小学奥数（四升五）

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小学四年级奥数第1讲植树问题知识方W在生活中经常会碰到植树类的问题，我们可以把这些生活中的植树类题转化成数学上的植树问题。植树问题主要会有以下几种情形：一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形。1.如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1,即:棵数=段数+12.如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即:棵数=段数。3.如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数应比要分的段数少1,即:棵数=段数-1。二、在封闭线路上植树，棵数段数相等，即:棵数=段数。三、在方形线路上植树，如果每个顶京都要植树，则棵数=（每边的棵数-1）X边数。重点点拔|【例1】在一条长600米的道路上植树，从头到尾每隔5米栽一棵树，一共可以栽多少？分析这条路共600米，每隔5米栽一棵，600米中共有:600*5=120（段）。因为路两端都要栽树，所以栽树的棵数应该比段数多1,也就是要栽120+1=121（棵）解答6004-5+1=120+1=121（棵）

1答:可以栽121棵树。【例2】一条马路边，从头开始每隔40米有一根电线杆，一辆汽车在一根电线杆旁开始行驶，5分钟后刚好经过第60根电线杆（起点的那根电线杆不计在内）。汽车每分钟行驶多少米？分析要求汽车每分钟行驶多少米?从题中可以知道：汽车5分钟后刚好经过第60根电线杆，也就是经过60个间隔（因为起点的那根电线杆不计在内），那么每分钟经过60+5=12（个）间隔，每个间隔是40米，这样就可以求出汽车每分钟行驶多少米了。解答60+5=12（个）40X12=480（米）答:汽车每分钟行驶480米。［例3］从甲地到乙地原来有电线杆51根，每相邻两根之间的距离为12米。现在要减少到41根，相邻两根之间的距离应是多少米?分析甲地到乙地原有51根电线杆，它们之间有50个间隔，因为每相邻两根之同的距离为12米，所以甲地到乙地的距高是50X12=600米。现在要减少到41根电线杆，就有40个间隔，相邻两根之间的距离为600+40=15（米）。解答（51-1）X12=600（米）600+（41-1）=15（米）答:现在减少到41根，相邻两根之间的距离是15米。【例4】学校两栋楼之间相距50米，每隔5米栽一棵松树，两栋楼之间能栽多少棵松树？分析我们把两棵松树之间的距离看作一段，两栋楼之间的距离可以分为着干段,即5米为一段,50米应分成的段数是50+5=10（段）。两端不能栽种（因为不能紧挨着楼种树），种树的棵数应该比段数少1。解答50+5-1=9（棵）答:两栋楼之间能栽9棵松树[例5]一所小学的操场是长方形，在其周围共植树70

2棵，每两棵树之间的距离是5米。已知这个操场的长是100米，宽是多少米?分析这是一道在方形线路上植树的问题。如果把每两棵树之间看作一段，因为是在方形路上植树，所以段数等于植树棵数，所以段数是70段。这样就可以求出长方形的周长是70X5=350米，长是已知的，这样就可以求出宽。解答70X5=350（米）350+2-100=75（米）答:宽是75米。【例6】为美化环境，市攻府要修建一个周长为2400米的圆形花坛。如果沿着这一圈每隔6米栽1株月季花，再在每相邻的2株月季花之间等距离地栽2株丁香花，可栽月季花多少株?可栽丁香花多少株？分d因为是一个封闭图形，所以栽月季花的株数应该同以6米为一段的段数相等。所以可以载2400+6=400（株）月季花。又因为2株月季花之间的距离就是一段，在这个圆周上有400段，每段种2林丁香花，那么就可以求出丁香花的株数了。解答2400*6=400（株）2X（2400:6）=800（株）答:可以栽月季花400株,可以栽丁香花800株。培忧高才1.一条小路全长800米，要在路的一旁植树，从头到尾共植树51棵，每两棵树之间相距多少米?2.一个人在马路上散步，从第一根电线杆走到第六根电线杆用了10分钟。这人走了30分钟，他走过了多少根电线杆？3.在一个圆形鱼池的周围每隔9米种1棵柳树，一共种了40棵。

3这个鱼池的周长是多少米1.车站停有10辆小公共汽车，每隔5分钟发一辆车，第一辆车开出以后，再过多少分钟最后一辆车才能出发？2.一条马路边，原来每隔30米有一根电线杆，共有112根，现在改成每隔37米有一根电线杆，这样可以节约多少根电线杆？3.在一个圆形湖的周围筑3600米的大堤，堤上每隔6米栽1棵柳树，然后在相邻的2棵柳树之间栽2棵桃树。大堤上栽的柳树和桃树各多少棵？4.一座挂钟，走到几点就敲几下，4点的时候，敲完4下，用了6秒，10点的时候敲完10下，要用多少秒？5.在一个正方形池塘四周植树，四个顶点各植一棵树，这样每边都植了10棵树。四周共植多少棵树？

41.两棵松树间相距180米，计划在两棵松树间补栽小柳树17棵,使得所有树中每两棵树之间间隔相等，间隔是多少米？2.甲、乙两人在长1000米的公路两旁栽树，每隔10米栽一棵,又知甲比乙多栽14棵，甲、乙两人各栽树多少棵?（头尾都栽）3.张叔叔要在一个长50米、宽30米的长方形水池旁植树，从一个顶点开始，每隔10米植一棵树，一共可以植多少棵树？4.小明和小亮在一条人行道上比赛竞走，两人同时从同一棵树旁开始竞走，4分钟后，用到管13棵树旁，小喜走到第10棵树旁若两棵树之间的距离是20米，小明每分钟比小亮多走多少米？

5小学四年级奥数第2讲速算与巧算知识方H我们已经学过了加法交换律、加法结合律及乘法交换律、乘法交换律、乘法分配律等运算定律，这些定律在学习中经常会用到这就需要我们首先要掌握好这几个定律，在经常练习的基础之上，巧秒地运用运算定律和性质，可以把较复杂的计算转化为简单的计算，使得计算正确而迅速。重点点次【例1】计算:598-65-35分析如果按照运算顺序进行计算显然比较麻烦。这里我们可以利用减法的性质:从一个数里连续减去几个数，等于从这个数里减去这几个数的和。因为65与35的和刚好等于整百数，所以这题可以先用65与35相加，得到100再用598减去100,这样计算非常简便。解答598-65-35=598-(65+35)=598-100减法的性质:a-b-c=a-(b+c)【例2】计算:8X42X125分析这题是三个数连乘，可以按照从左到右的顺序进行计算,这样也能求出结果，但比较麻烦。今后碰到这样的题目，在动笔计算之前，可以先研究一下，你就会发现把8与125先相乘，计算会非常简便。解答8X42X125=8X125X42

6=1000X42=42000这里运用了乘法交换律使得计算更加简便。［例3］计算:7800・25+4分析在除法里有这样一种性质，“一个数连续除以几个数，可以先把这几个数相乘，再用这个数去除以后面几个数的，结果不变”这题我们可以先把25与4相乘，再用7800除以它们的积，这样计算起来会非常简便。解答78004-254-4=78004-(25X4)=78004-100=78除法的性质是:a+b+c=a+:(bXc)。［例4］计算:85X27+85X74-85分析这题看起来有点复杂，因为它不是典型的乘法分配律的运用。但仔细观察这其中也蕴藏着规律，85也可以看成85X1,这样我们可以利用乘法分配律，提取公因数85进行计算。解答85X27+85X74-85=85X27+85X74-85X1=85X(27+74-1)=85X100=8500

7【例5】计算321321X789-789789X321分析观察这个算式，感觉无法下手。如果我们把321321这个数进行分解，你就会发现其中的规律，321321=321X1001o同样的道理789789也可以写成789与1001相乘的形式。再观察被减数与减数,就会发现它们所包含的因数相同，因此这题的结果为0。解答321321X789-789789X321=321X1001X789-789X321X1001=0【例6】计算:1999+999X999分析我们可以把1999拆成1000与999相加，再观察999X999,实际是999个999,如果与前面的999合在一起，就变成了1000个999,这样计算起来就很简便。解答1999+999X999=1000+999+999X999=1000+999X1000=1000X(999+1)=1000000培优高事1.(1)995-166-34

82.4X9X253.(1)3604-84-5(2)6304-354.(1)125X103-375

96.19999+9999X99997.125X5X32X58.63630+9+79.72004-254-4

1011.999X1111+3333X666712.99999X84-111111

11小学四年级奥数第3讲因数和倍数知识方函因为5X6=30,我们就说30是5的倍数，30也是6的倍数，5和6都是30的因数。一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数（或质数）。一个数除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。如果一个数是2的倍数，我们就说这个数是偶数，不是2的倍数叫奇数。奇偶数的性质:1个奇数土1个奇数=偶数1个奇数XI个奇数=奇数1个偶数土1个偶数=偶数重点点拔I1个奇数士1个偶数=奇数1个奇数XI个偶数=偶数1个偶数XI个偶数=偶数【例1】2016个连续自然数相加，和是奇数还是偶数?为什么？分析和的奇偶性与2016个数中奇数和偶数的个数有关联。根据奇偶数的性质便可判断。解答在2016个连续自然数中，有1008个偶数，它们相加的和是偶数;在2016个连续自然数中，有1008个奇数，它们相加的和也是偶数。所以2016个连续自然数相加的和是偶数。【例2】两个素数的和是99,这两个素数的积是多少？分析素数中除去2以外都是奇数，两个奇数相加的和一定是偶数。而题目中告诉我们两个素数相加的和是99,那其中必定有一个素数是2,那另外一个素数一定是97。解答99=97+297X2=194答:两个素数的和是99,这两个素数的积是194[例3]一个数是40的因数，同时又是5的倍数，这个数可能是多少？

12分析这个数一定在5与40之间。一个数是5的倍数，它的个位一定是。或5。在这些数中，再找到40的因数，这个数就是我们要找的数。解答40以内5的倍数有5,10,15,20,25,30,35,40,这些数中40的因数有5,10,20,40o答:一个数是40的因数，同时又是5的倍数，这个数可能是5,10,20,40o【例4】一个四位数3A4B是2,3,5的倍数，这样的四位数有哪几个？分H一个数同时是2,5的倍数，这个数的个位一定是0,因此可以确定B=0。当B确定以后，再考虑是3的倍数的情况，一个数要是3的倍数，这个数各个数字相加的和一定是3的倍数。3+A+4+0=7+A,A可以是2,5,8。解答一个数同时是2,5的倍数，B肯定等于0。3+A+4+0=7+A,A可以是2,5,8o这时所求的四位数为3240,3540,3840。答：】一个四位数3A4B是2,3,5的倍数，这样的四位数有3240,3540,3840□【例5】从写有7,1,4,6,。的五张卡片中取出四张，组成若干个是3的倍数的四位数，共有多少个？分析根据3的倍数特征确定应从7,1,4,6,0的五张卡片中取出哪四张，加起来的和是3的倍数，然后再将所选四个数按一定的顺序排列最后再求出是3的倍数的所有四位数的个数。解答7+1+4+6=18,这四个数组成的四位数有24个；7+1+4+0=12,这四个数组成的四位数有18个24+18=42（个）答:一共有42个【例6】有一列数1,1,2,3,1,8,13,21,……从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。在前2015个数中，有多少个偶数?

13分析要求出这组数中有多少个偶数，我们可以先写出一些数1,1,2,3,5,8,13,21,,34,55,89,—,认真观察可以发现，这些数的排列是有一定规律的，它们的奇偶性是这样的:奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，…也就是说每三个数为一组，前两个数是奇数，第三个是偶数，这样间题就很容易解决了。解答20154-3=6712答:在前2015个数中,有671个偶数培优高手|1.2020个连续自然数相加，和是奇数还是偶数?为什么？2.三个不同素数的和是16,这三个素数分别是多少?3.一个五位数7A36B是2,3,5的倍数，这个数可能是多少?4.一个数是30的因数，又是3的倍数，这个数可能是几?5.从0,1,2,9四张卡片中选出3个数字组成三位数，其中是3

14的倍数的三位数，一共有多少个?最小的一个是多少？6.有一列数0,1,3,8,21,55,144,…，从第二个数开始,每个数的3倍正好是它前边一个数和后面一个数的和，则这列数中的第2013个数是奇数还是偶数？7.1+2+3+4+5+-+2013+2014的结果是奇数还是偶数?8.2015个连续自然数（0除外）相乘的积是奇数还是偶数?

159.边长为自然数，面积为165的形状不同的长方形有多少个?10.已知X是素数，而且X+4,X+6,X+10都是素数，那么X最小是几？1L用2,3,4,5这其中的三个数能组成哪些三位数的素数?12.从2,5,6,7,0这五张卡片中取出四张，组成若干个是3的倍数的四位数，一共有多少个?最大的一个是多少?

16小学四年级奥数第4讲乘法原理和加法原理知识方浦在现实生活中，经常要将两种或两种以上的事物进行搭配。如果完成一件工作有几种不同的方法，每种方法又有很多种不同的方法，而且这些方法彼此互斥，那么完成这件工作的方法总数就是等于各类完成这件工作的综合。这种方法我们称之为加法原理，也叫分类计数原理。如果完成一件工作需要很多步骤，每个步骤中又有很多种不同的方法，那么完成这件工作的方法，就是把每一个步骤中的不同方法连乘起来。这种方法我们称之为乘法原理,又叫做分步计数原理。重点点次【例1】小军、小兰和小红三个小朋友排成一排照相，有多少种不同的排法？分析我们可以把他们所排列的位置分为一、二、三号位。把他们的排列分成三个步骤。从一号位开始可以有三个选择，这时二号位只能有两个选择（因为一号位已经站了一个人），这时三号位只能有一个选择。这样我们可以根据乘法原理进行解决。解答2X3=6（种）答:有6种不同的排法【例2】书架上有5本不同的科技书，6本不同的故事书，8本不同的英语书。如果从中各取一本科技书、一本故事书和一本英语书，那么共有多少种取法？分析完成这件工作可以分三步完成，第一步取科技书有5种取法，再取一本故事书有6种取法，最后取一本英语书有8种取法，根据乘法原理可以求出所有的取法。解答5><6X8=240（种）答:共有240种取法。

17【例3】一个盒子里装有5个小球，另一个盒子里装有9个小球，所有这些小球颜色各不相同。（1）从两个盒子任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个盒子里各取个球，有多少种不同的取法？分.（1）从两个盒子里任取一个球，可以从第一个金子里取，也可以从第二个盒子里取，这是两大类不同的方法，所以是加法原理的间题。（2）从两个金子里各取一个小球，这要分两个步骤进行。可以先从第一个盒子里取球后，再从第二个盒子里取球，这是乘法原理的问题。解答（1）5+9=14（种）（2）5X9=45（种）答:从两个盒子任取一个小球，有14种不同的取法。从两个盒子里各取一个球，有45种不同的取法。【例4】四个数字3,5,6,8可以组成多少个没有重复数字的四位数？分析要组成四位数，可以分成四个步骤:首先确定千位上的数字有4种选择，接着确定百位上的数字有3种选择，再接着确定十位上的数字有2种选择，最后确定个位上的数字只有1种选择。这样可以借助乘法原理进行解答。解答1X3X2X1=24（个）答:可以组成24个没有重复数字的四位数。【例5】用4种不同的颜色给下面的图形涂色，使相邻的长方形颜色不相同，有多少种不同的涂法?ABCD分析给图形涂色，我们可以分成四个步骤进行，第一步给A涂色有4种不同的方法，接着给B涂色只能有3种方法（因为与A的颜色不能相同），接着给C涂色只能有2种方法（因为不能与A和B的颜色相同），最后给D涂色也有2种方法（只要不与A和C的颜色相同就行），这样可以借助乘法原理进行解答。

18解答IX3X2X2=48（种）答:一共有48种不同的涂法。【例6】南京与上海的动车组特快列车，中途只停靠常州、无锡、苏州三个火车站，共要准备多少种不同的车票？（考虑往返）分析两个站点之间虽然票价相同，但因为起始点不同，就要准备不同的车票。以南京为起点，准备4种不同的票，以常州为起点，往上海方向准备3种不同的票，以无锡为起点，往上海方向准备2种不同的票，以苏州为起点，往上海方向准备1种不同的票。从南京往上海方向，一共要准备4+3+2+1=10（种）不同的票，同理，上海往南京方向，也要准备10种不同的票。解答（l+2+3+4）X2=20（种）答:一共要准备20种不同的票。想一想：列式4X5=20（种）是怎么想的？培优高中1.五一前夕，学校举行亲子活动。玲玲有红、白、黄、花四件上衣和蓝、黄、青共三种颜色的裙子，找出来搭配着穿，她一共有多少种不同的搭配方法？2.甲、乙、丙三个组，甲组6人，乙组5人，丙组4人，如果从三组中选出一个代表，有多少重不同的选法？

192.有7,3,6三个数字卡片，能组成几个不同的三位数?3.有6个不同的文具盒，4支不同的铅笔，4支不同的钢笔，2把不同的尺子。若从中各取一个，配成一套学习用具，最多可以有多少种不同的配法？4.春节期间，有四个小朋友，如果他们互相寄一张节日贺卡，共寄了多少张？5.有8,0,2,4,6五个数字可以组成几个不同的五位数?6.一个袋子里装有6个白色乒乓球，另一个袋子里装有8个黄色乒乓球(1)从两个袋子里任取一个乒乓球，共有多少种不同的取法？(2)从两个袋子里各取一个乒乓球，有多少种不同的取法？

202.北京到广州的火车，中间要停靠8个大站，火车站要准备多少种不同的车票?有多少种不同的票价？(考虑往返)3.有8位同学和1位老师排成一排照相,规定老师必须站在中间,有多少种不同的排注4.在A、B、C、D四个长方形区域中涂上红、黄、蓝、黑这四种颜色，使任何相邻两个长方形颜色不同，一共有多少种不同的涂法?5.下图中有多少个长方形?6.舰船信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在旗杆上表示不同的信号，每次可以任意挂一面、两面、三面，不同的顺序表示不同的信号。一共可以表示出多少种不同的信号？小学四年级奥数第5讲还原法解题

21知识方W已知一个数的变化过程和最后结果，求原来的数，通常称此类问题叫“还原问题”，解答“还原问题”一般采用倒推法，简单地说:就是倒过来想。解答“还原问题”，我们可以采用从结果出发，按它变化的相反方向一步步倒着想，直到解决问题。同时也可以利用线段图、表格、示意图等方式来帮助理解题意,解答问题。重点点M【例1】甲、乙两桶各有若干升水。如果从甲桶中倒出和乙桶同样多的水放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的水放人甲桶，这时两桶水恰好都是48升。问:两桶原来各有多少升水？・甲桶乙桶60360d3048从最后状态都是48升入手，如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的水放入甲桶，甲桶应有水48+2=24（升），乙桶应有水48+24=72（升）;如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的水倒入乙桶，乙桶原有水72♦2=36（升），甲桶原有水24+36=60（升）（回到了最初的状态）。解答48+2=24（升）（48+24）+2=36（升）36+24=60（升）答:甲桶原有水60升。乙桶原有水36升。［例2］班级分得42本故事书，丽丽和明明两人争着去领。丽丽先拿了若干本，明明看丽丽拿得太多了，就从丽丽的手中拿过来10

22本，丽丽不肯，就又从明明那里夺得6本。这时丽丽的本数是明明的2倍。最初丽丽拿了多少本？丽丽明明22+1020-1028-614+62814分析从最后的状态“丽丽拿的故事书是明明的2倍”可知，丽丽现在拿42+（2+l）X2=28（本），丽丽从明明手中夺了6本后是28本。如果不夺，丽丽应该有28-6=22（本），开始明明看见丽丽拿得太多，就抢了10本；如果不抢,丽丽就有22+10=32（本）。解客424-（2+1）X2=28（本）28-6+10=32（本）答:最初丽丽拿了32本。【例3】书架分上、中、下三层，一共放192本书。现在从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书到下层，最后从下层取出与上层剩下的本数同样多的书放到上层。这时,三层书架所放的本数同样多。这个书架上、中、下原来各有多少本书?分析与解从最后的状态”三层书架所放的本数相同”知道，192+3=64（本）。列表倒推：上中下上层给中层8856中层给下11248下层给上层3296最后状态646464答:这个书架上层原来有88本，中层原来有56本，下层原来有48本。【例4】有一堆西瓜，第一次搬走一半，第二次搬走剩下的一半多3个，第三次搬走剩下的一半少3个，第四次搬走剩下的一半多3个，第五次搬

23走剩下的一半,最后还剩3个。这堆西瓜原有多少个？分析与解从最后的状态分析列表倒推：最初66X2=132（个）第一次后（30+3）X2=66（个）第二次后（18-3）X2=30（个）第三次后（6+3）X2=18（个）第四次后3X2=6个）第五次后3个答:这堆西瓜最初有132个【例5】袋里有若干个珠子，小军每次拿出其中的一半再放回1个，这样操作了四次后袋中还有5个珠子。问:袋中原来有多少个珠子？分析与解利用列表倒推法，从第四次操作后向前倒推，第四次是5个珠子，第三次是操作后有（5-l）X2=8（个），第二次…列表如下：操作次数袋中珠子数初始状态（26-1）X2=50（个）第一次操作后（14-1）X2=26（个）第二次操作后（8-1）X2=14（个）第三次操作后（5-1）X2=8（个）第四次操作后5（个）答:袋中原来有50个珠子。【例6】甲、乙、丙各有玻璃球若干个，如果甲按乙现有玻璃球个数数给乙，再按丙现有的玻璃球个数数给丙之后，乙也按甲、丙现有的玻璃球个数再数给甲、丙，最后丙也按同样的方法数给甲、乙，这时，他们三人都各有32个玻璃球。问:甲原有多少个玻璃球？

24分析与解最后一次三人的玻璃球数都是32个，每次变化另两个人都增加了一倍，倒推时就除以2。列表如下：变动情况甲丙初始情况8+28+16=52564-2=28324-2=16甲给乙、丙后164-2=856644-2=32乙给甲、丙后324-2=16324-2=1664丙给甲、乙后323232答:甲原有52个玻璃球。培优高手1.有甲、乙、丙三个数，从甲数取15加到乙数，再从乙数取18加到丙数，最后从丙数取12加到甲数。这时三个数都是180o甲、乙、丙三个数原来各是多少？

251.有26盒牛奶，兄弟二人争着去拿。弟弟抢在前面，刚装好，哥赶到了，哥哥看弟弟拿得太多，就抢过来一半。弟弟生气，哥哥又给了他4盒，这时哥哥比弟弟多2盒。弟弟最初拿了几盒?（列表倒推法）2.小明、小华、小冬各有画片若干张。如果小明按小华现有的画片张数数给小华、小半小冬现有的张数数给小冬，最后小冬按小明现有的张数数给小明。这时他们三人名32张画片。小明原来有多少张画片？3.冰柜里的鸡蛋，第一天拿走了一半少2个，第二天拿走了余下的一半多4个，第三天拿走余下的一半后，最后还剩1个。冰柜里原来有多少个鸡蛋？

261.解放军某部接到抢险任务，因情况有变化，需要从一队抽调一半的人到宣传队，抽调20人去支援二队，抽调剩下的一半去支援三队，后来团部4名通讯员调到一队，这时队有50人。原来一队有多少人？2.袋子里有若干个球。小军每次拿出其中的一半再放回1个球,这样共操作了5次，袋中还有4个球。问:袋中原来有多少个球？3.书架分上、中、下三层，各有书若干本。现在从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的本数同样多的书放到上层。这时，三层书架各有48本，这个书架上、中、下层原来各有多少本书？

271.学校运来27棵树苗，四⑴班和四⑵班争着去栽。四⑴班先拿了若干棵，四⑵班看到四⑴班拿的太多了，就夺回4棵，四⑴班不肯，又从四⑵班那里夺回2棵。这时四⑴班棵数是四⑵班的2倍。问:最初四⑴班拿了多少棵?（列表倒推）2.一种有益的细菌每小时可以增长1倍。现有一批这样的细菌,10小时后达到100万个。当它们达到25万个时，经历了多长时间?3.猴子吃香蕉，第一天吃了一半又一根，第二天吃了余下的一半又一根，第三天吃了余下的一半又一根，第四天吃了余下的一半又一根。四天后只剩下一根香蕉。间:原来有多少根香蕉？

281.甲、乙、丙三人各有贴画若干，甲先拿出自己的一半平分给乙、丙，然后乙也拿出自己现有的一半平分给甲、丙，最后丙又把自己现有的一半平分给甲、乙。这时三人的贴画数各32张。问:他们三人原来各有多少张贴画?2.甲、乙、丙各有棋子若干枚，甲先拿出自己棋子的一部分给了乙、丙，使乙、丙每人棋子各增加一倍然后乙也把自己的棋子以这样的方式给了甲、丙；丙也用这样的方式将自己的棋子给了甲、乙。这时3人的棋子都是16枚。问:甲、乙、丙三人原来各有棋子多少枚?

29小学四年级奥数第6讲抽屉原理知识方函桌上有3个苹果，要把这3个革果放到2个抽屉里，无论怎样放,有的抽屉可以方1个，有的可以放2个，也可以把3个苹果放在1个抽屉里，但最终我们会发现至少有一个抽屉里面至少放2个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。根据题目中的条件设想出“抽屉”，并确定抽屉的准确数目，当然抽屉的种类很多，要我们具体问题具体分析；再把题目中的另一个条件当作“苹果”,从而结合抽屉原理求出最终的结果。重点点拨【例1】任意三个自然数，其中至少有两个是偶数或奇数，为什么？分析与解自然数可以分成两类:奇数与偶数。我们把奇数与偶数看成两个“推屉”，把这三个自然数比作三个“苹果”，把三个“苹果”放入两个抽屉，根据抽屉原则，至少有一个抽屉放有两个或两个以上的“苹果”，也就是说至少有两个数是奇数或偶数。【例2】试解释400人中至少有2人的生日相同。分析与解将一年中的366天（间年）视为366个抽屉，400个人看作400个苹果，由抽屉原理可以得知，至少有2人的生日相同。［例3］五⑴中队第一小队共有14个少先队员，试解释其中至少有2位同学的生肖是相同的。分析与解生肖有:鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊猴、鸡、狗、猪共12

30个。我们把12个生肖看作12个抽屉，把14个少先队员看作14个苹果，把14个苹果放进12个抽屉中去，至少有一个抽屉放了不止一个苹果，也就是14个队员中至少有2位同学的生肖是相同的。【例4】停车场上有40辆客车，各种车辆的座位数不同，最少的有26座，最多的有44座，那么在这些客车中，至少有几辆客车的座位数是相同的?分析与解已知客车的座位数最少有26座，最多有4座，可知这40辆客车中有26,27,28,…，44座共19种不同座位数的客车。把19种座位看作19个抽屉，40辆客车当作40个“苹果”，苹果放进抽屉里，根据抽屉原理，因为40=19X2+2,可知，在这些客车中，至少有3辆客车的座位数是相同的。【例5】篮子里有苹果、梨、桃和橘子，如果每个小朋友都从中任意拿2个水果，那么至少有多少个小朋友，才能保证至少有2个小朋友拿的水果完全一样?分析与解篮子里有苹果、梨、挑和橘子，那么组合成两个水果的情况有:两个苹果两个梨、两个桃、两个橘子、一个苹果和一个梨、一个苹果和一个桃、一个苹果和一个橘子、一个梨和一个桃、一个梨和一个橘子、一个桃和一个橘子，一共有10种情况。把这10种情?兄看作10个抽屉，小朋友看作苹果，要想至少有一个抽屉里有2个苹果，至少要有11个苹果，也就是要有11个小朋友。也就是至少要有11个小朋友，才能保证至少有2个小朋友拿的水果完全一样。［例6］育英小学六年级的同学要从10名候选人中投票选举三好学生，规定每位同学必须从这10人中任选2人。问:至少有多少人参加投票，才能保证必有不少于5位同学投了相同2个候选人的票。分析从10人中选2人，共有10X9+2=45（种）不同选法。要保证至少有5位同学投了相同候选人的票，至少要45X4+1=181（人）。解答10X9+2=45（种）45X4+1=181（人）

31答:至少有181人参加投票，才能保证必有不少于5个同学投了相同2个候选人的票。培优高才1.在任意三个自然数中，其中必然有两个数的和为偶数，为什么?2.在今年入学的一年级新生中有370多人是在同一年出生的。试说明:他们中至少有2个人是在同一天出生的。3.一副扑克牌（去掉两张王牌），最少摸出几张，才能保证有三张牌的花色情况是相同的4.一副扑克牌（去掉两张王牌）最少摸出几张，才能保证有六张牌的花色情况是相同的?5.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每位学生从中任意借两本。那么至少几位学生中一定有两位所借的图书属于同一种？

321.口袋中放有足够多的红、白、蓝三种颜色的球，现有31个人轮流从口袋中取球，每人各取三个球。证明:至少有4个人取出的球的颜色完全相同。2一副扑克牌共54张，至少从中取出多少张牌，才能保证其中至少有3种花色相同。（大王、小王不算花色）3.有5个小朋友，每人都从装有许多黑白棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。请你证明，这5个小朋友中至少有2个小朋友摸出棋子的颜色配组是一样的。4.五年级同学参加数学竞赛。已知满分为100分，最低分为75分，每个人的得分为整数，并且班上至少有3人的得分相同，那么五年级至少有多少人参加了这次考试？5.有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号。在200个信号中少有多少个信号完全相同？

331.库房里有一批篮球、排球、足球和手球，每人任意搬运三个。在61个搬运者中至少有多少人搬运的球完全相同？2.幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋方任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意7个小朋友中总有2个彼此选的玩具都相同，试说明道理。小学四年级奥数第7讲统筹规划知识方函在生活中，我们经常要遇到将一些事情进行合理安排的问题，也就是在一定的时间内要做好几件事情，同时还要做到省时、省力，从而取得最大工作效率的问题,我们把这类回题和为统筹问题。重点点4【例1］学校进行打扫卫生，四位同学拎着大小不同的水桶去接水。要注满整个水桶，第一人需要5分钟，第二人需要3分钟，第三人需要4分钟，第四人需要2分钟。现在只有一个水龙头，应该如何安排四个人的接水顺序，使得他们花费的等候时间最少？分析我们可以这样思考，如果第一人先接，第二人后接，第二人接完时，花费的总时间是5+3+5=13（分钟），如果是第二人先接，第一人后接，花费的总时间是3+3+5=11（分钟）。由此我们可以发现:让占用时间少的工作先做，所花费的时间最少。根据这个分析，可以安排的接水顺序是:第四人、第二人、第三人、第一人。解答2X4+3X3+4X2+5X1=30（分钟）

34答:安排接水的顺序是:第四人、第二人、第三人、第一人，等候的总时间是30分钟。［例2］有137吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10升和5升。问:如何选派车辆才能使运输耗油量最少?这时共需耗油多少升？分析与解根据题意，大卡车每吨耗油量为10・5=2（升）；小卡车每吨耗油量为5+2=2.5（升）。为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于137=5X27+2,因此，最优调运方案是:选派27车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少。需用油:10X27+5X1=275（升）【例3】小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁四头牛,甲牛过河需1分钟，乙牛需2分钟，丙牛需5分钟，丁牛需6分钟，每次只能骑一头牛，赶一头牛过河。要把4头牛都赶到对岸去，最少需要多长时间？分析要使过河时间最少，应抓住以下两点乂1）同时过河的两头牛过河时间差要尽可能小乂2）过河后应骑用时最少的牛回来。解答小明骑在甲牛背上赶乙牛过河后，再骑甲牛返回，用时2+1=3（分钟）。然后骑在丙牛背上赶丁牛过河后，再骑乙牛返回，用时6+2=8（分钟）。最后骑在甲牛背上赶乙牛过河，不用返回，用时2分钟。总共用时（2+1）+（6+2）+2=13（分钟）。答:最少需要13分钟。［例4］在一条公路上有4

35个工厂，任意相邻的两个工厂距离相等（如图所示）。现在要在这条公路上设一车站，使得这4个工厂的所有工人步行到车站的总路程最少，这个车站应设在几号工厂门口？123~r100人120人80人215人分析与解我们把任意相邻的两个工厂距离看成1,算算每种情况下所有工人步行到车站的总路程：⑴设在1厂：120X1+80X2+215X3=925(2)设在2厂：100X1+80X1+215X2=610(3)设在3厂:120X1+215大1+100X2=535(4)设在4V80X1+120X2+100X3=620可见车站应设在3厂门口。【例5】某加油站能够对2辆车同时加油，现在有6辆车同时来到加油站，各辆车加油所需的时间分别是:A车14分钟；B车7分钟；C车7分钟；D车17分钟；E车3分钟:F车2分钟。请算出这6辆车加油需要的总时间最少是多少分钟?分析与解为了减少等待时间，应尽量安排加油时间较短的车先加油，并且两组加油的时间和尽量一样，可以按照:E-B-A和F-CfD两组加油。这样第一组用时3+7+14=24(分)第二组用时2+7+17=26(分)

36答:最少需要26分钟。【例6］服装厂的工人每人每天可以生产4件上衣或7条裤子，一件上衣和一条裤子为一套服装，现有66名工人生产，每天最多能生产多少套服装？分析与解由“每人每天可以生产4件上衣或7条裤子”可以知道，如果我们把11个工人分成一组，使其中的7名工人生产上衣，4名工人生产裤子，那么每组每天正好能生产4X7=28（套）服装。现在有66名工人，恰好可以分成这样的6组（66+11=6）,因此，服装厂每天最多可以生产服装28X6=168（套）.培优高才L小明要为奶奶冲杯热果汁，可是开水用光了，他需要烧开水（6分钟），打开果计瓶（1分钟），洗茶杯（2分钟），他该怎样安排，才能让奶奶尽快喝上热果汁？2.有177吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是6吨，小卡车的载重量是3吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是12升和8升，问:如何选派车辆才能使运输耗油量最少?这时共需耗油多少升？3.有16个国家的不同集邮爱好者，想通过邮寄的方式相互交换各国最近发行的邮票，使得每人都有这16个国家的邮票。请想出一个使通信次数最少的交换办法，是多少次？

372.用一只平底锅烙饼，锅上只能放两个饼，烙熟饼的一面需要2分钟，两面共需4分钟，现在需要烙熟三个饼，最少需要几分钟3.理发店里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10分钟、12分钟、15分钟、20分钟和24分钟，怎样安排他们理发的顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少?最少要花多少时间？4.锅炉厂厂办王主任要把一个紧急通知传达给宿舍区的975人。假定用电话联系、知1人需1分钟，而见面可一次通知60人，但需7分钟。王主任要使通知在最短时10内完成，最少需多少分钟？5.有47位小朋友，老师要给每人发1支红笔和1支蓝笔。商店中每种笔都是5支一包或3支一包，不能打开包零售。5支一包的红笔61元，蓝笔70元，3支一包的红笔40元，蓝笔47元。老师买所需要的笔最少要花多少元？

382.四个人夜间过一座独木桥，他们只有一个手电筒。一次最多可以有两人一起过桥，而过桥的时候，必须持有手电筒，所以就要有人把手电筒带来带去，两人同行时，以较慢者的速度为准。四人过桥的时间分别是1分钟2分钟、5分钟、10分钟，四人全部通过这座独木桥最少需要多少分钟？3.在一条公路上，每隔100千米有一座仓库（见下图），共有五座,图中数字表示各仓库库存货物的重量。现在要把所有的货物集中存入一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.5元，那么集中到哪个仓库运费最少?需多少元？ABCDE111II10吨30吨20吨10吨60吨4.服装集团的工人每人每天可以生产4件上衣或7条裤子。一件上衣和一条裤子为一套服装。该集团现有75名工人生产，每天最多生产多少套服装？

392.有一个水塔要供应某条公路旁的6个居民点用水（见下图，单位:千米），要安装的水管有粗细两种，粗管足够供应6个居民点用水，细管只能供应1个居民点用水，粗管每千米花费7000元，细管每千米花费2000元。粗细管怎样互相搭配，才能使费用最省？费用应是多少？r^v水塔ABCDEF3.60位同学去野营，他们搭的五顶帐篷正好位于正五边形的五个顶点上（如下图），图中圆圈内的数字表示每个帐篷内的人数。现在想将五个帐篷内的人数调整为一样多，怎样调动最简便?

40小学四年级奥数第8讲周期问题知识方W我们发现在日常生活和学习中，有许多现象都是按照一定的规律、依次不断重夏出现的，我们把这种现象叫周期现象，而重复出现一次的时间或重复出现一次的个数做周期。在研究这些筒单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环一次的个数，如果正好有个整数周期，结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数,最后根据余数的大小得出正确的结果。重点点狼【例1】假设所有的自然数排列起来，如下所示，49应该排列在第几个循环及哪个字母下面？(1)ABCDE1234567891011(2)ABCDE1234510987611分析与解从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到大5个数一个循环，我们可以根据这些数除以5所得的余数来分析判断：

41(1)494-5=9-449应该排在第10个循环第4个字母D下面。(2)494-10=4-9应该在B的下面。【例2】用1,2,3,4这四张卡片可以组成不同的四位数，如把它们从小到大依次排列，第一个是1234,第二个是1243,第20个是多少？分析与解每个数字在千位上都出现6次，一共可以组成24个不同的四位数，以6次为一周期。20-5-6=32应是第四周期中的第2个数，千位上是4的数从小到大是4123,4132,4213等，所以第20个数是4132。［例3］下面是一个11位数，它的每三个相邻的数字之和都是24,求它每一位数上的数字分别是多少？89分析与解我们把从左边算起的第一数记做al(al=8),依次编号位al,a2,all.每三个相邻数字和都是24可知，al+a2+a3=a2+a+a4=a+al+a3=24因为al=8,所以a2+a3=16,而a2+a3+al=24,所以a4=8,同理a7=8,al0=8,由此可见这个数字的周期是3。因为all=9,所以a9=7,由此可知这列数是以8,9,7这三个数字为循环周期的，因此这个11位数是89789789789789c【例4】有一列数:6,5,4,2,6,5,4,2,(1)第130个数是多少？(2)这130个数相加的和是多少？升5年级分析(1)从排列可以看出，这组数是按照6,5,4,2一个循环依次不断重复出现的，那么一个循环就是4个数，由130+4=32

422.可知有32个循环(6,5,4,2)还剩2个数，所以第130个数是5。⑵每个循环各数之和是6+5+4+2=17。所以这130个数相加应是17X32+6+5=555。解答(1)1304-4=32-2,第130个数是5。(3)(6+5+4+2)X32+6+5=555,这130个数之和是555。答:第130个数是5。这130个数相加是55。【例5】有一列数2,9,8,2,6,…从第3个数开始，每个数都是前面两个数乘积的个位数字,那么这一列数的第101个数是几？分析与解我们继续写这列数，2,9,8,2,6,2,2,4,8,2,6,2,2,4,……发现这列数从第3个数字开始循环(8,2,6,2,2,4),6个数字为一周期。(101-2)4-6=163答:第101个数是60【例6】有一个1000位数，各数位上的数字都是1,这个数除以6,余数是几?商的个位数字是几？分析与解先除一除，然后列表找周期:被除数中“1”的个数1234567除以6后的余数1531531・・・・・・除以6后商的个位数字0185185观察发现，余数是按1，5,3重复出现的。余数周期是3,商的末位数字除第一个“0”以外，出现的周期也是3。10004-3=333—1,余数是1。(1000-1)4-3=33,商的末位数字是5。

43培优高手1.假设所有自然数排列起来，如下图所示,78,2016应分别排列在哪个字母下面?ABCD123487659101112161514132.2000个学生按下列方法编号，排成五列。问:第2000个学生排在哪个字母的下面?ABCDE1234598761011121317161514183.用1,4,6,8四个数字组成不同的四位数，把它们按从大到小的顺序排列，第16个数是什么？

444.小明把积存下来的硬币按照四个1分，再三个2分，最后两个5分这样的顺序一直往下排。⑴他排到的第101个是几分硬币?⑵这101个硬币是多少钱?s.ooeeeoeooeeeoe…按这样的排法，75枚棋子中有多少枚白棋子?有多少枚黑棋子？6.下面是一个11位数，它的每三个相邻的数字之和都是18,求它每一位数上的数字分别是多少？68

457.有一串数字9,2,8,6,…，从第三个数字起，每一个数字都是它前面两个数字的积的个位数字。这一列数的第100个是几?8.有一个100位数，各位数字都是1,这个数除以3,余数是几?商的末位数字是几？9.有14个数从左到右排成一横排。任何3个相邻的数加起来都是20。如果第4个数为9,第12个数为7,那么第8个数为多少?9710.下表中，每列上下两个汉字组成一组，例如，第一组是（学,认），那么，第500组是什么？学习好学习好认真思考认真

467.有一个1000位数，各位数都是1,这个数除以7,余数是几?商的末位数字是几?8.求下面算式所得结果的个位数字22222+444^

47小学四年级奥数第9讲行程问题知识方W行程问题中有很多内容，这一讲主要学习相遇问题。相遇问题主要讲两个人（或两辆车）从一条路的两端出发，相向而行，必然会在途中相遇，相遇时两人所走的路程和就是这条路的距离。学好这部分内容，必须要掌握好下面的数量关系式:距离=速度和X相遇时间，距离♦相遇时间=速度和,距离♦速度和=相遇时同。重占占拨二/、、、■••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••[例1]一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距598千米的两地相向而行。公共汽车每小时行驶40千米，小轿车每小时行驶52千米。问:几小时后两车相距138千米？分析由问题入手，几小时后两车相距138千米可知，实际两车行驶了598-138=460（千米），题中两车的速度已经知道，可以利用关系式:路程4■速度和=时间，求出最后的问题。解答（598-138）+（40+52）=5（小时）答:5小时后两车相距138千米。【例2】甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行。甲每小时行24千米，乙每小时行22千米，两人相遇时，距全程中点4千米，全程长多少千米？分析由两人相遇时，距全程中点4千米可知，甲走了全程的一半多4千米，乙走了全程的一半少4千米，甲比乙多走了4X2=8（千米）。甲每小时比乙多行24-22=2（千米），甲一共比乙多行8千米，说明一共行了8+2=4（

48小时），也就是相遇的时间。最后用相遇的时间乘速度和，就能够得到全程。解答4X2+（24-22）=4（小时）（24+22）X4=184（千米）答:全程长184千米。［例3］甲、乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发，相向而行。一个学生骑自行车以每小时15千米的速度在两队间不停地往返联络。甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米，两队相遇时，骑自行车的学生共行了多少千米？分析要求骑自行车的学生一共行了多少千米，必须要知道该学生的行驶时间。由于该学生与甲、乙两队学生是同时出发同时结束的,因此他的行驶时间就是甲、乙两队学生的相遇时间。解答相遇时间:18:（5+4）=2（小时）行驶路程2X15=30（千米）答:骑自行车的学生共行了30千米。［例4］一列客车、一列货车同时从两地相向开出，经过17小时两车在某处相遇，已知客车每小时行驶50千米，货车每小时行驶43千米，且货车每行驶3小时要停1小时两地的距离是多少千米？分析要求两地的距离，可以用客车行驶的距离加上货车行驶的距离。客车行驶速度与时间都已经知道，可以求出客车的行驶距离。货车行驶3小时要停1小时，所以每4小时中，货车行驶3小时。17小时当中有4个4小时，还多1小时，所以货车的行驶时间是4X3+1=13（小时），知道了货车的行驶时间，就可以求出货车的行驶路程。解答17+4=4…14X3+1=13（小时）17X50+13X43=1409（千米）答:两地的距离是1409千米。【例5】

49小明的家在学校西边的西村，小芳的家在学校东边的东村，两家之间的路程是1410米。每天上学时，如果小明比小芳提前3分钟出发，两人就可以同时到校。已知小明每分钟能走70米，小芳每分钟能走80米，小明家离学校多少米？分析要求小明家到学校的距离，必须知道小明的行走时间。由题意可知，小明走3分钟后,两人还相距1410-3X70=1200（米），用这个路程除以他们的速度和，得到小芳的行走时间是1200^（70+80）=8（分钟）。因此小明的行走时间是8+3=11（分钟），再用小明的行走时间与速度相乘就得到小明的行走距离解答（1410-3X70）+（70+80）=8（分钟）（8+3）X70=770（米）答:小明家离学校770米。【例6】客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，已知客车每小时行驶60千米，经过5小时后，客车已驶过中点25千米，这时与货车还相距15千米，货车每小时行驶多少千米？甲、乙两地相距多少千米？分析行驶5小时后，客车已经行驶了60X5=300（千米），超过中点25千米，这样我们可以求出全程的一班是300-25=275（米），则全程是275X2=550（千米）。在5小时当中，货车一共行驶的路程是550-300-15=235（千米），货车的速度235+5=47（千米）。解答（60X5-25）X2=550（千米）（60X5-25-25-15）+5=47（千米）答:货车每小时行驶47千米，甲、乙两地相距550千米。培优高中1.甲、乙两人骑车同时分别从A、B两地相向而行。已知甲每小时行20

50千米，乙每小时行18千米，4小时后，两人还相距20千米。A、B两地之间公路长多少千米？1.A、B两地相距1200千米。甲车由A地到B地需15小时，乙车由B地到A地需要10小时，甲、乙两车同时分别从A、B两地相对开出，相遇时甲车距离B地还有多少千米？2.A、B两个城市相距600千米，一辆客车与一辆货车同时分别从A、B两个城市相对开出，客车平均每小时行驶65千米，货车平均每小时行驶55千米。问:距B城多少千米两车相遇？3.A、B两地相距1200千米。甲车由A地到B地每小时行驶80千米，乙车由B地到A地每小时行驶120千米，甲、乙两车同时分别从A、B两地相对开出，5小时后两车还相距多少千米？

511.大双和小双两人从相距1600米的两地相向而行。大双每分钟行120米，小双每分钟行80米。他们家有一只宠物狗，如果这只狗与大双同时同向而行，每分钟行400米，遇到小双后，立即回头向大双跑去，遇到大双后再向小双跑去。这样不断来回、直到大双和小双相遇为止，狗共行了多少米？2.甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两地相向开出，甲车每小时行驶56千米，乙车每小时行驶48千米。两车在离中点32千米处相遇。A、B两地的路程是多少千米？3.甲、乙两架飞机分别从相距1695千米的两个机场相对飞行，甲机出发1小时后，乙机才开始起飞。已知甲机每小时飞行325千米,乙机每小时飞行360千米，乙机飞行几小时后两机相遇？4.甲、乙两列火车从某站相背而行，甲火车每小时行62千米,甲火车先开出2小时后，乙火车才开出，乙火车每小时行58千米、乙火车开出5小时后，两列火车相距多少千米？

521.甲、乙两人从400米环形跑道的A点出发朝相反的方向跑，第一次相遇后又经过80秒第二次相遇，甲每秒跑3米，乙每秒跑几米?2.甲、乙两艘船，由相距348千米的两个港口同时相对开出，甲船每小时航行36千米，乙船每小时航行34千米。开出1小时后,甲船因有紧急任务，返回原港后，又立即起航与乙船继续相对开出,那么共经过多少小时两船相遇？3.甲火车于上午8点从A站开往B站，每小时行驶100千米。过了2小时，乙火车以同样的速度从B站开往A站，于当天下年3点两列火车在途中相遇。A、B两站相距多少千米？4.甲乙两人在环形跑道上以各自不变的速度跑步，如果两人同时从同地相背而行，乙跑6分钟后两人第一次相遇，甲跑一周要9分钟，乙跑一周要多少分钟？

53小学四年级奥数第10讲盈亏问题知识方W在实际生活中常常需要把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两灾都有余，或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品数量和参加分配人数的问题，叫作盈亏间题。盈亏题的解法要点是:先求两炙分配中分配者每份所得物品数量的差，再求两次分配中各共分物品的差（也称总差额）,用前一个差去除后一个差,就得到分配者数，进而再求得物品数。重点点M【例1】张老师给幼儿园小朋友分糖果。若每人分3块，则多出16块；若每人分5块，则就缺4块。问:有多少个小朋友，有多少块糖果？分析由题意可知，小朋友和糖果的总数是不会变的。两次分配的情况是每人相差5-3=2（块），最后的结果是相差16+4=20（块）。解答（4+16）+（5-3）=10（个3X10+16=46（块）答:有10个小朋友，有46块糖果。【例2】三⑴班学生去公园划船，若每条船坐4人，则少一条船;若每条船坐6人，则多出4条船，公园里有多少条船?三⑴班有多少名学生？分析由题意可知，三年级小朋友和船的总数是不变的。如果每条船坐4人，则少条船，说明每条船坐4人，还多4人。如果每条船坐6人，则多出4条船；如果每条船坐6人，还缺6X4=24（人）。从上面的分析可以看出，两种坐船的情况，每条船相差6-4=2（人），则最后的结果相差24+4=28（人），这样就可以求出船的数量。关系式为:（盈余数十不足数）♦两次分得每条船人数之差一船数。

54解答6X4=24（人）（24+4）-r（6-4）=14（条）14X4+4=60（名）答:公园里有14条船。三⑴班有60名学生［例3］小璐由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校。小璐从家到学校的路程是多少米？分析迟到3分钟转化成距离:50X3=150（米），提前2分钟到校转化成距离:602=120（米）。两次走的速度相差60-50=10（米）每分钟，则最后的结果相差150+120=270（米）。每分种相差10米,则相差270米，说明行了270・10=27（分钟）解答（150+120）+（60-50）=27（分钟）50X（27+3）=1500（米）答:小强家到学校的路程是1500米。【例4】夏明有许多照片，他想把这些照片放进相册里，若每页放3张，则空6页；若每页放2张•则空4页。夏明有多少张照片?这本相册共有多少页？分析每页放3张，空下6页，说明还可以放6X3=18（张）；每页放2张，空下4页，说明还可以放4X2=8（张）。两种方法每页相差3-2=1（张），结果相差18-8=10（张），这样我们可以求出一共有101=10（页）。解答6X3-4X2=10（张）10+（3-2）=10（页）10X3-6X3=12（张）答:夏明有12张照片.这本相册共有10页。

55【例5】幼儿园将一筐苹果分给小朋友。若分给大班的小朋友每人5个则余10个；若分给小班的小朋友每人8个则缺2个。已知大班比小班多3个小朋友，则这筐苹果共有多少个？分析我们可以设想如果大班少3个人，就和小班的小朋友一样多。苹果的总数是不变的，这样分给大班小朋友每人5个就会多5X3+10=25（个）。这时我们再比较大班和小班的分配情况:每个小朋友之间相差8-5=3（个），最后的结果相差25+227（个）。有一个小朋友就相差3个苹果，一共相差27个，说明有27+3=9（个）小朋友。解答（5X3+10+2）4-（8-5）=9（个）8X9-2=70（个）答:这筐苹果共有70个。【例6］学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中2人各擦4块，其余各擦5块，则余12块；若每人擦6块，则正好擦完。求擦玻璃的人数及玻璃的块数。分析由其中2人各擦4块、其余各擦5块则余12块，可知，若每人都擦5块，则余5-4）X2=10（块），而每人擦6块则正好擦完。比较两次的分配情况，每人相差6-5=1（块），最后的结果相差10块。每人相差块，一共相差10块，说明有10+1=10（人）解答12（5-4）X2=10（^）104-（6-5）=10（A10X6=60（块）答:有10人擦玻璃,共有60块玻璃培优手温1.幼儿园买来一些玩具，若每班分8个玩具，则多出2个玩具；若每班分10个玩具，则少12个玩具。幼儿园有几个班?这批玩具有多少个?

561.某校同学排队上操。若每行站9人，则多37人；若每行站12人，则少20人。一共有学生多少人？2.幼儿园给小朋友分糖，若每人分5块，则少27块；若每人分4块，正好分完。小朋友有几个?糖有多少块？3.学校安排学生到会议室听报告。若每3人坐一条长椅，则剩下48人没有坐；若每5人坐一条长椅，则刚好空出两条长椅。问:听报告的学生有多少人。4.参加美术小组的同学，每个人分得相同支数的彩色笔，若小组有10人，则彩色笔多余25支；若小组有12人，则彩色笔多余5支。每人分得彩色笔多少支?共有彩色笔多少支？5.小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3

57分钟；如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校。小强家到学校的路程是多少米？1.少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖;如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问:共有多少名少先队员？2.用一根绳子测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子三折时，差4米。绳长多少米?井深多少米?3.老师拿来一批树苗，分给一些同学去栽，每人每次分给一棵，一轮一轮往下分，当分剩下12棵时不够每人分一棵了，如果再拿来8棵，那么每位同学正好栽10棵。参加栽树的同学有多少位?原有树苗多少棵？

581.小明从家到学校，如果每分钟步行80米，他将迟到5分钟；如果先步行10分钟后，再改成骑车每分钟行200米，他就可以提前1分钟到校。问:小明从家出发时离上课时间有几分钟？2.三年级给优秀三好学生发奖品书，如果每个学生发5册，还剩32册；如果其中10个学生每人发4册，其余每人发8册，正好发完。那么优秀学生有多少人？3.少先队员参加绿化植树，他们准备栽的苹果树苗是梨树苗的2倍。如果每人栽3棵梨树苗，还余2棵；如果每人栽7棵苹果树苗要少6棵。问:有少先队员多少人?他们准备栽多少棵苹果树苗和梨树苗?

59小学四年级奥数第11讲平均数问题知识方W平均数问题的基本特点是把几个大小不等的数量，在总量不变的情况下，通过移多补少，使它们成为相等的几份，求其中的一份是多少。基本的数量关系:总数量♦总份数=平均数。在实际的解题过程中，我们一定要牢牢记住这个关系式来进行分析、类推。重点点期［例1］有五个数的平均数是138,把它们从小到大排列起来，前三个数的平均数是27,后三个数的平均数是148,中间的那个数是多少？分析五个数的平均数是138,这五个数的和是138X5=690。前三个数的和是1273,后三个数的数和是148X3,在前三个数与后三个数之间重复的是第三个数，也就是中间数。我们用前三个数与后三个数的和减去这五个数的和，就得到中间那个数。解答127X3+148X3-138X5=135答:中间的那个数是135o［例2］小明期末考试语文、外语、自然的平均成绩是80分，数学成绩公布后，他的平均成绩提高了2分。小明数学考了多少分？分析前三门的总成绩是80X3=240（分）。数学成绩公布后，平均成绩是80+282（分），那四门总成绩是82X4=328（分）。用四门总成绩减去三门的总成绩就是数学的成绩。解答82X4-80X3=88（分）答:小明数学考了88分这一题还可以列示为:80+4X2=88,小朋友们想一想为什么？

60【例3】小红测试每分钟跳绳的次数，前四次每分钟分别跳180下，175下，180下，185下，第五次比全部五次跳的平均数还多32下。那么全部五次跳的平均数是多少下?第五次跳了多少下？分析前四次每次的成绩都知道了，这样我们可以求出它们的平均成绩是（180+175+180+185）+4=180（下）。第五次比全部五次跳的平均数还多32下，可以把多出来的32下，平均分给前四次，这样平均成绩就会提高32・4=8（下），因此全部五次的平均成绩是180+8=188（下）。解答（180+175+180+185）+4=180（下）32+4=8（下）180+8=188（下）188+32=220（下）答:全部五次跳的平均数是188下。第五次跳了220下。［例4］六（3）班的女同学人数是男同学的一半，男同学的平均体重是43千克，女同学的平均体重是37千克，全班学生的平均体重是多少千克？分析问题是求全班学生的平均体重，必须知道全班人数和全班的总体重。根据所给的条件，这两个数量都无法求出。如果我们假设男同学有2名，女同学有1名，这样问题就迎刃而解。解答假设男同学2名，女同学1名（43X2+37X1户（1+2）=41（千克）答:全班的平均体重是41千克。［例5］如果四个人的平均年龄是18岁•四个人中没有小于14岁的，那么年龄最大的人可能是多少岁？分析因为四个人的平均年龄是18岁，那么四个人的年龄和是18X4=72(岁)，又知道四个人中没有小于14岁的，如果四个人中三个人的年龄都是14岁，就可知另人的年龄最大可能是72-14X3=30(岁)。解答18X4-14X3=30(

61岁)答:年龄最大的人可能是30岁。【例6】有三个数，甲数和乙数的平均数是82,甲数和丙数的平均数是84,乙数和丙数的平均数是86,丙数是多少？分析根据已知条件可以得出甲十乙=82X2(1)甲十丙=84X2(2)乙十丙=86X2(3)把这三个算式相加，就得到两个甲，两个乙和两个丙的总和，再用这个总和除以2,就求出甲、乙、丙这三个数的和。然后用三个数的和减去甲、乙两数的和就得到丙数。解答(82X2+84X2+86X2)4-2=252252-82X2=88答:丙数是88培优高才1.甲、乙、丙、丁四个数的平均数是10,甲、乙两数的平均数是8,丙、丁两数的平均数是多少2.小华4次数学测验的平均成绩是89分，第5次得了94分，5次测验的平均成绩是多少分？3.小刚参加了4次数学测验，平均成绩为86

62分，他想在下次数学测验后，将5次平均成绩提高到88分以上，小刚第5次成绩至少要考多少分？1.小明从甲地到乙地每小时行40千米，返回时从乙地到甲地每小时行60千米，小明往返平均每小时行多少千米？2.如果三个人的平均年龄是23岁，且没有小于18岁的，那么年龄最大的人最大是多少岁?3.有三个数，甲数和乙数的平均数是75,甲数和丙数的平均数是78,乙数和丙数的平y数是80。求甲数。4.有5个数的平均值为60,若把其中一个数改为80,平均值为70,这个数是多少？

631.A、B、C、D四个数的平均数是38,A与B的平均数是42,B、C、D三个数的平均数是36,那么B是多少？2.甲、乙、丙三人共有图书99册，甲给了乙18册，乙给了丙5册，这时三人册数相同。原来图书最多的是谁?有图书多少册?3.一次登山比赛，张华上山每分钟走50米，走了900米到达山顶，按原路下山时，每分钟走75米。张华上山、下山往返一次的平均速度是多少？4一辆汽车用全速行驶了5分钟，又用半速行驶了6分钟，这11分钟的平均速度是每分钟800米。这辆汽车的全速是每分钟行驶多少米？5.甲、乙、丙、丁四人拿出同样多的钱，合伙订购同样规格的若干件货物，货物买回后，甲、乙、丙分别比丁多拿了3件、7件、14件，最后结算时，乙付给丁14元，则丙应付给丁多少元？小学四年级奥数

64第12讲用假设法解题知识方函用假设法解题，就是先假设一种结果，发现与实际情况的差别，并追究造成差别的原因，从而修正所作假设，得到正确结果。如果题目中既要求甲又要求乙，假设全是甲，先求出是乙，假设全是乙，先求出的就是甲。有些题目我们在做的过程中，会发现少条件，我们也可以采用假设的方法进行思考。重点点M[例1]一条船从东港驶向西港，去时每小时行15千米，返回时每小时行10千米，求这条船往返平均每小时行驶多少千米？分析要求这条船往返平均每小时行驶多少千米?必须要知道东港与西港的实际距离以及它所行驶的时间。条件中并没有给我们实际的距离，我们可以假设一个距离假设实际距高是多少千米比较合适呢?为了便于求出行驶时间，我们可以假设15和0的最小公倍数30千米为东港到西港的距离。去时所用时间是30+15=2（小时），回来时所用时间是30+10=3（小时）。再根据往返的路程除以往返时间得到这条船往返平均每小时行驶的千米数。解答假设东港到西港的距离为30千米。30义2+（30+15+30+10）=12（千米）答:这条船往返平均每小时行驶12千米。【例2】小华从家到学校，出发时他看表，发现如果步行，每分钟走60米，他将迟到分钟；如果骑车每分钟行300米，他可以提前4分钟到校。小华出发时离上课时间有多少分钟？分析假设小华从出发到学校这段时间中，一直在步行或骑自行车，那么，

65一直步行距学校还有60X8=480（米）。一直骑车就超过学校300X4=1200（米）。这时我们可以发现每分钟骑自行车与步行相差300-60=240（千米），而两种方式到学校最后的结果相差480+1200=1680（米），由此说明，一共行了1680+240=7（分钟）解客60X8+300X4=1680（米）1680+（300-60）=7（分钟）答:小华出发时离上课时间有?分钟。［例3］有一个饲养小组，养了若干只鸡和兔，已知共有35个头和94只脚，则这个饲养小组养鸡和兔各多少只？分析条件可以发现，题中还隐藏着一个条件，鸡有2只脚，兔有4只脚。假设35只动物全是鸡，就有35X2=70（只）脚，实际是94只脚，少了94-70=24（只）脚。为什么呢?因为有一只兔子被假设成鸡就会少4-2=2（只）脚，琪在少了24只脚，说明有24+2=12（只）兔子解答假设35只动物全是鸡。94-35X2=24（只）24+（4-2）=12（只）35=12=23（只）答:这个饲养小组养鸡23只，养兔12只【例4】一辆汽车载客6人，分别到达周村和李村两个车站下车,到周村每张票价2元，到李村每张票价18元，共卖车费133元，问:到哪个车站下车的人多，多多少人？分析假设这60人全是到周村的，车费应该是60X25=1500元）,实际只有139元，多了1500-1339=161（元）。为什么呢？

66因为有一个到李村的乘客被假设成到周村的就会多25-18=7（元），现在多了161元,说明有161+7=23（人）到李村。解答假设这60人全是到周村的。60X25-139=161（元）1614-（25-18）=23（A）60-23=37（人）37-23=14（人）答:到周村的人多，多14人。［例5］松鼠妈妈采松子。晴天每天采20个，雨天每天采12个。它一连若干天一共采了112个松子，平均每天采14个。问:这若干天中有多少天是晴天？分析由一共采了112个松子，平均每天采14个可以知道，松鼠妈妈一共采了112-14=8（天）松子。假设这8天全是雨天，就会采松子12X8=96（个），比实际少了112-96=16（个），因为有一天是晴天被假设程雨天就会少采20-12=8（个），一共少了16个，说明有16+8=2（天）是晴天。解答112+14=8（天）（112-12X8）:（20-12）=2（天）答:这若干天中有2天是晴天［例6］某货运公司为商场运送1000只保温瓶胆，双方商定每只瓶胆运费为2元；如果打碎一个，不但不给运费，而且要赔偿4元。结果运到商场后结算时，货运公司共得运费1910元。打碎了几只保温瓶胆？分析假设1000只保温瓶胆全部运到并完好无损，应得运费2X1000=2000（元），实际上少得运费20001910=90（

67元），这说明运输过程中有打碎的，每打碎一个，不但不给运费，还要赔偿4元，这样货运公司少得2+4=6（元），因为一共少收90元，所以打碎的保温瓶胆数为90+6=15（只）。解答2X1000-1910=90（元）90+（2+4）=15（只）答:打碎了15只保温瓶胆。培优高才1.一辆汽车从甲地到乙地，每小时行驶70千米，回来时每小时行驶50千米，问往返平均每小时行驶多少千米？2.小华要去看电影。如果乘出租车每分钟行700米，他可以提前10分钟到达电影，如果骑自行车，每分钟行200米，他将迟到5分钟到达电影院。小华出发时离电影开影时间有多少分钟？3.某图书馆甲、乙两个书库共藏书64万册。已知甲库比乙库多藏书16万册，甲、乙两书库各藏书多少万册？4.有5元和10元的人民币共43张，340元。那么5元和10元的人民币各多少张？

681.买2支钢笔的价钱等于买8支圆珠笔的价钱。如果买3支钢笔和5支圆珠笔共花34元，那么两种笔每支各多少元？2.松鼠妈妈采松子，晴天每天采20个，雨天每天采12个。它一连采了10天，共采了152个，则这几天中有几天是晴天?3.猴妈妈教小猴子爬竿，爬到顶端猴妈妈给小猴8个桃子，爬不到顶端小猴退给妈妈5个桃子，小猴一共爬了18次,得到53个桃子。小猴有几次没有爬到顶端？4.在一个停车场，停了汽车和摩托车共32辆。其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车一共有108个轮子，那么汽车有多少辆？5.某运输公司运玻璃杯1000个，每个运费5角，若破损一个,须赔偿8元，运输公司共得运费449元，搬运中破损多少个？6.学校买来3个排球和2个足球，共花去11元。每个足球比每个排球贵3元。每个排球和每个足球各多少元?

691.电视合举办智力竞赛，试卷共有10道题。评分标准是:对一道题得8分，每做错或不做一道题倒扣2分，李小佳参加了这次竞赛，得了60分，李小佳做对了多少道题？2.某场篮球比赛售出30元、50元、60元的门票共200张，收入9000元，其中50元和元售出的张数相等。每种票各售出多少张？

70小学四年级奥数第13讲和倍与差倍问题知识方H已知两个数的和与它们的倍数关系，求这两个数的问题叫和倍问题。已知两个数的差与它们的倍数关系，求这两个数的问题叫差倍问题。这一讲我们主要把和倍与差倍问题的相关知识结合起来，重点是准确理解题意,找到其中的等量关系进行解答。重点点期【例1】甲、乙、丙三个数的和是120,甲数是丙数的3倍，乙数是丙数的2倍。甲、乙、丙三个数各是多少？分析我们可以把丙看作1倍数，甲就是3倍数，乙是2倍数，一共可以看成1+2+3=6倍数。6倍数所对应的数量是120,这样我们就可以求出1倍数，也就是求出了丙是多少。解答120+（3+2+1）=2020X2=4020X3=60答:甲是60、乙是40、丙是20。【例2】有两堆棋子，第一堆有67个，第二堆有53个，问:从第二堆中拿出多少个棋子放入第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆的5倍？分析不管两堆棋子怎样移动，棋子的总数是不变的。我们可以从问题入手，移动棋子以后，我们可以把第二堆棋子数看作1倍数，第一堆棋子数是5倍数，一共是5+1=6倍数。6倍数所对应的具体数量是67+53=120（个），这样我们可以求出1倍数是120+6=20（

71个），也就是移动后的第二堆棋子的数量。再用原来第二堆棋子的数量减去现在第二堆棋子的数量就得到移动的棋子数量。解答（67+53）+（1+5）=20（个）53-20=33（个）答:从第二堆中拿出33个棋子放入第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆的5倍。【例3】用中国象棋的车、马、炮分别表示不同的自然数。如果“车+马=2,炮+车=4,炮一马=56"，那么“车十马+炮”等于多少?■从“车+马=2,炮+车=4”这两个条件可以看出，车是马的2倍，炮是车的4倍。我们把马看作1倍数，车就是2倍数，炮就是4X2=8倍数。炮比马多8-1=7倍数，7倍数所对应的具体数量是56,这样我们就可以求出1倍数是56+7=8,也就是马所代表的数。车代表的数是8X2=16,炮所代表的数是8X8=64。解答564-（4X2-l）=88X（l+2+8）=88答：“车十马十炮”等于88o【例4】甲、乙两人原来的存款数相等。后来甲取出180元后，乙又存入420元，这时乙的存款是甲的3倍。甲、乙两人原来各存款多少元？分析原来甲、乙的钱数是相等的，后来甲取出180元后，乙又存入420元，说明琪在甲、乙的钱数相差180+420=600（元），而现在他们的倍数相差3-1=2倍。由此我们可以求出现在的1倍是600・2=300（元），也就是现在甲的存款数。再用现在的钱数加上取出的钱数就是原来甲的存款数。解答（180+420）+（3-1）=300（元）300+180=480（元）

72答:甲、乙两人原来各存款480元。【例5】三根绳子长度之和是146米，第一根比第二根的2倍少3米，第三根比第二根的3倍少1米。三根绳子长度各是多少米？分析我们可以假设第一根绳子的长多3米，第三根绳子的长多1米，这时候三根绳子的总长度为146+1+3=150（米）。再把第二根绳子的长度看作1倍数，则第一根的长度为2倍数，第三根绳子的长度为3倍数，三根绳子的总倍数为1+2+3=6倍数，它们所文寸应的具体数量是150米，这样我们就可以求出1倍数。解答（146+1+3）+（1+2+3）=25（米）25X2=50（米），50-3=47（米）25X3=75（米），75-1=74（米）答:第一根绳子长47米，第二根绳子长25米，第三根绳子长74米。［例6］有两堆煤，甲堆94吨，乙堆138吨。每天从每堆中各运走9吨。经过几天后，乙堆剩下的是甲堆剩下的3倍？分析由于每天从每堆中各运走9吨，由此我们可以发现两堆煤的吨数差是不变的，就是138-94=4（吨）。运走几天后，它们的吨数差还是44吨，倍数差是3-1=2倍，这样就可以求出1倍数，也就是现在甲堆的重量。解答（138-94）+（3-1）=22（吨）94-22=72（吨）72+9=8（天）答:经过8天后，乙堆剩下的是甲堆剩下的3倍。培优高中1.A、B、C三块合金共重2070克，A块的质量是B块的2倍，B块的质量是C块的3倍，C合金重多少克？

731.姐妹两人原来共存钱120元，如果姐姐花去3元，妹妹再存入3元，姐姐的钱数正好是妹妹的2倍。姐妹两人原来各存钱多少元？2.某仓库共存粮300吨，已知甲仓库的粮食比乙仓库的2倍多57吨。两个仓库各存粮多少吨？3.甲、乙两人共存钱1000元•甲取出240元，乙存入80元，这时甲存的钱正好是乙的3倍。原来乙存多少元?4.在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于120,而减数是差的3倍、那么差多少？5.食堂有540千克大米和120千克的面粉，每天用去大米和面粉各5千克，几天后剩下的大米是面粉的5倍？6.两数相除商3余2,已知被除数、除数、商与余数的和为179,

74被除数是多少？1.甲堆煤重60吨，乙堆煤重48吨。两堆煤各用去同样的吨数后,甲堆剩下的煤是乙的3倍。两堆煤各剩下多少吨?2.小华今年11岁，她的爸爸今年43岁。几年后爸爸的年龄是小华的3倍？3.甲、乙两位学生原计划每天自学的时间相同，若甲每天增加自学时间30分钟，乙每天原计划每天自学的时间是多少分钟？减少自学时间30分钟，则乙自学6天的时间仅相等于甲自学一天的时间。问:甲、乙原计划每天自学的时间是多少分钟？4.甲、乙两个仓库各有一批水泥，甲仓库的袋数是乙仓库的3倍。后来从甲仓库取出180袋放进乙仓库，这时两个仓库水泥袋数相等。原来两个仓库各有水泥多少袋？5.一辆汽车从甲地到乙地，已经行驶完的路程比剩下的路程少

75120千米，剩下的路程是已经行驶完路程的4倍。甲、乙两地相距多少千米？小学四年级奥数第14讲数字与页码知识方W在日常的编门牌号码中、在编书所用页码中，都会用到数与数字之间的关系。这样的一些问题，如果用一般的思考方法，往往觉得无法入手，但是只要我们认真思考，善于捕捉数量之同的“蛛丝马迹”，通过合乎情理的运算与推导，就会找出一定的规律，很快地解答这些问题。重占占拨二/、、、■••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••【例1】有一个两位数，十位上的数字是个位上数字的3倍。如果把这两个数字对调位置，组成一个新的两位数，这时两个数的和是132,求原两位数。分析与解符合十位上的数字是个位上数字的3倍这个条件的两位数有:31,62,93这两个数字对调位置后，得到的是13,26,39,只有39+93=132,所以原来的两位数是93。【例2】张家的门牌号码是一个三位数，而且三个数宇都不相同,但知道三个数字的和是6,你说说他家的门牌号码是多少?（把所有可能的情况都写出来）分析与解根据三个数字都不相同，但三个数字的和是6,我们找出符合条件的情况：0,1,5组合:150,105,510,501o0,2,4组合:240,204,420,402□1,2,3组合:123,132,213,231,312,321。一1共有14种可能。

76【例3】一本书共222页，需多少个数码编页码？分析与解1~9页每页上的页码是一位数，共需数码1X9=9（个）;10~99页每页上的页码是两位数，共需数码2X90=180（个）；100~222页每页上的页码是三位数，共需数码（222-2100+1）X3=369（个）。9+180+369=558（个）。答:需要558个数码编页码。【例4】《民间故事》的正文第一页到最后一页共用了360个数码编页码，这本书的正文有多少页？分析一位数页码只有一位数字，共有1~9这9个数字；两位数页码从10-9,共90个数，180个数字；三位数页码从100-990共900个数，2700个数字。这本书从第一页到最后一页共用了360个数字,所以这本书的页数是三位数。360-180-9=171,这剩下的171个数字组成的是三位数页码，所以有171+3=57（页），一共有99+57=156（页）。解答360-180-9=171（个171+3=57（页）99+57=156（页）答:这本书有156页［例5］有一本从正文开始一共50页的书，中间缺了一张，小华将这本书的页码相加，得到的和是1254。老师说小华计算错了，你知道为什么吗?分析与解50页书的所有页码数之和为1+2+--+5050X（50+1）4-:21275按照小明的计算，中间缺的这一张上的两个页码之和为1275-1254=21o这两个页码应该是10页和11页。一本书的正文从第1

77页起，即单数页印在正面，偶数页印在反面，所以任何一张上的两个页码，都是奇数在前，偶数在后。小华计算出来的是缺10页和11页，这是不可能的。【例6］将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数:123456789101112问:左起第2000位上的数字是多少？分析与解本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码？”1〜9页每页上的页码是一位数，共需数码10~99页每页上的页码是两位数，共需数码2X90=180（个）；因为（2000-189）4-3=6032,所以2000个数码排到第99+603+1=703（页）的第2个数码“0”。所以本题的第2000位数是0。培优高才1.一个两位数，个位上的数字是十位上数字的2倍。如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原来的两位数大36,求原来的两位数。2.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的3倍还多1,将个位数字与十位数字对调，得到一个新的两位数，这两个两位数的差是45,求这个两位数。3.某个密码锁由3个非零的数字组成，而且三个数字都不相同,现在知道3个数字的和9,你能找出所有可能的情况吗？

781.某个密码锁由4个数字组成（0除外），而且4个数字都不相同,但知道4个数字的和是14,你能找出所有可能的情况吗？2.排一本辞典的页码共用了2925个数字，请你算一下，这本辞典有多少页？3.一本科幻小说共320页，编印这本科幻小说的页码共要用多少个数字?4.一本书的页码从1至62,即共有62页。在把这本书的各页页码累积加起来时，有一个页码被错误地多加了一次。结果，得到的和数为2000。问:这个被多加了一次的页码是几？5.将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数:1234568910112问:左起第1000位上的数字是多少？

791.从1993到5989的所有自然数中，十位数字与个位数字相同的共有多少个?

80小学四年级奥数第15讲最佳策略知识方W一个人在自己的生活中，许多事情为了获得某种结果，往往会制定出一系列的制胜策略：即分析对方可能采取的计划，有针对性地制定出自己的克敌计划，这就是所谓的“知己知彼，百战不殆”的道理,哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利，我们这种现象为“对策现象”O重占占拨二/、、、■••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••【例1】甲、乙两人轮流报数，每人每次可报1,2,3,4这4个数中的一个，不许不报，把两人报出的数累加在一起、先得到49的人获胜。若甲先报，甲怎样报才能获胜？分析这题我们可以从结果来考虑，甲要报到49才能获胜，他必须先报到44,以此类推，甲应该先报道4439342924191494。由此可以看出甲必须先报4,乙报X,甲就报5-X,这样甲一定获胜。解答494-(1+4)=9-4答:甲先报4,乙报X,甲就报5-X,最后一定是甲胜【例2】把2014个空格排成一行，左边第一个格中有一枚棋子。甲、乙两人轮流移动棋子。甲先乙后，每人每次将棋子向右移1至3格。谁把棋子移到最后一格就算谁胜利。请问甲能必胜吗?请说明理由分析这题思考的时候要注意，第一个已经有一枚棋子，因此要移动的棋子总数是2014-1=2013枚。解答2014-1=2013,20134-(1+3)=5031答:甲先移动1格，乙移动X格，甲就移动4一X格•最后一定是甲胜。【例3】甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的非零自然数,规定不能在黑板上写已写过的数的因数，最后无数可写的人失败。如果甲先写.双方都采用最佳方案,那么谁定获胜?给出一种获胜方法。

81分析与解甲一定获胜，甲必须先写6,这样6的因数1,2,3,6就不能再写了。将剩下的六个数分为4和5,7和9,8和10三组,当乙写这六个数中的某数时，甲就写与它同组的另一数，必可获胜。【例4】甲、乙两人轮流往一张圆桌上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚硬币平放且不能有重叠部分，放好的硬币不能再移动。谁放了最后一枚，对方没有地方再放，谁获胜。请说明放第一枚硬币的人肯定获胜的秘决。分析与解圆桌是对称的，甲先把第一枚硬放在桌面中央，然后乙在某个位置放一枚硬币，甲就在对应的位置放一个，这样最后获胜的一定是放第一枚硬币的人。【例5】一些棋子如下图放置，游戏规则:从最后一取，两人轮流取，个数不限，但不能不取、且下一排未取完前不能取上一排，取到最后一个棋子者为胜。让你先取，怎样取才能赢？分析与解先取第四排的前6个，对方只能取1个。再取第三排的前5个，对方只能取1个。再取第二排的前4个，对方只能取1个。最后将第一排全部取完。【例6】在一个3X3的方格纸（右图）中，甲、乙两人轮流往方格中写1,3,4,5,6,7,8,9,10这九个数中的一个，数字不能重复。最后甲的得分是上、下两行六个数之和，乙的得分是左、右两列六个数之和，得分多者为胜。请你为甲找出一种必胜的方法。分析与解

82由于甲的得分是上、下两行六个数之和，乙的得分是左、右两列六个数之和，所以四个角的方格里所填的数是公用的，真正决定甲、乙得分的是a,b,c,d这四个位置。甲要想必胜，须把最小的数“1”填入对方的方格里（b或d）,这时，就算乙把10填入自己的格子内，两不格子里的数的和也就是11上，这时甲把9填入自己的格子里（a或c）,a,c的和至少是9+3=12,甲必胜。培优高才1.袋中放着100枚棋子，甲、乙两人轮流取，甲先乙后，每人每次可取1至3枚，谁取得最后一枚谁获胜。谁能必胜，请说出必胜的策略。2.有一排500个空格，预先在左边第一格中放一枚棋子，然后由甲、乙两人轮流走，甲先乙后。每人走时，可以将棋子向右移动1〜6格，规定谁将棋子走到最后一格谁输。甲为了必胜，第一步走几格?以后怎样走？3.有2017根火柴棒，甲、乙两人轮流取火柴棒，每人每次可取1至10根，谁能取到最后一根谁胜，甲先取，乙后取。甲有取胜的可能性吗?取胜的策略是什么？

831.甲、乙两人依次在一个正十边形中画对角线（即两个不相邻顶点的连线）。规定新画的对角线不能与已经画了的对角线相交，谁画下最后一条这样的对角线谁就胜。甲先画，他怎样画才能取胜？/\

841.桌上放着100根火柴棒，甲、乙两人轮流取，每次取1〜3根，规定谁取到最后一根谁获胜。假设双方都采用最佳方法，甲先取，谁一定获胜?给出一种获胜方法。2.甲、乙两人轮流取棋子，规定最多取3枚，最少取1枚，不能不取，谁取到最后1枚算输，棋子数为2013枚，怎样才能获胜？3.有一种游戏被称为“抢40”o游戏规则是两人轮流报数，每次每人至少报一个数，最多报7个数，从1到40按顺序连续报数，谁先报到40,谁就获胜。甲先报，谁能获胜，请说出获胜的策略4.101张卡片上写着1到101这101个数，小明先拿一张，然后小红再从中拿一张，如此胜，应该怎样拿卡片？轮流，若最后两张上的数相差5,则小明胜；若相差的不是5,则小红胜。若要想小奶

859.甲、乙两人轮流在2016颗棋子中取走1颗或奇数颗，甲先取,乙后取，取到最后一颗棋子者获胜。问:甲、乙谁能获胜?获胜的策略是什么？10.54张扑克牌，两人轮流拿牌，每人每次只能拿1张到4张、不能不拿，谁拿到最后张谁输，问:先拿牌的人怎样确保获胜？1L有两盒火柴分别装有8根和12根火柴，甲、乙两人分别在某一盒中取，但不能同时在两盒中都取，也不能不取。规定取到最后火柴者赢。问:甲先取有必胜的策略吗？

86趣味数学题集1.找规律填数：1,2,4,7,11,16,22,()o2.一个八位数，最高位7,任意相邻的两数位上的数字相差3,它的最低位上是多少？3.今年小强11岁，小军17岁。当两人的年龄和是38岁时，小强多少岁？4.小明给自己的日记本每页都标上页码，共用0〜9的数字981个他的日记本共有多少页？5.计算1+2+3++197+198+199+2006.OOOAAAAAOOOAAAAAOOO“第100个是什么图形?第385个呢？7.一个因数缩小3倍，另一个因数也缩小3倍，积是120。原来的积是多少?

877.小华参加摩托车比赛，参机选手的人数与比赛场数一样多，任意两个选手只在一次比赛中相遇，每次比赛出场四人。问共有多少人参加这场比赛？8.一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟，在同样的风速下逆风跑70米用了10秒钟。那么，无风的时候，他跑100米用多少秒？9.远动会场侧面插有彩旗，彩旗的顺序是：绿、黄、粉、红、绿、黄、粉、红......你能推算出第34面旗是什么颜色吗？

887.把一根木头锯断要2分钟，把这根本头据成4段要几分钟？12.一个农夫带着三只兔到集市上去卖。母只兔大概三四千克,但农夫的秤只能称5千克以上的。问:他该如何称量？13.商场开展矿泉水""买5送1”活动。一个50人的旅游团想每人发一瓶矿泉水。问:旅游团至少需要买多少瓶水？14.一列火车通过530米的桥需40秒钟，以同样的速度穿过380米的山洞需30秒钟。这列火车的速度是多少?火车全长是多少米?

8915.跳绳比赛规定每人跳5分种。王平共跳237下，张华平均每分钟比王平多跳12下。张华一共跳了多少下?16.小龙家有一张家人合照，上面有两个爸爸，两个儿子，你能猜出来照片上有几个人吗？17.请你把1〜7这七个自然数，分别填在下图的圆圈内，使每条直线上的三个数字之和都相等。OO18.A、B、C、D四个足球队进行循环比赛。进行了几场之后，记者打听到A、B、C三个队的比赛情况（见下表），只是不知道D队的比赛结果。根据表格，你知道现在四个队的积分分别是多少吗?（胜或平一局2分，负不计分）场次胜负平进球失球A320120B210143C2020361)

90符号，使它们的得数都等于1。OIN3—11234r11N34rl工2345J.《5〉12345G7—166〉12345G789《7〉1234567819.在下面的算式中添上十，一，X,),20.一个数取近似值后约是30万，这个数最大可能是多少，最小可能是多少?21.在下面的算式中添上十，一，X,・，()等符号，使它们的得数都等于100.其中每一等式中的数字，可以任意分组，如3,33,(1)333333=100(2)3333333=100(3)33333333=100(4)333333333=100(5)3333333333=10022.唐僧师徒摘桃子。悟空、八戒、沙僧三人去摘桃子。八戒说：“我摘的桃子，如果3个3个地数，乘个。沙僧说：“我摘的桃子，如果4个4个地数，剩1个。悟空说：“我摘的桃子，如果5个5个地数，剩1个。”已知他们人摘得一样多，且都不到100个，你知道他们每人摘了多少个吗?