小升初奥数知识汇总

《小升初奥数知识汇总》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

小升初奥数知识点汇总1.归一问题32.归总问题43.和差问题54.和倍问题65.差倍问题76.倍比问题87.相遇问题98.追及问题109.植树问题1210.年龄问题1311.行船问题1512.列车问题1613.时钟问题1814.盈亏问题1915.工程问题2016.正反比例问题2217.按比例分配问题2418.百分数问题2519.“牛吃草”问题2720.鸡兔同笼问题2821.方阵问题3022.商品利润问题3123.存款利率问题3324.溶液浓度问题3425.构图布数问题3526.幻方问题36

11.抽屉原则问题382.公约公倍问题393.最值问题404.列方程问题425.综合题43

21.归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】总量+份数=1份数量1份数量X所占份数=所求几份的数量另一总量+（总量+份数）=所求份数【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。例1：买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？例2:3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷？例3：5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？例1：解（1）买1支铅笔多少钱？0.6+5=0.12（元）（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12X16=1.92（元）列成综合算式0.6+5X16=0.12X16=1.92（元）答：需要1.92元。例2：解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？904-34-3=10（公顷）（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？10X5X6=300（公顷）列成综合算式904-34-3X5X6=10X30=300（公顷）答：5台拖拉机6天耕地300公顷。例3：解（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？100+5+4=5（吨）（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？5X7=35（吨）（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？105+35=3（次）列成综合算式105+（100+5+4X7）=3（次）答：需要运3次。

32.归总问题【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】1份数量x份数=总量总量+1份数量=份数总量+另一份数=另一每份数量【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。例1：服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？例2：小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？例3：食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？例1：解（1）这批布总共有多少米？3.2X791=2531.2（米）（2）现在可以做多少套？2531.2+2.8=904（套）列成综合算式3.2X7914-2.8=904（套）答：现在可以做904套。例2：解（1）《红岩》这本书总共多少页？24X12=288（页）（2）小明几天可以读完《红岩》？288+36=8（天）列成综合算式24X12+36=8（天）答：小明8天可以读完《红岩》。例3：解（1）这批蔬菜共有多少千克？50X30=1500（千克）（2）这批蔬菜可以吃多少天？15004-（50+10）=25（天）列成综合算式50X304-（50+10）=15004-60=25（天）答：这批蔬菜可以吃25天。

42.和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。【数量关系】大数=（和+差）+2小数=（和一差）+2【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。例1：甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？例2：长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。例3：有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。例4：甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？例1：解甲班人数=（98+6）4-2=52（人）乙班人数=（98-6）4-2=46（人）答：甲班有52人，乙班有46人。例2：解长=（18+2）4-2=10（厘米）宽=（18-2）+2=8（厘米）长方形的面积=10X8=80（平方厘米）答：长方形的面积为80平方厘米。例3：解甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32—30）=2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知甲袋化肥重量=（22+2）4-2=12（千克）丙袋化肥重量=（22-2）4-2=10（千克）乙袋化肥甫量=32-12=20（千克）答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。

5例4：解“从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数,甲与乙的差是（14X2+3）,甲与乙的和是97,因此甲车筐数=（97+14X2+3）4-2=64（筐）乙车筐数=97—64=33（筐）答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。2.和倍问题【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少,这类应用题叫做和倍问题。【数量关系】总和+（几倍+1）=较小的数总和一较小的数=较大的数较小的数x几倍=较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1：果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？例2：东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？例3：甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？例4甲乙丙三数之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三数各是多少？例1：解（1）杏树有多少棵？248+（3+1）=62（棵）（2）桃树有多少棵？62X3=186（棵）答：杏树有62棵，桃树有186棵。例2：解（1）西库存粮数=480+（1.4+1）=200（吨）（2）东库存粮数=480-200=280（吨）答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。例3：解每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28—24）辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52+32）就相当于（2+1）倍，那么，几天以后甲站的车辆数减少为

6所求天数为(52—28)+(28-24)=6(天)答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。例4：解乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。因为乙比甲的2倍少4,所以给乙加上4,乙数就变成甲数的2倍；又因为丙比甲的3倍多6,所以丙数减去6就变为甲数的3倍；这时(170+4-6)就相当于(1+2+3)倍。那么，甲数=(170+4-6)4-(1+2+3)=28乙数=28X2—4=52丙数=28X3+6=90答：甲数是28,乙数是52,丙数是90。2.差倍问题【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，要求这两个数各是多少,这类应用题叫做差倍问题。【数量关系】两个数的差+(几倍-1)=较小的数较小的数x几倍=较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1：果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？例2:爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？例3：商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？例4粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问儿天后剩下的玉米是小麦的3倍？例1：解(1)杏树有多少棵？124+(3-1)=62(棵)(2)桃树有多少棵？62X3=186(棵)答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。

7例2：解(1)儿子年龄=27+(4-1)=9(岁)(2)爸爸年龄=9X4=36(岁)答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。例3：解如果把上月盈利作为1倍量，则(30—12)万元就相当于上月盈利的(2-1)倍，因此上月盈利=(30—12)4-(2—1)=18(万兀)本月盈利=18+30=48(万元)答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。例4：解由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差(138-94),把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，(138-94)就相当于(3-1)倍,因此剩下的小麦数量=(138-94)4-(3-1)=22(吨)运出的小麦数量=94-22=72(吨)运粮的天数=72+9=8(天)答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。2.倍比问题【含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。【数量关系】总量+一个数量=倍数另一个数量x倍数=另一总量【解题思路和方法】先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。例1：100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？例2:今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？例3：凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800市果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元?

8例1：解（1）3700千克是100千克的多少倍？3700+100=37（倍）（2）可以榨油多少千克？40X37=1480（千克）列成综合算式40X（3700+100）=1480（千克）答：可以榨油1480千克。例2：解（1）48000名是300名的多少倍？48000+300=160（倍）（2）共植树多少棵？400X160=64000（棵）列成综合算式400X（480004-300）=64000（棵）答：全县48000名师生共植树64000棵。例3：解（1）800亩是4亩的几倍？800+4=200（倍）（2）800亩收入多少元？11111X200=2222200（元）（3）16000亩是800亩的几倍？160004-800=20（倍）（4）16000亩收入多少元？2222200X20=44444000（元）答：全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园共收入44444000元。7.相遇问题【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。【数量关系】相遇时间=总路程+（甲速+乙速）总路程=（甲速+乙速）x相遇时间【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例1：南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？例2:小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一-地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？例3：甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3下米处相遇，求两地的距离。

9例1：解392+(28+21)=8(小时)答：经过8小时两船相遇。例2：解“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为400X2相遇时间=(400X2)4-(5+3)=100(秒)答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。例3：解“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢,甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是(3X2)千米，因此，相遇时间=(3X2)+(15-13)=3(小时)两地距离=(15+13)X3=84(千米)答:两地距离是84千米。7.追及问题【含义】两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体.这类应用题就叫做追及问题。【数量关系】追及时间=追及路程+(快速一慢速)追及路程=(快速一慢速)x追及时间【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1：好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？例2：小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。例3：我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解

10放军几个小时可以追上敌人?例4：一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。例5：兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？例6：孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。例1：解(1)劣马先走12天能走多少千米？75X12=900(千米)(2)好马几天追上劣马？900+(120-75)=20(天)列成综合算式75X124-(120-75)=9004-45=20(天)答：好马20天能追上劣马。例2：解小明第一次追上小亮时比小亮多跑•圈，即200米，此时小亮跑了(500-200)米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用[40X(5004-200)]秒，所以小亮的速度是(500-200)+[40X(5004-200)]=3004-100=3(米)答：小亮的速度是每秒3米。例3：解敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22—16)小时，这段时间敌人逃跑的路程是[10X(22—6)]千米，甲乙两地相距60千米。由此推知追及时间=[10X(22-6)+60]+(30-10)=220+20=11(小时)答：解放军在11小时后可以追上敌人。例4：解这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车(16X2)千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，

11所以两站间的距离为（48+40）X4=352（千米）列成综合算式（48+40）X［16X24-（48-40）］=88X4=352（千米）答：甲乙两站的距离是352千米。例5：解要求距离，速度己知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180X2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90—60）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为180X24-（90-60）=12（分钟）家离学校的距离为90X12-180=900（米）答：家离学校有900米远。例6：解手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，就要迟到（10—5）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（10—5）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9-（10-5）］分钟。所以步行1千米所用时间为1+［9-（10-5）］=0.25（小时）=15（分钟）跑步1千米所用时间为15—［9-（10—5）］=11（分钟）跑步速度为每小时1/11/60=1X60/11=5.5（千米）答：孙亮跑步速度为每小时5.5千米。7.植树问题【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量,这类应用题叫做植树问题。【数量关系】线形植树棵数=距离+棵距+1环形植树棵数=距离+棵距方形植树棵数=距离+棵距一4三角形植树棵数=距离+棵距-3面积植树棵数=面积+（棵距X行距）【解题思路和方法】先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。例1：一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳J?例2:一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？

12例3：一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？例4：给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖？例5：一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？例1：解136+2+1=68+1=69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。例2：解4004-4=100（棵）答：一共能栽100棵白杨树。例3：解220X4+8-4=110-4=106（个）答：一共可以安装106个照明灯。例4：解964-（0.6X0.4）=964-0.24=400（块）答：至少需要400块地板砖。例5：解（1）桥的一边有多少个电杆？5004-50+1=11（个）（2）桥的两边有多少个电杆？11X2=22（个）（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22X2=44（盏）答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。7.年龄问题【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

13【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。例1：爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？例2：母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？例3：3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？例4：甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？例1：解354-5=7（倍）（35+1）+（5+1）=6（倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。例2：解（1）母亲比女儿的年龄大多少岁？37—7=30（岁）（2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？304-（4-1）-7=3（年）列成综合算式（37—7）+（4-1）-7=3（年）答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。例3：解今年父子的年龄和应该比3年前增加（3X2）岁，今年二人的年龄和为49+3X2=55（岁）把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相当于（4+1）倍，因此，今年儿子年龄为55-?（4+1）=11（岁）今年父亲年龄为11X4=44（岁）答：今年父亲年龄是44岁，儿子年龄是11岁。例4：解这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析:过去某一年今年将来某一年

14甲口岁△岁61岁乙4岁□岁△岁表中两个“口”表示同一个数，两个表示同一个数。因为两个人的年龄差总相等：口一4=△一口=61-/\,也就是4,口，△,61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，因此二人年龄差为（61-4）4-3=19（岁）甲今年的岁数为ZX=61—19=42（岁）乙今年的岁数为口=42—19=23（岁）答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。7.行船问题【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。【数量关系】（顺水速度+逆水速度）+2=船速（顺水速度一逆水速度）+2=水速顺水速=船速X2一逆水速=逆水速+水速X2逆水速=船速X2一顺水速=顺水速一水速X2【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例1：一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米,这只船逆水行这段路程需用几小时？例2:甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？例3：一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时？例1：解由条件知，顺水速=船速+水速=320+8,而水速为每小时15千米，所以,船速为每小时3204-8-15=25（千米）

15船的逆水速为25-15=10（千米）船逆水行这段路程的时间为320+10=32（小时）答：这只船逆水行这段路程需用32小时。例2：解由题意得甲船速+水速=360+10=36甲船速一水速=360+18=20可见（36—20）相当于水速的2倍，所以，水速为每小时（36—20）4-2=8（千米）又因为，乙船速一水速=360+15,所以，乙船速为3604-15+8=32（千米）乙船顺水速为32+8=40（千米）所以，乙船顺水航行360千米需要360+40=9（小时）答：乙船返回原地需要9小时。例3：解这道题可以按照流水问题来解答。（1）两城相距多少千米？（576-24）X3=1656（千米）（2）顺风飞回需要多少小时？16564-（576+24）=2.76（小时）列成综合算式[（576—24）X3]+（576+24）=2.76（小时）答：飞机顺风飞回需要2.76小时。7.列车问题【含义】这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。【数量关系】火车过桥：过桥时间=（车长+桥长）+车速火车追及：追及时间=（甲车长+乙车长+距离）4-（甲车速一乙车速）火车相遇：相遇时间=（甲车长+乙车长+距离）+（甲车速+乙车速）【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

16例1：一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？例2：一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？例3：一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶,求快车从追上到追过慢车需要多长时间？例4：一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么,火车从工人身旁驶过需要多少时间？例5：一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？例1：解火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。（1）火车3分钟行多少米？900X3=2700（米）（2）这列火车长多少米？2700-2400=300（米）列成综合算式900X3-2400=300（米）答：这列火车长300米。例2：解火车过桥所用的时间是2分5秒=125秒，所走的路程是（8X125）米，这段路程就是（200米+桥长），所以，桥长为8X125-200=800（米）答：大桥的长度是800米。例3：解从追上到追过，快车比慢车要多行（225+140）米，而快车比慢车每秒多行（22—17）米，因此，所求的时间为（225+140）4-（22-17）=73（秒）答：需要73秒。例4：解如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。1504-（22+3）=6（秒）答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。

17例5：解车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在(88-58)秒的时间内行驶了(2000—1250)米的路程，因此，火车的车速为每秒(2000-1250)+(88-58)=25(米)进而可知，车长和桥长的和为(25X58)米，因此，车长为25X58-1250=200(米)答：这列火车的车速是每秒25米，车身长200米。7.时钟问题【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。【数量关系】分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为11/12。通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。【解题思路和方法】变通为“追及问题”后可以直接利用公式。例1：从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？例2：四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？例3：六点与七点之间什么时候时针与分针重合？例1：解钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60=1/12格。每分钟分针比时针多走(1-1/12)=11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以分针追上时针的时间为204-(1-1/12)=2(分钟)答：再经过2分钟时针正好与分针重合。例2：解钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格(包括分针在时针的前或后15格两种情况)。四点整的时候，分针在时针后(5X4)格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走(5X4-15)格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走(5X4+15)格。再根据1分钟分针比时针多走(1-1/12)格就可以求出二针成直角的时间。

18(5X4-15)4-(1-1/12)=5(分钟)(5X4+15)4-(1-1/12)=38(分钟)答：4点05分及4点38分时两针成直角。例3：解六点整的时候，分针在时针后（5X6）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。（5X6）+（1-1/12）=36（分钟）答：6点36分的时候分针与时针重合。7.盈亏问题【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数=（盈+亏）+分配差如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数=（大盈一小盈）・分配差参加分配总人数=（大亏一小亏）子分配差【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例1：给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？例2：修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天：如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？例3：学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？例1：解按照“参加分配的总人数=（盈+亏）+分配差”的数量关系：

19（1）有小朋友多少人？（11+1）4-（4-3）=12（人）（2）有多少个苹果？3X12+11=47（个）答：有小朋友12人，有47个苹果。例2：解题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加分配的总人数=（大亏一小亏）+分配差”的数量关系，可以得知原定完成任务的天数为（260X8-300X4）+（300-260）=22（天）这条路全长为300X（22+4）=7800（米）答：这条路全长7800米。例3：解本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有（1）有多少车？（30—0）+（45-40）=6（辆）（2）有多少人？40X6+30=270（人）答：有6辆车，有270人。7.工程问题【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量=工作效率X工作时间工作时间=工作量4■工作效率工作时间=总工作量+（甲工作效率+乙工作效率）【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。例1：一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？例2：一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，

20求这批零件共有多少个？例3：一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？例4：一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时,需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？例1：解题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10;乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。由此可以列出算式：1+(1/10+1/15)=14-1/6=6(天)答：两队合做需要6天完成。例2：解设总工作量为1,则甲每小时完成1/6,乙每小时完成1/8,甲比乙每小时多完成(1/6—1/8),二人合做时每小时完成(1/6+1/8),因为二人合做需要[14-(1/6+1/8)]小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以(1)每小时甲比乙多做多少零件？244-[1-?(1/6+1/8)]=7(个)(2)这批零件共有多少个？7+(1/6-1/8)=168(个)答：这批零件共有168个。解二上面这道题还可以用另一种方法计算：两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6：1/8=4：3由此可知，甲比乙多完成总工作量的4-3/4+3=1/7所以，这批零件共有244-1/7=168(个)例3：解注(排)水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量(一池水)。只要设某一个量为单位1,其余两个量便可由条件推出。我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为(1X4X5),2个进水管15小时注水量为(1X2X15),从而可知每小时的排水量为(1X2X15-1X4X5)+(15-5)=1

21即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知一池水的总工作量为1X4X5-1X5=15又因为在2小时内，每个进水管的注水量为1X2,所以，2小时内注满一池水至少需要多少个进水管？（15+1X2）+（1X2）=8.5^9（个）答：至少需要9个进水管。例4：解必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60,则甲乙丙三人的工作效率分别是604-12=5604-10=6604-15=4因此余下的工作量由乙丙合做还需要（60—5X2）+（6+4）=5（小时）答：还需要5小时才能完成。7.正反比例问题【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。例1：修一条公路，已修的是未修的1/3,再修300米后，已修的变成未修的1/2,求这条公路总长是多少米？例2:张哈做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？例3：孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？例4一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。A2520

2236B16例1：解由条件知，公路总长不变。原已修长度：总长度=1：(1+3)=1：4=3：12现已修长度：总长度=1：(1+2)=1：3=4：12比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于(4-3)份，从而知公路总长为3004-(4-3)X12=3600(米)答：这条公路总长3600米。例2：解做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系设91分钟可以做X应用题则有28：4=91：X28X=91X4X=91X4+28X=13答：91分钟可以做13道应用题。例3：解书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系设X天可以看完，就有24：36=X：1536X=24X15X=10答：10天就可以看完。例4：解由面积+宽=长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。因此，A：36=20：1625：B=20：16解这两个比例，得A=45B=20所以，大矩形面积为45+36+25+20+20+16=162答：大矩形的面积是1627.按比例分配问题【含义】所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数=比的前后项之和

23【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。例1：学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？例2：用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3：4：5。三条边的长各是多少厘米？例3：从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2,二儿子分总数的1/3,三儿子分总数的1/9,并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。例4：某工厂第一、二、三车间人数之比为8：12：21,第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？人数80人一共多少人？对应的份数12-88+12+21例1：解总份数为47+48+45=140一班植树560X47/140=188（棵）二班植树560X48/140=192（棵）三班植树560X45/140=180（棵）答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。例2：解3+4+5=1260X3/12=15（厘米）60X4/12=20（厘米）60X5/12=25（厘米）答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。例3：解如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解,则很容易得到1/2：1/3：1/9=9：6：29+6+2=1717X9/17=917X6/17=617X2/17=2答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。例4：解804-(12-8)X(8+12+21)=820(人)

24答：三个车间一共820人。7.百分数问题【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“％”.在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%,两个百分点就是2%。【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：百分数=比较量+标准量标准量=比较量+百分数【解题思路和方法】一般有三种基本类型：(1)求一个数是另一个数的百分之几；(2)已知一个数，求它的百分之几是多少；(3)已知一个数的百分之几是多少，求这个数。例1：仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？例2：红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？例3：红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几？例4红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？例5：百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：增长率=增长数+原来基数X100%合格率=合格产品数小产品总数X100%出勤率=实际出勤人数+应出勤人数X100%出勤率=实际出勤天数+应出勤天数X100%缺席率=缺席人数+实有总人数X100%发芽率=发芽种子数。试验种子总数X100%成活率=成活棵数+种植总棵数X100%出粉率=面粉重量+小麦重量X100%出油率=油的重量+油料重量X100%

25废品率=废品数量+全部产品数量X100%命中率=命中次数4■总次数X100%烘干率=烘干后重量+烘前重量X100%及格率=及格人数。参加考试人数X100%例1：解(1)用去的占720+(720+6480)=10%(2)剩下的占64804-(720+6480)=90%答：用去了10%,剩下90%o例2：解本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量，所以(525-420)4-525=0.2=20%或者1-420+525=0.2=20%答：男职工人数比女职工少20机例3：解本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此(525-420)+420=0.25=25%或者5254-420-1=0.25=25%答：女职工人数比男职工多25%。例4：解(1)男职工占4204-(420+525)=0.444=44.4%(2)女职工占5254-(420+525)=0.556=55.6%答：男职工占全厂职工总数的44.4%,女职工占55.6%。19.“牛吃草”问题【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。【数量关系】草总量=原有草量+草每天生长量x天数【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。例1：一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？例2：一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？

26例1：解草是均匀生长的，所以，草总量=原有草量+草每天生长量X天数•求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1,按以下步骤解答：(1)求草每天的生长量因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即(1X10X20)；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以IX10X20=原有草量+20天内生长量同理1X15X10=原有草量+10天内生长量由此可知(20—10)天内草的生长量为1X10X20—1X15X10=50因此，草每天的生长量为504-(20-10)=5(2)求原有草:量原有草量=10天内总草量一10内生长量=1X15X10—5X10=100(3)求5天内草总量5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5X5=125(4)求多少头牛5天吃完草因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。因此5天吃完草需要牛的头数125・5=25(头)

27答：需要5头牛5天可以把草吃完。例2：解这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数(相当于“牛数”).求时间。设每人每小时淘水量为1,按以下步骤计算：(1)求每小时进水量因为，3小时内的总水量=1X12X3=原有水量+3小时进水量10小时内的总水量=1X5X10=原有水量+10小时进水量所以，(10—3)小时内的进水量为1X5X10-1X12X3=14因此，每小时的进水量为144-(10-3)=2(2)求淘水前原有水量原有水量=1X12X3-3小时进水量=36—2X3=30(3)求17人几小时淘完17人每小时淘水量为17,因为每小时漏进水为2,所以实际上船中每小时减少的水量为(17—2),所以17人淘完水的时间是304-(17-2)=2(小时)答：17人2小时可以淘完水。20.鸡兔同笼问题【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。【数量关系】第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数=假设全都是兔，则有鸡数=第二鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数=假设全都是兔，则有鸡数=(实际脚数一2X鸡兔总数)4-(4-2)(4X鸡兔总数一实际脚数)+(4-2)(2X鸡兔总数一鸡与兔脚之差)+(4+2)(4X鸡兔总数+鸡与兔脚之差)4-(4+2)【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。

28例1:长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？例2：2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？例3：李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？例4：(第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？例5：有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？例1：解假设35只全为兔，则鸡数=(4X35-94)+(4-2)=23(只)兔数=35-23=12(只)也可以先假设35只全为鸡，则兔数=(94-2X35)+(4-2)=12(只)鸡数=35—12=23(只)答：有鸡23只，有兔12只。例2：解此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥(14-2)千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥(3+5)千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有白菜亩数=(9-14-2X16)+(34-5-1-?2)=10(亩)答：白菜地有10亩。例3：解此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有作业本数=(69-0.70X45)-?(3.20-0.70)=15(本)日记本数=45—15=30(本)答：作业本有15本，日记本有30本。例4：解假设100只全都是鸡，则有兔数=(2X100-80)4-(4+2)=20(只)鸡数=100—20=80（只）答：有鸡80只，有兔20只。

29例5：解假设全为大和尚，则共吃馍（3X100）个，比实际多吃（3X100-100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3-1/3）个。因此，共有小和尚（3X100-100）+（3-1/3）=75（人）共有大和尚100—75=25（人）答：共有大和尚25人，有小和尚75人。21.方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数,这类问题就叫做方阵问题。【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的四周人数=（每边人数一1）X4每边人数=四周人数+4+1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数=每边人数X每边人数•-（内边人数）•空心方阵：总人数=（外边人数）内边人数=外边人数一层数X2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，贝人总人数=（每边人数一层数）X层数X4【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。例1：在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？例2：有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。例3：有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？例4：一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？例5：有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树？例1：解22X22=484（人）答：参加体操表演的同学一共有484人。

30例2：解=84（人）•一（10—3X2）*10答：全方阵84人。例3：解（1）中空方阵外层每边人数=52+4+1=14（人）（2）中空方阵内层每边人数=28+4—1=6（人）（3）中空方阵的总人数=14X14—6X6=160（人）答：这队学生共160人。例4：解（1）纵横方向各增加一层所需棋子数=4+9=13（只）（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数=（13+1）4-2=7（只）（3）原有棋子数=7X7-9=40（只）答：棋子有40只。例5：解第一种方法：1+2+3+4+5=15（棵）第二种方法：（5+1）X54-2=15（棵）答：这个三角形树林一共有15棵树。22.商品利润问题【含义】这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。【数量关系】利润=售价一进货价利润率=（售价一进货价）子进货价X100%售价=进货价X（1+利润率）亏损=进货价一售价亏损率=（进货价一售价）+进货价X100%【解题思路和方法】简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1：某商品的平均价格在一月份上调了10%,到二月份又下调了10%,这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？例2:某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元，已知衣服原来按期望盈利30%

31定价，那么该店是亏本还是盈利？亏(盈)率是多少？例3：成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出80%后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86机问剩卜的作业本出售时按定价打了多少折扣？例4：某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%,甲店按30%的利润定价，乙店按20%的利润定价,结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价。例1：解设这种商品的原价为1,则一月份售价为(1+10%),二月份的售价为(1+10%)X(1-10%),所以二月份售价比原价下降了1-(1+10%)X(1-10%)=1%答：二月份比原价下降了1%O例2：解要知亏还是盈，得知实际售价52元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。因为52元是原价的80%,所以原价为(52・80%)元；又因为原价是按期望盈利30%定的，所以成本为524-80%4-(1+30%)=50(元)可以看出该店是盈利的，盈利率为(52—50)4-50=4%答：该店是盈利的，盈利率是4%。例3：解问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知，每册的原定价是0.25X(1+40%),所以关键是求出剩下的每册的实际售价，为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差，即0.25X1200X40%X86%-0.25X1200X40%X80%=7.20(元)剩下的作业本每册盈利7.20+[1200X(1-80%)]=0.03(元)又可知(0.25+0.03)+[0.25X(1+40%)]=80%答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的。例4：解设乙店的进货价为1,则甲店的进货价为1-10%=0.9甲店定价为0.9X（1+30%）=1.17乙店定价为IX（1+20%）=1.20由此可得乙店进货价为6+（1.20-1.17）=200（元）乙店定价为200X1.2=240（元）

32答：乙店的定价是240元。23.存款利率问题【含义】把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。【数量关系】年（月）利率=利息+本金+存款年（月）数X100%利息=本金X存款年（月）数X年（月）利率本利和=本金+利息=本金X11+年（月）利率X存款年（月）数］【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例1：李大强存入银行1200元，月利率0.8%,到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。例2:银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%,三年期&28%,五年期9机如果甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么，谁的收益多？多多少元？例1：解因为存款期内的总利息是（1488—1200）元，所以总利率为（1488-1200）4-1200又因为已知月利率，所以存款月数为（1488—1200）4-12004-0.8%=30（月）答：李大强的存款期是30月即两年半。例2：解甲的总利息[10000X7.92%X2+[10000X（1+7.92%X2）]X8.28%X3=1584+11584X8.28%X3=4461.47（元）乙的总利息10000X9%X5=4500（元）4500-4461.47=38.53（元）答：乙的收益较多，乙比甲多38.53元。

3323.溶液浓度问题【含义】在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。【数量关系】溶液=溶剂+溶质浓度=溶质+溶液X100%【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例1：爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？例2:要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？例3：甲容器有浓度为12%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。例1：解（1）需要加水多少克？50X16%+10%—50=30（克）（2）需要加糖多少克？50X（1-16%）+（1-30%）-50=10（克）答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。例2：解假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出600X（30%-25%）=30（克）这是因为30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下，用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样，每“换掉”100克，就会减少糖100X（30%-15%）=15（克）所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液）100X（304-15）=200（克）由此可知，需要15%的溶液200克。需要30%的溶液600—200=400（克）答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。例3：解由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为500克，因此，只要算出乙容器中

34最后的含盐量，便会知所求的浓度。下面列表推算：甲容器乙容器原有盐水500盐500X12%=60水500第一次把甲中一半倒入乙中后盐水5004-2=250盐604-2=30盐水500+250=750盐30第而次把乙中一半倒入甲中后盐水250+375=625盐30+15=45盐水750+2=375盐30+2=15第三次使甲乙中盐水同样多盐水500盐45—9=36盐水500盐45-36+15=24由以上推算可知，乙容器中最后盐水的百分比浓度为244-500=4.8%答：乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。23.构图布数问题【含义】这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，就是设计出一种图形;所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。【数量关系】根据不同题目的要求而定。【解题思路和方法】通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数,符合题目所给的条件。例1:十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。例2：九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。例3：九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。例4：把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和，有几种写法？请设计一种图形，填入这七个数，每个数只填一处，且每条线上三个数的和都等于121,例1：解符合题目要求的图形应是一个五角星。

354X54-2=10因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半。例2：解符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形，一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。例3：解符合题目要求的图形是一个三角形，每边栽4棵树，三个顶点上重复应减去，正好9棵。4X3-3=9例4：解共有五种写法，即12=1+4+712=1+5+612=2+3+712=2+4+612=3+4+5在这五个算式中，4出现三次，其余的1、2、3、5、6、7各出现两次，因此，4应位于三条线的交点处，其余数都位于两条线的交点处。据此，我们可以设计出以下三种图形：23.幻方问题【含义】把nXn个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。【数量关系】每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。

36五级幻方的幻和=325+5=65【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和(即幻和)，其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。例1：把1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。例2：把2,3,4,5,6,7,8,9,10这九个数填到九个方格中，使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。例1：解幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为(1+2+3+4+5+6+7+8+9)4*3=45+3=15九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次(即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上)，四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。看来，用到四次的“中心数”地位重要，宜优先考虑。设“中心数”为X,因为X出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15,所以(1+2+3+4+5+6+7+84-9)+(4-1)X=15X4即45+3X=60所以X=5接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。例2：解只有三行，三行用完了所给的9个数，所以每行三数之和为(2+3+4+5+6+7+8+9+10)4-3=18假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18,我们看18能写成哪三个数之和：最大数是10：18=10+6+2=10+5+3最大数是9：18=9+7+2=9+6+3=9+5+4最大数是8：18=8+7+3=8+6+4最大数是7：18=7+6+5刚好写成8个算式。

37首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次。观察上述8个算式，只有6被用了4次，所以正中间方格中应填6。nOo□n□d然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。最后确定其它方格中的数。如图。23.抽屉原则问题【含义】把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。【数量关系】基本的抽屉原则是：如果把n+1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有kXm+r（OVrWm）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k+1）个或更多的元素。通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k+1）个或更多的元素。【解题思路和方法】（D改造抽屉，指出元素；（2）把元素放入（或取出）抽屉；（3）说明理由，得出结论。例1：育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？例2：据说人的头发不超过20万跟，如果陕西省有3645万人，根据这些数据，你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗？例3：一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同？例1：解由于1999年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。这说明至少有2个学生的生日是同一天的。

38例2：解人的头发不超过20万根，可看作20万个“抽屉”，3645万人可看作3645万个“元素”，把3645万个“元素”放到20万个“抽屉”中，得到36454-20=182……5根据抽屉原则的推广规律，可知k+l=183答：陕西省至少有183人的头发根数一样多。例3：解把四种颜色的球的总数(3+3+3+2)=11看作11个“抽屉”，那么，至少要取(11+1)个球才能保证至少有4个球的颜色相同。答：他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。23.公约公倍问题【含义】需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。【数量关系】绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。【解题思路和方法】先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”o例1：一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？例2：甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36分钟，乙车行一周要30分钟，丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇？例3：一个四边形广场，边长分别为60米，72米，96米，84米，现要在四角和四边植树，若四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树？例4：一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个，6个6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之间，求棋子总数。例1:解硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。60和56的最大公约数是4。答：正方形的边长是4厘米。例2：解要求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是36、30、48的倍数。因为问至少要多

39少时间，所以应是36、30、48的最小公倍数。36、30、48的最小公倍数是720。答：至少要720分钟（即12小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。例3：解相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数，要使植树的棵数尽量少，须使相邻两树的间距尽量大，那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最大公约数12。所以，至少应植树（60+72+96+84）4-12=26（棵）答：至少要植26棵树。例4：解如果从总数中取出1个，余下的总数便是4、5、6的公倍数。因为4、5,6的最小公倍数是60,又知棋子总数在150到200之间，所以这个总数为60X3+1=181（个）答：棋子的总数是181个。23.最值问题【含义】科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。【数量关系】一般是求最大值或最小值。【解题思路和方法】按照题目的要求，求出最大值或最小值。例1：在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？例2：在--条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千米，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中到几号煤场花费最少？例3：北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地10台，上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台，给武汉调运6台，若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？重庆武汉

40北京800400上海500300例1：解先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤3分钟即可。这样做，用的时间最少，为9分钟。答：最少需要9分钟。例2：解我们采用尝试比较的方法来解答。集中到1号场总费用为1X200X10+1X400X40=18000（元）集中到2号场总费用为1X100X10+1X400X30=13000（元）集中到3号场总费用为1X100X20+1X200X10+1X400X10=12000（元）集中到4号场总费用为1X100X30+1X200X20+1X400X10=11000（元）集中到5号场总费用为1X100X40+1X200X30=10000（元）经过比较，显然，集中到5号煤场费用最少。答：集中到5号煤场费用最少。例3：解北京调运到重庆的运费最高，因此，北京往重庆应尽量少调运。这样，把上海的4台全都调往重庆，再从北京调往重庆4台，调往武汉6台，运费就会最少，其数额为500X4+800X4+400X6=7600（元）答：上海调往重庆4台，北京调往武汉6台，调往重庆4台，这样运费最少。23.列方程问题【含义】把应用题中的未知数用字母x代替，根据等量关系列出含有未知数的等式一方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。【数量关系】方程的等号两边数量相等。【解题思路和方法】可以概括为“审、设、歹U、解、验、答"六字法。(1)审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。

41(2)设：把应用题中的未知数设为X.(3)歹！根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。(4)解；求出所列方程的解。(5)验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。(6)答：回答题目所问，也就是写出答问的话。同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在X后面写上单位名称,在方程中已知数和未知数都不带单位名称,求出的X值也不带单位名称,在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须检验。例1：甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？例2:鸡兔35只，共有94只脚，问有多少兔？多少鸡？例3：仓库里有化肥940袋，两辆汽车4次可以运完，已知甲汽车每次运125袋，乙汽车每次运多少袋？例1：解第一种方法：设乙班有X人，则甲班有(90-X)人。找等量关系：甲班人数=乙班人数X2-30人。列方程：90-X=2X-30解方程得X=40从而知90-X=50第二种方法：设乙班有X人，则甲班有(2X-30)人。列方程(2X-3O)+X=90解方程得X=40从而得知2X-30=50答：甲班有50人，乙班有40人。例2：解第一种方法：设兔为X只，则鸡为(35-X)只，兔的脚数为4X个，鸡的脚数为2(35-X)个。根据等量关系“兔脚数+鸡脚数=94”可列出方程4X+2(35-X)=94解方程得X=12则35—X=23第二种方法：可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡，则有兔数=(实际脚数一2X鸡兔总数)+(4-2)所以兔数=(94-2X35)+(4-2)=12(只)鸡数=35—12=23(只)答：鸡是23只，兔是12只。

42例3：解第一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数，再减去甲车一次运的袋数，即是所求。9404-4-125=110(袋)第二种方法：从总量里减去甲汽车4次运的袋数，即为乙汽车共运的袋数，再除以4,即是所求。(940-125X4)4-4=110(袋)第三种方法：设乙汽车每次运X袋，可列出方程9404-4-X=125解方程得X=110第四种方法：设乙汽车每次运X袋，依题意得(125+X)X4=940解方程得X=110答：乙汽车每次运110袋。31.综合题例1、小军回家离家门300米时，妹妹和小狗一起向他奔来。小军和妹妹的速度都是50米一分钟，而小狗的速度是200米一分钟，小狗遇到小军后以同样的速度不停往返于小军和妹妹之间，当小军与妹妹相距只有10米时，小狗一共跑了多少米？例2、甲乙两车分别从AB两地出发，在AB之间不断的往返行驶，已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲乙两车第3次相遇点与第4次相遇点恰好为100千米，那么AB两地之间的距离是多少千米？例3、在一条环形跑道上，甲乙两人从同一地点相背而行，当两人第一次相遇时，甲比乙共多行200米.已知乙和甲的速度比是2:3,这条跑道长几米？例4、甲乙两个书架，已知甲书架有书600本.从甲书架上取出它的三分之一,从乙书架上取出它的百分之七十五以后，甲书架上的书比乙书架上的2倍还多150本.乙书架原有书几本？例5、一列火车通过120米长的大桥要21秒,通过80米长的隧道要17秒,这列火车车身长几米？例6、4千克苹果的价格等于3千克香蕉的价格,5千克香蕉的价格等于8千克橘子的价格,那么12千克橘子的价格等于几千克苹果的价格？例7、在含盐率百分之十的盐水中,加入盐和水个十克,这时盐水的含盐率是？例8、甲乙两人公储蓄人民币若干元，其中甲占总数的百分之三十.若乙取30元给甲，则乙余下的钱和甲原

43有的钱一样多，两人公储蓄几元？例9、一筐白菜连筐重40.5千克,吃了一半后,连筐还有21.5千克.这筐白菜重几千克?筐重几千克？例10、一项工程甲乙两人合做8天完成，乙丙合做9天完成。丙单独做几天完成？例11、某班有学生45人其中有28人学钢琴，有35人学电脑，有37人学美术，有40人上奥校，那么可以肯定，这个班至少有多少学生以上四项全学。例12、暑假期间，小明计划用8天做完数学作业，实际每天比计划多做了3道题，结果只用7天就完成了作业，数学作业共有多少道题？例1：(300-10)/(50+50)*200=290/100*200=2.9*200=580(m)答：当小军与妹妹相距只有10米时，小狗一共跑了580m。例2：解：甲乙的速度比是：15：35=3：7；第三次相遇时两人共走5个单程，甲走5+(3+7)X3=1.5(个)个单程，第三次相遇的位置：距离A点1/2处(中点)：第四次相遇时两人共走7个单程，甲走7+(3+7)X3=2.1(个)个单程，第三次相遇的位置：距离A点1/10处；全程的距离是：100+(0.5-0.1)=250(千米)答：AB两地之间的距离是250千米。例3：分析：因为甲乙两人同时出发，所以路程比=时间比。解：设甲行了X米，则乙行了(X-200)米。(x-200)/x=2/3X=600(X+x-200)=1000答：这条跑道长1000米。例4：分析：根据甲乙的数量关系直接列方程。解：设乙书架原有书X本。(1-75/100)*x*2+150=600*(1-1/3)x/2=250x=500答：乙书架原有书500本。例5：分析：火车速度不变。

44解：设这列火车车身长X米。(120+x)/21=(80+x)/17X=90答：这列火车车身长90米.例6：分析：根据苹果橘子与香蕉的关系列方程。解：设苹果X元一斤，橘子Y元一斤，香蕉Z元一斤。4X=3Y5Y=8Z20X=15Y15Y=24Z20X=24Z12Z=10X答：12千克橘子的价格等于10千克苹果的价格。例7：分析：略。解:(10+10)/(100+10)=2/U~~18.2%答：这时盐水的含盐率是18.2%,例8：分析：略。解：设两人共储蓄X元.30%*X=(100%-30%)*x-30X=75答：两人共储蓄75元。例9：分析：略。解：设这筐白菜重X千克，筐重Y千克。X+y=40.5x/2+y=21.5X=38y=2.5答：这筐白菜重38千克，筐重2.5千克。例10：思路:1,若甲乙工作能力相等，则在八天内，每人每天完成十六分之一：乙在八天里完成工作总量的十六分之八。2,乙丙合作时，若乙工作能力不变，则乙在九天里完成工作总量的十六分之九。那么，丙在九天里完成了工作总量的十六分之七。3,设工作总量为1。依题意列式：9+(1-9/16)=20.67(天)答：丙单独做20.67天完成。例11：算式：45-28=1745-35=1045-37=845-40=545-(17+10+8+5)=5(人)45-28表示班里有多少人不学钢琴；48-35表示有多少人不学电脑；45-37表示有多少人不学美术；45-40表示多少人不学奥数。17、10、8、5表示有多少人不可能学四项，用四十五一减既能求出有多少人学四项。

45例12：7天就完成了，那么这七天多做了3*7=21道题目也就是原来的(8-7)=1一天做了21道题目则数学作业共有道题21*8=168设原来每天做X题X*8=(X+3)*78*(3*7)=168设计划每天做x道题8x=7(x+3)x=2121乘8=168解：设数学作业共有x道题。x/8+3=x/7168+7x=8xx=168答：数学作业共有168道题.设总共有x道题，每天做y道。8*y=x,(y+3)*7=x.所以：(y+3)*7=8*y解得x=168y=21解：设小明原计划每天做x道题。8x=7(x+3)解得：x=21所以共有8*21=168道题设每天做x道8x=7*(x+3)x=21共168算术法：计划每天完成：(3X7)4-(8-7)=21道数学作业共有：21X8=168道方程法：设小明计划每天做X道，则实际每天做(X+3)道8X=7(X+3)8X=7X+218X-7X=21X=21数学作业共有：21X8=168道