已知反比例函数y=典的图象经过点A(2,3).(1)求该反比例函数的表达式:(2)如图,在反比例函数y=典的图象上点4的右侧取点C,过点C作x轴的垂线交x轴于点”,过点A作y轴的垂线交直线。”于点。.①过点ん点C分别作ス轴,y轴的垂线,两线相交于点8,求证:〇,B,ク三点共线;②若AC=2OA,求证:ZAOD=2ZDOH. 203351.(2021•雅安)如图,在。。中,AB是直径,8是弦,ABLCD,垂足为P,过点ハ的。。的切线与AB延长线交于点E,连接CE.(1)求证:CE为。。的切线;(2)若。。半径为3,CE=4,求sinNOEC.352.(2021•雅安)已知二次函数ヅ=7+2法-3ん(1)当该二次函数的图象经过点A(1,0)时,求该二次函数的表达式;(2)在(1)的条件下，二次函数图象与ス轴的另ー个交点为点B,与y轴的交点为点C,点尸从点4出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点8运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动,直到其中一点到达终点时，两点停止运动,求△BPQ面积的最大值:(3)若对满足的任意实数x,都使得成立,求实数人的取值范围. 204351.(2021•常州)【阅读】通过构造恰当的图形,可以对线段长度、图形面积大小等进行比较,直观地得到ー些不等关系或最值,这是“数形结合”思想的典型应用.【理解】(1)如图1,ACLBC,CDLAB,垂足分别为C、D,E是AB的中点，连接CE.已知AD=a,BD=b(0 205②比较大小:CECD（填“く”、"=”或并用含a、h的代数式表示该大小关系.【应用】（2）如图2,在平面直角坐标系xOy中,点例、N在反比例函数ソ=丄（x>0）的图象上,横坐标分别为机、n.设p=m+〃，リ=ユユ，记，=」pg.mn4①当用=1,〃=2时，/=:当ル=3,"=3时,1=；②通过归纳猜想,可得，的最小值是.请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立.图2351.（2021•常州）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A’两点,若在y轴上存在点7,使得/A7A'=90°,且な=な’,则称A、A’两点互相关联,把其中一个点叫做另ー个点的关联点.已知点M（-2,〇）、N（-1,〇）,点。（め，〃）在ー次函数y=-2x+l的图象上.（1）①如图，在点8（2,0）、C（〇,-1）、ハ（-2,-2）中,点M的关联点是（填“8”、“C”或“0"）；②若在线段MN上存在点P（1,1）的关联点P',则点P’的坐标是; 206(2)若在线段MN上存在点。的关联点Q',求实数机的取值范围(3)分别以点E(4,2)、。为圆心,1为半径作OE、〇。.若对。E上的任意一点G,备用图351.(2021•常州)如图,在平面直角坐标系xOy中,正比例函数y=H(AH0)和二次函数y=--X!-+bx+?>的图象都经过点A(4,3)和点B,过点A作OA的垂线交x轴于点4C.ハ是线段AB上一点(点。与点A、〇、B不重合)，E是射线AC上一点，且AE=0D,连接OE,过点。作x轴的垂线交抛物线于点F,以OE、。ド为邻边作团ハEGF.(1)填空:k=,b=；(2)设点。的横坐标是r(r>0),连接Eド.若NFGE=NDFE,求f的值: 207(3)过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S^dfp=—Sbdegf,求0D的长.3351.(2021•永州)如图1,AB是。。的直径,点E是。。上ー动点,且不与A,8两点重合，NE4B的平分线交。。于点C,过点C作丄4E,交4E的延长线于点。.(3)如图2,原有条件不变，连接BE,BC,延长AB至点M,NEBM的平分线交AC的延长线于点P,ZCAB的平分线交/C8M的平分线于点Q,求证:无论点E如何运动，总、有/P=NQ.352.(2021•永州)已知关于x的二次函数ガ=ノ+か:+c(实数江c为常数).(1)若二次函数的图象经过点(0,4),对称轴为x=l,求此二次函数的表达式;(2)若/-c=0,当人-3WxWわ时，二次函数的最小值为21,求ら的值:(3)记关于x的二次函数ジ=2^+》+め，若在(1)的条件下，当OWxWl时，总有”》メi,求实数m的最小值. 208391.(2021•东营)如图所示,直线ぎ=hス+わ与双曲线ぎ=交于4、B两点,已知点8的纵坐标为ー3,直线AB与x轴交于点C,与y轴交于点D(0,-2),0A=爬,tanZAOC2"(1)求直线AB的解析式;(2)若点尸是第二象限内反比例函数图象上的一点,△0¢尸的面积是△008的面积的2倍，求点P的坐标;(3)直接写出不等式んx+ク《と2的解集.392.(2021•东营)如图，抛物线尸ー尹+6x+c与x轴交于A、8两点，与y轴交于点C,直线旷=-丄r+2过8、C两点,连接AC.2(1)求抛物线的解析式:(2)求证:△AOCs/\ACB；(3)点"(3,2)是抛物线上的一点,点ハ为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点。作OE丄x轴交直线BC于点E,点P为抛物线对称轴上ー动点,当线段。E的长度最大时,求P0+PM的最小值.393.(2021・东营)已知点。是线段A8的中点，点P是直线，上的任意一点，分别过点A和点 2098作直线/的垂线，垂足分别为点C和点ハ.我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”.(1)［猜想验证］如图1,当点P与点。重合时,请你猜想、验证后直接写出“足中距”。(7和。。的数量关系是.(2)［探究证明］如图2,当点尸是线段4B上的任意一点时,“足中距”0C和。。的数量关系是否依然成立,若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由.(3)［拓展延伸］如图3,①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和。。的数量关系是否依然成立,若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由:②若/(70。=60°,请直接写出线段AC、BD、0C之间的数量关系.图1图2图3392.(2021•吉林)数学小组研究如下问题;长春市的纬度约为北纬44°,求北纬44°纬线的长度，小组成员查阅了相关资料,得到三条信息;(1)在地球仪上，与南,北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；(2)如图,〇。是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400加.弦BC〃04,过点。作。K丄于点K,连接。8.若44。8=44°,则以BK为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度;（3）参考数据:n取3,sin44°=0.69,cos44°=0.72.小组成员给出了如下解答,请你补充完整:解:因为BC〃0A,乙4。8=44°,所以/B=/AOB=44°（）（填推理依据）,因为OK丄BC,所以/8KO=90°,在RtZ\BOK中,08=04=640〇.BK=OBX（填“sinB”或“cosB”）.所以北纬44°的纬线长C=如=2X3X6400X（填相应的三角形函数值）の（h〃）（结果取整数）. 210395.（2021•吉林）如图①，在RtZ\ABC中，NAC8=90°,ZA=60°,8是斜边んB上的中线,点E为射线8c上一点,将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点P. 211图①图②(1)若A8=a.直接写出C。的长(用含。的代数式表示)；(2)若。ド丄BC,垂足为G,点ド与点。在直线CE的异侧,连接CF,如②,判断四边形ん。ド。的形状,并说明理由;(3)若。ド丄48,直接写出N8。ヒ的度数.396.(2021•吉林)如图，在矩形ABC。中,AB=3cm,AD=y[3cm.动点P从点A出发沿折线AB-8C向终点C运动，在边48上以Ic/n/s的速度运动;在边BC上以柄c而s的速度运动，过点。作线段P。与射线。(7相交于点Q,且/「。。=60°,连接PD,BD.设点P的运动时间为x(s),△。尸。与△。タ。重合部分图形的面积为y(cm2).(1)当点P与点A重合时，直接写出。。的长；(2)当点。在边BC上运动时，直接写出8。的长(用含x的代数式表示)；(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.备用图397.(202い吉林)如图,在平面直角坐标系中,二次函数yjd+fcr+c的图象经过点A(0, 2124(1)(2)(3)-エ）,点B（1,丄）.4求此二次函数的解析式;当-2くxW2时,求二次函数y=W+6x+c的最大值和最小值:点P为此函数图象上任意一点,其横坐标为“,过点P作PQ〃x轴,点。的横坐标为ー2/n+l.已知点P与点。不重合，且线段尸。的长度随m的增大而减小.①求，”的取值范围;②当尸。W7时,直接写出线段P。与二次函数y=/+6x+c（-2《xV工）的图象交点个3396.(2021・铜仁市)如图，在△4BC中,ZACB=90°,BC=6如cm,AC=12cm.点尸 213是CA边上的ー动点,点P从点C出发以每秒2cm的速度沿CA方向匀速运动,以CP为边作等边ACP。（点B、点Q在AC同侧）,设点P运动的时间为x秒,△4BC与△CPQ重叠部分的面积为S.（1）当点Q落在△ABC内部时，求此时△ABC与△CP。重叠部分的面积S（用含x的代数式表示，不要求写x的取值范围）；（2）当点。落在ん8上时,求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S的值;（3）当点。落在△ABC外部时，求此时△4BC与ACP。重叠部分的面积S（用含x的代数式表示）.396.（2021•黑龙江）如图,抛物线y=o?+法+3（。ギ0）与x轴交于点A（1,〇）和点8（-3,0）,与y轴交于点C,连接BC,与抛物线的对称轴交于点£顶点为点ハ.（1）求抛物线的解析式;（2）点尸是对称轴左侧抛物线上的ー个动点，点。在射线E。上，若以点尸、Q、E为顶点的三角形与△8。¢相似,请直接写出点尸的坐标.400.（2021•黑龙江）已知4、B两地相距240Z/H,ー辆货车从A前往B地,途中因 214装载货物停留一段时间.ー辆轿车沿同一条公路从B地前往A地,到达A地后(在A地停留时间不计)立即原路原速返回.如图是两车距B地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象,结合图象回答下列问题:(1)图中m的值是:轿车的速度是km/h,(2)求货车从A地前往B地的过程中,货车距8地的距离y(加)与行驶时间x(h)之间的函数关系式;(3)直接写出轿车从B地到4地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12h〃?•丁,km401.(2021•黑龙江)在等腰△AQE中,AE=DE,△48。是直角三角形，ZCAB=90°,ZABC=1ZAED,连接CO、BO,点尸是B。的中点,连接KF. 2152（1）当ノ£40=45°,点8在边AE上时,如图①所示,求证:EF=エCD；2（2）当/E4D=45°,把△ABC绕点A逆时针旋转,顶点B落在边AO上时，如图②所示,当/E4£>=60°,点8在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF和Cハ又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想，不需证明.C402.（2021•黑龙江）如图,在平面直角坐标系中,△408的边OA在x轴上,OA=AB,且线段OA的长是方程?-4x-5=0的根,过点B作8E丄x轴,垂足为E,tanZBA£=A,3 216动点M以每秒1个单位长度的速度,从点A出发,沿线段48向点8运动,到达点8停止.过点M作x轴的垂线,垂足为D,以MD为边作正方形MDCF,点C在线段0A上,设正方形MCC尸与△408重叠部分的面积为S,点M的运动时间为fC>0）秒.（1）求点B的坐标:（2）求S关于f的函数关系式,并写出自变量・的取值范围;（3）当点ド落在线段0B上时，坐标平面内是否存在一点P,使以M、4、0、P为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点尸的坐标;若不存在，请说明理由.403.（2021•枣庄）如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.（1）概念理解:如图2,在四边形A8C。中,AB=AD,CB=CD,问四边形是垂美四边形吗?请说明理由; 217（2）性质探究:如图!.垂美四边形ABC。的对角线AC,8。交于点。.猜想：AB^CD1与AZ^+BCユ有什么关系?并证明你的猜想.（3）解决问题:如图3,分别以RtAACB的直角边AC和斜边ん8为边向外作正方形ACFG和正方形ABCE,连结CE,BG,GE.已知4C=4,AB=5,求GE的长.404.（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-lx+3与x轴交于点A,与y轴2.交于点8,抛物线丫=エ，+hx+c经过坐标原点和点A,顶点为点M.（1）求抛物线的关系式及点M的坐标:（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB,EA,当△£48的面积等于2E时，2求E点的坐标;（3）将直线AB向下平移,得到过点M的直线y=/nr+〃，且与x轴负半轴交于点C,取点ハ（2,0）,连接八M,求证:/ACM-NACM=45°.405.（2021•北京）如图,在△ABC中，A8=4C,ZBAC^a,M为BC的中点，点。在 218MC上,以点A为中心,将线段A£＞顺时针旋转a得到线段AE,连接BE,DE.(1)比较/B4E与/C4O的大小;用等式表示线段BE,BM,MO之间的数量关系,并证明;(2)过点M作A8的垂线，交。E于点N,用等式表示线段NE与N。的数量关系，并证明.404.(2021•上海)如图,在四边形ABC。中，A0〃BC,NABC=90°,AD=CD,。是对角线AC的中点,联结8。并延长交边C。或边A。于点£(1)当点E在C。上,①求证:ADACs△OBC；②若BE丄C。，求坦的值:(2)若。E=2,OE=3,求C。的长. 219407.(2021•益阳)如图,在等腰锐角三角形A8C中,AB=AC,过点B作8O丄AC于ハ,延长BD交△ABC的外接圆于点E,过点4作AFLCE于F,AE,BC的延长线交于点G.(1)判断E4是否平分/OEF,并说明理由;(2)求证:①BD=C/:②b»=de2+ae・eg.'-x(x<0)408.(2021•益阳)已知函数y=<»的图象如图所示,点A(xi,yi)在第一象限x2(x>0)内的函数图象上.(1)若点B(X2,y2)也在上述函数图象上,满足X2 220409.(2021•湘西州)如图,已知抛物线y=a/+6x+4经过4(-1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式:(2)连接BC,求直线8C的解析式;(3)请在抛物线的对称轴上找一点P,使4P+PC的值最小,求点P的坐标,并求出此时AP+PC的最小值;(4)点M为x轴上ー动点,在抛物线上是否存在一点N,使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点N的坐标;若不存在，请说明理由.备用图 221409.(2021•鄂尔多斯)如图,抛物线y=，+2x-8与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标;(2)连接AC,直线(-4 222411.(2021•鄂尔多斯)旋转是ー种重要的图形变换,当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题.(1)尝试解决:如图①,在等腰Rt△4BC中,NBAC=90。,AB=AC,点M是BC上的一点,CM=2cm,将△ABM绕点4旋转后得到△ACN,连接MN,则AM=cm.(2)类比探究:如图②，在“筝形"四边形ABC。中,AB=AD=a,CB=CD,ABVBC于点B,40丄CO于点ハ，点P、。分别是んB、AO上的点，且/PCB+NQCO=NPCQ,求△APQ的周长.(结果用。表示)(3)拓展应用：如图③，已知四边形ABC。，AD=CD,NAQC=60°,N48C=75°,AB=2近,BC=2,求四边形A8CD的面积. 223412.(2021•徐州)如图,点A、8在ヅ=丄/的图象上.已知4、8的横坐标分别为ー2、4,4直线AB与y轴交于点C,连接OA、OB.(1)求直线4B的函数表达式;(2)求ふAOB的面积:(3)若函数y=［ア的图象上存在点P,使的面积等于△408的面积的一半,则这样的点尸共有个. 224412.（2021•徐州）如图I,正方形A8C。的边长为4,点尸在边A。上（P不与4、O重合），连接PB、PC,将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到尸E,将线段PC绕点P逆时针旋转90°得至IJPF,连接Eド、EA.FD.（1）求证:①△POF的面积5=Apd2；2②EA=FD；（2）如图2,EA,的延长线交于点M,取EF的中点M连接MN,求MN的取值范围.图1图2413.（2021•大连）如图,四边形ABCO为矩形,48=3,BC=4,P、Q均从点B出发,点P以2个单位每秒的速度沿BA-AC的方向运动，点。以1个单位每秒的速度沿BC-C。运动,设运动时间为f秒.（1）求AC的长:（2）若Sabpq=S,求S关于，的解析式. 225412.(2021•大连)已知AB=B£>,AE=EF,ZABD=ZAEF.(1)找出与ノ£>8F相等的角并证明;(2)求证:NBFD=NAFB；(3)AF=kDF,NE。尸+NMハド=180°,求处.MF-^■x2-^x+m(x 226【探究发现】(1)如图①,若/BAO=120°,NABC=NAOC=90°.求证:AD+AB=AC；【拓展迁移】(2)如图②,若/BA£)=120°,ZABC+ZADC=180°.①猜想AB、AD,AC三条线段的数量关系,并说明理由;②若AC=10,求四边形4BCO的面积.图①图②418.(2021•黔东南州)如图，抛物线y=o?-2x+c(a#0)与x轴交于A、B(3,0)两点,与)，轴交于点C(0,-3),抛物线的顶点为ハ.(1)求抛物线的解析式;(2)点尸在抛物线的对称轴上，点。在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点、,8C为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；(3)已知点M是x轴上的动点,过点M作x的垂线交抛物线于点G,是否存在这样的点、M,使得以点4、M、G为顶点的三角形与△BC。相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.连接ON并延长交。。于点E,连接BE,BE交AC于点D. 227(1)如图1,求证:ZCDE+AzBAC=135°：2(2)如图2,过点ハ作。G丄BE,。6交AB于点F,交。。于点G,连接。G,OD,若DG=BD,求证:OG"AC：(3)如图3,在(2)的条件下，连接AG,若。N=2后，求4G的长.5图1图2图3 2284(10,0),B(-§-,6)两点,直线y=2x-4与x轴交于点C,与y轴交于点。，点尸2为直线y=2x-4上的ー个动点,连接ハ.(1)求抛物线的解析式:(2)如图1,当点P在第一象限时，设点P的横坐标为ム/VIPC的面积为S,求S关于，的函数解析式(不要求写出自变量f的取值范围)；(3)如图2,在(2)的条件下,点E在y轴的正半轴上,且OE=OO,连接CE,当直线BP交x轴正半轴于点厶交y轴于点ビ时，过点尸作PG〃CE交x轴于点G,过点G作y轴的平行线交线段yL于点凡连接C凡过点G作GQ〃Cド交线段wム于点。，ZC尸G的平分线交x轴于点M,过点M作M/Z〃Cド交ドG于点，，过点，作，R丄Cド于点R,若FR+MH=GQ,求点尸的坐标.图1图2 2292021年中考真题精选8一・选择题421.（2021•赤峰）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步,先到终点的人原地休息.已知甲先出发3秒,在跑步过程中,甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的个数是C）①乙的速度为5米/秒;②离开起点后,甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米;③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44Vx<89；④乙到达终点时，甲距离终点还有68米.A.4B.3C.2D.1422.（2021•淄博）如图，在RtZ\4BC中，NACB=90°,CE是斜边AB上的中线，过点E作即丄AB交AC于点F.若BC=4,ZXAE尸的面积为5,则sin/CEド的值为（） 230421.（2021•淄博）如图,在平面直角坐标系中,四边形AO8O的边08与x轴的正半轴重合,〃0B,OB丄x轴,对角线AB,0。交于点M.已知AO：OB=2：3,△AMO的面积为4.若反比例函数y=K的图象恰好经过点M,则え的值为（）555422.（2021•广州）在平面直角坐标系xQy中，矩形。ABC的点A在函数ギ=丄（x>0）的X图象上,点C在函数y=-4（x<0）的图象上,若点8的横坐标为ーエ,则点A的坐x2标为（）A.（丄,2）B.（返,扬C.（2,A）D.（我,返）2222423.（2021•梧州）如图,在RtZ\ABC中,点り,E,ド分别是边AB,AC,BC的中点,AC=8,BC=6,则四边形CE/び的面积是（）A.6B.12C.24D.48424.（2021・梧州）在平面直角坐标系中,已知点A（0,1）,B（0,-5）,若在x轴正半轴上有一点。,使/AC8=30°,则点。的横坐标是（）A.3V3+4V2B.12C.6+3弧D.673425.（202r南通）若关于ス的不等式组I4・二恰有3个整数解,则实数。的取值范围Ix-a40是（）A.7 231421.（2021•南通）如图,四边形ABC。中,AB//DC,DE1AB,CFLAB,垂足分别为E,F,且AE=E尸=尸B=5cm,DE=\2ctn.动点P,Q均以lcm/s的速度同时从点A出发,其中点P沿折线AD-DC-CB运动到点B停止,点Q沿AB运动到点B停止,设运动时间为r（s）,△4PQ的面积为y（cm?）,则y与r对应关系的图象大致是（422.（2021•南通）平面直角坐标系xOy中,直线y=2x与双曲线y=K（k>2）相交于4,B两点,其中点A在第一象限.设M（か,2）为双曲线y=K（k>2）上一点，直线AM,3M分别交y轴于C,ハ两点,则OC-O。的值为（）A.2B.4C.6D.8 232KCD//AB,连接。4,OB,OP,AD.若/COO+/A08=180°,AB=6,则ル£）的长是（）A.6如B.3近C.2-713D.V13431.（2021•牡丹江）如图,抛物线ド=0?+法+0"wo）的顶点为0,〃）,与ス轴的ー个交点B（3,0）,与ア轴的交点在（0,-3）和（0,-2）之间.下列结论中:①竝•＞（）；②-2＜わ＜ー立;③（a+c）2ー庐=0；®2c-a＜2n,则正确的个数为（）3B.2A.1C.3D.4 233431.（2021•郴州）如图,在边长为4的菱形4BCD中,ZA=60°,点P从点A出发,沿路线A-B-Cf。运动.设尸点经过的路程为x,以点4,D,P为顶点的三角形的面积为y,则下列图象能反映y与ス的函数关系的是（）432.（2021•阜新）如图,弧长为半圆的弓形在坐标系中,圆心在（0,2）.将弓形沿x轴正方向无滑动滚动,当圆心经过的路径长为20211r时，圆心的横坐标是（A.2020ttB.1010TT+2020C.202InD.lOllir+2020 234填空题431.（2021•泰州）如图,四边形ABCD中,AB=CD=4,且AB与CD不平行,P、M、N分别是A。、BD、AC的中点,设△PMN的面积为S,则S的范围是.432.（2021・赤峰）如图,正方形A8CD的边长为2巡,点E是8c的中点,连接AE与对角线BD交于点G,连接CG并延长,交AB于点F,连接DE交CF于点H,连接AH.以下结论:®CF±D£；②型=2；③G"=2证:@AD^AH,其中正确结论的序号HF33是.436.（2021・毕节市）如图，在菱形ABC。中，BC=2,ZC=120°,。为AB的中点，P为对角线8。上的任意一点,则AP+PQ的最小值为 235DP 236437.(2021・毕节市)如图,在平面直角坐标系中,点M(1,1)在直线ムy=x上,过点Ni作N1M山,交x轴于点Mi;过点Mi作丄x轴，交直线于N2;过点N2作N2M2丄，,交x轴于点M2;过点M2作M2N3丄x轴，交直线/于点M；…，按此作法进行下去，则点M2021的坐标为438.(2021・毕节市)如图,直线AB与反比例函数y=K(k>0,x>0)的图象交于4,Bx两点,与x轴交于点C,且AB=BC,连接04.已知△047的面积为⑵则ス的值为. 237437.（2021•广州）如图,正方形ABCO的边长为4,点E是边BC上一点,且BE=3,以点A为圆心,3为半径的圆分别交A3、AO于点ド、G,DF与AE交于点H.并与。A交于点K,连结〃G、CH.给出下列四个结论.其中正确的结论有.（填写所有正确结论的序号）.（1）”是FK的中点（2）△HGgAHEC（3）Saahg：SaDHC=9：16438.（2021•丹东）如图,在矩形4BCZ5中，连接BC,过点C作/OBC平分线BE的垂线，垂足为点E,且交8。于点尸;过点C作/8CC平分线ハ”的垂线，垂足为点〃，且交BD于点、G.连接HE,若BC=2y/2，CD=y/2,则线段HE的长度为439.（2021•丹东）已知:到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果ふABC是锐角（或直角）三角形,则其费马点P是三角形内一点，且满足BPC=NCP4=120°.（例如:等边三角形的费马点是其三条高的交点）.若AB=AC=イラ,BC=2a/3,P为れABC的费马点，则PA+PB+PC^:若AB=2«,BC=2,AC=4,P为△ABC的费马点，则fi4+P8+PC=.. 238a（0° 239443.（2021•郴州）如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,sinA=纟,80丄んC交AC于点ハ•点5P为线段BD上的动点,则PC+1PB的最小值为.5444.（2021•阜新）育红学校七年级学生步行到郊外旅行.七（1）班出发后,七（2）班ォ出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间，（h）的函数关系图象如图所示.若已知联络员用了2ん第一次返回到自己班级，则七（2）班需要人才能追上七（1）班.34k 240三.解答题443.(2021•泰州)如图,在。0中,AB为直径,P为AB上一点,PA=\,PB=m(m为常数,且机＞0).过点尸的弦C。丄AB,Q为BC上一动点(与点8不重合)，AHLQD,垂足为”.连接A0、BQ.(1)若m=3.①求证:ZOAD=60°；②求凶.的值;DH(2)用含机的代数式表示出Q,请直接写出结果:(3)存在ー个大小确定的〇。,对于点Q的任意位置,都有8ぴ-2。バ+P解的值是ー个定值,求此时N。的度数.备用图 241C,交对角线BO于点E,且CE=BE,连接OE交BC于点F.(I)试判断48与。。的位置关系,并说明理由;(2)若8ル=丝ぜ，tanZCfiD=A,求。。的半径.449.(2021•赤峰)如图,抛物线y=ーノ+bx+c与x轴交于(-3,0)、B(1,0)两点，与y轴交于点C,对称轴，与x釉交于点凡直线相〃4C,点E是直线4c上方抛物线上ー动点,过点E作E”丄m,垂足为〃，交AC于点G,连接AE、EC、CH、AH.(1)抛物线的解析式为;(2)当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标;(3)在(2)的条件下，连接E凡点尸是x轴上ー动点，在抛物线上是否存在点。,使得以尺E、P、。为顶点,以Eド为ー边的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点。的坐标;若不存在，说明理由.备用图 242如图,已知△ABC中,AB=AC=m,BC=n,ZBAC=a(00 243451.(2021•淄博)已知:在正方形ABC。的边BC上任取一点ド,连接AF,一条与Aド垂直的直线/(垂足为点P)沿Aド方向,从点A开始向下平移,交边A8于点E.图1图2图3(1)当直线，经过正方形ABCO的顶点。时,如图1所示.求证:AE—BF；(2)当直线，经过Aド的中点时，与对角线8。交于点Q,连接ド。，如图2所示.求ノAFQ的度数;(3)直线，继续向下平移，当点P恰好落在对角线8。上时,交边CO于点G,如图3所示.设4B=2,BF=x,DG=y,求y与x之间的关系式. 244452.（2021•淄博）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-_lx2+Q!・x+典（wj>0）与222x轴交于A（-1,0）,BCm,0）两点,与y轴交于点C,连接BC.（1）若OC=2OA,求抛物线对应的函数表达式;（2）在（1）的条件下，点尸位于直线BC上方的抛物线上,当△PBC面积最大时,求点P的坐标;（3）设直线y=^x+わ与抛物线交于B,G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点、F2（在抛物线的对称轴上），使得以B,G,E,ド为顶点的四边形成为矩形?若存在，求出点E,F的坐标;若不存在，说明理由.453.（2021・毕节市）如图1,在Rt/XABC中,NBAC=90°,AB=AC,ハ为△ABC内ー点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接CE,BD的延长线与CE交于点F.（1）求证:BD=CE,BD丄CE；（2）如图2,连接A尸，DC,已知/8£>C=135°,判断Aド与。C的位置关系，并说明理由.454.（2021・毕节市）如图,抛物线y=/+bx+c与x轴相交于A,8两点,与y轴相交于点C, 245对称轴为直线x=2,顶点为ハ,点8的坐标为（3,0）.（1）填空:点A的坐标为,点D的坐标为,抛物线的解析式为（2）当二次函数y=f+みx+c的自变量x满足，"Wxく/n+2时,函数y的最小值为互,求4m的值;（3）P是抛物线对称轴上ー动点，是否存在点P,使△附C是以4c为斜边的直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由. 246452.(2021•广州)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线厶ソ=ユス+4分别与x轴,y轴相2交于4、8两点,点P(x,y)为直线，在第二象限的点.(1)求A、8两点的坐标;(2)设△む。的面积为S,求5关于x的函数解析式，并写出x的取值范围;(3)作△む。的外接圆。C,延长PC交。C于点。,当△尸。。的面积最小时，求。C的半径.453.(2021•广州)已知抛物线ア=/-(zn+1)x+2m+3.(1)当机=0时,请判断点(2,4)是否在该抛物线上;(2)该抛物线的顶点随着”的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标:(3)已知点E(-l,-1)、F(3,7),若该抛物线与线段Eド只有一个交点,求该抛物线顶点横坐标的取值范围. 247457.(2021•广州)如图,在菱形48C0中,ZDAB=60°，AB=2,点E为边AB上一个动点,延长BA到点ド,使AF=AE,且Cド、相交于点GAEB备用图(1)当点E运动到4B中点时，证明:四边形。FEC是平行四边形;(2)当CG=2时,求AE的长;(3)当点E从点4开始向右运动到点8时，求点G运动路径的长度.458.(2021•丹东)如图,〇。是△4BC的外接圆,点。是BC的中点,过点。作EF//8C分别交A8、AC的延长线于点E和点ド，连接A。、BD,/ABC的平分线交A。于点M.(1)求证:是〇。的切线;(2)若4B：BE=5：2,4。=ソ/,求线段。M的长. 248458.(2021•丹东)已知,在正方形ABCO中,点M、N为对角线4c上的两个动点,且ノMBN=45°,过点M、N分别作48、8C的垂线相交于点E,垂足分别为F、G,设△4FM的面积为Si,Z\NGC的面积为S2,的面积为S3.图1图2(1)如图(1),当四边形EFBG为正方形时,①求证:4AFM込2CGN：②求证:53=51+52.(2)如图(2),当四边形EFBG为矩形时,写出S1,52,53三者之间的数量关系，并说明理由;(3)在(2)的条件下，若BG：GC=m：n(机＞〃)，请直接写出AF:尸8的值. 249460.(2021•丹东)如图,已知点A(-8,0),点B(-5,-4),直线y=2x+m过点B交y轴于点C,交x轴于点ハ,抛物线ぎ=い+手x+c经过点A、C、D,连接A8、AC.(1)求抛物线的表达式;(2)判断△ABC的形状,并说明理由:(3)E为直线AC上方的抛物线上一点，且tan/EC4=工，求点E的坐标;2(4)N为线段AC上的动点,动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运动到点N,再以每秒述个单位长度的速度沿线段NC运动到点C,又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点。运动，当点尸运动到点。后停止,请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标. 250461.(2021•梧州)如图,在RtZXAC。中,ZACD=90°,点。在C。上,作。。,使。。与AO相切于点8,。。与C。交于点E,过点。作。尸〃4C,交A。的延长线于点ド，且/OAB=N尸.(1)求证:4c是。。的切线;(2)若OC=3,DE=2,求tan/F的值.462.(2021•梧州)如图，在正方形ん8C。中，点£,ド分别为边BC,C。上的点，且AE丄BF于点P,G为A。的中点,连接GP,过点尸作PH丄GP交4B于点〃,连接G4.(1)求证:BE=CF；(2)若AB=6,BE=^BC,求G4的长. 251461.(2021•梧州)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=/+fer+c经过点A(-1,0),B(0,3),顶点为C,平移此抛物线,得到一条新的抛物线,且新抛物线上的点D(3,-1)为原抛物线上点A的对应点,新抛物线顶点为E,它与)，轴交于点G,连接CG,EG,CE.(1)求原抛物线对应的函数表达式:(2)在原抛物线或新抛物线上找ー点ド，使以点C,E,F,G为顶点的四边形是平行四边形,并求出点F的坐标;(3)若点K是y轴上的ー个动点,且在点B的上方,过点K作CE的平行线,分别交两条抛物线于点M,N,且点M,N分别在y轴的两侧，当MN=CE时,请直接写出点K的坐标. 252461.(2021•桂林)如图,四边形4BCZ5中,NB=NC=90°,点E为BC中点,AELDE于点£.点。是线段AE上的点，以点。为圆心,OE为半径的。。与48相切于点G,交BC于点F,连接。G.(1)求证:AECDsAABE；(2)求证:。。与4。相切:(3)若BC=6,AB=3«,求。。的半径和阴影部分的面积.462.(2021•桂林)如图，已知抛物线y=a(X-3)(x+6)过点A(-1,5)和点8(-5,机)与x轴的正半轴交于点C.(1)求小山的值和点C的坐标:(2)若点P是x轴上的点,连接PB,PA,当里=2时,求点尸的坐标;PA5(3)在抛物线上是否存在点M,使A,B两点到直线MC的距离相等?若存在,求出满足条件的点M的横坐标:若不存在,请说明理由. 253461.（2021•南通）如图,正方形ABCC中,点E在边4。上（不与端点A,。重合）,点A关于直线BE的对称点为点F,连接C尸，设/A8E=a.备用图（1）求/BCド的大小（用含a的式子表示）：（2）过点C作CG丄AF,垂足为G,连接。G.判断。G与Cド的位置关系，并说明理由;（3）将ふABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH,点E的对应点为点H,连接BF,HF,当△8F"为等腰三角形时，求sina的值.462.（2021•南通）4,B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品.暑假期间两家超市都进行促销活动,促销方式如下:A超市:一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折;8超市：一次购物不超过100元的按原价,超过100元后的价格部分打8折.例如,一次购物的商品原价为500元,去A超市的购物金额为：300X0.9+（500-300）X0.7=410（元）；去B超市的购物金额为:100+（500-100）X0.8=420（元）.（1）设商品原价为x元,购物金额为y元,分别就两家超市的促销方式写出y关于X的函数解析式;（2）促销期间,若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱?请说明理由. 254461.（2021•南通）定义:若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”.例如，点（1,1）是函数y=lx+ユ的图象的“等值点''22（1）分别判断函数y=x+2,的图象上是否存在“等值点”?如果存在，求出“等值点”的坐标;如果不存在,说明理由;（2）设函数y=3（x>0）,y=-x+b的图象的“等值点”分别为点A,B,过点B作BC丄x轴，垂足为C.当△ABC的面积为3时，求6的值:（3）若函数y=/-2（x»胆）的图象记为刖,将其沿直线ス=机翻折后的图象记为W2.当M,W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时,直接写出机的取值范围.462.（2021•遵义）在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究,其作法和图形如下:①画线段AB：②分别以点A,8为圆心，大于A8长的一半为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交4B于点〇;③在直线MN上取一点C（不与点。重合）,连接AC、BC；④过点4作平行于BC的直线4。,交直线MN于点ハ,连接BD（1）根据以上作法，证明四边形AOBC是菱形:（2）该同学在图形上继续探究,他以点。为圆心作四边形AO8C的内切圆，构成如图所示的阴影部分,若AB=2j§,ZBAD=30",求图中阴影部分的面积. 255461.(2021•遵义)点A是半径为2yl接OA,AB.(1)【阅读感知】如图①,当AABC将下列解答过程补充完整.解:将线段08绕点8顺时针旋转6由旋转的性质知:ZOBO'=60°,.•.。〇'=80=6又•••△ABC是等边三角形AZABC=60°,AB=BC：.ZOBO'=ZABC=60°：.ZOBA=ZO'BC在△084和△〇’BC中,'0B=0'B 256(3)【理解运用】如图③,当ふABC是以A8为腰,顶角为120°的等腰三角形时,连接OC,求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长.461.(2021•牡丹江)如图!,四边形A8C。是正方形，点E是边BC的中点，NAEr=90°,且Eド交正方形外角的平分线CF于点ド,过点F做FG丄BC于点G,连接AC.易证:AC=^2(EC+FG).(提示:取48的中点M,连接EM)(1)当点E是BC边上任意一点时，如图2:当点E在BC延长线上时,如图3.请直接写出AC,EC,ドG的数量关系,并对图2进行证明;(2)已知正方形ABCD的面积是27,连接AF,当△ABE中有一个内角为30°时,则AF的长为.图3462.(2021•牡丹江)如图,直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点B.08是一元二次方程ア-x-30=0的ー个根，且tanNO4B=3,点。为AB的中点，E为x轴正半轴上一4点，BE=2屈,直线。。与BE相交于点F.(1)求点A及点O的坐标;(2)反比例函数y=エ经过点ド关于メ轴的对称点ド’,求k的值;(3)点G和点/Z在直线48上，平面内存在点P,使以E,G,H,尸为顶点的四边形是边长为6的菱形,符合条件的菱形有几个?请直接写出满足条件的两个点尸的坐标. 257461.(2021•湘潭)如图,点A(a,2)在反比例函数y=3・的图象上,AB//x轴,且交y轴于点。,交反比例函数y=区于点8,已知AC=28C(1)求直线OA的解析式;(2)求反比例函数y=区的解析式;x(3)点。为反比例函数y=区上ー动点,连接Aク交y轴于点E,当E为AO中点时,x求△04O的面积.462.(2021•湘潭)如图,一次函数y=%图象与坐标轴交于点4、B,二次函数y3=yp+匕x+c图象过A、B两点.3(1)求二次函数解析式;(2)点8关于抛物线对称轴的对称点为点C,点尸是对称轴上ー动点，在抛物线上是否存在点。，使得以8、C、P、。为顶点的四边形是菱形?若存在，求出。点坐标;若不存在，请说明理由. 258461.(2021•湘潭)德国著名的天文学家开普勒说过:“几何学里有两件宝,ー个是勾股定理,另ー个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”.如图①,点C把线段A8分成两部分，如果竺=逅ユ七0.618,那么称点C为线段ABAC2的黄金分割点.(1)特例感知:在图①中,若AB=100,求んC的长;(2)知识探究:如图②，作。。的内接正五边形;①作两条相互垂直的直径MMAh②作。N的中点P,以尸为圆心,附为半径画弧交于点。;③以点A为圆心，AQ为半径，在。。上连续截取等弧,使弦4B=BC=CO=OE=AQ,连接AE：则五边形ABCDE为正五边形.在该正五边形作法中，点。是否为线段。M的黄金分割点?请说明理由;(3)拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征,是ー个非常优美的几何图形,与黄金分割有着密切的联系.延长题(2)中的正五边形A8CDE的每条边,相交可得到五角星,摆正后如图③,点E 259是线段PO的黄金分割点,请利用题中的条件,求cos72°的值.461.(2021•郴州)如图，aABC是。。的内接三角形,AC是。。的直径,点。是BC的中点,OE〃8c交AC的延长线于点E.(1)求证:直线与。。相切;(2)若。。的直径是10,乙4=45°,求CE的长.462.(2021•郴州)如图1,在等腰直角三角形ABC中,4aAe=90°,点E,尸分别为AB,AC的中点,H为线段Eド上ー动点(不与点E,ド重合),将线段ん”绕点A逆时针方向旋转90°得到AG,连接GC,HB.(1)证明:△A//8四△AGC；(2)如图2,连接GF,HG,”G交A「于点。.①证明:在点/Z的运动过程中，总有/”FG=90°；②若AB=AC=4,当E”的长度为多少时AAOG为等腰三角形? 260478.(2021•郴州)将抛物线(aWO)向左平移1个单位,再向上平移4个单位后,得到抛物线从y=a(x-h)2+k.抛物线と与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.已知A(-3,0),点P是抛物线”上的ー个动点.(1)求抛物线”的表达式;(2)如图1,点P在线段AC上方的抛物线H上运动(不与A,C重合),过点P作/3。LAB,垂足为ハ，PO交AC于点E.作PF丄AC,垂足为F,求APEド的面积的最大值;使得以点4,P，C,。为顶点的四边形是平行四边形?若存在P的坐标；若不存在，说明理由.「ん,T1\;4n\7,求出所有符合条件的点ムッ1.4\\\T备用图图1图2(3)如图2,点。是抛物线”的对称轴/上的ー个动点,在抛物线，上,是否存在点尸, 261479.（2021•阜新）在图1中似乎包含了一些曲线,其实它们是由多条线段构成的.它不但漂亮,还蕴含着很多美妙的数学结论.如图,在正方形中,E,F分别是直线AB,8c上的点（E,F在直线AC的两侧）,且4E=C只（1）如图2,求证:DE=DF；（2）若直线んC与EF相交于点G,①如图3,求证:DGLEF-,②设正方形的中心为0,NCFE=a,用含a的式子表示/OGO的度数（不必证明）.图1图2图3 262479.(2021•阜新)在平面直角坐标系中,抛物线y=o?+6x-3交x轴于点4(-1,0),B(3,0),过点8的直线y=2x-2交抛物线于点C.3(1)求该抛物线的函数表达式;(2)若点P是直线BC下方抛物线上的ー个动点(P不与点B,C重合),求△PBC面积的最大值;(3)若点M在抛物线上，将线段。历绕点。旋转90°,得到线段。N,是否存在点M,使点N恰好落在直线BC上?若存在，请宜接写出点"的坐标；若不存在,请说明理由.
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