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一、最值问题解法举例一、枚举法例1一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？（北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题）分析与解开第一把锁，按最坏情况考虑试了3把还未成功，则第4把不用试了，它一定能打开这把锁，因此需要3次。同样的道理开第二把锁最多试2次，开第三把锁最多试1次，最后一把锁则不用再试了。这样最多要试的次数为：3+2+1=6（次）。二、综合法例2x3=84A（x、A均为自然数）。A的最小值是«（1997年南通市数学通讯赛试题）分析与解根据题意，84A开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解质因数，得84=2X2X3X7,因此x'=2X2X3X7XA,其中A的质因数至少含有一个2、两个3、两个7,才能满足上述要求。即A的最小值为（2X3X3X7X7=）882。三、分析法例3一个三位数除以43,商是a,余数是b,（a、b均为自然数），a+b的最大值是多少？（广州市五年级数学竞赛试题）分析与解若要求a+b的最大值，我们只要保证在符合题意之下，a、b尽可能大。由乘除法关系得43a+b=一个三位数因为b是余数，它必须比除数小，即b<43b的最大值可取42。根据上面式子，考虑到a不能超过23。（因为24X43>1000,并不是一个三位数）当a=23时，43X23+10=999,此时b最大值为10.当a=22时，43X22+42=988,此时b最大值为42。显然，当a=22,b=42时，a+b的值最大，最值为22+42=64。四、公式法例4两个自然数的和为18,那么，这两个自然数的积的最大值为多少？（广州市小学数学竞赛试题）分析与解设两个正数分别为a、b,它们有以下几种关系，a+b》2J不或ab4（乎）,即当和一定时，积有最大值、积一定时，和有最小12/值，运用此公式，本题迎刃而解。abC其中a+b=18所以，2匕<（同2=81（其中a=9,b=9取最大值）即这两个自然数的积的最大值为81,五、图表法例5某公共汽车从起点站开往终点站，中途共有9个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中从这一站到以后的每一站正好各有一位乘客上下车。为了使每位乘客都有座位。那么这辆汽车至少应有座位多少个？
1分析与解根据题意，每站下车的乘客数最少要等于该站后面的车站数，列表如下:站次起点2345678910终点上车人数10987654321/下车人数12345678910从表中可以看出，车上乘客最多时，是在第五站乘客上下车后的人数，此时人数为(10+9+8+7+6)-(1+2+3+4)=30(人)所以这辆汽车至少应有座位30个。最大最小问题，涉及面广，判断最值的方法较多，上面所列举的仅是几种常见的解题方法。二、比和比例应用题错解例析例1某车间要加工2220个零件，单独做，甲、乙、丙三人所需工作时间的比是4：5：6。现在由三人共同加工，问完成任务时，三人各加工了多少个？错解由甲、乙、丙三人单独做所需工作时间的比是4：5：6,推出甲、乙、丙三人工作效率的比是6：5：4,用按比例分配的思路解。甲加工乙加工丙加工66/人、2220X=2220X—=888（个）6+5+41555,人、2220X=2220X7T=740（个）6+5+4152200X=2200XA=592（个）7+5+415评析上述解答错在把甲、乙、丙三人工作效率的比看成是6：5：4。诚然，如果甲、乙二人工作时间的比是4：5,那么，甲、乙二人工作效率的比就是5：4,这是正确的。但是，把甲、乙、丙三人工作时间的连比是4：5：6转化成甲、乙、丙三人工作效率的连比是6：5：4,那就大错了！不错，工作效率的比等于工作时间比的反比。从已知条件看，甲、乙二人工作时间的比是4：5,所以，甲、乙二人工作效率的比是5：4；乙、丙二人工作时间的比是5：6,所以，乙、丙二人工作效率的比是6：5。这里的“5：4"表示甲5份，乙4份，“6：5”表示乙6份，丙5分，两个比都是两重相比，其中同样表示“乙”有几份的数在前后两个比中并不相同，我们怎么能将这两个比直接变成甲、乙、丙三人工作效率的连比呢？显然，上述解答中把甲、乙、丙三人工作效率的连比看成是6：5：4,是错误的。—•—•—=15•12•10«正确的解答应当是：甲、乙、丙三人工作效率的比=456甲加工2220X——――=2220X—=900（个）1212乙加工2220X――——=2220X—=720（个）丙加工2220X__22__=2220X^-=600（个）容易看出，因为5：4=15：12,6：5=12：10,所以，由上述“甲、乙二人工作效率的比是5：4,乙、丙二人工作效率的比是6：5”，也可以得到甲、乙、丙三人工作效率的比是是15：12：10.例2有两瓶同样重的盐水，甲瓶盐水盐与水重量的比是1：8,乙瓶盐水盐与水重量的比是1：5.现将两瓶盐水并在一起，问在混合后的盐水中盐与水重量的比是多少？
2错解认为在甲瓶盐水中，盐的重量是“1”，水的重量是“8”，在乙瓶盐水中，盐的重量是“1”，水的重量是“5”，于是，将两瓶盐水并在一起，便得到盐的重量是(1+1=)2,水的重量是(8+5=)13o(1+1)：(8+5)=2：13答：在混合后的盐水中盐与水重量的比是2：13。评析上述解答的主要错误是把两种物质重量的最简比，看成了就是两种物质具体重量的比。甲瓶盐水盐与水重量的比是1：8,不等于说在这瓶盐水中盐的重量是1千克，水的重量是8千克，乙瓶的情况也是一样。从已知条件可以看出，在甲瓶盐水中，盐有1份，水有8份，盐和水一共有(1+8=)9(份)，在乙瓶盐水中，盐有1份，水有5份，盐和水一共有(1+5=)6(份)。因为两瓶盐水是“同样重”，但甲瓶有9份，乙瓶只有6份，所以，可见两瓶盐水中每“1份”的重量有多少是不相同的。上述解答简单地将两瓶盐水中每份重量不同的盐和水的份数分别相加，然后再将两个“和”组成一个比，便造成了解答的错误。正确的解答是:1：8=2：16,2+16=18；1：5=3：15,3+15=10。(2+3)：(16+15)=5：31答：在混合后的盐水中盐与水重量的比是5：31。第三讲数论的方法技巧之一小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有：1.带余除法：若a,b是两个整数，b>0,则存在两个整数q,r,使得a=bq+r(0 3画便］回国解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a3,a2,al,a0,则这个四位数可以写成lOOOa3+lOOa2+lOai+ao,它的各位数字之和的10倍是10(a3+a2+ai+ao)=10a3+10a2+10ai+10a0,这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是990a3+90a2-9a0=1998,110a3+10a2-aO=222o比较上式等号两边个位、十位和百位，可得ao=8,a2=l,a3=2o所以红色卡片上是2,黄色卡片上是1,蓝色卡片上是8。例2在一种室内游戏中，魔术师要求某参赛者想好一个三位数友，然后，魔术师再要求他记下5个数藐，说，而，诬，并把这5个数加起来求出和N。只要参赛者讲出N的大小，魔术师就能说出原数诙是什么。如果N=3194,那么近是多少？解：依题意，得acb+bac+bca+cab+cba=3194。等号两边同时加上忘，得222(a+b+c)=3194+abc,222(a+b+c)=222X14+86+abc。由此推知诙'+86是222的倍数，且a+b+c>14。设abc+86=222n,考虑到ab溪:三位数，依次取n=l,2,3,4,分别得出荻的可能值为136,358,580,802,再结合a+b+c>14,可知原三位数abc=358。说明：求解本题所用的基本知识是，正整数的十进制表示法和最简单的不定方程。例3从自然数1,2,3,…，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？解：设a,b,c,d是所取出的数中的任意4个数，则a+b+c=18m,a+b+d=18n,其中m,n是自然数。于是c-d=18(m-n)。上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同。设这个余数为r,则a=18ai+r,b=18bi+r,c=18ci+r, 4其中ai,bi,ci是整数。于是a+b+c=18(ai+bi+ci)+3r«因为18(a+b+c),所以18|3r,即6|r,推知r=0,6,12。因为1000=55X18+10,所以，从1,2,…，1000中可取6,24,42,…，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除。例4求自然数N,使得它能被5和49整除，并且包括1和N在内，它共有10个约数。解：把数N写成质因数乘枳的形式N=2'1X35X5,X7%X…P：由于N能被5和72=49整除，故a32l,a422,其余的指数ak为自然数或零。依题意，有(ai+1)(a2+l)…(an+1)=10»由于a3+l22,a4+l23,且10=2*5,故ai+l=a2+l=a5+l=".=an+]=],即ai=a2=a5="an=0,N只能有2个不同的质因数5和7,因为a4+l23>2,故由(a3+l)(a4+l)=10知，a3+l=5»a4+l=2是不可能的。因而a3+l=2,a4+l=5,KPN=5!'X75-5X7,=120051.例5如果N是1,2,3,…，1998,1999,2000的最小公倍数，那么N等于多少个2与1个奇数的积？解：因为2吐1024,2"=2048>2000,每一个不大于2000的自然数表示为质因数相乘，其中2的个数不多于10个，而1024=2、所以，N等于10个2与某个奇数的积。说明：上述5例都是根据题目的自身特点，从选择恰当的整数表示形式入手，使问题迎刃而解。二、枚举法枚举法(也称为穷举法)是把讨论的对象分成若干种情况(分类)，然后对各种情况逐一讨论,最终解决整个问题。运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。例6求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。分析与解：三位数只有900个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x,y,z.由于任何数除以11所得余数都不大于10,所以X2+y2+Z2W10,从而l《xW3,0Wy<3,0WzW3。所求三位数必在以下数中：100,101,102,103,110,111,112,120,121,122,130,200,201,202,211,212,220,221,300,301,310。不难验证只有100,101两个数符合要求。例7将自然数N接写在任意一个自然数的右面(例如，将2接写在35的右面得352),如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数。问：小于2000的自然数中有多少个魔术数？解：设P为任意一个自然数，将魔术数N(N<2000)接后得函，下面对N为一位数、两位数、三位数、四位数分别讨论。(1)当N为一位数时，PN=10P+N,依题意N]函，则N]10P,由于 5需对任意数P成立，故NJ】。，所以N=l，2,5；(2)当地两位数时，PN=100P+N,依题意N]函，贝UN]100P,故N|100,所以N=10,20,25,50；(3)当讷三位数时，PN=1000P+N,依题意N]函，则N]1000P,故NI1000,所以N=100,125,200,250,500；(4)当N为四位数时，同理可得N=1000,1250,2000,2500,5000«符合条件的有为00,1250。综上所述，魔术数的个数为14个。说明：(1)我们可以证明：k位魔术数一定是10k的约数，反之亦然。(2)这里将问题分成几种情况去讨论，对每一种情况都增加了一个前提条件，从而降低了问题的难度，使问题容易解决。例8有3张扑克牌，牌面数字都在10以内。把这3张牌洗好后，分别发给小明、小亮、小光3人。每个人把自己牌的数字记下后，再重新洗牌、发牌、记数，这样反复几次后，3人各自记录的数字的和顺次为13,15,23o问：这3张牌的数字分别是多少？解：13+15+23=51,51=3X17。因为17>13,摸17次是不可能的，所以摸了3次，3张扑克牌数字之和是17,可能的情况有下面15种：①1,6,10②1,7,9③1,8,8④2,5,10⑤2,6,9⑥2,7,8⑦3,4,10⑧3,5,9⑨3,6,8⑩3,7,7(11)4,4,9(12)4,5,8(13)4,6,7(14)5,5,7(15)5,6,6只有第⑧种情况可以满足题目要求，即3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23»这3张牌的数字分别是3,5和9。例9写出12个都是合数的连续自然数。分析一：在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90,91,92,93,94,95,96。我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了。解法1：用筛选法可以求得在113与127之间共有12个都是合数的连续自然数：114,115,116,117,118,119,120,120,122,123,124,125,126。分析二：如果12个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数……第12个是13的倍数，那么这12个数就都是合数。又m+2,m+3,…，m+13是12个连续整数，故只要m是2,3,13的公倍数，这12个连续整数就一定都是合数。解法2：设m为2,3,4,…，13这12个数的最小公倍数。m+2,m+3,m+4,…，m+13分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数……13的倍数，因此12个数都是合数。说明:我们还可以写出13!+2,13!+3,…，13!+13 6(其中n!=1X2X3X-Xn)这12个连续合数来。同样，(m+1)!+2,(m+1)!+3,…，(m+1)!+m+l是m个连续的合数。三、归纳法当我们要解决一个问题的时候，可以先分析这个问题的几种简单的、特殊的情况，从中发现并归纳出一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径。这种从特殊到一般的思维方法称为归纳法。例10将100以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下5项工作叫做一次操作：(1)将左边第一个数码移到数字串的最右边；(2)从左到右两位一节组成若干个两位数：(3)划去这些两位数中的合数；(4)所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；(5)所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。问：经过1999次操作，所得的数字串是什么？解：第1次操作得数字串711131131737；第2次操作得数字串11133173；第3次操作得数字串111731；第4次操作得数字串1173；第5次操作得数字串1731；第6次操作得数字串7311；第7次操作得数字串3117；第8次操作得数字串1173。不难看出，后面以4次为周期循环，1999=4X499+3,所以第1999次操作所得数字串与第7次相同,是3117。例11有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？分析与解：可以从简单的不失题目性质的问题入手，寻找规律。列表如下：卡片总数1234567891011121314151617・・・剩下第几张122424682468101214162・・・设这一摞忤片的张数为N,观察上表可知：(1)当N=2*(a=0,1,2,3,•••)时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的最后一张，即第2张;(2)当N=2，+m(m<20时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第2m张。取N=100,因为100=2叶36,2X36=72,所以剩F这张卡片是原来那一摞卡片的第72张。说明：此题实质上是著名的约瑟夫斯问题：传说古代有一批人被蛮族俘虏了，敌人命令他们排成圆圈，编上号码1,2,3,…然后把1号杀了，把3号杀了，总之每隔一个人杀一个人，最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫斯。如果这批俘虎有111人，那么约瑟夫斯的号码是多少？例12要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个祛码？这些祛码的重量分别是多少？分析与解：一般天平两边都可放硅码，我们从最简单的情形开始研究。(1)称重1克，只能用一个1克的祛码，故1克的一个技码是必须的。 7(2)称重2克，有3种方案：①增加一个1克的祛码：②用一个2克的祛码；③用一个3克的祛码，称重时，把一个1克的磋码放在称重盘内，把3克的祛码放在祛码盘内。从数学角度看，就是利用3-1=2。(3)称重3克，用上.面的②③两个方案，不用再增加住码，因此方案①淘汰。(4)称重4克，用上面的方案③，不用再增加祛码，因此方案②也被淘汰。总之，用1克、3克两个祛码就可以称出(3+1)克以内的任意整数克重。(5)接着思索可以进行一次飞跃，称重5克时可以利用9-(3+1)=5,即用一个9克重的祛码放在祛码盘内，1克、3克两个祛码放在称重盘内。这样，可以依次称到1+3+9=13(克)以内的任意整数克重。而要称14克时，按上述规律增加一个祛码，其重为14+13=27(克)，可以称到1+3+9+27=40(克)以内的任意整数克重。总之，祛码的重量为1,3,3、3,克时，所用祛码最少，称重最大，这也是本题的答案。这个结论显然可以推广，当天平两端都可放祛码时，使用1,3,32,于“克硅码可以称出1,2,3,…，：(3*1)克重的重量。这是使用祛码最少、称重最大的祛码重量设计方案。第四讲数论的方法技巧之二四、反证法反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。反证法的过程可简述为以下三个步骤：1.反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立；2.归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；3.结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。运用反证法的关键在于导致矛盾。在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。例1是否存在三位数abc,使得abc=ab+bc+ac?解：如果存在这样的三位数，那么就有100a+10b+c=(10a+b)+(10b+c)+(10a+c)«上式可化简为80a=b+c.而这显然是不可能的，因为ael,bW9,c<9。这表明所找的数是不存在的。说明：在证明不存在性的问题时，常用反证法：先假设存在，即至少有一个元素，它符合命题中所述的一切要求，然后从这个存在的元素出发，进行推理，直到产生矛盾。例2将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。解：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数。在如下式所示的加法算式中，末一列数字的和d+a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b+cW9。将已知数的前两位数字a,b与末两位数字c,d去掉，所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质。照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾。故和的数字中必有偶数。 8ab…cd4-de…ba说明：显然结论对(4k+l)位数也成立。但对其他位数的数不一定成立。如12+21,506+605等。例3有一个魔术钱币机，当塞入1枚1分硬币时，退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时，退出4枚1角硬币：当塞入1枚1角硬币时，退出3枚1分硬币。小红由1枚1分硬币和1枚5分硬币开始，反复将硬币塞入机器，能否在某一时刻，小红手中1分的硬币刚好比1角的硬币少10枚？解：开始只有1枚1分硬币，没有1角的，所以开始时1角的和1分的总枚数为0+1=1,这是奇数。每使用一次该机器，1分与1角的总枚数记为Q。下面考查Q的奇偶性。如果塞入1枚1分的硬币，那么Q暂时减少1,但我们取回了1枚1角的硬币(和1枚5分的硬币)，所以总数Q没有变化；如果再塞入1枚5分的硬币(得到4枚1角硬币)，那么Q增加4,而其奇偶性不变；如果塞入1枚1角硬币，那么Q增加2,其奇偶性也不变。所以每使用一次机器,Q的奇偶性不变，因为开始时Q为奇数，它将一直保持为奇数。这样，我们就不可能得到1分硬币的枚数刚好比1角硬币数少10的情况，因为如果我们有P枚1分硬币和(P+10)枚1角硬币，那么1分和1角硬币的总枚数为(2P+10),这是一个偶数。矛盾。例4在3X3的方格表中已如右图填入了9个质数。将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数称为一次操作。问：你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗？为什么？解：因为表中9个质数之和恰为100,被3除余1,经过每一次操作，总和增加3的倍数，所以表中9个数之和除以3总是余1。如果表中9个数变为相等，那么9个数的总和应能被3整除，这就得出矛盾！所以，无论经过多少次操作，表中的数都不会变为9个相同的数。五、构造法构造法是一种重要的数学方法，它灵活多样，数论中的许多问题都可以通过构造某些特殊结构、特殊性质的整数或整数的组合来解决。例599”和99!能否表示成为99个连续的奇自然数之和？解:99”能。因为99"等于99个99”之和,所以可以直接构造如下：9999=(99"~98)+(99"-96)+…+=(99^-2)+99计(99^+2)+—+=(99'+96)+(99-,+98).99!不能。因为99!为偶数，而99个奇数之和为奇数，所以99!不能表示为99个连续奇数之和。说明：利用构造法证明存在性问题，只要把满足题设要求的数学对象构造出来就行。例6从1,2,3,…，999这999个数中，要求划去尽量少的数，使得余下的数中每一个数都不等于另外两个数的乘积。应划去哪些数？解：我们可划去2,3,…，30,31这30个数，因为划去了上述这30个数之后，余下的数中，除1以外的任何两个数之积将大于32。=1024>999。另一方面，可以通过构造三元数组来证明30是最少的个数。(2,61,2X61),(3,60,3X60),(4,59,4X59),…，(30,33,30X33),(31,32,31X32)。 9上面写出的这些数都是互不相同的，并且这些数中的最大数为31X32=992。如果划去的数少于30个，那么上述三元数组至少剩下一个，这样就不满足题设条件。所以，30是最少的个数。六、配对法配对的形式是多样的，有数字的凑整配对，也有集合间元素与元素的配对(可用于计数)。传说高斯8岁时求和(1+2+…+100)首创了配刻。像高斯那样，善于使用配对技巧，常常能使•些表面上看来很麻烦，甚至很棘手的问题迎刃而解。例7求1,2,3,…，9999998,9999999这9999999个数中所有数码的和。解：在这些数前面添一个数0,并不影响所有数码的和。将这1000万个数两两配对，因为。与9999999,1与9999998,…,4999999与5000000各对的数码和都是9X7=63。这里共有5000000对，故所有数码的和是63X5000000=315000000..例8某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号。若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”。例如号码0734,因0+7=3+4,所以这个号码的购物券是幸运券。试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。解：显然，号码为9999的是幸运券，除这张幸运券外，如果某个号码n是幸运券，那么号码为m=9999-n的购物券也是幸运券。由于9999是奇数，所以mHn。由于m+n=9999,相加时不出现进位，所以除去号码是9999这张幸运券之外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999,即所有幸运券号码之和是9999的倍数。因为9999=99X101,所以所有幸运券号码之和能被101整除。例9已知最简分数巴可以表示成：nm«111—=1+-+-+…+—On2388试说明分子m是质数89的倍数。解法一：仿照高斯求和(1+2+3+…+n)的办法，将和的各项顺序倒过来再写一遍，即1,11,,m888786n①②两式相加，得双X包+3_+…+竺=细882X873X8688n从而2mX88!=89Xk(k是正整数),因为89为奇质数，所以89不能整除88!,从而89|m。解法二：作配对处理 10将括号内的分数进行通分，其公分母为1X88X2X87X3X86X…X44X45=88!,故巴=的X袅（q是正整数），n88!从而mX88!=89Xk（k=nXq）。因为89为奇质数，所以89不能整除88!,从而89E。七、估计法估计法是用不等式放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，以获取有关量的本质特征，达到解题的目的。在数论问题中，一个有限范围内的整数至多有有限个，过渡到整数，就能够对可能的情况逐一检验，以确定问题的解。例10已知一个整数等于4个不同的形如上一（m是整数）的真分数之和，m+1求这个数，并求出满足题意的5组不同的真分数。解：因每一真分数满足1rm<1,2m+1推知S=3。于是可得如下5组不同而所求的数整S是四个不同的真分数之和，因此2Vs<4,的真分数：T2641,(23742JT2914'1231015],135111.2*4*6*12J,12723,(23824J13419,24520J例11已知在乘积1X2X3X…Xn的尾部恰好有106个连续的零，求自然数n的最大值。分析：若已知n的具体数值，求1X2X…Xn的尾部零的个数，则比较容易解决，现在反过来知道尾部零的个数，求n的值，不大好处理，我们可以先估计n大约是多少，然后再仔细确定n的值。解：当n=400时，数1,2,3,…，400中共有［竽=80个数是5的倍数，其中有等=16个数是外的倍数，有［等］=3个数是53的倍数。因此，乘积1X2X3X…X400中含质因数5的个数为80+16+3=99（个）。又乘积中质因数2的个数多于5的个数，故n=400时，1X2X…Xn的尾部有99个零，还需7个零，注意到425中含有2个质因数5,所以当n=430时,1X2X…Xn的尾部有106个零；当n=435时，1X2X…Xn的尾部有107个零。因此，n的最大值为434。 11四、表针追及问题分析时针12时整，时针和分针重合，问经过多长时间两针又重合呢？”一般可根据“1分，分针比时针多转动的角度数”和“1时，分针比时针多走的圈数”给出两种解答的方法。在此，我们用高观点来分析这道题。我们把时针12时整，时针和分针重合，看作它们相距一周，也就是分针60分的距离，两针再次重合，就可以看成是分针“追赶”时针的问题。分针先走完一-圈，所需时间为60分，由于分针的速度是时针速度的12倍，这时时针又向前走了“相当于”分针患分（即5分）的路程，分针要“追”上时针，分针又必须走完这5分的路程，而这时时针又向前走了“相当于”分针墨分的路程；分针要追上时针，又必须走完笛的路程……。以此类推，分针“追上”时针，亦即两针再次重合所需的时间，就是分针走完各段所需的时间组成的一个无穷等比数列：60,称，熊……各项的和，而其和为S=T、=-A~=651■分。因此两针再次重合需要652分的时间。1-q111112第五讲整数问题之一整数是最基本的数，它产生了许多有趣的数学问题.在中、小学生的数学竞赛中，有关整数的问题占有重要的地位.我们除了从课本上学习整数知识以外，还必须通过课外活动来补充一些整数的知识，以及解决问题的思路和方法。对于两位、三位或者更多位的整数，有时要用下面的方法来表示：49=4X10+9,235=2X100+3X10+5,7064=7X1000+6X10+4,有时我们用字母a,b,…表示数字.例如，abcde是一个五位数,也就是^d?=aX10000+bX1000+cX100+dX10+e一、整除整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b,商是整数且余数为0,我们就说a能被b整除，或b能整除a,或b整除a,记作bIa.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数.1.整除的性质性质1如果a和b都能被m整除，那么a+b,a-b也都能被m整除（这里设&b）.例如：3I18,3I12,那么3I（18+12）,3I（18-12）.性质2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。例如：3|6,6|24,那么3|24.性质3如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除.例如：6|36,9|26,6和9的最小公倍数是18,18|36.如果两个整数的最大公约数是1,那么它们称为互质的.例如：7与50是互质的，18与91是互质的. 12性质4整数a,能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被bXc整除.例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72能被3与4的乘积12整除.性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2.性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互质，它们的最小公倍数是bXc.事实上，根据性质4,我们常常运用如下解题思路：要使a被bXc整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除.能被2,3,4,5,8,9,11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.1.数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除.（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5,那么它必能被5整除.（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除.例1四位数五而能被18整除，要使这个四位数尽可能的小，/叱是什么数字？解：18=2X9,并且2与9互质，根据前面的性质4,可以分别考虑被2和9整除.要被2整除，b只能是0,2,4,6,8.再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.如果b=0,只有a=7,此数是7740：如果b=2,只有a=5,此数是7542；如果b=4,只有a=3,此数是7344；如果b=6,只有a=l,此数是7146；如果b=8,只有a=8,此数是7848.因此其中最小数是7146.根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型.例2一本老账本上记着：72只桶，共口67.9口元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.解：把口67.9□写成整数679,它应被72整除.72=9X8,9与8又互质.按照前面的性质4, 13只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整除，因此b=2.从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因此a=3.这笔帐是367.92元.例3在1,2,3,4,5,6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数(有些数字可以重复出现)，使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.解：如果选数字5,组成数的最后一位数字就必须是5,这样就不能被偶数2,4,6整除，也就是不能选2,4,6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5,而选其他五个数字1,2,3,4,6.1+2+3+4+6=16,为了能整除3和6,所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2,16+2=18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是122364.例4四位数7口4口能被55整除，求出所有这样的四位数.解：55=5X11,5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.要被5整除，个位数只能是0或5.再考虑被11整除.(7+4)-(百位数字+0)要能被11整除，百位数字只能是0,所得四位数是7040.(7+4)-(百位数字+5)要能被11整除，百位数字只能是6(零能被所有不等于零的整数整除)，所得四位数是7645.满足条件的四位数只有两个：7040,7645.例5一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？解：为了使这个数最大，先让前五位是98765,设这个七位数是98765ab,要使它被11整除，要满足(9+7+5+b)-(8+6+a)=(21+b)-(14+a)能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0,1,2,3,4中的两个数，只有b=4,a=0,满足条件的最大七位数是9876504.再介绍另一种解法.先用各位数字均不相同的最大的七位数除以H(参见下页除式).要满足题目的条件，这个数是9876543减6,或者再减去11的倍数中的一个数，使最后两位数字是0,1,2,3,4中的两个数字.89786711/9876543/88Tor9986779588U668377643-6=37,37-11=26,26-11=15,15-11=4,因此这个数是9876504.思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？（答：1023495）例6某个七位数1993口口口能被2,3,4,5,6,7,8,9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？与上例题一样，有两种解法.解一：从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是0. 14另外，只要再分别考虑它能被9,8,7整除.1+9+9+3=22,要被9整除，十位与百位的数字和是5或14,要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：1993500,1993320,1993680,其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320.解二：直接用除式来考虑.2,3,4,5,6,7,8,9的最小公倍数是2520,这个七位数要被2520整除.现在用1993000被2520来除，具体的除式如下：792520/1993000/176402290022680~2200-因为2520-2200=320,所以1993000+320=1993320能被2520整除.例7下面这个41位数20个520个9能被7整除，中间方格代表的数字是几？解：因为111111=3X7X11X13X37,所以555555=5X111111和999999=9X111111都能被7整除.这样，18个5和18个9分别组成的18位数，也都能被7整除.原数二p•夕噂产+55099叩…g+罟”学18个523个0larfo18海右边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只要中间的55口99能被7整除，原数就能被7整除.把55口99拆成两个数的和：55A00+B99,其中口=人+8.因为7|55300,7|399,所以口=3+3=6.注意，记住111111能被7整除是很有用的.例8甲、乙两人进行下面的游戏.两人先约定一个整数N.然后，由甲开始，轮流把0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字之一填入下面任一个方格中每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字(数字可重复)后，就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除，就算乙胜：如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜.如果N小于15,当N取哪几个数时，乙能取胜？解：N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数(六位数的个位)，就使六位数不能被N整除，乙不能获胜.N=5,甲可以在六位数的个位，填一个不是0或5的数，甲就获胜.上面已经列出乙不能获胜的N的取值.如果N=l,很明显乙必获胜.如果N=3或9,那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成3的整数倍或9的整数倍.因此，乙必能获胜.考虑N=7,11,13是本题最困难的情况.注意到1001=7X11X13,乙就有一种必胜的办法.我 15们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2,这个六位数，能被7,11或13整除，乙就能获胜.综合起来，使乙能获胜的N是1,3,7,9,11,13.记住，1001=7X11X13,在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的.二、分解质因数一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数(也叫素数).例如，2,5,7,101,个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4,12,99,501,….1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.质数中只有一个偶数，就是2,其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15,33,….例9O+(□+△)=209.在O、口、△中各填一个质数，使上面算式成立.解：209可以写成两个质数的乘积，即209=11X19.不论。中填11或19,口+△一定是奇数，那么口与△是一个奇数一个偶数，偶质数只有2,不妨假定△内填2.当。填19,口要填9,9不是质数，因此。填11,而口填17.这个算式是11X(17+2)=209,11X(2+17)=209.解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容.一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2,3,7,都是42的质因数,6,14也是42的因数，但不是质因数.任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如360=2X2X2X3X3X5.还可以写成360=2叹片><5.这里2,表示3个2相乘，3?表示2个3相乘.在2,中，3称为2的指数，读作2的3次方，在3?中，2称为3的指数，读作3的2次方.例10有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040,那么，他们的年龄各是多少？解：我们先把5040分解质因数5040=2'X32X5X7.再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：2'X32X5X7=7X8X9X10.所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数(包括1和它本身).为寻求--般方法，先看一个简单的例子.我们知道24的约数有8个：1,2,3,4,6,8,12,24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.因为24=2，X3,所以24的约数是2)的约数(1,2,2、2、)与3的约数(1,3)之间的两两乘积.1X1,1X3,2X1,2X3,22X1,22X3,23X1,2jX3.这里有4X2=8个，即(3+1)X(1+1)个，即对于24=2'X3中的有(3+1)种选择：1,2,22,23,对于3有(1+1)种选择.因此共有(3+1)X(1+1)种选择.这个方法，可以运用到一般情形，例如， 16144=2'X3?.因此144的约数个数是(4+1)X(2+1)=15(个).例11在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数.解：有8=7+1；8=(3+1)X(1+1)两种情况.(1)27=128,符合要求，37>150,所以不再有其他7次方的数符合要求.(2)23=8,8X13=104,8X17=136,符合要求.3'=27：只有27X5=135符合要求.6=135,它乘以任何质数都大于150,因此共有4个数合要求：128,104,135,136.利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如720=2'X32X5,168=23X3X7.那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2,较低指数次方是2*类似地都含有3,因此720与168的最大公约数是2JX3=24.在求最小公倍数时,很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5,而168中无5,可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是2'X32X5X7=5040.例12两个数的最小公倍数是180,最大公约数是30,已知其中一个数是90,另一个数是多少？解：180=22X32X5,30=2X3X5.对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从才与2就知道，一数中含2、另一数中含2；从3,与3就知道，一数中含3、另一数中含3,从一数是就知道另一数是22X3X5=60.还有一种解法：另--数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找30,60,90,120,….这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180,最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力.例13有-一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？解：把420分解质因数420=2X2X3X5X7.为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2）,要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是1,3,4,5,1,12,15,20.分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是134571215204201140*105'84'60'35'28'21 17从小到大排列中第三个是总.两个整数，如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.例13实质上是把420分解成两个互质的整数.利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的乘积，是非常基本又是很有用的方法，再举三个例题.例14将8个数6,24,45,65,77,78,105,110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组.解：要想每组4个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数.6=2X3,24=2,3,45=3ZX5,65=5X13,77=7X11,78=2X3X13,105=3X5X7,110=2X5X11.先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使第二组里也有三个2的因子，必须把6,78,110放在第二组中，为了平衡质因数11和13,必须把77和65放在第一组中.看质因数7,105应放在第二组中，45放在第•组中，得到第一组：24,65,77,45.第二组:6,78,110,105.在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词一完全平方数.一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数.例如：4=2X2,9=3X3,144=12X12,625=25X25.4,9,144,625都是完全平方数.一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数.例如：144=32X4\100=22X52,…例15甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800,那么甲数和乙数分别是多少？ 18解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.2800=2'X52X7.在它含有的约数中是完全平方数，只有1,22,2',52,22X52,2'X52.在这6个数中只有22X52=100,它的约数是（2+1）X（2+1）=9（个）.2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100=22X5、因此乙数至少要含有2'和7,而2'X7=112恰好有（4+1）X（1+1）=10（个）约数，从而乙数就是112.综合起来，甲数是100,乙数是112.例16小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？解：35=5X7.红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），也不能是17-5=12（元）和17-7=10（元），否则另一种笔1支是5元或7元.记住：对笔价来说，已排除了5,7,10,12这四个数.笔价不能是35-17=18（元）的约数.如果笔价是18的约数，就能把18元恰好都买成笔，再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是18的约数：1,2,3,6,9.当然也不能是17是=16,17-2=15,17-3=14,17-6=11,17-9=8.现在笔价又排除了：2,2,3,6,8,9,11,14,15,16.综合两次排除，只有4与13未被排除，而4+13=17,就知道红笔每支13元，蓝笔每支4元三、余数在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如95+3,48+5.不能整除就产生了余数.通常的表示是：654-3=212,384-5=73.上面两个算式中2和3就是余数，写成文字是被除数+除数=商……余数.上面两个算式可以写成65=3X21+2,38=5X7+3.也就是被除数=除数X商+余数.通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的.特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据.例175397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.解：这个质数能整除5397-15=5382,而5382=2X31997X13X23.因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23.当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，从而得到余数.例18求645763除以7的余数.解：可以先去掉7的倍数630000余15763,再去掉14000还余下1763,再去掉1400余下363,再去掉350余13,最后得出余数是6.这个过程可简单地记成645763fl5763—1763f363f13f6. 19如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：645763fl5000—1000-6.带余除法可以得出下面很有用的结论：如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.例19有一个大于1的整数，它除967,1000,2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？解：由上面的结论，所求整数应能整除967,1000,2001的两两之差，即1000-967=33=3X11,2001-1000=1001=7X11X13,2001-967=1034=2X11X47.这个整数是这三个差的公约数11.请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.例如,求出差1000求67与2001-1000,那么差2001-967=(2001-1000)+(1000-967)=1001+33=1034.从带余除式，还可以得出下面结论：甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.例如，57被13除余5,152被13除余9,那么57+152=209被13除，余数是5+9=14被13除的余数1.例20有一串数排成一行，其中第一个数是15,第二个数是40,从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3,就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个数被3除的余数,列表如下：数的序号一二三四五-X.七八九十被3除余数0112022101从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为1998=8X249+6,所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制.计算钟点是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.这十二个数构成一个循环.按照七天一轮计算天数是日，一，二，三，四，五，六.这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数0,1,2,3,4,5,6的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事.循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的循环，就说周期是12,7个数的循环，就说周期是7.例20中余数的周期是8.研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有趣的事. 20下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论：甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.例如，37被11除余4,27被11除余5,37X27=999被11除的余数是4X5=20被11除后的余数9.1997=7X285+2,就知道1997X1997被7除的余数是2X2=4.例2119.被7除余几？解：从上面的结论知道，19,被7除的余数与2'项被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘，被7除的余数.先写出一列数2,2X2=4,2X2X2=8,2X2X2X2=16,….然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律.列表如下：数的序号—*二三四五六七A数248163264128256被7除的余数24124124事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2,再被7除，就可以得到后一个数被7除的余数.（为什么？请想一想.）从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2.根据上面对余数的计算，就知道,第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是3.1997=3X665+2.就知道2咧被7除的余数，与2的被7除的余数相同，这个余数是4.再看一个稍复杂的例子.例2270个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：0,1,3,8,21,55,….问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数：3=IX3-0,8=3X3-1,21=8X3-3,55=21X3-8,不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，那就太麻烦了.能否从前面的余数，算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？），从第三个数起，余数的计算办法如下：将前一个数的余数乘3,减去再前一个数的余数，然后被6除，所得余数即是.用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下:数的序号一二三四五六七八九十十一十二十三十四数01382155144377-被6除的余数01323105343501 21注意，在算第八个数的余数时，要出现0X3-1这在小学数学范围不允许，因为我们求被6除的余数，所以我们可以0X3加6再来减1.从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就知道余数的循环周期是12.70=12X5+10.因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是4.在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个数.这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的.这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法.例23有一个数，除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：1,5,8,11,14,17,20,23-.它们除以12的余数是：2,5,8,11,2,5,8,11,….除以4余1的数有：1,5,9,13,17,21,25,29,….它们除以12的余数是：1,5,9,1,5,9,一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.上面解法中，我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被4除余1的整数，然后逐个考虑被12除的余数，找出两者共同的余数，就是被12除的余数.这样的列举的办法，在考虑的数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的.如果我们把例23的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12X整数，整数可以取0,1,2,…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2,除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例24一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的最小数.解：先列出除以3余2的数：2,5,8,11,14,17,20,23,26,…，再列出除以5余3的数：3,8,13,18,23,28,….这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是 228+15X整数，列出这一串数是8,23,38,…，再列出除以7余2的数2,9,16,23,30,…，就得出符合题目条件的最小数是23.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.最后再看一个例子.例25在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除,最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数.解：先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10,下一个连续的自然数是11.3和5的最小公倍数是15,考虑11加15的整数倍，使加得的数能被7整除.11+15X3=56能被7整除，那么54,55,56这三个连续自然数，依次分别能被3,5,7整除.为了满足“在100至200之间”将54,55,56分别加上3,5,7的最小公倍数105.所求三数是159,160,161.注意，本题实际上是：求一个数（100〜200之间），它被3整除，被5除余4,被7除余5.请考虑，本题解法与例24解法有哪些相同之处？六、整数分拆例析例1将14分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积最大，应该如何分拆？分析与解不考虑加数顺序，将14分拆成两个自然数的和,有1+13,2+12,3+11,4+10,5+9,6+8,7+7共七种方法。经计算，容易得知，将14分拆成7+7时，有最大积7X7=49。例2将15分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的枳最大，如何分拆？分析与解不考虑加数顺序，可将15分拆成下列形式的两个自然数的和：1+14,2+13,3+12,4+11,5+10,6+9,7+8。显见，将15分拆成7+8时，有最大积7X8=56。注：从上述两例可见，将一个自然数分拆成两个自然数的和时，如果这个自然数是偶数2m,当分拆成m+m时，有最大积mXmF、如果这个自然数是奇数2m+l,当分拆成m+（m+1）时，有最大积mX（m+1）.例3将14分拆成3个自然数的和，并使这三个自然数的积最大，如何分拆？分析与解显然，只有使分拆成的数之间的差尽可能地小（比如是0或1）,这样得到的积才最大。这样不难想到将14分拆成4+5+5时，有最大积4X5X5=100。例4将14分拆成若干个自然数的和，并使这些自然数的积最大，如何分拆？分析与解首先应该考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。首先分拆成的数中不能有1，这是显而易见的。其次分成的数中不能有大于4的数，不然的话，将这个数再拆成2与另一个自然数的和，这两个数的积一定比原数大。比如5=2+3,但5比2X3=6小。又因为4=2X2,因此，可以考虑将14分拆成若干个2或3了。注意到2+2+2=6,2X2X2=8；3+3=6,3X3=9.因此，分拆成的数中如果有三个2,还不如换成两个3。这样可知，分拆成的数中至多只能有两个2,其余都是3。综合上述结果，应该将14分拆成四个3与一个2之和，即14=3+3+3+3+2, 23这样可得到五个数的最大积3X3X3X3X2=162。上述几例是关于如何将一个自然数分拆成若干个自然数的和，并使它们的根最大的问题。下面两例则是如何将一个自然数按题H要求拆成若干个连续自然数的问题。例5将1994分拆成若干个连续自然数的和，一共有多少种不同的方法？分析与解因1994=997X2=492+493+494+495,仅一种方法。所以，该题有唯一解。例6将35分拆成若干个连续自然数的和，一共有多少种不同的方法？分析与解由于35=5X7=7X5,因此35可以分拆成2+3+4+5+6+7+8或5+6+7+8+9,一共有两种方法。第七讲工程问题工作量=工作效率义时间.一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，因此甲的工作效率是乙的工作效率是我们想求两人合作所需时间，就要先求两人合作的工作效率5+《，再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量+工作效率=1+（-^―+1015=6（天）•两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是304-（3+2）=6（天）实际上我们把1+（［+±）这个算式，先用30乘了一下，都变成整1015数计算，就方便些.10天与15天，体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系.看：《=3:2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15：10=3：2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也..一一33是非常实用的.根据3：2,两人合作时，甲应完成全部工作的义=!所3+25需时间是310X5=6（天）.因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些.一、两个人的问题 24标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？31解一：甲做了3天，完成的工作量是，=｝乙还需完成的工作量是1121_—=一3312乙每天能完成的工作量（工作效率）是:，完成余下;工作量所需时05间是答：乙需要做4天可完成全部工作.解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是（18-2X3）+3=4（天）.解三：甲与乙的工作效率之比是6：9=2：3.甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.例2一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？解：共做了6天后，原来，甲做24天，乙做24天，现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的白|.如果乙独做，所需时间是2,、30+30X-=50（天）如果甲独做，所需时间是2,、50+?=75（天）.答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.例3某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成：如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？解：先对比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的工作效率是乙的工作效率的芸=2（倍）.153 25甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做421X—=28（天），因此，乙还要做28+28=56（天）.答：乙还需要做56天.例4一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是（吟+全新1（天）'2+8+1=11（天）.答：从开始到完工共用了11天.解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作（30-3X8-IX2）4-（3+1）=1（天）.解三：甲队做1天相当于乙队做3天.在甲队单独做8天后，还余下（甲队）10-8=2（天）工作量.相当于乙队要做2X3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.4=3+1,其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.例5一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是16x（—+—）=11,2030，3由于两队休息期间未做的工作量是乙队休息期间未做的工作量是11-11———X3=—32060乙队休息的天数是答：乙队休息了5天半.解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.两队休息期间未做的工作量是(3+2)X16-60=20(份).因此乙休息天数是 26（20-3X3）+2=5.5（天）.解三：甲队做2天，相当于乙队做3天.甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是16-6-4.5=5.5（天）.例6有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4X8）份.由张、李合作需要（60-4X8）4-（4+3）=4（天）.8+4=12（天）.答：这两项工作都完成最少需要12天.例7一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他们的工作效率就要降低，甲只能完成原来的?乙只能完成原来的,现在要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？解：设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作，共完成3X0.8+2X0.9=4.2（份）.因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是（30-3X8）+（4.2-3）=5（天）.很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.例8甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高专，乙的工作效率比单独做时提高;甲、乙两人合作6小时，完成全部工作的|.第二天乙又单独做了6小时，还留下这件工作的尚未完成.如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？解：乙6小时单独工作完成的工作量是132_]_乙每小时完成的工作量是1,1—6=—.636两人合作6小时，甲完成的工作量是21八1、.1536,5，5甲单独做时每小时完成的工作量 27甲单独做这件工作需要的时间是1+药=33（小时）.答：甲单独完成这件工作需要33小时.这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每小时完成的工作量是[后，可设这项工作的工作量是180,对后面计算会有一点方便，但好处不大.不必多此一举.二、多人的工程问题我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多.例9一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？解：设这件工作的工作量是1.甲、乙两人合作每天完成乙、丙两人合作每天完成之；甲、丙两人合作每天完成w；60甲、乙、丙三人合作每天完成减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成61_=J_180-45°90'甲独做需要1+[=90（天）.yu答：甲一人独做需要90天完成.例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是否会方便些？例10一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3X2=6（天）.甲做1天，完成工作量的I，乙就完成工作量的3,丙就完成工作12lo量的5X6.共完成 28_+_X3+—X61218241+1=2（天）.说明甲做了2天，乙做了2X3=6（天），丙做2X6=12（天），三人一共做了2+6+12=20（天）.答：完成这项工作用了20天.本题整数化会带来计算上的方便.12,18,24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6,乙每天完成4,丙每天完成3.总共用了72X6X1+4X3+3X620（天）.例11一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4+2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.乙做13天，甲只要搭天；丙做13天，乙要26天，而甲只要g天.他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要,_1326__/工、13+—+—=26（天）.答：甲独做需要26天.事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3：2：1,就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成.例12某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？解一：设这项工作的工作量是1.甲组每人每天能完成1-1—+3=—824'乙组每人每天能完成—+4=—728甲组2人和乙组7人每天能完成他们合作需要1+；=3（天）.答：合作3天能完成这项工作.解二：甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成：乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成.现在已不需顾及人数，问题转化为：甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？甲、乙工作效率之比是4：12=1：3.合作时，甲承担工作量是占-:合作所需时间是12x1=3（天）.小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数. 29例13制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？解一：仍设总工作量为1.甲每天完成1，乙每天完成9H丙每天完成:3=二1Uo101j01612U三个车间做，完成这批零件的制作，需要1140/丁、L（元+.）5（天）甲每天比乙多完成11_110-15=30因此这批零件的总数是4012400*—+—=162001个）.930丙车间制作的零件数目是74016200X—X—=4200（个）,1209答：丙车间制作了4200个零件.解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.乙、丙一起，8天完成.乙完成8X2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知乙、丙工作效率之比是16：14=8：7.已知甲、乙工作效率之比是3：2=12：8.综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是12：8：7.当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是2400+（12-8）X7=4200（个）.例14搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B,甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2,所需时间是甲8小时能完成白，尚需要丙帮助搬运（1-令+.=3（小时）.乙8小时能完成亮，尚需要丙帮助搬运g]（1--）—=5（小时）.答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一 30个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运6,乙每小时搬运5,丙每小时搬运4.三人共同搬完，需要60X24-（6+5+4）=8（小时）.甲需丙帮助搬运（60-6X8）+4=3（小时）.乙需丙帮助搬运（60-5X8）4-4=5（小时）.三、水管问题从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同.例15甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？21解：设水池容量为1.甲、乙两管共同注水3分钟，注入水量是甲每分钟注入水量是乙每分钟注入水量是11291545'因此水池容积是190.6+（―--）=27（立方米）・1545答：水池容积是27立方米.例16有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在打开其中若干根水管，经过预定时间的拼再把打开的水管增加1倍，就能按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？解：增开水管后，有原来2倍的水管，注水时间是预定时间的1-；=|,|是:的2倍因此增开水管后的这段时间的注水量，是前一段时间注水量的4倍,设水池容量是1,预定时间的;（前一段时间）的注水量是,411-=—1+45'10根水管同时打开，能按预定时间注满水池，每根水管的注水量是预定时间的;»每根水管注水量是需x：=专.要注满水池的需要水管—t—=6（根）.530答：开始时打开6根水管.例17蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时.现在池内有!池水.如果按甲、乙、丙,丁、甲6、乙、……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？ 31解:甲、乙、丙、丁各管各开1小时后，水池中的水就i曾加54j6_7=而，我们注意到，每次四个水管轮流打开后，水池中的水不能超过池的!,否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出.2172因为（£-_L）+-L=4£,八36，607__2所以甲、乙、丙、丁这样循环4次后，水池中的水还不到（循环效以后（20小时），池中的水已有17«3—+-x5=—6604这样，再开甲管Q-。）小时后，水就开始溢出了.434答：20：小时后水池开始溢水.4此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的百蛙，它要往上爬30尺才能到达井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？看起来它每小时只往上爬3-2=1（尺），但爬了27小时后，它再爬1小时，往上爬了3尺已到达井口.因此，答案是28小时，而不是30小时.例18一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？解：先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4X60=240（立方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240+（5X150-8X90）=8（立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8X8X90,其中90分钟内流入水量是4X90,因此原来水池中存有水8X8X90-4X90=5400（立方米）.打开13个水龙头每分钟可以放出水8义13,除去每分钟流入4,其余将放出原存的水，放空原存的5400,需耍54004-（8X13-4）=54（分钟）.答：打开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.例19一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空.如果打开A,B两管，4小时可将水排空.问打开B,C两管，要几小时才能将满池水排空？解：设满水池的水量为1.A管每小时排出：+1小时渗入水量，OA管4小时排出1 32（+4小时渗入水量因为A,B合开时，4小时将满池水排完，所以B管4小时的排水量为《每小时排水量为4+4=：C管每小时排水量是No1运+1小时的渗水量因此，B,C两管齐开，每小时排水量是:+工+1小时的渗水量OB,C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是,11、4,,1+（不+一）"4"（小时）=4小时48分.答：B,C两管齐开要4小时48分才将满池水排完.本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1但这两种量要避免混淆.事实上，也可以整数化，把原有水设为8与12的最小公倍数24.17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本《普遍算术》一书，书中提出了一个“牛吃草”问题，这是一道饶有趣味的算术题.从本质上讲，与例18和例19是类同的.题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草.这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量，是完全类同的.例20有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样央它们的面积分别是3；亩、10亩和24亩.12头牛4星期吃完第一片牧场的草：21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？解：吃草总量=一头牛每星期吃草量X牛头数X星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位.为了计算简便，不妨假定牧场面积用3；亩作“单位”来计算.注意10=53^X3,21=7X3.因此题目中第二个条件，可以改变为7头牛9星期吃完3；亩］草地上原有草和新长出来的草对3；亩草地来说，原有草+4星期新长的草=12X4.原有草+9星期新长的草=7X9.由此可得出，每星期新长的草是（7X9-12X4）4-（9-4）=3.那么原有草是7X9-3X9=36（或者12X4-3X4）.对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是1（36+3X18）X（24+3-）=90X7.2.这些草能让90X7.24-18=36（头）牛吃18个星期. 33答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草.例20与例19的解法稍有一点不一样.例20把“新长的”具体地求出来，把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算.事实上，如果例19再有一个条件，例如：“打开B管，10小时可以将满池水排空.”也就可以求出“新长的”与“原有的”之间数量关系.但仅仅是例19所求，是不需要加这一条件.好好想一想，你能明白其中的道理吗？“牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅，我们只再举一个例子.例21画展9点开门，但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多.如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就没有人排队.问第一个观众到达时间是8点几分？解：设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位.从9点至9点9分进入观众是3X9,从9点至9点5分进入观众是5X5.因为观众多来了9-5=4(分钟)，所以每分钟来的观众是(3X9-5X5)4-(9-5)=0.5.9点前来的观众是5X5-0.5X5=22.5.这些观众来到需要22.54-0.5=45(分钟).答：第一个观众到达时间是8点15分.从例20和例21中，我们也注意到，设置计算单位的重要性.选择适当的量作为计算单位，往往使问题变得简单且易于表达.本书中多次提到设单位问题，请同学们注意学习.第八讲比和比例关系一、比和比的分配例1甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3：2,乙的长与宽之比是7:5.求甲与乙的面积之比.解：设甲的周长是2.甲的长与宽分别是(与|,乙的长与宽分别是得与福.甲与乙的面积之比是号X,)：(逐x&=864:875.答：甲与乙的面积之比是864：875.作为答数，求出的比最好都写成整数.例2如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10：7.求上底AB与下底CD的长度之比.解：因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等. 34三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比AB：CD=三角形ABC的面积：三角形ADC的面积=(10-7)：(7X2)=3：14.答：AB：CD=3：14.两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点.例3大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求与之比.解：大杯与中杯容量之比是5:2=10：4,中杯与小杯容量之比是4：3, 35大杯、中杯与小杯容量之比是10：4：3.=(10X2+4X3+3X4):(10X5+4X4+3X3)=44：75.答：两者容量之比是44：75.把5：2与4：3这两个比合在一起，成为三样东西之比10：4：3,称为连比.例3中已告诉你连比的方法，再举一个更一般的例子.甲：乙=3：5,乙：丙=7：4,3：5=3X7：5X7=21：35,7：4=7X5：4X5=35：20,甲：乙：丙=21：35：20.例4甲、乙、丙三人同去商场购物，甲花钱数的(等于乙花钱数的最乙花钱数的。等于丙花钱数的结果丙比甲多花钱93元，问他们三人共花了多少钱？解：根据比例与乘法的关系，甲数X9=乙数x即：甲数：乙数=3乙数x：=丙数X4即：乙数：丙数=连比后是甲：乙：丙二2X16：3X16：3X2二32：48：63.―r32+48+63/—、二人共花了93X一丁丁.=429(兀).63-52.答：甲、乙、丙三人共花了429元.例5有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙2——长度的比是6：5,甲钉子的耳钉入墙内，甲与丙钉入墙内的部分之比5：4,而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？解：设甲的长度是6份.2那么甲在墙外的部分是6X(1-1)=2.9甲钉入墙内的部分是6x孑=4,丙钉入墙内的部分为X,满足比例式43：x=5：4. 3616X=T因此丙的长度是?+2.乙与丙的长度之比是5：(y+2)=25:26,而甲与乙的长度之比是6：5=30：25.甲：乙:丙=30：25：26.答：甲、乙、丙的长度之比是30：25：26.设甲的长度是6,也就是把甲分成6份，以它的?作为长度单位.这样便o于利用一知条件6:5,使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.例6甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元?解一：设每种糖果所花钱数为1,因此平均价是3，一、-j——।一p=27.5（兀）.+-^―+223033答：这些糖果每千克平均价是27.5元.上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22,30,33的最小公倍数330,乘这个繁分数的分子与分母，就有:3x33015+11+1027.5(元).事实上，有稍简捷的解题思路.解二：先求出这三种糖果所买数量之比.不妨设，所花钱数是330,立即可求出，所买数量之比是甲：乙：丙=15：11：10.平均数是（15+11+10）4-3=12.单价33元的可买10份，要买12份，单价是10/一、33X—=27.5（兀）.下面我们转向求比的另一问题，即''比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.例7一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23,分母加32,新的分数约分后是|,原来的分数是多少？解：新的分数，分子与分母之和是（10+23+32）,而分子与分母之比2：3.因此2分子=(100+23+32)X--=62.3分母=(100+23+32)X——=93.西-dr八*a日62-2339原来刀数te93-32=?T答：原来分数是善.01例8加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825 37个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.三人工作效率之比是—'3§']=28"24-21.他们分别需要完成的工作量是2g甲完成1825700（个）..24,、乙完成1825X后罚=6。。（个）.21丙完成1825X诋南力=525（个）.所需时间是700X3=2100分钟）=35小时.答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.这是三个数量按比例分配的典型例题.例9某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14：11,会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：甲：12:13,乙：5：3,丙：2：1,那么丙有多少名男会员？解：甲组的人数是100+2=50（人）.全体男会员人数是100X肃开=56（人）.19甲组男会员人数是50、右j=24（人）.乙、丙两组男会员人数是56-24=32（人）.55乙组男会员占全组人数的工45+3822丙组男会员占全组人数的三=Z+15如果丙组男会员也是占、两组男会员只有50X[=年，因此丙组总OOO人数是（32-等■）+（宗3=18（人）.丙组男会员人数是18x5=121人）.答：丙组有12名男会员.上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔 382一，…5一，…一的脚数”是£“鸡的脚数''是）“总脚数”是32,“总头数”是50.5o例10一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1：2：3.小龙走各段路程所用时间之比依次是4：5：6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间？解-：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.上坡、平路、下坡的速度之比是1.2.34'5'6'平路速度是3x|+：=k（千米/小时）.71下坡速度是3X^+7=6（千米/小时）.64走完全程所用时间50X150X22450X33+5161+2+31+2+351+2+3100+125+150二36=10—（小时）.答：小龙走完全程用了10小时25分.上面是通常思路下解题.1：2：3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上,灵活运用比例有简捷解法.解二：全程长是上坡这一段长的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的时间是4份，全程都是上坡，所用时间是4X6（份），具体时间是言（小时）设小龙走完全程用X小吐可列出比例式x:y=（4+5+6）:2450v15x=—X—324=10—（小时）.二、比的变化已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容.例11甲、乙两同学的分数比是5：4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5：7.甲、乙原来各得多少分？解一：甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9份，变化后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36,我们让变化前后都按36份来算.5：4=(5X4)：(4X4)=20：16.5：7=(5X3):(7X3)=15：21.甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20-15=5份.因此原来甲得22.5+5X20=90(分)， 39乙得22.54-5X16=72(分).答：原来甲得90分，乙得72分.我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.解二：设原先甲的得分是5x,那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式.(5x-22.5)：(4X+22.5)=5：7即5(4x+22.5)=7(5x-22.5)15x^12X22.5x=18.甲原先得分18X5=90(分)，乙得18X4=72(分).例12有一些球，其中红球占：，当再放入8个红球后，红球占总球数的亮，问现在共有多少球？1*T解：其他球的数量没有改变.增加8个红球后，红球与其他球数量之比是5：(14-5)=5：9.在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1：(3-1)=1：2=4.5：9.因此8个红球是5-4.5=0.5(份).现在总球数是5+9,、8X——=224(个).0.5答：现在共有球224个.本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1：2写成4.5：9,就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：(x+8)：2x=5：9.例13张家与李家的收入钱数之比是8：5,开支的钱数之比是8：3,结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？解一：我们采用“假设”方法求解.如果他们开支的钱数之比也是8：5,那么结余的钱数之比也应是8：5.张家结余240元，李家应结余x元.有240:x=8:5,x=150(元).李家60X3=180180+270=450实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是8：5中5份与8：3中3份的差，每份是1204-(5-3)=60.(元).因此可求出张家开支60X8=480收入480+240=720答：张家收入720元，李家收入450元.解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.我 40们画出一个示意图： 41一8份X3~一'-240X9-张X3U—5份X3*3^J-二;X3.X8.张家开支的3倍是（8份-240）李家开支的8倍是（5份-270）从图上可以看出5X8-8X3=16份，相当于270X8-240X3=1440（元）.因此每份是14404-16=90（元）李家收入是90X5=450（元）.张家收入是90X8=720（元），本题也可以列出比例式：（8x-240）：（5x-270）=8：3.然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.例14A和B两个数的比是8：5,每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.解：减少相同的数34,因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.8：5,就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2：1,两者相差1.将前项与后项都乘以3,即2：1=6：3,使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此,每份是34：2=17.A数是17X8=136,B数是17X5=85.答：A,B两数分别是136与85.本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2：1,改写成8：4.例15小明和小强原有的图画纸之比是4：3,小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5：2.问原来两人各有多少张图画纸？解一：充分利用已知数据的特殊性.4+3=7,5+2=7,15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，新的1份=原来1份+1原来4份，新的5份，5-4=1,因此新的1份有15-1X4=11（张）.小明原有图画纸11X5-15=40（张），小强原有图画纸11X2+8=30（张）.答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.解二：我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）4：3=20：155：2=20：8.245假设小强也买来15X：=^（张），那么变化后的比仍应是20：15,44但现在是20：8,因此这个比的每一份是45小“~11 42（彳+8）+（15-8）=—. 43小明现有20X?=55（张），原有55-15=40（张）.小强现有8X?=22（张），原有22+8=30（张）.当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.解三：设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸.把小明现有的图画纸张数乘2,小强现有的图画纸张数乘5,所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：小明X2小强X54份X2-卜一―一■一，八15张X2一一3份X58张X5从图上可以看出，3X5-4X2=7（份）相当于图画纸15X2+8X5=70（张）.因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张.例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握.例13的解、也是•种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法,利于心算，促进思维.例16粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？解：设粗、细蜡烛长度是1,每小时，粗蜡烛点去，细蜡烛点去:我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2,每小时点去：，问过多长时间两支蜡烛长度相等.现在两者相关是（2-1）,每小时能缩小差距（挤-"），因此两者相等需要时间是（2-0+（|-b=4（小时）-453答：这两支蜡烛点了3小时20分.把细蟒烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2,使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子.例17箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球,15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩卜53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只.因为白球每次取7只，最后剩F3只，所以对3倍的白球，每次取7X3=21只，最后应剩3X3=9只.因此.共取了（51-3X3）+（7X3-15）=7（次）.红球有15X7+53=158（只）.白球有7X7+3=52（只）.原来红球比白球多158-52=106（只）.答：箱子里原有红球数比白球数多106只.三、比例的其他问题 44比例关系可以用比表示，也可以用分数表示，例如，甲比乙的孑多7,这里必须用分数来说，而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系：（甲-7）:乙=2：3.因此，有些分数问题，就是比例问题.例18有一些画片，小明取了其中的;还多方长，小强取了剩下的;再加33张，他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少张？19解：设这些画片是整体1.小明取走/加3张，剩下的是与少3张，取剩下的，就是取|xy=-1»少3X；=1（张）.小强取到《加（33-1）张.y12因为两人取的一样多，石与§的差，相当于（33-1）与3的差29.19这些画片有29+（y-）=261（张）.答：这些画片有261张.例19一个容器内贮有一些水.现在倒掉其中亍的水，剩下的水和容器共重72千克再倒掉剩下水的|.此时水与容器的重量，是原来（第一次倒掉水之前）的;.问原来容器中有多少千克的水？5解：设最初的水量是1,因此最后剩下的水是（1-y）X（l-y）按照题目条件，的水加一个容器的重量与;的水加:的容器重量一样重，就有I容器的重量W哧,容器重量=*因此原有水的重量是7.2+（亍+亍）=8.4（千克）.答：容器中原来有8.4千克水.例18和例19,通常在小学数学中，叫做分数应用题.“比”有前项和后项，当两项合在一起写成一个分数后，才便于与其他数进行加、减运算.这就是把比（或除法）写成分数的好处.下面一个例题却是要把分数写成比，计算就方便些.例20有两堆棋子，A堆有黑子350个和白子500个，B堆有黑子…1一3400个和白子100个.为了使A堆中黑子占A堆的彳，B堆中黑子占彳,要从B24 45堆中拿到A堆黑子、白子各多少个？—.3—、...一解：要B堆中黑子占了,即黑子与白子之比是3：1.先从B堆中拿出黑子100个，使余下黑子与白子之比是（40-100）：100=3：1.再要从B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持3：1的比.现在A堆已有黑子350+100=450个），与已有白子500个，相差50个要黑子占右就是两种棋子一样多.从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3：1这个比，要拿出白子数是504-（3-1）=25（个）.再要拿出黑子数是25X3=75（个）.答：从B堆拿出黑子175个，白子25个.例21高中学生的人数是初中学生人数的葭高中毕业生的人数是初中0毕业生人数的,，高、初中毕业生毕业后，高、初中留下的人数都是520人，问高、初中毕业生共有多少人？解一：先画出如下示意图：117份初中615201Al_*|高中;।520人甚为I6-5=1,相当于图中相差17-12=5（份），初中总人数是5X6=30份，因此，每份人数是5204-（30-17）=40（人）.因此，高、初中毕业生共有40X（17+12）=1160（人）.答：高、初中毕业生共1160人.解二：用3乘初中人数，应与高中人数一样多，就产生如下算式，可0计算出每份是（520-520X+（17X12）=40（人）.66例21与例14是完全一样的问题，解一与例14的解法也是一样的.（你是否发现？）解二是通常分数应用题的解法，显然计算不如解一简便.例18,19,20,21四个例题说明分数与比例各有好处，你是否从中有所心得？当然关键还是在于灵活运用. 463例22张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的皇王用了自己钱数的李用了自己钱数的《，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有多少元？解：设钢笔的价格是1.张有的钱数是1+.=|,以34王有的钱数是1+9=>4323李有的钱数是1+会?这样就可以求出，钢笔价格是108+(-+—+-)332=108+10+8+9张剩下的钱数是24X(|-1)=16(元)，李剩下的钱数24X(万-1)=12(兀)，16+12=28(元).答：张、李两人剩下的钱共28元.题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的.为了统一计算单位，设定钢笔的价格为1.每个人原有的钱和剩F的钱都可以通过“1”统一地折算.解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧.作为这一讲最后的内容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比”.1一一1一一1一例23一头猪卖3?银币，一头山羊卖1g银币，一头绵羊卖万银币.有人用100个银币买了100头牲畜，问猪、山羊、绵羊各几头？这是十八世纪瑞士大数学家欧拉(1707〜1783)提出的问题.解：每头牲畜的平均价是1.猪每头号比侈2山羊每头目，比1多;，而绵羊每头;，比1少!“多，，要用“少，，来补，才达到均价.2；：(=5：1.1头猪要5头绵羊来补.g：|=2：3,3头山羊要2头绵羊来补.我们设1头猪和5头绵羊为A组，3头山羊和2头羊绵为B组.A表示A组的数，B表示B组的数,要使(1+5)XA+(3+2)XB=100,或简写成6A+5B=100.就恰好符合均价是1.类似于第三讲鸡兔同笼中例17,很明显，A必定是5的整数倍.A=5,B=4,6X5+5X4=50,50是100的 47约数，符合要求.A=5,猪5头，绵羊25头，B=4,山羊12头，绵羊8头.猪：山羊：绵羊=5：12：（25+8）.现在已把1：5和3：2两种比，组合在一起通常称为混合比.买猪的头数100><5+］：+33=1°（头），买山羊的头数100X±吊一元=24（头），5+12+33………33买绵羊的头数100X--=66（头）.要注意，这样的问题常常有多种解答.A=5,B=14或A=15,B=2才能产生解答，相应的猪、山羊、绵羊混合比是5：42：53或15：6：79.答：有三组解答.买猪、山羊、绵羊的头数是10,24,66；或者5,42,53；或者15,6,79.求混合比是一种很实用的方法，对数学有兴趣的小学同学，学会这种方法是有好处的，会增加灵活运用比例的技巧.通常求混合比可列下表：平均值名称单价多与少要》之的比组4混合比猪421少21551山羊41少33412幅羊222多2525433下面例题与例23是同一类型，但由于题目的条件，解法上稍有变化.例24某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买1件按定价，买2件降价10%,买3件降价20%.最后结算，平均每件恰好按原定价的85%出售，那么买3件的顾客有多少人？解：题目已给出平均数85%,可作比较的基准.1人买3件少5%又3；1人买2件多5%X2；1人买1件多15%XI.1人买3件与1人买1件成A组，即按1：1比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按2：3的比例.A组是2人买4件，每人平均买2件.B组是5人买12件，每人平均买2.4件.现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：总脚数76,总头数33,兔脚数2.4,鸡脚数2.B组人数是(76-2X33)-?(24-2)=25(人)，2其中买3件25X.=10（人）， 48买2件25、3石=15（人）.A组人数是33-25=8（人），其中买3件4人，买1件4人.10+4=14（人）.答：买3件的顾客有14位.建立两种比的A组和B组，与例23的解题思路完全一致，只是后面解法稍有不同.因为对A组和B组，不仅要从人数考虑满足2A+5B=33,还要从买的件数考虑满足4A+12B=76.这已完全确定了A组和B组的数，不必再求混合比.第九讲经济问题商店出售商品，总是期望获得利润.例如某商品买入价（成本）是50元，以70元卖出，就获得利润70-50=20（元）.通常，利润也可以用百分数来说，20+50=0.4=40%,我们也可以说获得40%的利润.因此利润的百分数=（卖价-成本）・成本X100%.卖价=成本X（1+利润的百分数）.成本=卖价+（1+利润的百分数）.商品的定价按照期望的利润来确定.定价=成本X（1+期望利润的百分数）.定价高了，商品可能卖不掉，只能降低利润（甚至亏本），减价出售.减价有时也按定价的百分数来算，这就是打折扣.减价25%,就是按定价的（1-25%）=75%出售，通常就称为75折.因此卖价=定价又折扣的百分数.例1某商品按定价的80%（八折或80折）出售，仍能获得20%的利润，定价时期望的利润百分数是多少？解：设定价是“1”，卖价是定价的80%,就是0.8.因为获得20%的利润，卖价是成本乘以（1+20%）,即1.2倍，所以成本是8+1.2=7定价的期望利润的百分数是+,50%.答：期望利润的百分数是50%.例2某商店进了一批笔记本，按30%的利润定价.当售出这批笔记本的80%后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？解：设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是IX（1+30%）=1.3.其中80%的卖价是1.3X80%,20%的卖价是1.3+2X20%.因此全部卖价是1.3X80%+1.32X20%=1.17.实际获得利润的百分数是I.17-1=0.17=17%.答：这批笔记本商店实际获得利润是17%.例3有一种商品，甲店进货价(成本)比乙店进货价便宜10%.甲店按20%的利润来定价，乙店按15%的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元.问甲店的进货价是多少元？解：设乙店的进货价是“1”，甲店的进货价就是0.9.乙店的定价是IX(1+15%),甲店的定价就是0.9X(1+20%). 49因此乙店的进货价是I.24-(1.15-0.9X1.2)=160(元).甲店的进货价是160X0.9=144(元).答：甲店的进货价是144元.设乙店进货价是1,比设甲店进货价是1,计算要方便些.例4开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加10%,但是仍保持原售价，因此每本利润下降了40%,那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少？解：设去年的利润是"1”.利润下降了40%,转变成去年成本的10%,因此去年成本是40%+10%=4.在售价中，去年成本占4川=8。％,因此今年占80%X(1+10%)=88%.答：今年书的成本在售价中占88%.因为是利润的变化，所以设去年利润是1,便于衡量，使计算较简捷.例5一批商品，按期望获得50%的利润来定价.结果只销掉70%的商品.为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售.这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82%,问：打了多少折扣？解：设商品的成本是“1”.原来希望获得利润0.5.现在出售70%商品已获得利润0.5X70%=0.35.剩下的30%商品将要获得利润0.5X82%-0.35=0.06.因此这剩下30%商品的售价是1X30%+0.06=0.36.原来定价是1X30%义(1+50%)=0.45.因此所打的折扣百分数是0.364-0.45=80%.答：剩下商品打8折出售.从例1至例5,解题开始都设“1”，这是基本技巧.设什么是“1”，很有讲究.希望读者从中能有所体会.例6某商品按定价出售，每个可以获得45元钱的利润.现在按定价打85折出售8个，所能获得的利润，与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元？解：按定价每个可以获得利润45元，现每个减价35元出售12个，共可获得利润(45-35)X12=120(元).出售8个也能获得同样利润，每个要获得利润1204-8=15(元),不打折扣每个可以获得利润45元，打85折每个可以获得利润15元，因此每个商品的定价是(45-15)4-(1-85%)=200(元),答：每个商品的定价是200元.例7张先生向商店订购某一商品，共订购60件，每件定价100元.张先生对商店经理说：“如果你肯减价，每件商品每减价1元，我就多订购3件.”商店经理算了一下，如果差价4%,由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是多少？ 50解：减价4%,按照定价来说，每件商品售价下降了100X4%=4（元）.因此张先生要多订购4X3=12（件）.由于60件每件减价4元，就少获得利润4X60=240（元）.这要由多订购的12件所获得的利润来弥补，因此多订购的12件，每件要获得利润2404-12=20（元）.这种商品每件成本是100-4-20=76（元）.答：这种商品每件成本76元.第十讲溶液问题一碗糖水中有多少糖，这就要用百分比浓度来衡量.放多少水和放多少糖能配成某一浓度的糖水，这就是配比问题.在考虑浓度和配比时，百分数的计算扮演了重要的角色，并产生形形色色的计算问题，这是小学数学应用题中的一个重要内容.从一些基本问题开始讨论.例15基本问题一（1）浓度为10%,重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8%的糖水？（2）浓度为20%的糖水40克，要把它变成浓度为40%的糖水，需加多少克糖？解：（1）浓度10%,含糖80X10%=8（克），有水80-8=72（克）.如果要变成浓度为8%,含糖8克，糖和水的总重量是8・8%=100（克），其中有水100-8=92（克）.还要加入水92-72=20（克）.（2）浓度为20%,含糖40X20%=8（克），有水40-8=32（克）.如果要变成浓度为40%,32克水中，要加糖x克，就有x：32=40%：（1-40%）,32x40%21/土、x==k2与（克）.还要加糖21可-8=13］（克）.答,（1）加水20克；（2）加糖13百克.例16基本问题二20%的食盐水与5%的食盐水混合，要配成15%的食盐水900克.问：20%与5%食盐水各需要多少克？解：20%比15%多（20%-15%）,5%比15%少（15%-5%）,多的含盐量（20%-15%）X20%所需数量要恰好能弥补少的含盐量（15%-5%）义5%所需数量.也就是 5120%所需数量_25%所需数量=20%-15%=T画出示意图：20%一一一一所需数量2：1——〜人'相差5k、一一下目差10*-«5%相差的百分数之比与所需数量之比恰好是反比例关系.-2，一、因此，需要20%900X—=600（克），需要5%900X2=300（克）.答：需要浓度20%的600克，浓度5%的300克.这一例题的方法极为重要，在解许多配比问题时都要用到.现在用这一方法来解几个配比的问题.例17某人到商品买红、蓝两种笔，红笔定价5元，蓝笔定价9元.由于买的数量较多，商店就给打折扣.红笔按定价85%出售，蓝笔按定价80%出售.结果他付的钱就少了18%.已知他买了蓝笔30支，问红笔买了几支？解：相当于把两种折扣的百分数配比，成为178%=82%.（85282%）：（82%-80%）=3：2.按照基本问题二，他买红、蓝两种笔的钱数之比是2：3.设买红笔是x支，可列出比例式5x：9X30=2：39X30X2/+、x=—不不一=36（支）.答：红笔买了36支.配比问题不光是溶液的浓度才有的，有百分数和比，都可能存在配比.要提请注意，例17中是钱数配比，而不是两种笔的支数配比，千万不要搞错.例18甲种酒精纯酒精含量为72%,乙种酒精纯酒精含量为58%,混合后纯酒精含量为62%.如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%.问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升？解：利用例16的方法，原来混合时甲、乙数量之比是甲62-582Z?=72-62=5'后一次混合，甲、乙数量之比是甲63.25-585.253Z?=72-63.25=875=5,2问题就转化成：一个分数原来约分后是5,分子、分母各加15,约分后是I.求原来这个分数这与上一讲例14是同一问题.都加15,比例变了，但两数之差却没有变.5与2相差3,5与3相差2.前者3份与后者2份是相等的.把2：5中前、后两项都乘2,3：5中 52前、后两项都乘3,就把比的份额统一了，即|=2：5=4：10,—=3•5=9-15.5现在两个比的前项之差与后项之差都是5.15是5份，每份是3.原来这人八如日43X3121刀数是历又5=否答：第一次混合时，取甲酒精12升，乙酒精30升.例19甲容器中有8%的食盐水300克，乙容器中有12.5%的食盐水120克.往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的食盐水浓度一样.问倒入多少克水？解：要使两个容器中食盐水浓度一样，两容器中食盐水重量之比，要与所含的食盐重量之比一样.甲中含盐量：乙中含盐量=300X8%：120X12.5%=8：5.现在要使（300克+倒入水）：（120克+倒入水）=8：5.把“300克+倒入水”算作8份，“120克+倒入水”算作5份，每份是（300-120）4-（8-5）=60（克）.倒入水量是60X8-300=180（克）.答：每一容器中倒入180克水.例20甲容器有浓度为2%的盐水180克，乙容器中有浓度为9%的盐水若干克，从乙取出240克盐水倒入甲.再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问：（1）现在甲容器中食盐水浓度是多少？（2）再往乙容器倒入水多少克？解：（1）现在甲容器中盐水含盐量是180X2%+240X9%=25.2（克）.浓度是25.24-（180+240）X100%=6%.（2）“两个容器中有一样多同样浓度的盐水”，也就是两个容器中含盐量一样多.在乙中也含有25.2克盐.因为后来倒入的是水，所以盐只在原有的盐水中.在倒出盐水240克后，乙的浓度仍是9%,要含有25.2克盐，乙容器还剩下盐水25.2・9%=280（克），还要倒入水420-280=140（克）.答：（1）甲容器中盐水浓度是6%；（2）乙容器再要倒入140克水.例21甲、乙两种含金样品熔成合金.如甲的重量是乙的一半，得到含金68%的合金；如果甲的重量是乙的3々倍，得到含金625%的合金,求甲、乙两种含金样品中含金的百分数.解：因为甲重量增加，合金中含金百分数下降，所以甲比乙含金少.用例17方法，画出如下示意图.1.~一甲百分数（_一『二一——工I乙百分数 5362纪“配父-一一1:1因为甲与乙的数量之比是1：2,所以（68%-甲百分数）：（乙百分数-68%）=2：1=6：3.因为甲与乙的数量之比是3（：1,所以（62,%-甲百分数）：（乙百分数-62彳％）1=1：3 2=2：7.注意：6+3=2+7=9.o如果把上面的线段分成9段，（68%-62j%）是其中7-3=4段，那么每段是o4（68%-62-%）+（7-3）=-%.因此乙的含金百分数是468%+/X3=72%.甲的含金百分数是2462—%-1%X2=60%.答：甲含金60%,乙含金72%.用这种方法解题，一定要先弄清楚，甲和乙分别在示意图线段上哪一端，也就是甲和乙哪个含金百分数大.H•、估计与估算1992年小学数学奥林匹克初赛（B）卷第3题是：1Q1Q1Q191Q（1+赤）+（1+而*2）+（1+*3）+-+（1+何*10）+（1+行11）的结果是X。那么，与X最接近的整数是一.这道题并不要求求X,而求“与X最接近的整数”，这就是估计或估算。估计与估算是一种十分重要的算法，在生活实践和数学解题中有广泛的应用，其表现形式通常有以卜两种：（1）省略尾数取近似值，即观其“大概”；（2）用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，即估计范围。例1A=123456789101112134-31211101987654321,求A的小数点后前3位数字。 54解：A>12344-3122=0.3952— 55A<12354-3121=0.3957…所以0.3952 562345678910111111111111、236，、48，10，8、9IV…，31、320=1+1+(—I—)+—+—8，10994320=2+—■*—+—81099c1320v2+—+—+210100=3,所以，至少应选11个数。(2)以上解答过程中包括两个方面，其一是确定选数的原则；其二是验算找到“分界声、”，而这里的验算只是一种估计或估算，并不要求精确。有10个小数：0.3,0,33,0.333,…，0.33-3,从这些数中,(3)类似的问题是少取出多少个数，才能使取出的数的和大于2?答案是7,请读者自己练习。例3右面的算式里，每个方框代表一个数字。问：这6个方框中的数字的总和是多少？□□□+□□口1997解：每个方框中的数字只能是0〜9,因此任两个方框中的数字之和最多是18。现在先看看被加数与加数中处于百位的两个数字之和，这个和不可能小于18,因为不管它们后面的两个二位数是什么，相加后必小于200,也就是说最多只能进1。这样便可断定，处于百位的两个数字之和是18,而且后面两位数相加进1»同样理由，处于十位的两个数字之和也是18,而且两个个位数字相加后进1。因此，处于个位的两个数字之和必是17。所以，6个方框中数字之和为18+18+17=53。例4如果两个四位数的差等于8921,就说这两个四位数组成一个数对，那么这样的数对共有多少个，解：最小的四位数是1000,与1000组成一个数对的另一个四位数是8921+1000=9921,也就是最小一个数对是9921与1000。同时由最大的四位数是9999,可知共有9999-(9921—1)=79(个)不同的被减数。所以，这样的数对共有79个。说明：解答的关键在于确定符合条件的的最小数对(9921,1000),同时因为有几个不同的被减数，就有几个不同的减数相对应地存在，所以我们只要考虑有几个不同的被减数即可。例5七位数175口62口的未位数字是几时，不管千位上是。〜9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数？解：因为1750620+11=1591473,1759629-M1=1599663, 57所以这个七位数是11的倍数的最小值是1750628,最大值是1759626。又因为1001=7X11X13,由数的整除性质，可知1750628加上若干个1001,或1759626减去若干个1001后，其值也是11的倍数。这样1750628,1751629,1759626,1758625,1757624,1756623,1755622,1754621,1753620都是11的倍数。由上述讨论可知七位数175口62口的末位数字是7时，不管其千位上是0到9中的哪一个数字,这个七位数都不是11的倍数。说明：上述解法是利用估算确定出取值范围再进行讨论。此题也可由能被11整除的数的特征入手解决。留给读者思考。例6小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1,2,3,…，13。从这两个口袋中各拿出1张卡片并计算2张卡片上的数的乘积，可以得到许多不相等的乘积。那么，其中能被6整除的乘枳共有多少个？解：根据题意可知，在所得到的许多不相等的乘积中，最小值是1义1=1,最大值是13X13=169,并且1与169都不能被6整除，这样，在得到的许多不相等的积中，能被6整除的最小值是1X6=6,最大值是13X12=26X6,而介于1X6与26X6之间的能被6整除的数并非每个都是2张卡片上的数的积，如25X6,23X6,21X6,19X6,17X6这五个就不是。所以，这些积中能被6整除的数共有26-5=21（个）。说明：解答这类问题要特别注意：不能简单地根据最小值是6的1倍，最大值是6的26倍，就错误地下结论是26个。122829例7有30个数।1.64,1a+而，164+而，…,1.64+而，1.64+—o如果取每个数的整数部分（例如1.64的整数部分是1,L64+备的整数部分是2）,并将这些整数相加，那么其和是多少？解：关键是判断从哪个数开始整数部分是2。因为2-1.64=0.36,我们熟知;4=0.33…，故先看茅*0366…，这说明"分界点''是1.64+^,所以前11个数整数部分为1,后19个数整数部分为2。其和为3011+19X2=49。例8有一列数，第一个数是105,第二个数是85,从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么第19个数的整数部分是几？m105+85m85+95295+90-90+92.5八，“解：一—=95,—y—=90,—y—=92.5,---=91.25,925+9125-—--=91,875,9125与91.875的整数部分相同，而两个数的平均数2总介于这两个数之间，所以后面各数的整数部分均为91,当然第19个数的整数部分也为91。说明：注意到每个正数都介于两个相邻整数n和n+1之间，或者写成nWa 58s=ii■,—+-■―+••■1919293100解：根据“一个分数，当分子不变而分母变大时，分数值变小；当分子不变，分母变小时，分数值变大”对S的分母进行放缩。1117…11—+——+…+<10X--—,9192100909所以:<$<4，即9 60解：从B+C=197与A+C=149,就知道B与A的差是197749,题目又告诉我们，B与A之和是252.因此B=(252+197-149)4-2=150,A=252-150=102,C=149-102=47.答：A,B,C三数分别是102,150,47.注：还有一种更简单的方法(A+B)+(B+C)+(C+A)=2X(A+B+C).上面式子说明，三数相加再除以2,就是三数之和.A+B+C=(252+197+149)+2=299.因此C=299-252=47,B=299-149=150,A=299-197=102.例3甲、乙两筐共装苹果75千克，从甲筐取出5千克苹果放入乙筐里，甲筐苹果还比乙筐多7千克.甲、乙两筐原各有苹果多少千克？解：画一张简单的示意图，75千克就可以看出，原来甲筐苹果比乙筐多5+7+5=17(千克)因此，甲、乙两数之和是75,差为17.甲筐苹果数=(75+17)4-2=46(千克).乙筐苹果数=75-46=29(千克).答：原来甲筐有苹果46千克，乙筐有苹果29千克.例4张强用270元买了一件外衣，一顶帽子和一双鞋子.外衣比鞋贵140元，买外衣和鞋比帽子多花210元，张强买这双鞋花多少钱？解：我们先把外衣和鞋看成一件东西，它与帽子的价格和是270元，差是210元.外衣和鞋价之和=(270+210)4-2=240(元).外衣价与鞋价之差是140,因此鞋价=(240-140)4-2=50(元),答：买这双鞋花50元.再举出三个较复杂的例子.如果你也能像下面的解答那样计算，那么就可以说，“和差问题”的解法，你已能灵活运用了.例5李叔叔要在下午3点钟上班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12点10分就停了.他开足发条却忘了拨指针，匆匆离家，到工厂一看钟，离上班时间还有10分钟.夜里11点下班，李叔叔马上离厂回到家里，一看钟才9点整.假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多少时间(上发条所用时间忽略不计)？解：到厂时看钟是2点50分，离家看钟是12点10分，相差2小时40分，这是停钟的时间和路上走的时间加在一起产生的.就有钟停的时间+路上用的时间=160(分钟).晚上下班时，厂里钟是11点，到家看钟是9点，相差2小时.这是由于钟停的时间中，有一部分时间，被回家路上所用时间抵消了. 61因此钟停的时间-路上用的时间=120（分钟）.现在已把问题转化成标准的和差问题了.钟停的时间=（160+120）+2=140（分钟）.路上用的时间=160-140=20（分钟）.答：李叔叔的钟停了2小时20分.还有一种解法，可以很快算出李叔叔路上所用时间：以李叔叔家的钟计算，他在12点10分出门，晚上9点到家，在外共8小时50分钟，其中8小时上班，10分钟等待上班，剩卜的时间就是他上班来回共用的时间，所以上班路上所用时间=（8小时50分钟-8小时-10分钟）+2=20（分钟）.钟停时间=2小时40分钟-20分钟=2小时20分钟.例6小明用21.4元去买两种贺卡，甲卡每张1.5元，乙卡每张0.7元，钱恰好用完.可是售货员把甲卡张数算作乙卡张数，把乙卡张数算作甲卡张数，要找还小明3.2元.问小明买甲、乙卡各几张？解：甲卡与乙卡每张相差1.5-0.7=0.8（元），售货员错找还小明3.2元，就知小明买的甲卡比乙卡多3.2+0.8=4（张）.现在已有两种卡张数之差，只要求出两种卡张数之和问题就解决了.如何求呢？请注意1.5X甲卡张数+0.7X乙卡张数=21.4.1.5X乙卡张数+0.7X甲卡张数=21.4-3.2.从上面两个算式可以看出，两种卡张数之和是[21.4+（21.4-3.2）]+（1.5+0.7）=18（张）.因此，甲卡张数是（18+4）+2=11（张）.乙卡张数是18-11=7（张）.答：小明买甲卡11张、乙卡7张.注：此题还可用鸡兔同笼方法做，请见下一讲.例7有两个一样大小的长方形，拼合成两种大长方形，如右图.大长方形（A）的周长是240厘米，大长形（B）的周长是258厘米，求原长方形的长与宽各为多少厘米？«）CB）解：大长方形（A）的周长是原长方形的长X2+宽X4.大长方形（B）的周长是原长方形的长X4+宽X2.因此，240+258是原长方形的长X6+宽X6.原长方形的长与宽之和是（240+258）+6=83（厘米）原长方形的长与宽之差是（258-240）4-2=9（厘米）.因此，原长方形的长与宽是长：（83+9）4-2=46（厘米）.宽：（83-9）4-2=37（厘米）. 62答：原长方形的长是46厘米、宽是37厘米二、倍数问题当知道了两个数的和或者差，又知道这两个数之间的倍数关系，就能立即求出这两个数.小学算术中常见的“年龄问题”是这类问题的典型.先看几个基础性的例子.例8有两堆棋子，第一堆有87个，第二堆有69个.那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆，就能使第二堆棋子数是第一堆的3倍.解：两堆棋子共有87+69=156（个）.为了使第二堆棋子数是第一堆的3倍，就要把156个棋子分成1+3=4（份），即每份有棋子156-?（1+3）=39（个）.第一堆应留下棋子39个，其余棋子都应拿到第二堆去.因此从第一堆拿到第二堆的棋子数是87-39=48（个）.答：应从第一堆拿48个棋子到第二堆去.例9有两层书架，共有书173本.从第一层拿走38本书后，第二层的书比第一层的2倍还多6本.问第二层有多少本书？解：我们画出下列示意图：拿走38本第—*层।**]73本II6我们把第一层（拿走38本后）余下的书算作1“份”，那么第二层的书是2份还多6本.再去掉这6本，即173-38-6=129（本）恰好是3份，每一份是1294-3=43（本）.因此，第二层的书共有43X2+6=92（本）.答：书架的第二层有92本书.说明：我们先设立“1份”，使计算有了很方便的计算单位.这是解应用题常用的方法，特别对倍数问题极为有效.把份数表示在示意图上，更是一目了然.例10某小学有学生975人.全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人，全校女生人数是六年级学生人数的3倍多11人.问全校有男、女生各多少人？解：设六年级学生人数是“1份”.男生是4份-23人.女生是3份+11人.全校是7份-（23-11）人.每份是（975+12）4-7=141（人）.男生人数=141X4-23=541（人）.女生人数=975-541=434（人）.答：有男生541人、女生434人.例9与例10是一个类型的问题，但稍有差别.请读者想一想，“差别”在哪里？例11某鞋店有旅游鞋和皮鞋400双，在售出旅游鞋的"后，又采购来70双皮鞋.此时皮鞋数恰好是旅游鞋数的2倍.问原来两种鞋各有几双？解：为了计算方便，把原来旅游鞋算作4份，售出1份，还有3份.那么原有皮鞋增加70双后将是3X2=6 63（份）.400+70将是3+1+6=10（份）.每份是（400+70）+10=47（双）.原有旅游鞋47X4=188（双）.原有皮鞋47X6-70=212（双）.答：原有旅游鞋188双，皮鞋212双.设整数的份数，使计算简单方便.小学算术中小数、分数尽可能整数化，使思考、计算都较简捷.因此，“尽可能整数化”将会贯穿在以后的章节中.下面例子将是本节的主要内容——年龄问题.年龄问题是小学算术中常见的一类问题，这类题目中常常有“倍数”这一条件.解年龄问题最关键的一点是：两个人的年龄差总保持不变.例12父亲现年50岁，女儿现年14岁.问几年前，父亲的年龄是女儿年龄的5倍？解：父女相差36岁，这个差是不变的.几年前还是相差36岁.当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁.这36岁是女儿年龄的（5T）倍.364-（5-1）=9.当时女儿是9岁，14-9=5,也就是5年前.答：5年前，父亲年龄是女儿年龄的5倍.例13有大、小两个水池，大水池里已有水300立方米.小水池里已有水70立方米.现在往两个水池里注入同样多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍.问每个水池注入了多少立方米的水.解：画出下面示意图：k----I111我们把小水池注入水后的水量算作1份，大水池注入水后的水量就是3份.从图上可以看出，因为注入两个水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量（300-70）是2份.因此每份是（300-70）4-2=115（立方米）.要注入的水量是115-70=45（立方米）•答：每个水池要注入45立方米的水.例13与年龄问题是完全一样的问题.“注入水”相当于年龄问题中的“几年后”.例14今年哥俩的岁数加起来是55岁.曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁？解：当哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍时，我们设那时弟弟的岁数是1份，哥哥的岁数是2份，那么哥哥与弟弟的岁数之差是1份.两人的岁数之差是不会变的，今年他们的年龄仍相差1份.题目又告诉我们，那时哥哥岁数，与今年弟弟的岁数相同，因此今年弟弟的岁数也是2份，而哥哥今年的岁数应是2+1=3（份）.今年，哥弟俩年龄之和是3+2=5（份）.每份是55+5=11（岁）.哥哥今年的岁数是11X3=33（岁）.答：哥哥今年33岁.作为本节最后一个例子，我们将年龄问题进行一点变化.例15父年38岁，母年36岁，儿子年龄为11岁. 64问多少年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍？解：现在父母年龄之和是38+36=74.现在儿子年龄的4倍是11X4=44.相差74-44=30.从4倍来考虑，以后每年长1X4=4,而父母年龄之和每年长1+1=2.为追上相差的30,要304-（4-2）=15（年）•答：15年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍.请读者用例15的解题思路，解习题二的第7题.也许就能完全掌握这一解题技巧了.请读者想一想，例15的解法，与例12的解法，是否不一样？各有什么特点？我们也可以用例15解法来解例12.具体做法有下面算式：（14X5-50）+（5-1）=5（年）.不过要注意14X5比50多，因此是5年前.三、盈不足问题在我国古代的算书中，《九章算术》是内容最丰富多彩的一本.在它的第七章，讲了一类盈不足问题，其中第一题，用现代的语言来叙述，就是下面的例题.例16有一些人共同买一些东西，每人出8元，就多了3元；每人出7元，就少了4元。那么有多少人？物价是多少？解：“多3元”与“少4元”两者相差3+4=7（元）.每个人要多出8-7=1（元）.因此就知道，共有7+1=7（人），物价是8X7-3=53（元）,答：共有7个人一起买，物价是53元.上面的3+4可以说是两个总数的相差数.而8-7是每份的相差数.计算公式是总数相差数+每份相差数=份数这样的问题在内容上有很多变化，形成了一类问题，我们通称为“盈不足”问题.请再看一些例子.例17把一袋糖分给小朋友们，每人分10粒，正好分完；如果每人分16粒，就有3个小朋友分不到糖.这袋糖有多少粒？解-：3位小朋友本来每人可以分到10粒，他们共有的10X3=30（粒），分给其余小朋友,每人就可以增加16-10=6（粒），因此其余小朋友有10X34-（16-10）=5（人）.再加上这3位小朋友，共有小朋友5+3=8（人）.这袋糖有10X（5+3）=80（粒）.解二：如果我们再增加16X3粒糖，每人都可以增加（1-10）粒，因此共有小朋友16X34-（16-10）=8（人）•这袋糖有80粒.答：这袋糖有80粒.这里，16X3是总差，（16-10）是每份差，8是份数.例18有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，每条船正好坐6人；如果减少一条船，每条船正好坐9人.这个班共有多少名同学？ 65解：如果每条船坐6人，就要增加一条船，也就是现在有6个人无船坐；如果每条船坐9人，可以减少一条船，也就是还可以多来9个人坐船.可以坐船的人数，两者相差6+9=15（人）.这是由于每条船多坐（9-6）人产生的，因此共有船（6+9）4-（9-6）=5（条）•这个班的同学有6X5+6=36（人）.答：这个班有36人.例19小明从家去学校，如果每分钟走80米，能在上课前6分钟到校，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟，那么小明的家到学校的路程有多远？解一：以小明从家出发到上课这一段时间来算，两种不同速度所走的距离，与小明家到学校的距离进行比较：如果每分钟走80米，就可以多走80X6（米）；如果每分钟走50米，就要少走50X3（米）.请看如F小意图：因此我们可以求出，小明从家出发到上课这段时间是（80X6+50X3）4-（80-50）=21（分钟）.家至学校距离是800X（21-6）=1200（米）•或50X（21+3）=1200（米）.答：小明家到学校的路程是1200米.解二：以每分钟80米走完家到学校这段路程所需时间，作为思考的出发点.用每分钟50米速度，就要多用6+3=9（分种）.这9分钟所走的50X9（米），恰好补上前面少走的.因此每分钟80米所需时间是50X（6+3）+（80-50）=15（分钟）•再看两个稍复杂的例子.例20一些桔子分给若干个人，每人5个还多余10个桔子.如果人数增加到3倍还少5个人，那么每人分2个桔子还缺少8个，问有桔子多少个？解：使人感到困难的是条件“3倍还少5人”.先要转化这一条件.假设还有10个桔子，10=2X5,就可以多有5个人，把“少5人”这一条件暂时搁置一边，只考虑3倍人数，也相当于按原人数每人给2X3=6（个）.每人给5个与给6个，总数相差10+10+8=28（个）.所以原有人数284-（6-5）=28（人）.桔子总数是5X28+10=150（个）.答：有桔子150个.例21有一些苹果和梨.如果按每1个苹果2个梨分堆，梨分完时还剩5个苹果，如果按每3个苹果5个梨分堆，苹果分完了还剩5个梨.问苹果和梨各多少？解一：我们设想再有10个梨，与剩下5个苹果一起，按“1个苹果、2个梨”前一种分堆，都分完.以后一种“3个苹果、5个梨”分堆来看，苹果总数能被3整除.因此可以把前一种分堆，每3堆并成一大堆，每堆有3个苹果，2X3=6（个）梨.与后一种分堆比较： 66每堆苹果都是3个.而梨多1个（6-5=1）.梨的总数相差设想增加10个+剩下5个=15个.(10+5)+(6-5)=15.就知有15个大堆，苹果总数是15X3=45（个）.梨的总数是（45—5）X2=80（个）.答：有苹果45个、梨80个.解二：用图解法.前一种分堆，在图上用梨2份，苹果1份多5个来表示.苹果I05个后一种分堆，只要添上3个苹果，就可与剩的5个梨又组成一堆.梨算作5份，苹果恰好是3份.中梨I11-I-I11苹果I2M53将上、下两图对照比较，就可看出，5+3=8（个）是下图中“半份”，即1份是16.梨是5份，共有16X5=80（个）.苹果有16X2.5+5=45（个）.十三、巧用加法原理和乘法原理解题例1720有多少个约数？所有约数的和是多少？解720=2'X3‘X5,因此，720的任一约数都只能含有质因数2,3和5,对于720的某个约数n,只要研究它所含质因数2、3、5的个数。质因数2在n的质因数分解式中可能不出现，也可能出现1个、2个……4个，因此共有5种可能。质因数3在n的质因数分解式中可能不出现，也可能出现1个、2个，因此有3种可能。质因数5在n的质因数分解式中可能不出现，也可能出现1个，因此有2种可能。所以约数的个数：5X3X2=30（个）所有约数的和就是30个约数的和，即等于（1+2M+242'）X（1+3,+32）X（1+5'）=31X13X6=2418例2在下面的图中（单位：厘米）51281ABCDFGHI求：（1）一共有几个长方形？（2）所有这些长方形面积的和是多少? 67解（1）AE这条线段上有多少条线段就是长有多少种取法，很明显得出长有10种取法；同理，宽也有10种取法。一共有（10X10=）100（个）长方形。解（2）长的长度有10种：5、12、8、1、17、20、9、25、21、26,宽的长度也有10种：2、4、7、3、6、11、10、13、14、16。所有这些长方形的面积和=（5+12+8+1+17+20+9+25+21+26）X（2+4+7+3+6+11+10+13+14+16）=144X86=12384（平方厘米）练习：图中有6个点，9条线段，一只甲虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到F点。行进中,同一个点或同一条线段只能经过一次，这只甲虫最多有多少种不同的走法？十四、循环小数化分数一、纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化为分数呢？看下面例题。例1把纯循环小数化分数：（1）0.6（2）3.102解：（1）0^X10=6.666……①0.6=0,666……②由①一②得0&X9=6所以O.g=£=|'（2）先看小数部分0：0之0.102X1000=102,102102……①0.102=0.102102……②由①一②得0.i。3x999=102所以34333.•1020.102=——=9993102J02.343=3999333从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。 68,••2168如：0.216=TZ"yyy5/•♦123414123=4——=4——,999333二、混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。例2把混循环小数化分数。(1)0.215；(2)6.353解：(1)0.215X1000=215.1515……①0.215X10=2.1515……②由①一②得0.215X990=215-2215-2213710215===990990330(2)先看小数部分0.3530.353X1000=353.333……①0.353X100=35,333……②由①一②得0.353X900=353-350.353=353-3531853900所以6,353=6900150353-35,318,53=6——=6——900900150由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位数是9,末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。如：①把0.276化成分数。―276-2783解：0276==——900300②把7.42化成分数人♦42-4解：742=7击=7色=7"9045三、循环小数的四则运算 69循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。例3计算下面各题：（1）2.45+3.13；（2）2.609-1.32；（3）4,3X2.45（4）1.24*0.3解：先把循环小数化成分数后再计算。⑴原式=2#335急,、61322839⑵原式=2而-］为二［何（3）原式=4；X21=10暮5yz//、2818（4）原式=1药例4计算下面各题。（1）0.6+――—06+11 0.6+—―0.6♦1♦（2）1.25X0.3+1,25X-+1.25X0.6（3）0.14+0.25+0.36+0.47+0.58分析与解：（1）把循环小数化成分数，再按分数计算。原式=£+彳\“口3T33+T-T—十322121+—■■■■+326344—十31339239205,73344132132（2）可根据乘法分配律把1.25提出，再计算。 70原式=1.25X(•^-+y+-|-)=2x—=-=i-4333(3)把循环小数化成分数，根据乘法分配律和等差数列求和公式计算。〜13233343539090909090=.XQ3+23+33+43+53)_1*(13+53)X5-9021y66X511590266十五、邮票问题例2买3角与5角的邮票共24张，总值4.6元，问两种邮票各买了几张？解这道题当然可以用假设法和图形法，但用什么样的公式呢？美国数学教育家C-波利亚说：“……不论初等数学、高等数学中的发现……特别是不能没有类比。”用类比很容易发现这个公式票张数之和，减总价，只是乘以这个分数肯定不是!了。是：邮2设3角邮票为A1张,价值A2角;5角邮票为Bi张，价值B2角。由己知：24张＜‘3角的A1张A2角'-5角的B1张B?角J96角,说明数量关系与鸡兔同笼问题相一致。又3Ai=A2,5Bi=B2«得：A2+B2=3Ai+5Bi,即A1=(Ai+Bj•—--出t1115-35-3这就与例1的公式相类似，很容易将这个公式翻译成语言陈述，大家试试。这里3角邮票的张数为(24•|-^=)12(张)，5角邮票的张数为(24-12=)12(张)。如果你认为这个公式不太好记，就不妨用图来解。（24X5-96）+2=12（张、3角）24-12=12所以解题方法的选用常常是根据具体情况而定的。再试试 71（1）6角与8角的邮票共18张，总价12.4元，问两种邮票各几张？（10,8）（2）3角与8角的邮票共100张，总价50元，问两种邮票各几张？（60,40）三、植树问题例3一次植树活动，规定大树每人种2棵，小树每人种4棵，全班50人种树140棵，问种这两种树的各有多少人？这道题可用例1的公式很快解得种大树的有30人，种小树的有20人。四、运输（工作）问题例4有小卡车50辆，大卡车每辆运4吨，小卡车每辆运2吨，共运140吨化肥，问大小卡车各几辆？难道不是题目看完答案就出来了吗？五、农药问题例5甲种农药每千克兑水20千克，乙种农药每千克兑水40千克，现为了提高药效，根据农科所意见，甲乙两种农药混合使用，已知两种农药共5千克，要配药水140千克，问甲、乙两种农药各需多少千克？用公式解很简单（30,20）,如果将这个公式交给农民，那么他们配起农药来就既方便又正确，你能想出这个公式是什么吗？还会遇到许多许多的问题，它们的数量关系（应用题的本质）与鸡兔同笼问题相一致，都可以用鸡兔同笼问题的三种方法来解，这些问题我们将它们统称为鸡兔同笼问题。相传大禹治水到黄河，发现一只神龟，背上驮了一张图叫河图（洛书）o（左图），用阿拉伯数字表示就是右图，图中三条竖线、三条横线、二条对角线共八条线上三个数的和都是15,这样的图是怎样造出来的呢？其法一时失传了，于是有人用它来占卜、相风水，进入迷信状态。后来数学家发现其原理是二进制，说明二进制是中国人最先发明的，近代根据二进制发明了计算机，所以有些基础科学的研究成果一时看起来无多大用途，以后渐渐会发现有大用途，鸡兔同笼问题不也是这样吗？因此我们一定要重视基础科学的学习和研究。
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